2023教师版 步步高 大二轮 数学 新高考一 函数与导数

ZHUANTIYI

专题一函数与导数

第1讲函数的图象与性质

[考情分析]1.函数的图象与性质是高考考查的重点和热点，主要考查函数的定义域、分段函

数、函数图象的识别与应用以及函数性质(单调性、奇偶性、周期性、对称性)的综合应用，

难度属于中等及以上.2.此部分内容多以选择题、填空题的形式出现，有时在压轴题的位置，

多与导数、不等式、创新性问题相结合命题.

考点一函数的概念与表示

【核心提炼】

1.复合函数的定义域

(1)若/(%)的定义域为n],则在/(g(x))中，由机解得x的范围即为/(gQ))的定义

域.

(2)若的定义域为[m，n\,则由加WxW〃得到g(x)的范围，即为危)的定义域.

2.分段函数

分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，值域等于各段函数值域的并集.

例1(1)(2022・南阳检测)已知函数;(x)=lg不，则函数g(x)=/(x—l)+d2x—1的定义域是

()

A.{小<0或x>2}B.jx|2^-r<2j

C.{x\x>2]D.]x卜苗j

答案B

1—v1—V

解析要使有意义，则髭>0,

即(1一尤)(l+x)>0,解得一

所以函数人元)的定义域为(一1,1).

要使g(x)=/(%-1)+12冗-1有意义,

则f-Kx-Kl,

'x—INO,解得

所以函数g(x)的定义域为口呆x<2j.

[X2+2(2,X<\,

(2)已知实数q£R,函数次i)=若火1—/1+a),则实数a的取值范围是

[-X,X>1,

答案(-2,-1)U(O,+8)

解析由题意知aWO,

①当〃<0时，1—a>l,l~\~a<l,

:.一(1—〃)>(1+〃)2+2〃，

化简得〃2+3〃+2<0,

解得一2<〃<一1,

又〃<0,.•.〃£(—2,—1);

②当〃>0时，1—

(1—a)。+2a>—(1+(2),

化简得"+〃+2>0,解得〃金R,

又。>0,.*.67^(0,+°°),

综上，实数〃的取值范围是(一2,-1)U(O,+8).

规律方法(1)形如月g(x))的函数求值时，应遵循先内后外的原则.

⑵对于分段函数的求值(解不等式)问题，必须依据条件准确地找出利用哪一段求解.

[x~3,%210,

跟踪演练1(1)(2022・潍坊模拟)设函数段)=L,一、、0则48)等于()

x<10,

A.10B.9C.7D.6

答案C

解析因为於)%—1。，

则式8)=用(12))=犬9)=欢13))

=X10)=7.

(2)(多选)设函数兀0的定义域为D,如果对任意的尤GD,存在ye。，使得大只=一处)成立,

则称函数人x)为函数”.下列为“M函数”的是()

A.y=sinxcosxB.y=lnx+eT

C.y—2xD.y=/—2元

答案AB

解析由题意，得函数”的值域关于原点对称.A中，尸sinxcosx=*in2xe1,

其值域关于原点对称，故A是“M函数”；B中，函数y=lnx+e£的值域为R,故B是“M

函数”；C中，因为y=2£>0,故C不是函数”；D中，y=x2-2x=(x-l)2-l^-l,

其值域不关于原点对称，故D不是“加函数”.

考点二函数的图象

【核心提炼】

1.作函数图象有两种基本方法：一是描点法；二是图象变换法，其中图象变换有平移变换、

伸缩变换、对称变换.

2.利用函数图象可以判断函数的单调性、奇偶性，作图时要准确画出图象的特点.

考向1函数图象的识别

JT7T

例2(1)(2022•全国甲卷涵数y=(3%—3r>cos%在区间［一句上的图象大致为()

答案A

解析方法一(特值法)

取x=l,贝!jy=(3—§cosl=5cos1>0；

取％=—1,则尸3)cos(—l)

Q

=-1cos1<0.结合选项知选A.

方法二令》=危)，

则A-X)=(3r—33os(-X)

=­(3%-3-x)COSX=—fix),

所以函数丁=(3%—3一？cosx是奇函数,

排除B,D；

取x=l,则y=(3—l^cos1=圣05l>0,排除C,故选A.

