专题06 分式方程解法应用（解析版）

试卷第=page66页，共=sectionpages2020页2024中考数学二轮复习全国通用版《中考数学必考题型特训》目录（代表当前专题）序号名称序号名称专题01实数的混合运算专题13全等三角形专题02代数式求值专题14相似三角形专题03分式专题15特殊四边形专题04一次方程(组)解法应用专题16圆的切线性质判定专题05一元二次方程解法应用专题17图形变换专题06分式方程解法应用专题18锐角三角函数应用专题07不等式（组）解法应用专题19统计与概率专题08一次函数与几何综合专题20作图问题专题09二次函数与几何综合专题21折叠问题专题10反比例函数与几何综合专题22数学材料阅读题专题11一次函数实际应用专题12二次函数实际应用熟能生巧，勤能补拙专题05 分式方程的解法应用考点内容考点详情考题形式考查概率分式方程解法应用分式方程的解法；解答题★★★2.分式方程的应用；解答题★★★题型1：分式方程的解法例题1：（2023·山西省中考）解方程：．【答案】【分析】去分母化为整式方程，求出方程的根并检验即可得出答案．【详解】解：原方程可化为．方程两边同乘，得．解得．检验：当时，．∴原方程的解是．题型2：分式方程的应用——购物问题例题2：（2023·江苏盐城市中考）某校举行“二十大知识学习竞赛”活动，老师让班长小华到商店购买笔记本作为奖品．甲、乙两家商店每本硬面笔记本比软面笔记本都贵3元（单价均为整数）．(1)若班长小华在甲商店购买，他发现用240元购买硬面笔记本与用195元购买软面笔记本的数量相同，求甲商店硬面笔记本的单价．(2)若班长小华在乙商店购买硬面笔记本，乙商店给出了硬面笔记本的优惠条件（软面笔记本单价不变）：一次购买的数量少于30本，按原价售出；不少于30本按软面笔记本的单价售出．班长小华打算购买本硬面笔记本（为正整数），他发现再多购买5本的费用恰好与按原价购买的费用相同，求乙商店硬面笔记本的原价．【答案】(1)甲商店硬面笔记本的单价为16元(2)乙商店硬面笔记本的原价18元【分析】（1）根据“硬面笔记本数量=软面笔记本数量”列出分式方程，求解检验即可；（2）设乙商店硬面笔记本的原价为a元，则软面笔记本的单价为元，由再多购买5本的费用恰好与按原价购买的费用相同可得，再根据且m，均为正整数，即可求解．【详解】（1）解：设硬面笔记本的单价为x元，则软面笔记本的单价为元，根据题意得，解得，经检验，是原方程的根，且符合题意，故甲商店硬面笔记本的单价为16元；（2）设乙商店硬面笔记本的原价为a元，则软面笔记本的单价为元，由题意可得，解得，根据题意得，解得，为正整数，，，，，，分别代入，可得，，，，，由单价均为整数可得，故乙商店硬面笔记本的原价18元．题型3：分式方程的应用——工程问题例题3：（2023·江苏南通）为推进全民健身设施建设，某体育中心准备改扩建一块运动场地．现有甲、乙两个工程队参与施工，具体信息如下：信息—工程队每天施工面积（单位：）每天施工费用（单位：元）甲3600乙x2200信息二甲工程队施工所需天数与乙工程队施工所需天数相等．(1)求x的值；(2)该工程计划先由甲工程队单独施工若干天，再由乙工程队单独继续施工，两队共施工22天，且完成的施工面积不少于．该段时间内体育中心至少需要支付多少施工费用?【答案】(1)x的值为600(2)该段时间内体育中心至少需要支付施工费用56800元【分析】（1）根据题意甲工程队施工所需天数与乙工程队施工所需天数相等列出分式方程解方程即可；（2）设甲工程队先单独施工天，体育中心共支付施工费用元，根据先由甲工程队单独施工若干天，再由乙工程队单独继续施工，两队共施工22天，且完成的施工面积不少于列出不等式即可得到答案．【详解】（1）解：由题意列方程，得．方程两边乘，得．解得．检验：当时，．所以，原分式方程的解为．答：x的值为600．（2）解：设甲工程队先单独施工天，体育中心共支付施工费用元．则．，．1400>0，随的增大而增大．当时，取得最小值，最小值为56800．答：该段时间内体育中心至少需要支付施工费用56800元．题型4：分式方程的应用——行程问题例题4：（2023·江苏徐州）随着2022年底城东快速路的全线通车，徐州主城区与东区之间的交通得以有效改善，如图某人乘车从徐州东站至戏马台景区，可沿甲路线或乙路线前往．已知甲、乙两条路线的长度均为，甲路线的平均速度为乙路线的倍，甲路线的行驶时间比乙路线少，求甲路线的行驶时间．【答案】甲路线的行驶时间为．【分析】设甲路线的行驶时间为，则乙路线的行驶事件为，根据“甲路线的平均速度为乙路线的倍”列分式方程求解即可．【详解】解：甲路线的行驶时间为，则乙路线的行驶事件为，由题意可得，，解得，经检验是原方程的解，∴甲路线的行驶时间为，答：甲路线的行驶时间为．题型5：分式方程的应用——方案问题例题5：（2023·内蒙古中考）某搬运公司计划购买A，B两种型号的机器搬运货物，每台A型机器比每台B型机器每天少搬运10吨货物，且每台A型机器搬运450吨货物与每台B型机器搬运500吨货物所需天数相同．(1)求每台A型机器，B型机器每天分别搬运货物多少吨？