2023年高考数学第59讲 参考答案及详解

第59讲参考答案及详解

第一辑代数篇

第一讲集合思想的综合应用

【核心例题1]

【变式训练1]

(1)【解】

'：A'UB-A,6q.,.m=3或加=y[m.

若〃?=3,则N={1,3,JI},8={1,3}，满足力u8=4；

若m=y[m,解得加=0或/〃=1.

若加=0,则4={1,3,0},3={1,0},满足4U8=4；

若加=1,4={1,3,1},8={1,1},显然不成立.

综上，m=0或加=3,故选B.

(2)【解】

若。>1,则N=(—oo,l]3a,+oo),B=[a—1,+8),若Nu8=R，只需a—L,1,解得以2,

此时1cq,2;

若a=l,则/=R，显然符合要求；

若a<1,则/=(-00,a]u[1,+oo),B=[a-l,+oo),若Nu8=R，只需a-L,a,显然成立，

此时a<1.

综上，42,即实数a的取值范围是(—8,2],故选B.

【变式训练2】

【解】

⑴当〃=4时,符合条件的集合/为{2},{1,4},{2,3},{1,3,4}.故/(4)=4.

(2)任取偶数x将x除以2,若商仍为偶数,再除以2,…，经过左次以后，商必为奇数.此

时，记商为加，于是x=帆-2*,其中m为奇数，%eN*.

由条件知,若"2eZ,则XG4o左为偶数;若，〃右4,则xe4o左为奇数.

于是x是否属于/,由〃？是否属于A确定.

设Q„是匕中所有奇数的集合，因此/(〃)等于Q,,的子集个数.

当〃为偶数(或奇数)，月中奇数的个数是或学),

〃为偶数，

•1•/(«)=>

n+l

为奇数.

【核心例题2】

【变式训练1】

【解】

左+6。0,

A=4,2—4(无+6>3£..0,

由+工>0,解得宾卜9,-6).

12k+6

3k八

x,x.=------>0,

I12k+6

：.A=[-9,-6),5=[a-l,a+l].

(1)若/c8=0,则a+l<—9或a—1..—6,ae(―oo,—10)u[—5,+8).

[a-\-9

⑵若304则《"\-.ae[-8,-7).

a+1<-6.L)

【变式训练2】

【解法一】

y-3

----=a+1,

由Zc8=0,即方程组｛x-2无解.

R2_1卜+(q=30

y—3=(a+l)(x—2),①

即方程组<(/_1卜+g_]》_30②无解由①得丁=("+D(x-2)+3,代人②并整理

得2(/一1卜=2/一3.+31.③

当。2_1=0,即。=±1时,方程③无解;

2a2-3“+31人2a2—34+317

当/—lx。时，x=222,解得。=一5或一.

2(a-l)''2(a-l)2

分3步：⑴验证。=±1；(2)4/〃2==-^用一；(3)以(2,3)代人,求得a的值

。+1-12。-1

7

为±L—5,,

【变式训练3】

【解】

y-x...O,y-x,,0,

或41集合8表示圆

不等式…0可化为，1

y—...0,y—“0，

IXX

(x-l)2+(y-l)2=l上以及圆内部的点所构成的集合.NcB所表示的平面区域如答图

1—1所示，曲线歹=上，圆(X—+3-I)?=1均关于直线丁=*对称,所以阴影部分占圆

X

面积的一半,故选D.

【核心例题3]

【变式训练】

【解】

从反面看,若3个方程没有实根,则

A,=w2-16<0,-4<w<4

<A,=(w-I)2-64=(机一9)(“？+7)<0,解得<一7<加<9,得一2<加<4

A,-4m2—4(3加+10)=4(m-5)(/«+2)<0,-2<m<5

即me(-2,4)时,3个方程都没有实根.

再求补集，得3个方程至少有一个方程有实根时，加«-力-2]。[4,+力).

【核心例题4】

【变式训练1】

【解】

本题中,第一个集合所表示的区域包含于第二个集合的区域内，画图形如答图1-2所示：由3

条直线所形成的区域在圆/+/=25及其内部，因此直线mx+y=0的斜率

44

—„—/H.,0.故0„一.