（2）（2022•全国乙卷）如图是下列四个函数中的某个函数在区间［—3,3］的大致图象，则该函数是

-%3+3%

A-尸f+l

-2xcosx

C•产RF

答案A

解析对于选项B,当x=l时，y=0,与图象不符，故排除B；对于选项D,当x=3时，y

=|sin3>0,与图象不符，故排除D；对于选项C,当0<无时，0<cosx<l,故丫=管手

〈离yWl,与图象不符，所以排除C.故选A.

考向2函数图象的变换及应用

3\xWl,

例3（1）已知函数兀y则函数y=/（l—X）的大致图象是（）

人JL,

解析方法一作函数式X）的图象关于y轴对称的图象，得到函数八一X）的图象，再把函数式一

x）的图象向右平移1个单位长度即得到函数/U—x）的图象，如图.故选D.

尸危）

3\xWl,

方法_因为函数八幻=<log/,%〉1,

、3

3i,冗20,

所以函数式1-x)=logjj),x<0,

、3

当x=0时，尸")=3,即y=/(l—x)的图象过点(0,3),排除A；

当x=-2时，y=/(3)=-1,即丁=火1—x)的图象过点(一2,—1),排除B；

当x<0时，1—尤>1,#1—%)=log]—排除C.

3

f2_|_9_|_1

rr%wo,”

(2)已知函数犬x)='

若存在的，X2，X3(Xl<X2<X3)使y(Xl)=/(X2)=/(X3)，则

[2x,尤＞0,f

J{x\+彳2+尤3)的取值范围是()

A.(0,1]B.[0,1]

C.D.(—8,1)

答案B

解析作出1工)的大致图象如图，交点横坐标为修，X2,%3,自左向右依次排列，

由图可知，XI,X2关于直线

即》1+尤2=-2,

又X3>0,.•.无1+&+%3>—2.

由图象知，当X>—2时，於)

.,.>1+%2+%3)e[0,1].

规律方法(1)确定函数图象的主要方法是利用函数的性质，如定义域、奇偶性、单调性等，

特别是利用一些特殊点排除不符合要求的图象.

(2)函数图象的应用主要体现为数形结合思想，借助于函数图象的特点和变化规律，求解有关

不等式恒成立、最值、交点、方程的根等问题.

跟踪演练2(1)已知图①中的图象是函数y=#x)的图象，则图②中的图象对应的函数可能是

A.y=fl\x\)B.y=\f(x)\

C.y=f(~\x\)D.y=-f(-\x\)

答案C

解析图②中的图象是在图①的基础上，去掉函数y=/(x)的图象在y轴右侧的部分，然后将

y轴左侧图象翻折到y轴右侧，y轴左侧图象不变得来的，所以图②中的图象对应的函数可能

是。=K—W).

cosv—P9

(2)函数穴无)=4,2+氏+"的图象如图所示,贝|()

A.。>0,6=0,c<0

B.〃>0,。=0,c>0

C.〃<0,Z?<0,c=0

D.a<0,Z?=0,c<0

答案A

解析因为函数八x)的图象关于y轴对称,

所以九0为偶函数，

cosx+2cosx+2

ax2-6尤+c加+bx+c**)，

解得b=0,

3

由图象可得犬0)=]<0,得c<0,

由图象可得分母加+c=0有解,

所以炉=一。有解，

所以一。>0,解得a>0.

考点三函数的性质

【核心提炼】

1.函数的奇偶性

(1)定义：若函数的定义域关于原点对称，则有

八X)是偶函数，(一无)=危)=八国)；

八X)是奇函数，(一无)=

(2)判断方法：定义法、图象法、奇偶函数性质法(如奇函数X奇函数是偶函数).

2.函数单调性判断方法：定义法、图象法、导数法.

3.函数的周期性

若函数/(x)满足Kr+“)=/(x—。)或/(x+2a)=y(x),则函数y=/(无)的周期为21al.

4.函数图象的对称中心和对称轴

⑴若函数兀0满足关系式式。+x)+;(a—x)=26,则函数y=/(x)的图象关于点(a,b)对称.

(2)若函数於)满足关系式/(a+x)=/3—尤)，则函数y=/(x)的图象关于直线了=^^对称.

考向1单调性与奇偶性

例4(2022•广东大联考)已知函数/(尤)=阴一cosx,贝4图，的)，/(一包的大小关系为()

A.