(2)每台A型机器售价1.5万元，每台B型机器售价2万元，该公司计划采购两种型号机器共30台，满足每天搬运货物不低于2880吨，购买金额不超过55万元，请帮助公司求出最省钱的采购方案．【答案】(1)每台A型机器，B型机器每天分别搬运货物90吨和100吨(2)当购买A型机器人12台，B型机器人18台时，购买总金额最低是54万元．【分析】（1）设每台B型机器每天搬运x吨，则每台A型机器每天搬运吨，根据题意列出分式方程，解方程、检验后即可解答；（2设公司计划采购A型机器m台，则采购B型机器台，再题意列出一元一次不等式组，解不等式组求出m的取值范围，再列出公司计划采购A型机器m台与采购支出金额w的函数关系式，最后利用一次函数的增减性求最值即可．【详解】（1）解：设每台B型机器每天搬运x吨，则每台A型机器每天搬运吨，由题意可得：，解得：经检验，是分式方程的解每台A型机器每天搬运吨答：每台A型机器，B型机器每天分别搬运货物90吨和100吨（2）解：设公司计划采购A型机器m台，则采购B型机器台由题意可得：，解得：，公司采购金额：∵∴w随m的增大而减小∴当时，公司采购金额w有最小值，即，∴当购买A型机器人12台，B型机器人18台时，购买总金额最低是54万元． 解分式方程：．【答案】【分析】方程两边同时乘以，将分式方程化为整式方程，再求解即可．【详解】，经检验，是原方程的根，故原方程的解为：．解分式方程：．【答案】【分析】去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．【详解】解：去分母得，移项，合并得，检验：当时，，所以原分式方程的解为．解方程：．【答案】【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到的值，经检验即可得到分式方程的解．【详解】解：方程两边同乘，得，整理得，，∴，解得：，，检验：当时，，是增根，当时，，原方程的解为．解方程：．【答案】【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．【详解】解：方程两边同乘，得，解得，检验：当时，，所以，原分式方程的解为．解方程：【答案】【分析】先方程两边同时乘以，化成整式方程求解，然后再检验分母是否为0即可．【详解】解：方程两边同时乘以得到：，解出：，当时分式方程的分母不为0，∴分式方程的解为：．解方程：．【答案】原方程无解【分析】方程两边同时乘以最简公分母，先去分母，化为整式方程，再去括号、移项、合并同类项、化系数为1，最后验根即可．【详解】解：方程两边同时乘以最简公分母，得解方程，得检验：当时，，不是原方程的根，原方程无解．解方程：．【答案】【分析】两边同时乘以公分母，先去分母化为整式方程，计算出x，然后检验分母不为0，即可求解．【详解】，，解得，经检验是原方程的解，故原方程的解为：解分式方程：．【答案】【分析】先去分母，再移项，合并同类项，未知数系数化1，最后检验方程的根即可．【详解】解：去分母得，移项并合并同类项得，解得，经检验，是原方程的解，∴原分式方程的解是．解方程：．【答案】【分析】根据解分式方程的步骤求出解，再检验即可．【详解】方程两边同乘以，得．解方程，得．经检验，是原方程的解．解方程：；【答案】（1）；（2）【分析】（1）先去分母，再移项合并同类项，解出x的值，再对所求的根进行检验即可；（2）分别解每一个不等式，再求不等式组的解集即可．【详解】解：（1）方程两边同时乘以，得，解得，检验：当时，，∴是原方程的解；（2），解不等式①，得，解不等式②，得，∴原不等式组的解集是．解方程：．【答案】（1）；（2）【分析】（1）先根据完全平方公式和平方差公式进行计算，再合并同类项即可；（2）方程两边都乘得出，求出方程的解，再进行检验即可．【详解】解：（1）；（2），方程两边都乘，得，解得：，检验：当时，，所以分式方程的解是．解方程：．【答案】（1），1；（2）【分析】（1）首先利用完全平方公式和平方差公式计算，然后合并同类项，最后代入求解即可；（2）根据解分式方程的一般步骤进行求解即可．【详解】解：（1）原式．当时，原式．

（2）方程两边乘，得．解得．检验：将代入，∴是原方程的根．解分式方程：．【答案】（1）；（2）【分析】（1）根据多项式除以单项式及单项式乘以多项式可进行求解；（2）根据分式方程的解法可进行求解．【详解】（1）解：原式；（2）解：两边乘以，得．解得：．检验，将代入．∴是原分式方程的解．解方程：．【答案】【分析】去分母化为整式方程，求出方程的根并检验即可得出答案．【详解】解：原方程可化为．方程两边同乘，得．解得．检验：当时，．∴原方程的解是．解方程：；【答案】（1）；（2）【分析】（1）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解；（2）分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分即可．【详解】（1）解：方程两边同时乘以，得，，．得．