2022年新教材高中数学第八章立体几何初步新题型专练（含解析）

新题型专练(三)(25分钟50分)一、多选题(每小题5分，共25分，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分)1．(2021·日照高一检测)已知平面α，β，γ两两垂直，直线a，b，c满足aα，bβ，cγ，则直线a，b，c可能满足()A．两两垂直B．两两平行C．两两相交D．两两异面【解析】选ACD.如图1，a，b，c可能两两垂直．如图2，a，b，c可能两两相交；如图3，a，b，c可能两两异面．2．设α，β，γ为两两不重合的平面，l，m，n为两两不重合的直线，则下列命题中正确的是()A．若mα，nα，m∥β，n∥β，则α∥βB．若m⊥α，n⊥β且m⊥n，则α⊥βC．若l∥α，α⊥β，则l⊥βD．若α∩β＝l，β∩γ＝m，γ∩α＝n，l∥γ，则m∥n【解析】选BD.由α，β，γ为两两不重合的平面，l，m，n为两两不重合的直线，知：A.若mα，nα，m∥β，n∥β，则α与β相交或平行，故A错误；B.若m⊥α，n⊥β，且m⊥n，则由面面垂直的判定得α⊥β，故B正确；C.若l∥α，α⊥β，则l与β相交、平行或lβ，故C错误；D.若α∩β＝l，β∩γ＝m，γ∩α＝n，l∥γ，则由线面平行的性质定理得m∥n.故D正确．3．如图所示，AB为圆O的直径，点C在圆周上(异于点A，B)，直线PA垂直于圆O所在的平面，点M为线段PB的中点，以下四个命题正确的是()A.PA∥平面MOB B．MO∥平面PACC．OC⊥平面PAC D．平面PAC⊥平面PBC【解析】选BD.因为PA平面MOB，故A错误；因为OM是△PAB的中位线，所以OM∥PA，又OM平面PAC，PA平面PAC，所以OM∥平面PAC，故B正确；因为AB是直径，所以BC⊥AC，所以又PA⊥平面ABC，BC平面ABC，所以PA⊥BC，又PA∩AC＝A，所以BC⊥平面PAC，故C错误；又BC平面PBC，所以平面PAC⊥平面PBC，故D正确．4．如图，在长方体ABCD­A1B1C1D1中，AA1＝AB＝4，BC＝2，M，N分别为棱C1D1，CC1A.A，M，N，B四点共面B．直线BN与B1MC．BN∥平面ADMD．平面ADM⊥平面CDD1C【解析】选BD.对于A，A，B，M在平面ABC1D1内，N在平面ABC1D1外，故A错误；对于B，如图，取CD中点E，连接BE，NE，可得BE∥B1M，∠EBN为直线BN与B1M所成角(或其补角)，由题意可得△BEN为边长为2eq\r(2)的等边三角形，则∠EBN＝60°，故B正确；对于C，若BN∥平面ADM，又BC∥平面ADM，则平面BCC1B1∥平面ADM，而平面BCC1B1∥平面ADD1A1，矛盾，故C错误；对于D，在长方体ABCD­A1B1C1D1中，AD⊥平面CDD1C1，AD平面ADM，所以平面ADM⊥平面CDD15．(2021·三明高一检测)如图，在四棱锥P­ABCD中，底面ABCD是正方形，PA⊥底面ABCD，PA＝AB，截面BDE与直线PC平行，与PA交于点E，则下列判断正确的是()A.E为PA的中点B．PB与CD所成的角为eq\f(π,3)C．平面BDE⊥平面PACD．点P与点A到平面BDE的距离相等【解析】选ACD.对于A，连接AC，交BD于点F，连接EF，则平面PAC∩平面BDE＝EF，因为PC∥平面BDE，EF平面BDE，PC平面PAC，所以EF∥PC，因为四边形ABCD是正方形，所以AF＝FC，所以AE＝EP，选项A正确；对于B，因为CD∥AB，所以∠PBA(或其补角)为PB与CD所成的角，因为PA⊥平面ABCD，AB平面ABCD，所以PA⊥AB，在Rt△PAB中，PA＝AB，所以∠PBA＝eq\f(π,4)，所以PB与CD所成的角为eq\f(π,4)，选项B错误；对于C，因为四边形ABCD为正方形，所以AC⊥BD，因为PA⊥平面ABCD，BD平面ABCD，所以PA⊥BD，因为PA∩AC＝A，所以BD⊥平面PAC，又BD平面BDE，所以平面BDE⊥平面PAC，选项C正确；对于D，则V三棱锥A­BDE＝V三棱锥P­BDE＝eq\f(1,2)V三棱锥P­ABD，所以点P与点A到平面BDE的距离相等，选项D正确．