33

【变式训练2】

【解】

,/a2+1〉。,；.Z={y|>>〉。2+1或^<。},

又由卜=/。)=3%2_》+1=；(》_])2+2,知Wn=/⑴=2,%ax=/(3)=4,

B={y\2,,y„4}.

a.2,a.2,।-I—

若4c8=0.则《，即《厂广6或JIa,2.

[a2+l.A,[a.J3或q,-6.

【变式训练3】

【解】

据题意得加一3<0,设（加一3）》2—2mx-8>0o（工一玉乂工一吃）<0,则

Xi+X2~--^,X(X2=----.由L,卜一工21，2得LJ(X]+工2)2-4玉％2”2,

--—12，化简得L,2〃；+8：-24.2,

m-3)|w-3|

又△=4(加2+8加一24)>0,得小>一4+2丽或

m<4-2VFo.1,,2+叫_^1,2=(加一3)：,4(m24-8777-24),4(w-3)2<=>

|m-3'/

、7

-15或加…一,

3〃/+38m—105.0-3

解得《

14%33,33

14,

—4—2J10>—15,—4+2A/10<—in的取值范围是(—-，-15],

第二讲用集合观点处理充要条件问题

【核心例题11

【变式训练1】

【解】

由f-3x+2.0,解得Lx,2,即3={xll,x,2},

•；p是q的充分不必要条件，；.AQB.

（i）若Z=0,则有此时应有△=/—4<0,即一2<a<2.

（ii）若/。0.设西,々是方程/+4%+1=0的两根,则有L,斗2,1X》，2.

又：=1,，玉=x2=1.a=-（石+x2）=-2,综上,可得。的取值范围为一2,。<2.

【变式训练2】

【解】

p:(x-3a)(x-a)<0,又a<0,:.3a<x<a.

7:x2-x-6„0或炉+2》-8>0,即(x-3)(x+2)”。或(％+4乂%—2)>0.

-2,.%,3或x>2或x<-4.即乂..-2或x<-4.

•••非p是非g的必要不充分条件,，:.q是p的必要不充分条件.

/.(3a,a)U(-oo,-4)u[-2,+力),q,一4或3a..-2.

2

得a的取值范围是a,-4或。——„a<0.

3

【核心例题2】

【变式训练1】

⑴【解】

_m0,.

方程①有实数根的充要条件是集合N满足《,即4={初加，1且

4>-16阴...0,

加w0}.

方程2有实数根的充要条件是集合B满足△[=(―4根>一4(4加2一4加一5)…0,

即8=卜|

，方程①②都有实数根的充要条件是小，1且加工0.

4

即=〃？<0或0<也，1}.

⑵【解】

根据韦达定理得a=x,+x2,b=xlx2，记夕：a>2且b>1,夕：再>1且¥>L

若玉>1且&>1,贝1J。=须+W>2,b=x}x2>1,/.q=>p.

QO1

若取。=1,b=2满足。〉2/>1,此时方程/一=工+2=0的两根为玉=4,迎=]，且

须>1但42<L「・尸»夕

综上可知：a>2且6>1是玉〉1且%>1的必要不充分条件.

【变式训练2】

【解】

L-12

由尸1)一3出+1得看出-翡)+L

令则有tt［+和《白卜”

7

A=<x—„x<2>

16

由卜一加~|…一解得x,m~—或x4—8二,XX”〃，---或—

1\44444

,1o17

命题p是命题q的充分条件，.二Ao2,加2——或加2+一”一.

4416

3

解得实数m的取值范围是—8,--

2

【核心例题3】

【变式训练】

【解】

f(x)=|(ax-1)x|=^ax2-x|.若Q=0则/'(力=阵此时，/(x)在［0,+动单调递增;

o10

若Q<0,则二次函数y=ax2-x的对称轴x=——<0,且x=0时y=0,此时y=ax2-x

2a

在［0,+功单调递减，且弘,0恒成立，故/(x)=W一乂在［0,+助单调递增，故40

时，/(x)在［0,+e)单调递增，条件是充分的；

反之，若a>0,则二次函数J二分一》的对称轴》=1_>0.且在jo-］上”()，此时

2aa)

f(x)=|以2-%|在0,—单诗递增，在—单调递减,故函数/(x)不可能在

2a\|_2aa

［0,+力)单调递增，条件是必要的，故选C.