B.即)一加(|)

c./©</H)<A0)

D.7(-1)<»</©

答案B

角星析,・"(%)=e凶一cosx,

x)=—cos(—x)=e|x|—cosx=fix),

，段)为偶函数,

当x>0时，f(x)=ex—cosx,

则，a)=e*+sinx,

・•・当x£(0,+8)时，/(x)=ex+sinx>0,

I.函数兀x)在(0,+8)上单调递增，

二颁制碟,

即旭)<4—£)勺(|).

考向2奇偶性、周期性与对称性

例5(多选)(2022・新高考全国I)已知函数式尤)及其导函数/(X)的定义域均为R,记g(x)=

f'(%).若2x),g(2+无)均为偶函数，贝心)

A.八0)=0B.g(_£)=0

C.人-1)=A4)D.g(—l)=g(2)

答案BC

解析方法一(转化法)因为2x),g(2+x)均为偶函数，

所以/(1_您)=/©+2%)，

即谓-x)=/(|+J

g(2+x)=g(2—x),

所以八3—x)=/(x),g(4~x)=g(x),

则八一D=A4),故C正确；

,3

函数式无)，g(x)的图象分别关于直线x=],x=2对称，又g(无)=/'(尤)，且函数式尤)可导，

所以g(D=。，g(3—x)=—g(x),

所以g(4—x)=g(x)=-g(3—x),

所以g(x+2)=—g(x+l)=g(x),

所以g(—g=g©=°，

g(—l)=g(l)=-g(2),故B正确，D错误;

若函数/(x)满足题设条件，

则函数/(x)+C(C为常数)也满足题设条件，

所以无法确定八0)的函数值，故A错误.

方法二(特例法)因为/(1—2x),g(2+x)均为偶函数，所以函数段)的图象关于直线x=|对

称，函数g(x)的图象关于直线x=2对称.取符合题意的一个函数;(x)=l(xeR),则式0)=1,

排除A；

取符合题意的一个函数#x)=sinTIX,

贝If'(%)=兀COS71X,即g(x)=71COS71X,

以g(1)=71COS(兀)=兀，g(2)=71COS2兀=兀，

所以g(一l)Wg(2),排除D.故选BC.

二级结论(1)若/U+a)=-A无)(或於+。)=点，其中/(x)WO,则/(x)的周期为21al.

(2)若«x)的图象关于直线x=a和x=b对称，则“X)的周期为2|a一回.

(3)若兀0的图象关于点(。，0)和直线无=》对称，则八x)的周期为41a一例.

跟踪演练3⑴若函数於尸e'+aer(aGR)为奇函数，则不等式4n尤)勺(|lnx|)的解集为

答案(0,1)

解析易知危)定义域为R,

又大x)为奇函数，.\/(0)=0,得a=-1,

.,.J[x)=ex—e^x.

，八幻为奇函数且在R上单调递增，

又加ix)勺(|lnx|),

/.Inx<|lnx\,Inx<0,0<x<1.

(2)(2022・新高考全国II)已知函数y(x)的定义域为R,且y(x+y)+/(x—y)=Axm),人1)=1,则

22

24%)等于()

A.-3B.-2C.0D.1

答案A

解析因为黄1)=1,

所以在<x+y)+儿¥—y)=/0才。)中,

令y=l,

得负x+l)+於一l)=Axy(l),

所以7(x+l)+/(x—l)=Ax),①

所以/U+2)+/(x)=Ax+i).②

由①②相加，得式x+2)+兀C—1)=0,

故大x+3)+/(x)=0,

所以力>+3)=—八。，

所以f(x+6)=~f(x+3)=f(x),

所以函数五x)的一个周期为6.

在1Ax+y)y)中,

令y=0,得式x)+/(x)=Axy(o),

所以大0)=2.

令尸产1,得式2)+的)=加求1),

所以八2)=-1.

由人x+3)=-/(x),

得犬3)=-八0)=—2,遥4)=一式1)=-1,

八5)=-八2)=1,犬6)=一八3)=2,

所以41)+式2)1-----PX6)=1-1-2-1+1+2=0,

22

根据函数的周期性知，区激)=黄1)+次2)+<3)+型)=1—：1—2—1=-3,故选A.