检验：当时，，所以是原方程的解；（2）解：，解不等式①，得．解不等式②，得．所以原不等式组的解集是．解方程：．【答案】【分析】根据解分式方程的步骤解方程即可．【详解】解：方程两边同乘以，去分母，得解这个整式方程，得检验：把代入，得∴是原方程的解．解方程：【答案】【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．【详解】解：两边同时乘以得：解得：经检验，是原方程的解∴原方程的解为，解方程：．【答案】【分析】方程两边同时乘以x﹣2，再解整式方程得x＝4，经检验x＝4是原方程的根．【详解】解：方程两边同时乘以x﹣2得，，解得：检验：当时，，∴是原方程的解，∴原方程的解为x＝4．解方程：+1＝．【答案】（1）x（x+3）（x-3）；（2）x=-1【分析】（1）先提取公因式x，再利用平方差公式分解因式即可；（2）先将分式方程化简为整式方程，再求解检验即可．【详解】解：（1）原式=x（x2-9）=x（x+3）（x-3），（2）等式两边同时乘以（x-2）得2x+x-2=-5，移项合并同类项得3x=-3，系数化为1得x=-1检验：当x=-1时，x-2，∴x=-1是原分式方程的解．解分式方程：．【答案】（1）；（2）【分析】（1）先分别化简二次根式，零指数幂，有理数的乘方，特殊角三角函数值，然后再计算；（2）将分式方程转化为整式方程，然后解方程，注意分式方程的结果要进行检验．【详解】解：（1）原式；（2）整理，得：，方程两边同时乘以，得：，解得：，检验：当时，，是原分式方程的解．21．2022年8月27日至29日，以“新能源、新智造、新时代”为主题的世界清洁能源装备大会在德阳举行．大会聚焦清洁能源装备产业发展热点和前瞻性问题，着力实现会展聚集带动产业聚集．其中德阳清洁能源装备特色小镇位于德阳经济技术开发区，规划面积平方公里，计划2025年基本建成．若甲、乙两个工程队计划参与修建“特色小镇”中的某项工程，已知由甲单独施工需要18个月完成任务，若由乙先单独施工2个月，再由甲、乙合作施工10个月恰好完成任务．承建公司每个月需要向甲工程队支付施工费用8万元，向乙工程队支付施工费用5万元．(1)乙队单独完工需要几个月才能完成任务？(2)为保证该工程在两年内完工，且尽可能的减少成本，承建公司决定让甲、乙两个工程队同时施工，并将该工程分成两部分，甲队完成其中一部分工程用了a个月，乙队完成另一部分工程用了b个月，已知甲队施工时间不超过6个月，乙队施工时间不超过24个月，且a，b为正整数，则甲乙两队实际施工的时间安排有几种方式？哪种安排方式所支付费用最低？【答案】(1)乙队单独完工需要27个月才能完成任务．(2)甲乙两队实际施工的时间安排有3种方式，安排甲工作2个月，乙工作24个月，费用最低为万元．【分析】（1）设乙单独完成需要个月，由“乙先单独施工2个月，再由甲、乙合作施工10个月恰好完成任务．”建立分式方程求解即可；（2）由题意可得：，可得，结合，，可得，结合都为正整数，可得为3的倍数，可得甲乙两队实际施工的时间安排有3种方式，从而可得答案．【详解】（1）解：设乙单独完成需要个月，则，解得：，经检验是原方程的解且符合题意；答：乙队单独完工需要27个月才能完成任务．（2）由题意可得：，∴，∴，∵，，∴，解得：，∵都为正整数，∴为3的倍数，∴或或，∴甲乙两队实际施工的时间安排有3种方式，方案①：安排甲工作6个月，乙工作18个月，费用为：（万元），方案②：安排甲工作4个月，乙工作21个月，费用为：（万元），方案③：安排甲工作2个月，乙工作24个月，费用为：（万元），∴安排甲工作2个月，乙工作24个月，费用最低为万元．22．某商场欲购进A和B两种家电，已知B种家电的进价比A种家电的进价每件多100元，经计算，用1万元购进A种家电的件数与用1.2万元购进B种家电的件数相同．请解答下列问题：(1)这两种家电每件的进价分别是多少元？(2)若该商场欲购进两种家电共100件，总金额不超过53500元，且A种家电不超过67件，则该商场有哪几种购买方案？(3)在（2）的条件下，若A和B两种家电的售价分别是每件600元和750元，该商场从这100件中拿出两种家电共10件奖励优秀员工，其余家电全部售出后仍获利5050元，请直接写出这10件家电中B种家电的件数．【答案】(1)A种家电每件的进价为500元，B种家电每件的进价为600元(2)共有三种购买方案，方案一：购进A种家电65件，B种家电35件，方案二：购进A种家电66件，B种家电34件，方案三：购进A种家电67件，B种家电33件(3)这10件家电中B种家电的件数4件【分析】（1）根据题意设A种家电每件进价为x元，B种家电每件进价为元，建立分式方程求解即可；（2）设购进A种家电a件，购进B种家电件，建立不等式，求解不等式，选择符合实际的解即可；（3）设A种家电拿出件，则B种家电拿出件，根据题意，建立一元一次方程求解即可．【详解】（1）设A种家电每件进价为x元，B种家电每件进价为元．根据题意，得．解得．经检验是原分式方程的解．．答：A种家电每件的进价为500元，B种家电每件的进价为600元；（2）设购进A种家电a件，购进B种家电件．根据题意，得．解得．，．