二、双空题(每小题5分，共15分，其中第一空3分，第二空2分)6．已知过球面上三点A，B，C的截面到球心的距离等于球半径的一半，且AB＝6，AC＝8，BC＝10，则球的半径等于________；球的表面积等于________．【解析】△ABC的外接圆半径为r＝5，则R＝eq\r(52＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(R,2)))\s\up12(2))，解得球的半径为R＝eq\f(10\r(3),3)，表面积为S＝4πR2＝eq\f(400π,3).答案：eq\f(10\r(3),3)eq\f(400π,3)7．(2021·上海高一检测)已知矩形ABCD的边AB＝a，BC＝2，PA⊥平面ABCD，PA＝2，现有以下五个数据：(1)a＝eq\f(1,2)；(2)a＝1；(3)a＝eq\r(3)；(4)a＝2；(5)a＝4，当在BC边上存在点Q，使PQ⊥QD时，则a可以取________．(填上一个正确的数据序号即可)【解析】连接AQ，因为PQ⊥QD，根据三垂线定理可得AQ⊥QD.在平面ABCD内，直径所对的圆周角为直角，所以Q点在以AD为直径的圆上，故当BC与以AD为直径的圆有公共点时，在BC边上存在点Q，使PQ⊥QD，因此AB≤eq\f(1,2)AD＝1，即a≤1.答案：(1)或(2)8．如图所示，在四棱锥P­ABCD中，底面ABCD为平行四边形，PA⊥平面ABCD，且PA＝eq\r(3)，AB＝1，BC＝2，AC＝eq\r(3)，则异面直线PB与CD所成的角等于________；二面角P­CD­B的大小为________．【解析】因为底面ABCD为平行四边形，所以AB平行于CD，则∠PBA是异面直线PB与CD所成的角，因为PA⊥平面ABCD，所以PA⊥AB，又PA＝eq\r(3)，AB＝1，所以∠PBA＝60°，即异面直线PB与CD所成的角是60°.因为AB＝1，BC＝2，AC＝eq\r(3)，所以BC2＝AB2＋AC2，所以∠BAC＝90°，所以∠ACD＝90°，即AC⊥CD.又因为PA⊥平面ABCD，CD平面ABCD，所以PA⊥CD，又因为PA∩AC＝A，所以CD⊥平面PAC.又因为PC平面PAC，所以PC⊥CD，所以∠PCA是二面角P­CD­B的平面角．因为在直角三角形PAC中，PA⊥AC，PA＝eq\r(3)，AC＝eq\r(3)，所以∠PCA＝45°，即二面角P­CD­B的大小为45°.答案：60°45°三、解答题9．(10分)如图，四边形ABCD为矩形，点A，E，B，F共面，且△ABE和△ABF均为等腰直角三角形，且∠BAE＝∠AFB＝90°.(1)若平面ABCD⊥平面AEBF，证明平面BCF⊥平面ADF；(2)问在线段EC上是否存在一点G，使得BG∥平面CDF，若存在，求出此时三棱锥G­ABE与三棱锥G­ADF的体积之比．【解析】(1)因为四边形ABCD为矩形，所以BC⊥AB，又因为平面ABCD⊥平面AEBF，BC平面ABCD，平面ABCD∩平面AEBF＝AB，所以BC⊥平面AEBF，又因为AF平面AEBF，所以BC⊥AF，因为∠AFB＝90°，即AF⊥BF，且BC，BF平面BCF，BC∩BF＝B，所以AF⊥平面BCF，又因为AF平面ADF，所以平面ADF⊥平面BCF.(2)因为BC∥AD，AD平面ADF，所以BC∥平面ADF.因为△ABE和△ABF均为等腰直角三角形，且∠BAE＝∠AFB＝90°，所以∠FAB＝∠ABE＝45°，所以AF∥BE，又AF平面ADF，所以BE∥平面ADF，因为BC∩BE＝B，所以平面BCE∥平面ADF.延长EB到点H，使得BH＝AF，又BCAD，连接CH，HF，易证四边形ABHF是平行四边形，所以HFABCD，所以四边形HFDC是平行四边形，所以CH∥DF.过点B作CH的平行线，交EC于点G，即BG∥CH∥DF(DF平面CDF)，所以BG∥平面CDF，即此点G为所求的G点．又BE＝eq\r(2)A