专题强化练

一、单项选择题

1.（2022•哈尔滨检测）下列既是奇函数，又在（0,+8）上单调递增的是（）

A.y=sinxB.y=lnx

C.y=tanxD.y=—~

答案D

解析对于A,y=sinx是奇函数,且在（0,十8）上有增有减，故不满足；

对于B,y=lnx的定义域不关于原点对称，是非奇非偶函数，故不满足；

对于C,y=tanx是奇函数，且在（0,+8）上只有单调递增区间，但不是一直单调递增，故

不满足；

对于D,y=—5是奇函数，且在（0,+8）上单调递增，故满足.

2.（2022・西安模拟）设危）=（='：若段）=3,则%的值为（）

Uog2（W—l）,x>3,

A.3B.1

C.—3D.1或3

答案B

解析当x<3时，令2#1—1=3,解得x=l,

当x>3时，<log2（x2-l）=3,

解得x=±3,这与x>3矛盾，

•»x—1.

3.（2022・常德模拟）函数兀暗的图象大致是（）

答案c

解析函数40=号暗的定义域为R,

sin（—TLX）—sing）

式一劝=/工+4=e'+er=一五元），

即/（x）是奇函数，A,B不满足；

当x£（O,l）时，即0〈心〈兀，

则sin（7ix）＞0,而e%+e-%＞0,

因此1x）＞0,D不满足，C满足.

e'—1

4.（2022•张家口检测）已知函数/（x）=1Zpp贝1（）

A.函数五x）是奇函数，在区间（0,+8）上单调递增

B.函数/U）是奇函数，在区间（一8,0）上单调递减

C.函数八尤）是偶函数，在区间（0,+8）上单调递减

D.函数兀0非奇非偶，在区间（一8,0）上单调递增

答案A

1—H

ex—1e'

解析一/（一劝=一宁7=一中

ex

==x

eA_1_/（）»故人入）是奇函数・

「e^+l-22

=x=1-x

又兀幻e+le+T

由复合函数的单调性可知/U）在R上单调递增.

1---Y

5.（2021•全国乙卷）设函数危尸不，则下列函数中为奇函数的是（）

A.>-1)-1B.>-D+l

c.>+i)-iD.危+1)+1

答案B

解析方法一段)="=21,+1)=_^__1,为保证函数变换之后为奇函数，需将函数

八1十X1十X1十X

y=/U)的图象向右平移一个单位长度，再向上平移一个单位长度，得到的图象对应的函数为

y=A尤-1)+1.

]—X

方法二因为危)=在7

所以/(1)=苴m=宁

,1—(x+1)—X

/+D=]+(x+l)=rf?

2—JC2—2x

对于A,5(x)=/(x—1)—1=丁-1=下~,定义域关于原点对称，但不满足网;i)=—F(一

%);

2—x2

对于B,G(x)=#x—1)+1=—1+1=[，定义域关于原点对称，且满足G(%)=—G(—x)；

-

对于c,小+1)_]=三—X一]—=X.—4X—2Dx—I，定义域不关于原点对称；

%十2%十2x十2

一,—x,—%+%+22、、…、一、,一.―一，

对于D,/(x+l)+]=_|_O+1=_|_9=，定乂域不关于原点对称.

6.设定义在R上的函数段)满足加)/+2)=13,若人1)=2,则型9)等于()

A.1B.2

C.0D.-y-

答案D

解析依题意危)式工+2)=13,

13

八-2)=丽，

13

所以加+4)=/(x+2+2)=抵百

=*=於)，

而

所以於)是周期为4的周期函数，

所以/(99)=A25X4-1)=八-1)

_13_13_13

7.已知函数八x)是定义在(-8,0)U(0,+8)上的偶函数，且当尤>o时，的=

(龙一2齐0"4,

输-4—4,则方程於门的解的个数为()

A.4B.6C.8D.10

答案D

解析由题意知，当x>0时,

(%—2)2,0<xW4,

函数©=输―4),x>4,

作出函数人x)的图象，如图所示,

又由方程|x)=l的解的个数，即为函数y=/(x)与y=l的图象交点的个数可知，

当x>0时，结合图象，函数y=«r)与y=l的图象有5个交点，

又因为函数y=/(x)为偶函数，图象关于/轴对称，所以当x<0时，函数y=/(x)与y=l的图

象也有5个交点，

综上可得，函数y=«r)与y=l的图象有10个交点，即方程风灯=1的解的个数为10.