第三讲函数解析式与“三要素”

【核心例题11

【变式训练1】

【解】

ax+b,

y=—z---<=>yx2-ax+y-b=\AJ.

x+1

若丁=0,显然在函数值域［—1,4］；若歹力0,4=。2—4歹5-3..0的解为［-1,0)-(0,4卜

=4,或仁;

"(上普或/(力誓.

【变式训练2】

⑴【解】

22

log2(x+l),log2(x+l).Jog2(|x|+7)

%x)=<

2

log2(|x|+7),10g2(x+l)<log2(|x|+7)

2

由log2(x+l)...log2(国+7)得%2一忖一6...0,解得X,-3或x…3;

由log2卜2+l)<10g2(国+7)得x2—W-6<O,解得—3<x<3.

/flog,(x2+1),X,-3或乂..3

/.F(x)=<);

log,(|x|+7),-3<x<3

(2)【解法一】

2

当X..3或x*—3时;F(x)=log2(x+1).

设〃=/+1..10,

y=log2〃在［10,+8)上递增，：.^(x)min=log210.

同理,当一3cx<3时,F(x)min=log27.

Xlog27<log210,

时，=log27.

【解法二】

•.•尸(x)是偶函数，.•.只需要考虑x…0的情形.

当0,,x<3时,F(x)=log2(|x|+7),有F(x)min=F(0)=log27.

当X..3时，尸(x)=10g2卜2+1),有尸(观血=/(3)=log210.

二.xeR时，F(x)min=log27.

【核心例题2】

【变式训练1】

(1)【解法一】(换元法):

令/=4+1.则L」,X=(f—1产

则/(。=(7-1)2+2(/_1)=*_1,即/(x)=x2_l,xe[l,+8).

【解法二】(配凑法):

/(五+l)=X+2>/7=(y/x+1)2-1,即f(%)=x2-1,XG[1,+OO).

⑵【解】

(待定系数法)：

设/(x)=ax2+bx+c(^ah0),则/(x+2)=a(x+2>+b(x+2)+c.

/(x+2)-/'(x)=a(x+2)2+b(x+2)+c-(ax2+bx+c)=4ax+4a+2b=4x+2.

-f-

4q=4ci—\

_又/(O)=3,;.C=3,"(X)=X2—X+3.

4。+2b—2,b——1,

【变式训练2】

⑴【解】

当X...0时，g(x)=x2,/./[g(x)]=2x2-1;

当x<0时,g(x)=-1,.\/[g(x)]=-2-1=-3,/./[g(x)]=<2XI；。

-3,x<0

2

当2x—L.O,即x.g时，g[/(x)]=(2x-l);

当2x-l<0,即时，g[/(x)]=—1.

(2x—l)",x...一,

・•・g[/(x)]=.[2

—1,x<—.

I2

⑵【解】

设/=X—L,/2=%2+与—2,即/+与=/2+2.

XXX

把f=X-L和f+4=f2+2分别代入/(X—L]=-+4+1的左边和右边,

XX\XJX

可得/«)=«2+2)+1.；./(X)=/+3.

.•J(X+1)=(X+1)2+3,即/(X+1)=X2+2X+4.

【核心例题3】

【变式训练1】

(1)【解】

i31

N=］Y—X+］=；（X—1）2+1是一条抛物线,它的对称轴为X=1.顶点坐标为（1,1）,开口

向上.若存在实数m，使函数定义域和值域都是［1,m\,则需〃?>1且/（〃?）=m.

1.3°

即一加2一加+一二加，即加~一4加+3=0,解得加=3或掰=1（舍去），

22

故存在实数加=3满足条件.

⑵【解】

1231/\2312Pl»1

V=­X-CLXH---——（X~Cl）H---------U,X€1,6.

■22222L」

1、

当以1时，乂向=2—4=1,，。=1.；函数单调递增，，53-1）+1='

二6=3或6=1（舍去）；

31,

=-

当1<。<6时，ymin220'=1，，。=±1，矛盾;

5

Xnax=2-a=b,ra=—

Cl—1或］3

当瓦a时，得11,3解得1（与6〉1矛盾，舍去）

,1

,y1m111i11n=2-b-ab+-2=l,，、b=l

综上，6=3.