为正整数，，则，共有三种购买方案，方案一：购进A种家电65件，B种家电35件，方案二：购进A种家电66件，B种家电34件，方案三：购进A种家电67件，B种家电33件；（3）解：设A种家电拿出件，则B种家电拿出件，根据（1）和（2）及题意，当购进A种家电65件，B种家电35件时，得：，整理得：，解得：，不符合实际；当购进A种家电66件，B种家电34件时，得：，整理得：，解得：，不符合实际；当购进A种家电67件，B种家电33件时，得：，整理得：，解得：，符合实际；则B种家电拿出件．23．某大型超市购进一款热销的消毒洗衣液，由于原材料价格上涨，今年每瓶洗衣液的进价比去年每瓶洗衣液的进价上涨4元，今年用1440元购进这款洗衣液的数量与去年用1200元购进这款洗衣液的数量相同．当每瓶洗衣液的现售价为36元时，每周可卖出600瓶，为了能薄利多销．该超市决定降价销售，经市场调查发现，这种洗衣液的售价每降价1元，每周的销量可增加100瓶，规定这种消毒洗衣液每瓶的售价不低于进价．(1)求今年这款消毒洗衣液每瓶进价是多少元；(2)当这款消毒洗衣液每瓶的售价定为多少元时，这款洗衣液每周的销售利润最大？最大利润是多少元？【答案】(1)今年这款消毒洗衣液每瓶进价是24元；(2)当这款消毒洗衣液每瓶的售价定为33元时，这款洗衣液每周的销售利润最大，最大利润是8100元．【分析】（1）设今年这款消毒洗衣液每瓶进价是x元，则去年这款消毒洗衣液每瓶进价是元，根据题意列出分式方程，解方程即可；（2）设这款消毒洗衣液每瓶的售价定为m元时，这款洗衣液每周的销售利润w最大，根据题意得出：，根据二次函数的性质可得出答案．【详解】（1）解：设今年这款消毒洗衣液每瓶进价是x元，则去年这款消毒洗衣液每瓶进价是元，根据题意可得：，解得：，经检验：是方程的解，元，答：今年这款消毒洗衣液每瓶进价是24元.（2）解：设这款消毒洗衣液每瓶的售价定为m元时，这款洗衣液每周的销售利润w最大，根据题意得出：，整理得：，根据二次函数的性质得出：当时，利润最大，最大利润为：，答：当这款消毒洗衣液每瓶的售价定为33元时，这款洗衣液每周的销售利润最大，最大利润是8100元．24．某搬运公司计划购买A，B两种型号的机器搬运货物，每台A型机器比每台B型机器每天少搬运10吨货物，且每台A型机器搬运450吨货物与每台B型机器搬运500吨货物所需天数相同．(1)求每台A型机器，B型机器每天分别搬运货物多少吨？(2)每台A型机器售价1.5万元，每台B型机器售价2万元，该公司计划采购两种型号机器共30台，满足每天搬运货物不低于2880吨，购买金额不超过55万元，请帮助公司求出最省钱的采购方案．【答案】(1)每台A型机器，B型机器每天分别搬运货物90吨和100吨(2)当购买A型机器人12台，B型机器人18台时，购买总金额最低是54万元．【分析】（1）设每台B型机器每天搬运x吨，则每台A型机器每天搬运吨，根据题意列出分式方程，解方程、检验后即可解答；（2设公司计划采购A型机器m台，则采购B型机器台，再题意列出一元一次不等式组，解不等式组求出m的取值范围，再列出公司计划采购A型机器m台与采购支出金额w的函数关系式，最后利用一次函数的增减性求最值即可．【详解】（1）解：设每台B型机器每天搬运x吨，则每台A型机器每天搬运吨，由题意可得：，解得：经检验，是分式方程的解每台A型机器每天搬运吨答：每台A型机器，B型机器每天分别搬运货物90吨和100吨（2）解：设公司计划采购A型机器m台，则采购B型机器台由题意可得：，解得：，公司采购金额：∵∴w随m的增大而减小∴当时，公司采购金额w有最小值，即，∴当购买A型机器人12台，B型机器人18台时，购买总金额最低是54万元．25．“六一”儿童节将至，张老板计划购买A型玩具和B型玩具进行销售，若用1200元购买A型玩具的数量比用1500元购买B型玩具的数量多20个，且一个B型玩具的进价是一个A型玩具进价的1.5倍．(1)求A型玩具和B型玩具的进价分别是多少？(2)若A型玩具的售价为12元/个，B型玩具的售价为20元/个，张老板购进A，B型玩具共75个，要使总利润不低于300元，则A型玩具最多购进多少个？【答案】(1)A型，B型玩具的单价分别是10元/个，15元/个(2)最多可购进A型玩具25个【分析】（1）设型玩具的单价为元/件．依题意列出分式方程，进行求解；（2）根据题意列出不等式进行求解即可．【详解】（1）设型玩具的单价为元/件．由题意得：，解得：经检验，是原方程的解B型玩具的单价为元/个∴A型，B型玩具的单价分别是10元/个，15元/个．（2）设购进A型玩具个．解得：∴最多可购进A型玩具25个．26．为加快公共领域充电基础设施建设，某停车场计划购买A，B两种型号的充电桩．已知A型充电桩比B型充电桩的单价少万元，且用万元购买A型充电桩与用万元购买B型充电桩的数量相等．(1)A，B两种型号充电桩的单价各是多少？(2)该停车场计划共购买个A，B型充电桩，购买总费用不超过万元，且B型充电桩的购买数量不少于A型充电桩购买数量的．问：共有哪几种购买方案？