8.(2022•河北联考)若函数式2关+1)。€见是周期为2的奇函数，则下列结论不正确的是()

A.函数7U)的周期为4

B.函数%)的图象关于点(1,0)对称

C.X2021)=0

D./(2022)=0

答案D

解析：函数五2x+l)(尤GR)是奇函数，

1)=—/(—2x+1)=^

/(2x+1)+/(—2x+1)=0,

••・函数/U)的图象关于点(1,0)对称，故B正确；

•.•函数式2尤+l)(xGR)的周期为2,

.•式2(x+2)+l)=A2x+l),

即缺+5)=心+1),

••/x)的周期为4,故A正确；

/(2021)=y(4X505+l)=Xl)=0,故C正确;

/(2022)=H4X505+2)=/(2),无法判断黄2)的值，故D错误.

二、多项选择题

9.下列函数中，定义域与值域相同的是()

B.y=ln尤

答案AD

解析对于A,

定义域、值域都为(一8,0)U(0,+°°),满足题意；

对于B,定义域为(0,+8),值域为R,不满足题意;

对于C,定义域为(一8,0)U(0,+8),

又3，>0,且3-1,

故1,且3工一1/0,故产一1或y>0,

故值域为(一8,—1)U(0,+°°),不满足题意；

定义域、值域都为(一8,l)U(l,+8),满足题意.

1,尤eQ,

10.(2022・淄博检测)函数£>(%)=被称为狄利克雷函数，则下列结论成立的是

0,遇Q

()

A.函数。(x)的值域为[0,1]

B.若O(xo)=l,则。(xo+l)=l

C.若。(X1)—0(X2)=。，则XI—X2GQ

D.Z)(x+爽)=1

答案BD

解析选项A,函数。(无)的值域为{0,1},A错误;

选项B,若。(尤o)=l,则xoGQ,xo+lGQ,

则。(尤o+1)=1,B正确；

选项C,。(2兀)一。(兀)=0—0=0,

但2兀一兀=7teQ,C错误；

选项D,当了=一表时，

0(尤+的=0(一立+的=0(0)=1,

则mxdR,D(x+g)=1,D正确.

✓7Y|h

11.下列可能是函数式无)=讲了(其中a,b,ce{-1,0,1})的图象的是()

答案ABC

解析A选项中的图象关于y轴对称，B选项中的图象关于原点对称，两个选项均可得函数

的定义域为{x|xW0},可得c=0,又函数兀0的零点只能由ax+b产生，所以函数/(x)可能没

有零点，也可能零点是x=—1,0,1,所以A,B选项可能符合条件；

而由D选项中的图象知，函数/(x)的零点在(0,1)上，但此种情况不可能存在，所以D选项不

符合条件；观察C选项中的图象，由定义域猜想c=l,由图象过原点得b=0,猜想a=l,

可能符合条件.

12.已知函数1)的图象关于直线x=—1对称，且对V尤GR,有x)=4.当

XG(O,2］时，_/U)=x+2,则下列说法正确的是()

A.8是大x)的周期

B.八x)的最大值为5

C.42023)=1

D.尤+2)为偶函数

答案ACD

解析因为函数y=Ax—1)的图象关于直线x=—1对称，

故兀0的图象关于直线x=~2对称，

因为对VxGR有人力+八-x)=4,

所以函数y=/(x)的图象关于点(0,2)成中心对称，所以八一2+x+2)=/(—2—(x+2)),

即式x)=/(—4—x)=4-/(—x),

又八一4—x)+y(x+4)=4,

即五一4—无)=4—大尤+4),

所以八x+4)=八一x),

所以五(x+4)+4)=A—。+4))=八尤)，

所以“r+8)=/(x),

所以8是八x)的周期，故A正确；

又八x+2)=/(—x+2),故函数«r+2)为偶函数，故D正确；

因为当尤d(0,2］时,fix)=x+2,

且共助+八一x)=4,

则当xd［—2,0)时，-xe(0,2］,

所以六-x)=—x+2=4—兀0，

所以*x)=x+2,

故当彳6［—2,2］时，fix)=x+2,

又函数了=大尤)的图象关于直线尤=-2对称，

所以在同一个周期［—6,2］上，

八x)的最大值为黄2)=4,

故人x)在R上的最大值为4,故B错误；

因为近2023)=/253X8-1)

=/-1)=4-/(1)=1,

所以C正确.