⑶【解】

•♦•/（X）的定义域和值域分别为［刊，

a<b,\a-b<0

「•'I1^>\a-b=>ab>0

—<-------<0

haah

下面分0<a<6与。</)<0两种情况讨论：

(i)当0<Q<6时，f(x)=-x2+2x=-(x-1)2+1,1.

•••〃x）在［a,b］上的函数值小于或等于1,.-.

2

又抛物线/（x）=-（》-1）2+1的对称轴为x=1..•.止匕时/'（x）的值域为［-〃+2b,-a+2a］.

则-b?+2b=-,-a~+2a=-,va=l,b='"

ha2

(ii)当4<0时，/(x)=x2+2x=(x+l)2

■：f(x)在［a,b］上的函数值大于或等于—1,0>1n-1.

)1)1

此时/(x)的值域为［从+2bM2+2a］则〃+26=-,。2+2。=_.

ba

1+V5

a<-1.\h=-1,67

?2

综上，存在实数。=1/=正里或“=一避±',b=-1满足题意.

22

【变式训练2】

⑴【解】

3

由题设知，当时，g(x)=x2+x+l的值域是:,3.

；g(x)=(x+；)+jg]—£|=[ai)=g(-2)=3,.―2,n,J.

⑵【解】

令“二〃"；；：；+〃,由于“X)值域为[0,2]可知1必9,有

(w-m)x2-8x+(«-7?)=0.

*.*xGR,且设〃一〃2*0,A=(—8)2-4(〃..0,

即〃2—(加+〃)〃+(加〃-16),,0.

由L,幺9知，关于〃的一元二次方程/一(加+")〃+(〃〃7-16)=0的两根为1和9,由韦达

加+〃=1+9,

定理，得《解得m=〃=5.

机〃-16=1x9,

若〃一加=0,即〃=①，对应/(X)=log3m值域不为［°，2］,不符合条件.

:.m=n=5为所求.

【核心例题4】

【变式训练】

⑴【解】

由题意得/(x)=g(x)+〃(x),①

g(x)为奇函数,〃(工)为偶函数..//(_x)=g(-x)+l(_x)=-g(x)+l(x).(§)

由①②得g(x)=^[/(x)-/(-x)]=(m+l)x,A(x)=/(x)-g(x)=x2+lg|w+2|.

⑵【解】

由g(x)=(m+l)x为减函数得加+1<0,即加<—1.③

7W+1Y[|_|(W+1)2

又/(x)=/+(〃？+l)x+lg|加+2|=x+亍J+lg帆+2卜匕上

/.（X）的递减区间是1—8,—甘.

又由/（x）在［lg|m+2|,（加+1＞］上为减函数，得（加+1）2,,一卓！…九-1.0

a

由③④得一5”〃2＜-1,此时lg|加+2］＜（加+1）2.

故机的取值范围是一T，t］

⑶【解】

/,（l）=w?+2+lg|w+2|.易证夕（优）=加+2+囿加+2］在一|■，一1）上为增函数，故

/（0=

又;+吆；_：=3+也；〉0・故/（1）

第四讲函数的值域与函数的最值

【核心例题1］

【变式训练1】

（1）【解】

（配方化简后用观察法）

==T+1+|GT—1卜尸xT九2函数的值域为［2,+e）.

（2）【解法一】（换元后转化为二次函数，运用函数的单调性求解）

I------13-Z2

设J13-4x=t,则t...O,x=-----.

于是/(x)=g(/)=］-/=一：/2_,+；=_：«+］尸+6.

显然函数g⑺在［0,+8)上是单调递减函数，.•.g(/)“g(O)=y.因此原函数的值域

【解法二】：(直接用函数性质求解)

函数的定义域是卜乂，?>.当自变量X增大时，2x-1增大，J13-4x减小.

2x-l-V13-4x增大，因此函数/(x)=2x-1-J13-4x在其定义域上是一个单调递

增函数，.•.当x=?时，/(x)111ax=/(?)=£■.故函数的值域是卜

⑶【解】

(单调性法)

函数的定义域满足=>X..3.

Ix—3x+2...0

令乂=Jx-3,任时]>X..3,4-3-y]x-3=>0.