哪种方案所需购买总费用最少？【答案】(1)A型充电桩的单价为万元，B型充电桩的单价为万元(2)共有三种方案：方案一：购买A型充电桩个，购买B型充电桩个；方案二：购买A型充电桩个，购买B型充电桩个；方案三：购买A型充电桩个，购买B型充电桩个；方案三总费用最少．【分析】（1）根据“用万元购买A型充电桩与用万元购买B型充电桩的数量相等”列分式方程求解；（2）根据“购买总费用不超过万元，且B型充电桩的购买数量不少于A型充电桩购买数量的”列不等式组确定取值范围，从而分析计算求解【详解】（1）解：设B型充电桩的单价为万元，则A型充电桩的单价为万元，由题意可得：,解得，经检验：是原分式方程的解，，答：A型充电桩的单价为万元，B型充电桩的单价为万元；（2）解：设购买A型充电桩个，则购买B型充电桩个，由题意可得：，解得，∵须为非负整数，∴可取，，，∴共有三种方案：方案一：购买A型充电桩个，购买B型充电桩个，购买费用为（万元）；方案二：购买A型充电桩个，购买B型充电桩个，购买费用为（万元）；方案三：购买A型充电桩个，购买B型充电桩个，购买费用为（万元），∵∴方案三总费用最少．27．荆州古城旁“荆街”某商铺打算购进，两种文创饰品对游客销售．已知1400元采购种的件数是630元采购种件数的2倍，种的进价比种的进价每件多1元，两种饰品的售价均为每件15元；计划采购这两种饰品共600件，采购种的件数不低于390件，不超过种件数的4倍．(1)求，饰品每件的进价分别为多少元？(2)若采购这两种饰品只有一种情况可优惠，即一次性采购种超过150件时，种超过的部分按进价打6折．设购进种饰品件，①求的取值范围；②设计能让这次采购的饰品获利最大的方案，并求出最大利润．【答案】(1)种饰品每件进价为10元，B种饰品每件进价为9元；(2)①且为整数，②当采购种饰品210件，B种饰品390件时，商铺获利最大，最大利润为3630元．【分析】（1）分别设出，饰品每件的进价，依据数量列出方程求解即可；（2）①依据题意列出不等式即可；②根据不同的范围，列出不同函数关系式，分别求出最大值，比较即可得到李荣最大值．【详解】（1）（1）设种饰品每件的进价为元，则B种饰品每件的进价为元．由题意得：，解得：，经检验，是所列方程的根，且符合题意．种饰品每件进价为10元，B种饰品每件进价为9元．（2）①根据题意得：，解得：且为整数；②设采购种饰品件时的总利润为元．当时，，即，，随的增大而减小．当时，有最大值3480．当时，整理得：，，随的增大而增大．当时，有最大值3630．，的最大值为3630，此时．即当采购种饰品210件，B种饰品390件时，商铺获利最大，最大利润为3630元．28．水碧万物生，岳阳龙虾好．小龙虾产业已经成为岳阳乡村振兴的“闪亮名片”．已知翠翠家去年龙虾的总产量是，今年龙虾的总产量是，且去年与今年的养殖面积相同，平均亩产量去年比今年少，求今年龙虾的平均亩产量．【答案】今年龙虾的平均亩产量．【分析】设今年龙虾的平均亩产量是x，则去年龙虾的平均亩产量是，根据去年与今年的养殖面积相同列出分式方程，解方程并检验即可．【详解】解：设今年龙虾的平均亩产量是x，则去年龙虾的平均亩产量是，由题意得，，解得，经检验，是分式方程的解且符合题意，答：今年龙虾的平均亩产量．29．端午节是我国入选世界非物质文化遗产的传统节日，端午节吃粽子是中华民族的传统习俗．某超市为了满足人们的需求，计划在端午节前购进甲、乙两种粽子进行销售，经了解．每个乙种粽子的进价比每个甲种粽子的进价多2元，用1000元购进甲种粽子的个数与用1200元购进乙种粽子的个数相同．(1)甲、乙两种粽子每个的进价分别是多少元？(2)该超市计划购进这两种粽子共200个（两种都有），其中甲种粽子的个数不低于乙种粽子个数的2倍，若甲、乙两种粽子的售价分别为12元/个、15元/个，设购进甲种粽子m个，两种粽子全部售完时获得的利润为w元．①求w与m的函数关系式，并求出m的取值范围；②超市应如何进货才能获得最大利润，最大利润是多少元？【答案】(1)甲粽子每个的进价为10元，则乙粽子每个的进价为12元；(2)①w与m的函数关系式为；②购进甲粽子134个，乙粽子66个才能获得最大利润，最大利润为466元．【分析】（1）设甲粽子每个的进价为x元，则乙粽子每个的进价为元，根据“用1000元购进甲种粽子的个数与用1200元购进乙种粽子的个数相同”列出分式方程，解方程即可；（2）①设购进甲粽子m个，则乙粽子个，，由题意得，再由甲种粽子的个数不低于乙种粽子个数的2倍，得；②由一次函数的性质即可得出结论．【详解】（1）解：设甲粽子每个的进价为x元，则乙粽子每个的进价为元，由题意得：，解得：，经检验：是原方程的解，且符合题意，则，答：甲粽子每个的进价为10元，则乙粽子每个的进价为12元；（2）解：①设购进甲粽子m个，则乙粽子个，利润为w元，由题意得：，∵甲种粽子的个数不低于乙种粽子个数的2倍，∴，解得：，∴w与m的函数关系式为；②∵，则w随m的增大而减小，，即m的最小整数为134，∴当时，w最大，最大值，则，答：购进甲粽子134个，乙粽子66个才能获得最大利润，最大利润为466元．30．