三、填空题

13.(2022.泸州模拟)写出一个具有下列性质①②③的函数氏0=.①定义域为R；

②函数«r)是奇函数；③A尤+兀)=«x).

答案sin2x(答案不唯一)

14.已知函数负x)=1nhp不1—x)+1,则/(In5)+f(in§=.

答案2

解析令g(x)=ln(q/+l—尤),

则g(x)的定义域为R,

g(一尤)+g(x)=InN'+l+无)+InN'+l—尤)=In1=0,

；.g(x)为奇函数，

5)+f(in£)=/ln5)+式一In5)

=g(ln5)+1+g(—In5)+1=2.

(x-a)2,xWO,

15.已知函数加)=(若式0)是兀0的最小值，则〃的取值范围为________.

x+~+a,x>0,

答案[0,2]

解析由于当尤>0时，/(x)=x+：+a在x=l时取得最小值2+a,

因为犬。)是犬尤)的最小值，

所以当xWO时，式x)=(x—op单调递减,

则此时最小值为式0)=〃，

因此/W〃+2,解得0WaW2.

16.(2022.济宁模拟)已知函数危尸eLU-sin停x),则使得加)》⑵)成立的尤的取值范围是

解析令g(x)=eN—cos&：),将其向右平移1个单位长度，

得y=U—cos卷一习=炭一U—sin(^x),

所以"r)=eWf—sin(|x)是函数g(x)向右平移1个单位长度得到的.

而易知g(x)是偶函数，

当x>Q时，g(x)=e“一cos&:),

，/、r।兀.「兀\

g(x)=er+2Sin|jx|,

当0<xW2时,显然g'(x)>0,

当x>2时，e*>e2,

一产科13六万，

所以屋(x)>0,

所以g(x)在(0,+8)上单调递增，在(一8,0)上单调递减.

从而可知式X)在(1,+8)上单调递增，

在(一8,1)上单调递减.

所以当尤)时，有以一1|>|2无一1|,

2

解得00yl.

第2讲基本初等函数、函数与方程

［考情分析］1.基本初等函数的图象与性质是高考考查的重点，利用函数性质比较大小、解不

等式是常见题型2函数零点的个数判断及参数范围是常考题型，常以压轴题的形式出现.3.函

数模型及应用是近几年高考的热点，通常考查指数函数、对数函数模型.

考点一基本初等函数的图象与性质

【核心提炼】

指数函数且与对数函数y=logax(〃>0,且互为反函数，其图象关于)

=x对称，它们的图象和性质分两种情况，着重关注两种函数图象的异同.

例1(1)(2022・杭州模拟)已知lgi+lgZ?=0(〃>0且方>0且6W1),则函数/(x)=/与g(x)

=log/的图象可能是()

b

答案B

解析：lga+lgb=0(a>0且aWl,6>0且6W1),

1

--

力

函数1X)=炉与函数g(x)=log/互为反函数，

b

・・・函数八%)=户与8(%)=1。84的图象关于直线y=x对称，且具有相同的单调性.

b

(2)若对正实数x,y有logM—log2y<3一”一3一匕贝版)

A.ln(y-x+l)>0B.ln(y-x+l)<0

C.ln|x_y|>0D.ln|x-y|<0

答案A

解析设函数"r)=logzr—3r.

因为y=log2%与y=-3一”在(0,+8)上均单调递增，所以«x)在(0,+8)上单调递增，

原不等式等价于log2X—3一”〈log2y—3一，

即於)勺U)，

所以y>x>0,即y—x>0,

所以A正确，B不正确；

又|x—y|与1的大小关系不确定，

所以C,D不正确.

规律方法(1)指数函数、对数函数的图象与性质受底数〃的影响，解决与指数函数、对数函

数有关的问题时，首先要看底数〃的取值范围.

(2)基本初等函数的图象和性质是统一的，在解题中可相互转化.

跟踪演练1(1)(2022•山东名校大联考)若a=log32,&=log52,c=e°V贝!Ja,b,c的大小关

系为()

A.b<a<cB.c<a<b

C.b<c<aD.a<b<c

答案A

解析由对数函数的单调性可知

0=log3I<log32<log33=1,

即0<a<1,且(=log23,

又0=log51<log52<log55=1,

即0</?<1且/=log25,又Iog23<log25,

即!<1,所以原也

又根据指数函数的单调性可得。=©。2>©°=1,

所以b<a<c.