22-3+“2-3

yt在［3,+«?)上单调递增,令%=Jx?-3x+2,由”=/-3》+2,对称轴x=—,

开口向上,知y2在［3,+O))上也单调递增,从而知y=J三+&-3x+2在定义域

［3,+8)上是单调递增函数，

的值域为［后,+e).

⑷【解】

换元法)

小)=0+1>=即+(#「设Hl'当"'RS。'则

/(x)=g(f)=f2+f+1=(f+；)+［在1e(0,+力)上是增函数.

.-./(x)>g(o)=i..-.函数的值域是(1,+8).

【变式训练2】

⑴【解】

2/(+《卜：，①

用x替代:，得2/(j—/(x)=—x,②

①x2+②，得3/(x)=_|_x=_[x+：),整理得=+③

(i)用判别式法求③的值域:令y=—1(》+2)=*+3用+2=o.：xeR且XHO,

故△...()=>/..§8

手或取一半，/(X)的值域为一8,—平［平,+8

(ii)用基本不等式求③的值域:当x>0时，:x+N…2亚,.•.一1卜+乙1―4区，即

x3\x)3

当x<0时，—X>0,(—x)+—)..2-$/^,则》4—„—；•——)…!

明2后

即”.亍.

/

2721「2后)

.•・/(X)的值域为一叫一

31[3J

\

⑵【解】

(配方法)

g(“=-;口-2/(切+J1-2/(x)+；

=_g+Jl-2/(x)+g=-g^l-2/(x)-l]2+1.

74J--------------77

由/(x)e知Jl-2/(x)e,；.g(x)的值域是

958

【核心例题2】

【变式训练】

(1)【解法一】(均值不等式法)

23232323

•.•8>14>0；+巳=2,.・.2=W+1..2、土二，解得盯...6,当且仅当一+二=2且

xyxy}Jxyxy

2_2

即x=2,y=3时;中有最小值6.

【解法二】（消元后配凑运用均值不等式）

由一+—=2得y=,.•./（耳=盯二.

xy2（x-l）2（x-l）

3(x-1+1)2

即/(x)=

2(1)

31

…]x（2+2）=6,当且仅当X—1=—、，即x=2为时等号成立，此时

y=3.

【解法三】（判别式法）

3V23r2

由解法二知/.（x）=/、,令t=/、(x>1),整理得3x2-2tx+2t=Q,此方程有

2(x-l)2(1)

大于1的根的必要条件是A=4»-24J.O.

x>1,.•"…6.反之当L..6时,方程3/一2a+2,=0的两根都大于1.故/，迪=6（此时

x=2,y=3）.

⑵【解】

（平方后运用基本不等式）

当且仅当2/=1+匕且2/+己=8,即x=?,y=叵时，等号成立.

3322

故八/6+2y的最大值为羡G.

【核心例题31

【变式训练1】

【解】

先确定系数a,b.由题设显然有/（一1）=,/,（1）=0.

♦.•函数/(x)=(l—n任+如+与的图像关于直线x=-2对称.

."./(-3)=/(-1)=0,/(-5)=/(1)=0,

信矗蹩露解得仁

即

/(x)=(1-巧卜2+8X+15)=-(X-1)(X+1)(X+3)(X+5)

=-(/+4x-5)(x?+4x+3)=-+4x)+2(x?+4x)+15=16-(/+4x-l).

可见，当且仅当/+4x—1=0,即x=-2土布时，/(x)的最大值为16.

【变式训练2】

v/(-3)=lg[(-3)2+l]=lgl0=l,.-./(/(-3))=/(l)=l+2-3=0.

当X」时，x+--3...2Jx---3=2V2-3)当且仅当x=2,即x=J5时等号成立，

X\XX

此时/(X濡=2四-3<0；

2

当X<1时，lg(f+l)...lg(o+1)=0,此时/(x)min=o.的最小值是20-3.

【变式训练3】

【解】

/•(X)=辛£塞=&+左+1——2,当且仅当代+k=J——，即f=1—左时

等号成立.

当上,1时，X2=l-k,X=±y/l-k时，/(x)min=2,

当左>1时，/=]一左不成立.此时，令/=由单调性的定义

可以证明/«)是[JK+8)上的增函数..•.当f=JE,即X=0

综上，当鼠1时，/(XL”=2；当无>1时，/(叽加=或+4r.