端午节是中国传统节日，人们有吃粽子的习俗．今年端午节来临之际，某商场预测A粽子能够畅销．根据预测，每千克A粽子节前的进价比节后多2元，节前用240元购进A粽子的数量比节后用相同金额购进的数量少4千克．根据以上信息，解答下列问题：(1)该商场节后每千克A粽子的进价是多少元？(2)如果该商场在节前和节后共购进A粽子400千克，且总费用不超过4600元，并按照节前每千克20元，节后每千克16元全部售出，那么该商场节前购进多少千克A粽子获得利润最大？最大利润是多少？【答案】(1)节后每千克A粽子的进价为10元(2)节前购进300千克A粽子获得利润最大，最大利润为3000元【分析】（1）设节后每千克A粽子的进价为x元，则每千克A粽子节前的进价为元，根据节前用240元购进A粽子的数量比节后用相同金额购进的数量少4千克，列出方程，解方程即可；（2）设该商场节前购进m千克A粽子，则节后购进千克A粽子，获得的利润为w元，根据利润售价进价列出关系式，根据总费用不超过4600元，求出m的范围，根据一次函数函数增减性，求出最大利润即可．【详解】（1）解：设节后每千克A粽子的进价为x元，则每千克A粽子节前的进价为元，根据题意得：，解得：，，经检验，都是原方程的解，但不符合实际舍去，答：节后每千克A粽子的进价为10元．（2）解：设该商场节前购进m千克A粽子，则节后购进千克A粽子，获得的利润为w元，根据题意得：，∵，∴，∵，∴w随m的增大而增大，∴当时，w取最大值，且最大值为：，答：节前购进300千克A粽子获得利润最大，最大利润为3000元．-45分钟一、解方程（共10小题）1．解下列分式方程：(1)； (2)．【答案】(1)原分式方程的解为(2)原方程无解【分析】本题考查了解分式方程，（1）根据等式的性质，可得整式方程，然后解整式方程，可得答案；（2）根据等式的性质，可得整式方程，然后解整式方程，可得答案；利用等式的性质得出整式方程是解题关键．【详解】（1）方程两边同乘得：整理得：解方程得：，把代入最简公分母中检验得，∴原分式方程的解为．（2）方程两边同乘得：整理得：解方程得：，把代入最简公分母中检验得，∴是方程的增根，舍去，∴原方程无解．2．解下列方程(1) (2)【答案】(1)原分式方程无解(2)【分析】此题考查了解分式方程，掌握转化思想，把分式方程转化为整式方程求解是解题的关键．（1）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到的值，经检验即可得到分式方程的解；（2）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到的值，经检验即可得到分式方程的解．【详解】（1）解：方程两边乘，得，解得：，检验：当时，，故是增根，原方程无解；（2）解：原方程去分母得：，解得：，检验：当时，，故原方程的解为．3．解分式方程∶(1) (2)【答案】(1)(2)【分析】本题主要考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的一般步骤，并记住要检验是解本题的关键．（1）首先去分母，把分式方程化为整式方程，解出整式方程，再将所求的解代入最简公分母中检验，即可得解；（2）首先去分母，把分式方程化为整式方程，解出整式方程，再将所求的解代入最简公分母中检验，即可得解．【详解】（1）解：原方程可化为方程两边乘，得解得．检验：当时，，所以，原分式方程的解为．（2）解：原方程可化为方程两边乘，得解得检验：当时，，所以，原分式方程的解为4．解下列方程：(1)； (2)；【答案】(1)是原方程的解；(2)原方程无解；【分析】本题考查的是解分式方程，掌握分式方程的解法和步骤是解题关键．（1）先去分母化为整式方程后，再解整式方程及检验即可解方程；（2）先去分母化为整式方程后，再解整式方程及检验即可解方程．【详解】（1）解：；解：，，，经检验，是原方程的解；（2）解：；解：，，，经检验，是原方程的增根，所以原方程无解；5．解分式方程(1) (2)【答案】(1)无解(2)【分析】本题考查了解分式方程，（1）方程两边同乘以，化为整式方程进行求解，然后进行检验，即可求解；（2）方程两边同乘以，化为整式方程进行求解，然后进行检验，即可求解；掌握解题步骤，检验根的正确性是解题的关键．【详解】（1）解：方程两边同时乘以得：，解得：，检验：当时，，是原方程的增根，故原方程无解．（2）方程两边同时乘以得：，解得：，检验：当时，，是原方程的根．6．解方程：(1)； (2)．【答案】(1)(2)无解【分析】本题主要考查解分式方程，解题的关键是掌握解分式方程的步骤：①去分母；②求出整式方程的解；③检验；④得出结论．（1）方程左右两边同乘最简公分母，转化成一元一次方程求解并检验；（2）方程左右两边同乘最简公分母，转化成一元一次方程求解并检验．【详解】（1）去分母得，检验：将代入∴原方程的解为；（2）去分母得，检验：将代入∴是原方程的增根，∴原方程无解．7．解方程：(1)； (2)．【答案】(1)(2)【分析】本题考查了解分式方程，解题的关键是解分式方程注意要检验．