(2)(2022・邯郸模拟)不等式1，一6%—的解集为.

答案［1,+°°)

解析由1，-6%—3%21,

可得(吉)+!!}+扁卜5L

令人月=阖工+(1〉+(得〉,

因为y=/},y=(1)，y=岛>均在R上单调递减，则/(x)在R上单调递减，且11)=1,

所以即

故不等式1(7—6，一3工21的解集为［1,+°°).

考点二函数的零点

r核心提炼］

判断函数零点个数的方法

(1)利用函数零点存在定理判断.

(2)代数法：求方程式X)=0的实数根.

(3)几何法：对于不易求根的方程，将它与函数y=/(x)的图象联系起来，利用函数的性质找出

零点或利用两个函数图象的交点求解.在利用函数性质时，可用求导的方法判断函数的单调

性.

考向1函数零点个数的判断

例2已知人尤)是定义在R上周期为2的偶函数，且当时，人龙)=2，—1,则函数g(x)

=/(X)—log5|x|的零点个数是()

A.2B.4C.6D.8

答案D

解析当xG［O』］时，风r)=2*—1,函数y=/(x)的周期为2且为偶函数，其图象关于y轴对称，

可作出函数/(x)的图象.函数y=log5|x|的图象关于y轴对称，函数y=g(x)的零点，即为两函

数图象交点的横坐标，当x>5时，y=log5|x|>l,此时两函数图象无交点，如图，

又两函数的图象在无>0上有4个交点，由对称性知两函数的图象在x<0上也有4个交点，且

它们关于y轴对称，可得函数g(x)=/(x)—log5|x|的零点个数为8.

考向2求参数的值或范围

例3(2022•河北联考)函数_Ax)=e，和8(尤)=成的图象有三个不同交点，则Z的取值范围是

答案停，+8)

解析因为函数/(x)=ex和且。)=丘2的图象有三个不同交点，

所以方程。%=扇有三个不同的实数根，显然x=0不是方程的实数根，

所以方程-Q0)有三个不同的非零实数根，

令〃(x)=},则h'(x)=aj)e,

所以当x<0时，h'(x)>0,

当0a<2时，〃(尤)<0,

当x>2时，h'(x)>0,

所以函数阳)=亳在(一8,0)和(2,+8)上单调递增，在(0,2)上单调递减，

因为当x趋近于一8时，/?(%)趋近于0,当x趋近于+8时，/?&)趋近于+8,当x趋近于0

时，4(%)趋近于+8,

_2

所以函数/z(x)的大致图象如图所示，/z(2)=ew，

I\y=h(x)/

■'2

所以当方程*=WQ0)有三个不同的实数根时，上的取值范围是仔，+8)

规律方法利用函数零点的情况求参数值(或取值范围)的三种方法

I~~~~利用零点存在定理构建不等式确定参

I旦.百数的取值定菌_______________________

|分离，数法T将参数分离，转化成求函数的值域问题|

I晶彩1人一I—先对解析式变形，在同一平面直角坐标系

I数序中作出函薮的图象，然后数形结合求解

跟踪演练2(1)已知函数兀0={厂'若关于x的方程火工)=〃(%+1)有三个不相等的

Qx,x20,

实数根，则实数〃的取值范围是.

解析作出函数危)的图象，又直线y=a(x+l)过定点尸(一1,0),如图，当直线y=Q(x+l)与

的图象有两个交点时满足题意，需满足〃>0,

(y=a(x+l),

由1r得<%+〃=0,令t=yjx,

则at1—t+a=0有两个正根，

所以J=l—4a2>0,解得一义<44,

此时，1亥=1>0,九+亥=1>0,所以Ovav,

(2)函数加)=sin与一士在区间［-4,8］上的所有零点之和为

答案16

解析由题意得函数段尸sin号一士在区间L4,8］上的零点，即方程sin号一士=0的根,

作出函数丫=$出与和尸七的图象，如图所示,

乙NX

由图可知，两个函数的图象有8个不同的交点，且两两关于点(2,0)对称，故8个点横坐标之

和为16,所以函数加尸sin券一十在区间［—4,8］上的所有零点之和为16.

乙乙X

考点三函数模型及其应用

t核心提炼】

解函数应用题的步骤

(1)审题：缜密审题，准确理解题意，分清条件和结论，理清数量关系.

(2)建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相

应的数学模型.