【核心例题4】

【变式训练】

【解】

由/(x)=ex-ax2-bx-l»Wg(x)=/'(x)=e，-2ax-b.gz(x)=ex-2a.

因此,当xe［O』］时,gz(x)€［l-2a,e-2a］.

当a，；时，g'(x)…O,r.g(x)在［0,1］上单调递增.

因此g(x)在［0,1］上的最小值是g(0)=1-6.

当时，g'(x)”0,g(x)在［0,1］上单调递减.

因此g(x)在［0,1］上的最小值是g(l)=e—2a—人

1P

当一＜a＜5时,令g'(x)=0,得x=ln(2a)e(0,1).

函数g(x)在区间［0,ln(2a)］上单调递减,在区间［ln(2a),l上单调递增，

于是g(x)在［0,1］上的最小值是g［ln(2a)］=2a-2a\n(2a)-b.

综上，当a,］时，g(x)在［0,1］上的最小值是g(O)=l—b；当］＜a＜］时，g(x)在［0,1］

上的最小值是g［ln(2")］=2"-2“ln(2a)-b;当心.］时，g(x)在［0,1］上的最小值是

g(l)=e-2a-/＞.

第五讲函数的单调性一一模型思想的运用

【核心例题11

【变式训练】

(1)【证明】

/、(\/\

设L,演vW，/(玉)一/(“2)=玉----1■加一^2H----Fm=(玉_x?)1-----

<,^17\^2/\玉工2>

•/L,X1<x2,m<1,x1—x2<0,1----->0.，/'(2)<f(x2).

X\X2

：.函数/(x)在［1,+8)上为增函数.

⑵【解】

g(x)=xfx+—+«2j+2x+—=x2+(m+2)x+w+—,对称轴x=一1,定义域

Ix)222

XG［2,5］.

m+2加…-6,

一2”，=19

⑴g(x)在［2,5］上单调递增且g(x)>0,有，19=>m>---

m>---6

g⑵>06

m+2nt,-12

(ii)g(x)在［2,5］上单调递减且g(x)>0,有一273n无解.

[g⑸>0m>---

12

综上，加的取值范围为〃?>----.

6

【核心例题2】

【变式训练1】

⑴【解】

/⑴==/(x)-/(x)=0.x>0.

⑵【解】

/\

增函数.证明如下：设0<玉<X2,则由/-=/卜)一/(力，得

\yj

/(/)-/(%)=/代.

/\

V—>1,.,./—>0.；./(》2)-/(不)>0,财(X)在(0,+8)上是增函数.

x\\X17

⑶【解】

V/⑹=/闺=〃36)—/(6),；."36)=2.

原不等式化为/(X2+3x)</(36).:/(x)在(0,+s)上是增函数,

x+3>0,

.-.^->0,解得0<彳<3炳—3.

x2

x2+3x<36.

【变式训练2】

【解】

•.•/(9)=/(x)+/(y),且〃3)=1,，2=2〃3)=〃3)+〃3)=〃9).

又〃Q)>〃以一1)+2,"。)"。一1)+/(9).

再由/(盯)=/(x)+/(y),可知/(”)>/[9(”1)].

>0,

•••/(x)是定义在(0,+8)上的增函数，.一9("1)>0,解得1

a>9(a-l),

【核心例题3】

【变式训练1】

【解】

满足对任意x产々，都有<0成立，；./(X)是减函数.

X［~X2

0<a<1,

由题意xwR.<。-3<0,解得0<a,1，即.

-3)x0+4a4"

【变式训练2】

【解】

•••/(x)是定义在R上的偶函数，.•./(x)=/(-x)=/(|x|).

又/(x)在区间(-8,0］上单调递增，在区间［0,+8)上单调递减.

由/(bg3"?)+/(log3，)，，2/⑵，得/'(log3m)+/(Tog3〃?)”2/(2).

•••/(-log3m)=/(log37M),.-./(log3/w)„/(2),.-./(|log3w|)„/(2),又；/(x)在区间

［0,+oo)上单调递减，|log3向..2,解得加…9或0<根，］

.•〃〃的取值范围是［。，工

u[9,+°).