（1）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到的值，经检验即可得到分式方程的解；（2）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到的值，经检验即可得到分式方程的解．【详解】（1）解：去分母得：，去括号得：，移项、合并同类项得：，检验：把代入得：，分式方程的解为，检验：把代入得：，分式方程的解为；（2）解：去分母得：，去括号得：，移项得：，合并同类项得：，解得：，检验：把代入得：，分式方程的解为．8．解方程：(1)； (2)．【答案】(1)无解(2)【分析】本题考查解分式方程：（1）方程两边同时乘，化为整式方程，求出解后代入检验即可；（2）方程两边同时乘，化为整式方程，求出解后代入检验即可．【详解】（1）解：方程两边同时乘，得解得．检验：当时，．所以是原方程的增根，应舍去．所以原方程无解．（2）解：原方程可化为方程两边同时乘，得解得．经检验：是原方程的解．9．解分式方程：(1)； (2)．【答案】(1)(2)【分析】本题考查解分式方程，（1）根据解方式方程的方法及步骤解分式方程，经检验后即可得出结论；（2）根据解方式方程的方法及步骤解分式方程，经检验后即可得出结论；熟练掌握解分式方程的方法及步骤是解题的关键．【详解】（1）解：在方程两边同乘以，得：，解得：，检验：把代入得：，∴原分式方程的解为；（2）解：在方程两边同乘以，得：，解得：，检验：把代入得：，∴原分式方程的解为．10．解分式方程：(1)； (2)．【答案】(1)；(2)分式方程无解．【分析】此题考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的步骤尤其不要忘记检验是解题的关键．（1）去分母化为整式方程，解整式方程，检验后即可得到答案；（2）去分母化为整式方程，解整式方程，检验后即可得到答案；【详解】（1）去分母得，，解得，经检验，是分式方程的解；（2）去分母得，，整理得，解得，当时，，∴是增根，∴原分式方程无解．二、分式方程应用11．2024年是中国农历甲辰龙年．春节前，市面上流行A和B两款“龙公仔”布偶，某商场用4000元购进一批A款“龙公仔”，用12000元购进一批B款“龙公仔”，两批共300个，每件B款“龙公仔”的进价是A款“龙公仔”的1.5倍．(1)该商场购A款“龙公仔”和B款“龙公仔”每件的进价分别是多少元？(2)如果两款“龙公仔”按进价的1.5倍标价销售，A款“龙公仔”很快售完，那么B款“龙公仔”至少要售出多少件后，剩余按五折优惠售出，才能使两款“龙公仔”全部售完总利润不低于5750元（不考虑其他因素）？【答案】(1)A款“龙公仔”每件的进价是40元，B款“龙公仔”每件的进价是60元(2)150件【分析】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）找出数量关系，正确列出一元一次不等式．（1）设A款“龙公仔”每件的进价是x元，则B款“龙公仔”每件的进价是元，根据某商场用4000元购进一批A款“龙公仔”，用12000元购进一批B款“龙公仔”，两批共300个，列出分式方程，解方程即可；（2）设B款“龙公仔”售出m件后，剩余按五折优惠售出，才能使两款“龙公仔”全部售完总利润不低于5750元，根据两款“龙公仔”全部售完总利润不低于5750元，列出一元一次不等式，解不等式即可．【详解】（1）设A款“龙公仔”每件的进价是x元，则B款“龙公仔”每件的进价是1.5x元，根据题意，得，解得：，经检验，是原分式方程的解，∴（元），答：A款“龙公仔”每件的进价是40元，B款“龙公仔”每件的进价是60元；（2）由（1）可得，该商场购买A款“龙公仔”的件数是（件），则购买B款“龙公仔”的件数是（件），设B款“龙公仔”售出m件后，剩余按五折优惠售出，才能使两款“龙公仔”全部售完总利润不低于5750元，根据题意，得，解得：，答：B款“龙公仔”至少要售出150件后，剩余按五折优惠售出，才能使两款“龙公仔”全部售完总利润不低于5750元．12．甲乙两组要加工一批零件，乙组每小时加工的零件数比甲的2倍少200个，甲组加工2000个零件与乙组加工3000个零件时间相同．(1)甲乙两组每小时各加工多少个零件？(2)由于突发情况，甲乙两组需要加急完成13600个零件的加工任务．因此，甲组每小时比之前多加工60个零件，乙组每小时加工的零件个数也比之前增加了，即便如此，也需要m个小时才能完成任务，求m的值．【答案】(1)甲每小时加工的零件数为个，乙组每小时加工的零件数为个(2)m的值为10【分析】本题考查了分式方程的应用，一元一次方程的应用，根据题意列出方程是解题的关键．（1）设甲每小时加工的零件数为个，则乙组每小时加工的零件数为个，根据题意列出分式方程，解方程即可求解；（2）分别表示出甲、乙每小时的加工的零件数量，根据题意，列出一元一次方程即可求解．