简单线性规划课件北师大版必修

简单线性规划线性规划是数学规划的一个分支，它是指在给定线性约束条件下，求解目标函数的最优解。简单线性规划是指线性规划问题中，目标函数和约束条件都是线性函数。什么是线性规划数学模型线性规划是一种数学模型，用于解决在有限的资源条件下，如何最有效地利用这些资源来实现目标。优化问题线性规划问题通常涉及优化某个目标函数，例如最大化利润或最小化成本。2.线性规划的基本要素目标函数线性规划问题中要优化的目标，通常是一个关于决策变量的线性函数，表示利润、成本、产量等指标。约束条件线性规划问题中决策变量需要满足的限制条件，通常用线性不等式或等式表示，例如资源限制、需求限制等。决策变量线性规划问题中需要确定的变量，通常表示生产量、投资额、运输量等，是模型的核心。目标函数定义目标函数是线性规划问题中要优化的表达式，它反映了决策变量的线性组合。作用目标函数用于衡量决策方案的优劣程度，例如利润最大化、成本最小化等。形式目标函数通常表示为决策变量的线性组合，系数表示每个变量对目标函数的影响程度。约束条件资源限制约束条件代表问题中的限制因素，例如，生产资源、时间或预算等。数学表达约束条件通常以线性不等式或等式表示，反映了问题中可用的资源限制。线性规划问题的一般形式1目标函数目标函数是线性规划问题需要最大化或最小化的函数，表示决策变量的线性组合。2约束条件约束条件是线性不等式或等式，限制决策变量的取值范围，确保决策方案的可行性。3决策变量决策变量是需要确定其最优值的未知数，代表着决策方案中需要选择的方案。线性规划问题的一般形式最大化目标函数优化问题通常涉及找到最大利润、最小成本或最大效率等目标。最小化目标函数通过最小化成本、风险或资源消耗来实现优化目标。线性规划问题的一般形式1目标函数目标函数代表了我们希望最大化或最小化的目标，例如利润、成本或资源使用量。2约束条件约束条件限制了决策变量的取值范围，例如资源限制、生产能力限制或市场需求限制。4.线性规划的解可行解满足所有约束条件的解称为可行解。最优解在所有可行解中，使得目标函数取得最大值或最小值的解称为最优解。可行解满足约束条件可行解是指满足线性规划问题中所有约束条件的解。它表示在问题限制范围内，所有可能的解集。可行域可行解构成的区域被称为可行域。可行域是多维空间中满足所有约束条件的点集合。寻找最优解线性规划问题的目标是找到可行域中的一个点，使得目标函数的值最大化或最小化。线性规划的解可行解满足所有约束条件的解称为可行解。可行解是线性规划问题的基本解，它代表所有可能的方案。最优解在所有可行解中，使目标函数达到最大值或最小值的解称为最优解。最优解是线性规划问题的最终目标，它代表最佳方案。5.几何解释线性规划问题可以用几何图形来表示。可行解集可以用一个多面体来表示，而最优解则对应着该多面体上的一点。该点的坐标即为最优解的解向量。目标函数11.优化目标目标函数表示要优化的目标，例如最大化利润或最小化成本。22.线性关系目标函数中的变量之间必须具有线性关系，可以用一个线性方程来表示。33.系数每个变量的系数代表了该变量对目标函数的贡献程度。约束条件定义约束条件是线性规划问题中限制变量取值的条件。形式约束条件通常表示为线性不等式或等式，它们定义了可行解区域的边界。作用约束条件确保了模型的实际意义，限制了变量取值范围，避免出现不切实际的解。最优解最优解是指满足所有约束条件的目标函数取得最大值或最小值的解。线性规划的几何解释可以帮助理解最优解的概念。最优解在可行域的边界点上，且目标函数在这个点上取得最大值或最小值。6.单纯形法求解1基本思想从一个可行解出发2迭代过程逐步寻找更优解3最优解直到找到最优解单纯形法是一种常用的求解线性规划问题的方法。通过迭代过程，在可行域中寻找最优解，实现目标函数的最大化或最小化。单纯形法的基本思想从可行域顶点出发单纯形法从可行域的一个顶点开始。然后沿着目标函数值增大的方向移动到另一个顶点。迭代优化不断重复这个过程，直到找到一个最优解。最优解位于可行域的某个顶点。迭代过程初始可行解从初始可行解出发，找到一个新的基本可行解。最优解判断判断当前解是否是最优解，如果是，则算法结束。更新可行解如果当前解不是最优解，则更新可行解，继续迭代过程。7.单纯形法的步骤1构造初始可行解选择初始基变量，确定初始单纯形表。2判断是否最优检查目标函数系数是否非负，若是非负，则当前解为最优解。3更新可行解选择进基变量和出基变量，进行迭代操作，直到找到最优解。单纯形法通过迭代过程不断优化可行解，最终找到最优解。构造初始可行解可行域可行域是满足所有约束条件的点集。