【核心例题4】

【变式训练1］

【解】

/"(X)=(〃L2)X+〃一&0在区间p2恒成立，

/'(2)“0

；(加一2)+〃一8,,0

结合加…0,几..0,得<2(勿2—2)+拉一8,,0,

m.,.0,A7...0

如答图5-1所示，易知当点（加/）在线段AB或BC上时，mn取最大值.

（i）当点（掰,〃）落在AB上时，团〃=加（12-2加）=-2m2+12加.可知加=3时，mn最大为

18;

（ii）当点（加,〃）落在上时，加〃=加（9一gm）=-;加之+9加在［0,2］上单调递增，可知

m=2时,mn最大为16.

综上，mn最大为18,故选B.

【变式训练2】

⑴【解】

当a=0时，函数/'（x）=-2x+l在（-8,+力）上为减函数；

当。＞0时,抛物线/（x）=a/-2x+1开口向上,对称轴为x=—，.•.函数/（x）在

a

1-00,1上为减函数，在L+oo］上为增函数;当。＜0时,抛物线/（力=办2-2》+1开口

Iaa）

向下，对称轴为x=L.

a

・•・函数/(X)在1-82上为增函数，在+oo]上为减函数.

卜。」)

⑵【解】

/(x)=(7fx]4-1---,由一》1得L,—”3,N(ci)=—]=1---，

\aJa3ayaJa

当L,1<2,即l<a.1时，M(a)=/(3)=9〃-5,故g(Q)=9Q+'—6;

a2a

当2.3,即a,-时，M(a)=/⑴=a—1,故

a32

1c「11

aH---2Me—

a122,

g(a)=«+--2.：.g[a}=<

a

9aH---6,a€|一,1

a(2

(3)【证明】

当ae时，设q,%e,一，且0<a,

3212

g(4)-=+=氏

显然。2-6>0/——L<0,：.g(a2)<g(q)■:•函数g(a)在上为减函数,

citct"f32

同理可证g(a)在上为增函数.

.•.当时,g(a)取最小值,且伍濡=故g(a)…;.

第六讲函数的奇偶性一一对称问题的求解

【核心例题1]

【变式训练】

⑴【解】

1_LY

由二…0,得定义域为卜1,1),关于原点不对称，故/(X)为非奇非偶函数.

1—X

⑵【解】

当x<0时，-x〉0,则f(~x)=(-x)2-(-x)=x2+x-/(x)；

当X>0时,—X<0,则f(-x)=(―X)2+(-力=x2-x=f(x).

对任意》«-力,0)50，+8)都有/(-x)=/(x),故/(x)为偶函数.

⑶【解】

/(X)的定义域为{xl-1<X<1},而/(一x)=-xlg上史=xlg-~

：.f{-x)=〃x),故/(x)为偶函数.

(4)【解】

由于Jl+f>X,.-.函数/(x)=lg(Vl+x2-X)的定义域为R,对任意xeR,

1

/(一力=lg(Jl+(-x>+x)=lg(Jl+>+x)=1g—)•

Jl+X」—X

•・J(x)是奇函数.

【核心例题2】

【变式训练1】

⑴【解】

.-./（X）为奇函数,且定义域为R,../⑼=0,即1+；-2=0,.此时

2J-1

/(%)=

2A+1

2~x-l1-2、

；•/(—x)==一/6）满足题意,故。=1.

2-A'+l1+2”

⑵【解】

•••/(x)是(一1,1)上的奇函数，对任意X6(-1,1),有/(—X)+/(X)=尸+〃’+

x~—nx+1

2'+〃']=0,即(一工+加)(工2+〃％+])+(%+加乂—〃x+i)=o

/.{m-rijx1=0,解得m=n=0.

⑶【解】

•・・函数的定义域为(-l,l),.\/(o)=0,即一=0,・・.Q=1.

f(x)='I——=~—,/•./(—x)=—/(x)满足题意,故Q=1.

y/l-X2\Jl-X2

【变式训练2】

(1)【解】

f(x)是偶函数,定义域应关于原点对称,故有。-1=-2a,得。=；,又对于所给解析式,要

使

/(-x)=/(X)恒成立,则6=0.

⑵【解】

第⑴问，【解法一1

函数/(x)的定义域为R,且为奇函数，.../(0)=0.即log.J彳=0,；.J彳=1,

又a>0,a=.

