安徽省安庆市怀宁县高河中学2024-2025学年高二上学期12月月考数学试题（含答案）

高河中学2024年秋高二12月月考数学试题一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分）1．直线m，n的方向向量分别为，平面的法向量为，则下列选项正确的是（

）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则2．已知圆和圆相交于，两点，则下列结论中错误的是（

）A．两圆相交 B．直线AB的方程为C．两圆有两条公切线 D．线段AB的长为3．为直线上一点，过总能作圆的切线，则的最小值为（

）A． B． C． D．4．已知椭圆的一个短轴端点与两个焦点构成的三角形的内切圆半径为，则椭圆的离心率为（

）A． B． C． D．5．光线通过点A（2，3），在直线l：上反射，反射光线经过点B（1，1），则反射光线所在直线方程为A．B．4x+5y-1=0C．3x-4y+1=0 D．3x-4y-1=06．已知原点为，椭圆与直线交于两点，线段的中点为，若直线的斜率为，则椭圆的离心率为（

）A． B． C． D．7．斜率为1的直线l过抛物线的焦点F，且与C相交于A，B两点，O为坐标原点，若的面积是，则（

）A．4 B．8 C．12 D．168．已知椭圆的左、右焦点分别为，，过点的直线与椭圆交于两点，若，且，则椭圆的离心率为（

）A． B． C． D．二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9．已知圆，直线．则以下几个结论正确的有（

）A．直线l与圆C相交 B．圆C被y轴截得的弦长为C．点C到直线l的距离的最大值是D．直线l被圆C截得的弦长最短时，直线l的方程为10．如图，已知抛物线的焦点为，抛物线的准线与轴交于点，过点的直线（直线的倾斜角为锐角）与抛物线相交于两点（A在轴的上方，在轴的下方），过点A作抛物线的准线的垂线，垂足为，直线与抛物线的准线相交于点，则（

）A．当直线的斜率为1时， B．若，则直线的斜率为2C．存在直线使得 D．若，则直线的倾斜角为11．在棱长为2的正方体中，分别为的中点，则下列选项正确的是（

）A．B．直线与所成角的余弦值为C．三棱锥的体积为D．存在实数使得三、填空题（共3小题，每题5分，共15分)12．已知圆的圆心在直线上，且过点，，则圆的方程为______.13．圆：与圆：相交于、两点，则_______．14．已知双曲线的左焦点为，过点的直线与圆相切于点，与的右支交于点，若，则的离心率为__________．四、解答题(本题共5小题，共77分）15．（13分）已知三点，记的外接圆为.(1)求的方程；(2)若直线与交于两点，求的面积.16．（15分）已知椭圆离心率为，直线与椭圆相交于A，B两点.(1)若椭圆的焦距为，求椭圆的方程;(2)若，求椭圆的长轴长.17．（15分）已知抛物线，直线l经过抛物线C的焦点，且垂直于抛物线C的对称轴，直线l与抛物线C交于M，N两点，且．(1)求抛物线C的方程；(2)已知点，直线与抛物线C相交于不同的两点A，B，设直线PA与直线PB的斜率分别为和，求证：为定值．18．（17分）如图，四棱锥的底面是边长为2菱形，，，分别是，的中点.(1)求证；平面；(2)若，，，求平面与平面所成角的余弦值.19．（17分）已知椭圆经过点A−2,0与点.(1)求椭圆的方程；(2)若直线与椭圆交于异于的，两点，且.①证明：直线过定点；②求的面积的最大值.高二月考数学答案题号12345678910答案DBDAABBCACDAD题号11答案BD（共13分）(1)(2)【详解】（1）设的方程为，由题意可得，解得，所以的方程为，化为标准方程可得.（2）由（1）可得圆心，半径，所以圆心到直线的距离为，且，因此的面积为.（共15分）(1)；(2).【详解】（1）由椭圆的焦距为，得半焦距，由椭圆的离心率为，得，则，所以椭圆的方程为.（2）由椭圆的离心率为，得，则，椭圆，由消去得：，，设，则，由，得，则，解得，符合题意，，，所以椭圆的长轴长为.（共15分）(1)(2)证明见解析【详解】（1）由题意可得，得，∴抛物线.（2）证明：，联立，得．由，得或，设，，则，，∴.（共17分）(1)证明见解析(2).【详解】（1）取的中点为，连接，.点，分别是，的中点，是的中位线，即，，在菱形中，，.，，即四边形为平行四边形，则，又平面，平面，平面.（2）连接，，，，，平面，平面，平面，又平面，，，又，则，所以.即直线，，两两垂直.如图，以为坐标原点建立空间直角坐标系，则，，，，，，，.设平面的法向量为n1=x1,y由得取.由得取.设平面与平面所成角为，则，即平面与平面所成角的余弦值为.19．（共17分）(1)(2)①证明见解析；②【详解】（1）设椭圆为，因为椭圆经过点A−2,0与点，所以，解得，所以椭圆的方程为.（2）①由（1）知，椭圆的方程为，设，不妨令在轴上方，则，假设直线斜率不存在，设直线方程为，联立方程，可得，所以解得或（舍去），所以直线方程为；假设斜率存在，设直线方程为，联立方程，得，所以，，由，可得，解得或，所以直线方程为或，所以直