初始可行解是可行域内的任何一个点。单纯形表单纯形表是用于记录线性规划问题的系数和解的表格。初始可行解对应于单纯形表的第一行。顶点可行域的顶点是满足多个约束条件的点。初始可行解通常从可行域的顶点开始。判断是否最优目标函数检查当前可行解的目标函数值是否已达到最大值或最小值，取决于问题的目标是最大化还是最小化。约束条件验证当前可行解是否满足所有约束条件。单纯形表检查单纯形表中所有非基变量的检验数，如果所有检验数非负（最大化问题）或非正（最小化问题），则当前解为最优解。更新可行解1选择入基变量找到目标函数系数最小的非基变量，将其作为入基变量。2选择出基变量根据最小比值规则，确定出基变量，将其从基变量集合中移除。3更新基变量矩阵利用高斯消元法，更新基变量矩阵，得到新的可行解。4重复迭代过程重复上述步骤，直到找到最优解，或判定无解。8.应用实例生产问题工厂生产多种产品，每种产品需要不同原材料和生产时间。目标是最大化利润，约束条件是原材料供应和生产时间限制。运输问题将货物从多个仓库运送到多个零售店，每个仓库和零售店都有不同的库存和需求。目标是最小化运输成本，约束条件是库存和需求限制。生产问题资源分配生产问题通常涉及如何有效分配有限的资源，例如原材料、劳动力和机器。利润最大化目标是最大化利润，通过优化生产计划以生产尽可能多的盈利产品。约束条件约束条件包括生产能力、原材料供应、市场需求和预算限制。运输问题优化货物配送在多个仓库和多个客户之间分配货物，以最小化运输成本。路线规划寻找最优路线，以确保货物以最低成本和最短时间内送达目的地。资源分配有效分配运输资源，例如车辆、驾驶员和仓库，以满足需求。投资问题投资组合优化线性规划可以帮助投资者优化投资组合，最大化收益并最小化风险。投资策略规划线性规划可用于制定投资策略，例如确定最佳的资产配置和投资期限。市场分析与预测线性规划可以帮助分析市场趋势，预测未来收益率，并制定更明智的投资决策。9.灵敏度分析目标函数系数变化的影响分析目标函数系数微小变化对最优解的影响，了解目标函数系数的敏感程度。约束条件右端常数变化的影响研究约束条件右端常数的变化对最优解和最优值的影响，判断约束条件的敏感程度。灵敏度分析的意义帮助决策者评估模型参数的变化对最终结果的影响，提高决策的可靠性和有效性。目标函数系数的灵敏度分析系数变化影响分析目标函数系数变化对最优解的影响。范围确定确定目标函数系数在哪个范围内变化，最优解不变。敏感度分析方法通过单纯形表计算，确定系数变化范围。约束条件右端常数的灵敏度分析定义分析约束条件右端常数变化对最优解的影响，即在目标函数和其余约束条件保持不变的情况下，仅改变某一个约束条件右端常数，观察最优解和最优目标函数值的变化。应用在实际应用中，由于各种因素的影响，约束条件右端常数可能发生变化，例如生产资源的可用量变化、市场需求的变化等，因此灵敏度分析可以帮助决策者了解这些变化对最优解的影响，从而做出更合理的决策。10.单纯形法的计算机实现1数据输入将线性规划问题的目标函数和约束条件转化为计算机可识别的格式，例如矩阵或向量。2算法设计实现单纯形法的算法，包括迭代过程、可行解更新和最优解判断等步骤。3结果输出输出最优解和相关信息，例如目标函数值、决策变量的值以及灵敏度分析结果。数据输入1目标函数系数用户需要输入目标函数中每个变量的系数。2约束条件系数用户需要输入每个约束条件中每个变量的系数。3约束条件右端常数用户需要输入每个约束条件的右端常数。4变量类型用户需要指定每个变量是连续变量还是离散变量。算法设计单纯形法单纯形法是一种经典的线性规划求解算法。迭代过程通过不断迭代，找到最优解，同时保证可行性。代码实现将算法步骤转化为计算机程序代码，方便进行求解。结果输出最优解输出最优解的值，以及对应决策变量的值。敏感度分析输出目标函数系数和约束条件右端常数的灵敏度分析结果。可视化可选地，可以使用图表或图形来显示最优解和敏感度分析结果。报告将所有结果整理成一份清晰易懂的报告，方便用户理解。总结线性规划是一个强大的工具，可以用来解决各种优化问题。它已被广泛应用于商业、工程、科学和社会科学领域。线性规划的建模问题识别首先要明确问题，确定目标函数和约束条件。例如，生产计划问题中，目标函数可能是利润最大化，约束条件可能是资源限制和市场需求。变量定义将问题中的未知量用变量表示，例如，生产计划问题中，可以定义每个产品的生产数量作为变量。模型建立根据问题和变量定义，建立数学模型，包括目标函数和约束条件的表达式。模型检验检验模型的合理性和可行性，确保模型能够准确反映问题。求解方法单纯形法