【解法二】

函数/(x)为奇函数,有log”卜x+Jx?+2/)=—log”(x+Jr2+2/),

.*«-x+Jx、+2a~=-----f,即_x++2a————(-x+Jx、+2a~).

X+&+2〃22户/

得2/=1,又a>0,q=

2

第⑵问，由题意，/(x)—/(-X)=0,即xln(x+Ja+x?+xln卜x+Ja+x。)=0,

故xlntz=0恒成立，Ina=0,a=1.

【核心例题3]

【变式训练1】

【解】

f+1]2

、rinI，+l„/\.".，+1+2。

设，=以-1,则%=——,;./(7)=电7^—=lg———,

at--3，+1-3a

a

这是原函数，即原函数为/(x)=lg-+1+2-J(—x)=1g=[x-]-2a

')x+1-3q''-x+l-3ax-l+3a

为奇函数,=

.x—1—2a(.x+1+2Q、ix+1—3QX-1—2ax+1-3u

/.lg-----------=_lg------------=lg-----------=>------------=------------,

X-1+3QIx+1-3a)x+l+2aX-1+3Qx+l+2a

x—1—2QX+1—3/7

用合分比，得/。二八十],.・.)一1-2〃=工+1—34

5a5a

故a=2,此时/(x)=1g二二,定义域为xe(-”,一5)❷(5,+力)对称于原点.

【变式训练2】

【解】

•••/(X)为R上的偶函数，；./(—/+2a—5)=/+2a—5)]=/(a2-2a+5).

不等式等价于/_2a+5)</(2/+a+1).

va2-2a+5=(a-l)2+4>0,2a2+a+l=2^+^+1>0

又•••/.(X)在区间(-8,0)上单调递增，而偶函数的图像关于丁轴对称，

/(x)在区间(0,+向上单调递减，.•.由/(/_2。+5)</Q/+a+1),

得a~—2d+5>2d~+a+1=>a~+3a—4<0=>~4<a<1.

二.实数a的取值范围是(T,l).

【变式训练3】

【解】

函数/。)在[一2,2]上是偶函数，；.由/(l-w)</(〃?)，可知/(|l-m|)</(|/n|).

乂•.,X…0时，/(x)是减函数，2，

解得—L风,，即me-1,1.

2[2_

【核心例题4]

【变式训练】

(1)证明：

•jy=/(X)是以5为周期的周期函数，

=/(4-5)=/(-1)，又歹=/(X)(-L,X,1)是奇函数，

⑵【解】

当xe[l,4]时,由题意,可设/(x)=a(x-2)2—5(。00),由/(1)+/(4)=0,

得4(1-2)2-5+。(4一2)2-5=0,解得4=2,;./(，=2(》—2)2-5(15.X,4).

⑶【解】

•.•y=/(x)(—L,X,1)是奇函数，.•./(())=一/(一0),；./(0)=0,

又^=/(切(0“X，1)是一次函数,可设/(x)=Ax(O„41).

•••/(1)=2(1_2)2_5=_3,又/(1)=左、1=%,二左=_3.

/.当Q,x„1时，/、(x)=-3x,当一[x<0时，/(x)=-3x.

当4”x,6时，—I,x-5„1,J(x)=/(x—5)=—3(x—5)=—3x+15.

当6<*,9时，l<x-5„4,/(X)=/(X-5)=2[(X-5)-2]2-5=2(X-7)2-5.

,、[-3%+15,4,.6

.J+/-7八5,6讣。

第七讲函数的周期性与函数的图像变换

【核心例题11

【变式训练】

⑴【解】

岛”(，+2)=-齐号-十=/(x).

〃x）

・•.2是函数/(力的一个周期.

・・•/"）为奇函数,，/（一；）=—/（；）=一3；，/（竿131

⑵【解】

当2左+g<x<2%+l（左eZ）时，一g<x-2%-l<0,;.0<2A+l-x<；.

：.f[2k+\-x）=^k+'-x.

乂・••f(2k+l-x)=/(I—x)==看，:/(x)=t伏eZ).

(3)【解】

不存在,理解如下:假设存在这样的正整数k.

221

'：log3/(x)>x-kx-2k,:.x-2k-\>x-kx-2k,:.x-(A：+l)x+l<0.

d_("i)x+1<o的解集为[但当，竺1当,

1