【详解】（1）解：设甲每小时加工的零件数为个，则乙组每小时加工的零件数为个，根据题意得：，解得：，经检验，是原方程的解，∴（个）；答：甲每小时加工的零件数为个，乙组每小时加工的零件数为个；（2）解：依题意得：，解得：，答：m的值为10．13．一款关于初中生成长的图书十分畅销，某书店第一次批发1800元这种图书（批发价是按书定价4折确定），几天内销售一空，又紧急去市场再购1800元这种图书．因为第二次批发正赶上举办图书艺术节，每本批发价比第一次降低了，这样所购该图书数量比第一次多20本．(1)书店第二次批发了多少本图书？(2)如果书店两次均按该书定价7折出售，试问该书店这两次售书总共获利多少元？【答案】(1)第二次批发了200本图书(2)该书店这两次售书总共获利3050元【分析】本题主要考查由实际问题抽象出分式方程的知识点，列方程解应用题的关键步骤在于找相等关系．找到关键描述语，找到等量关系是解决问题的关键．（1）关键描述语是：“每本批发价比第一次降低了”；等量关系为：所购该图书数量比第一次多20本，根据等量关系列式；（2）根据两次获利之和解答即可．【详解】（1）解：设第一次购书的进价为x元，可得：，解得：，经检验是原方程的解，所以，第二次购书的进价为元，第一次购书：（本），第二次购书：（本）答：第二次批发了200本图书；（2）解：每本书定价是：（元），两次获利：（元），答：该书店这两次售书总共获利3050元．14．列分式方程解应用题：某超市的一种瓶装饮料每箱售价为36元，五一期间对该瓶装饮料进行促销活动，买一箱送两瓶，这相当于每瓶按原价九折销售，求这家超市销售的这种饮料每箱多少瓶？【答案】这家超市销售这种饮料每箱18瓶【分析】本题考查了分式方程的应用，设品牌饮料每箱瓶，根据“买一箱送两瓶，这相当于每瓶按原价九折销售”列方程求解即可，根据题意找出等量关系是解题的关键．【详解】解：设品牌饮料每箱瓶，则依据题意得：解得：经检验：是原方程的解答：这家超市销售这种饮料每箱18瓶．15．今年我县腊肉一上市，腊肉店的王老板用3600元购进一批腊肉，很快售完；老板又用7800元购进第二批腊肉，所购件数是第一批的2倍，但进价比第一批每件多了5元．(1)第一批腊肉每件进价多少元？(2)王老板以每件100元的价格销售第二批腊肉，售出后，为了尽快售完，决定打折促销，要使第二批腊肉的销售利润不少于3480元，剩余的腊肉每件售价最少打几折？（利润售价进价）【答案】(1)第一批腊肉每件进价为60元(2)剩余的腊肉每件售价最少打8折【分析】本题考查了分式方程的实际应用，一元一次不等式的实际应用．（1）设第一批腊肉每件进价为x元，则第二批腊肉每件进价为元，根据“第二批腊肉所购件数是第一批的2倍”列分式方程求解即可；（2）设剩余的腊肉每件售价打y折，根据利润售价进价，列一元一次不等式求解即可．【详解】（1）解：设第一批腊肉每件进价为x元，则第二批腊肉每件进价为元，由题意得：，解得：，经检验，是原方程的解，且符合题意，答：第一批腊肉每件进价为60元；（2）解：设剩余的腊肉每件售价打y折，根据题意得：，解得：，答：剩余的腊肉每件售价最少打8折．16．为落实“双减政策”，某校购进“红色教育”和“传统文化”两种经典读本，花费分别是元和元，已知“红色教育”经典读本的订购单价是“传统文化”经典读本的订购单价的倍，并且订购的“红色教育”经典读本的数量比“传统文化”经典读本的数量多本．(1)求该学校订购的两种经典读本的单价分别是多少元；(2)该学校拟计划再订购这两种经典读本共本，总费用不超过元，则至少购进“传统文化”经典读本多少本？【答案】(1)订购的“传统文化”经典读本的单价为元，则订购的“红色教育”经典读本的单价为元(2)至少购进“传统文化”经典读本本【分析】本题考查了分式方程的应用及一元一次不等式的应用：（1）设订购的“传统文化”经典读本的单价为元，则订购的“红色教育”经典读本的单价为关系列出一元一次不等式并解不等式即可求解；（2）理清题意，根据等量关系列出方程及不等关系列出一元一次不等式是解题的关键．【详解】（1）解：设订购的“传统文化”经典读本的单价为元，则订购的“红色教育”经典读本的单价为元，依题意得：，解得：，经检验，是原方程的解，且符合题意，（元），答：订购的“传统文化”经典读本的单价为元，则订购的“红色教育”经典读本的单价为元．（2）设购进“传统文化”经典读本本，则购进“红色教育”经典读本本，依题意得：，解得：，答：至少购进“传统文化”经典读本本．17．某校为迎接市中学生田径运动会需准备240面彩旗．计划由八年级一班的3个小组完成此任务，3个小组的人数相等．后因1个小组另有任务，剩余2个小组的每名学生要比原计划多做4面彩旗才能完成任务，那么每个小组有多少名学生？原计划每名学生做多少面彩旗？冰冰：；庆庆：．根据以上信息，解答下列问题(1)冰冰同学所列方程中的表示______．庆庆同学所列方程中的表示______；(2)请你选择其中一个方程解决提出的问题．【答案】(1)每个小组学生的人数，原计划每名学生做的彩旗数(2)每个小组有名学生，原计划每名学生做面彩旗【分析】本题考查了分式方程的应用，理解题意，找准等量关系，正确列出分式方程是解此题的关键．（1）根据所列方程中的未知数表示的实际意义即可