(3)求模：求解数学模型，得出数学结论.

(4)反馈：将得到的数学结论还原为实际问题的意义.

例4(1)(2022•衡阳模拟)2021年10月16日0时23分，搭载神舟十三号载人飞船的长征二

号厂遥十三运载火箭，在酒泉卫星发射中心按照预定时间精准点火发射，顺利将翟志刚、王

亚平、叶光富3名航天员送入太空，飞行乘组状态良好，发射取得圆满成功，火箭在发射时

会产生巨大的噪音，已知声音的声强级4(x)(单位：dB)与声强龙(单位：W/n?)满足d(x)=

101g,.若人交谈时的声强级约为50dB,且火箭发射时的声强与人交谈时的声强的比值约

为IO)则火箭发射时的声强级约为()

A.130dBB.140dB

C.150dBD.160dB

答案B

解析当人交谈时的声强级约为50dB,

XXe—

50=101gJQ-I2=^JQ-I2=105=>x=107,

即人交谈时的声强为l(T7w/m2,因为火箭发射时的声强与人交谈时的声强的比值约为109,

所以火箭发射时的声强为10-7X109=100W/m2,

因此火箭发射时的声强级为101g学5=101g10M=10X14=140(dB).

(2)(2022•福州模拟)深度学习是人工智能的一种具有代表性的实现方法，它是以神经网络为出

G

发点的.在神经网络优化中，指数衰减的学习率模型为乙=4。石，其中L表示每一轮优化

时使用的学习率，工o表示初始学习率，。表示衰减系数，G表示训练迭代轮数，Go表示衰减

速度.已知某个指数衰减的学习率模型的初始学习率为0.5,衰减速度为22,且当训练迭代

轮数为22时，学习率衰减为0.45,则学习率衰减到0.05以下(不含0.05)所需的训练迭代轮数

至少为(参考数据：lg3po.4771)()

A.11B.22C.227D.481

答案D

_2_G_

解析由于乙=4。5,所以L=0.5X。亚，

乌9

依题意0.45=0.5义D220。二左，

贝I£=0.5X

由£=0.5义

G-(lg9-lg10)<-22,G-(lg10-lg9)>22,

22

所以G>imio-

lg10-lg9

222222

G>l-21g3^1-2X0.4771=0.0458^480-35'

所以所需的训练迭代轮数至少为481轮.

易错提醒构建函数模型解决实际问题的失分点

(1)不能选择相应变量得到函数模型.

(2)构建的函数模型有误.

(3)忽视函数模型中变量的实际意义.

跟踪演练3(1)(2022•荆州联考)“绿水青山就是金山银山”，党的十九大以来，城乡深化河

道生态环境治理，科学治污.某乡村一条污染河道的蓄水量为。立方米，每天的进出水量为

上立方米.已知污染源以每天r个单位污染河水，某一时段f(单位：天)河水污染质量指数为

加⑺(每立方米河水所含的污染物)满足比⑺+丁(冽0为初始质量指数)，经测

kVk)

算，河道蓄水量是每天进出水量的80倍.若从现在开始关闭污染源，要使河水的污染水平下

降到初始时的10%,需要的时间大约是(参考数据：In10"2.30)()

A.1个月B.3个月

C.半年D.1年

答案C

80

解析由题可知，m(0=moe=0.1恤，

e疝'=0.1,

0.12一2.30,；.r«184（天）,

...要使河水的污染水平下降到初始时的10%,结合选项知需要的时间大约是半年.

(2)(2022.广东大联考)水果采摘后，如果不进行保鲜处理，其新鲜度会逐渐流失，某水果产地

的技术人员采用一种新的保鲜技术后发现水果在采摘后的时间f(单位：小时)与失去的新鲜度

1

r,0W/<10,

1000

y满足函数关系式:为了保障水果在销售时的新鲜度不低于

y=[20+?

—2^,10<?<100,

120

85%,从水果采摘到上市销售的时间间隔不能超过(参考数据：log23PL6)()

A.20小时B.25小时

C.28小时D.35小时

答案C

解析由题意可知当长10时，失去的新鲜度小于10%,没有超过15%,

]20+r20+£

当时，则有--230W15%,即2刀"W3,

20

20+t

...-30-Wlog23pl.6,

・•・08—20=28.

专题强化练

一、单项选择题

1.塞函数五彳）满足式4）=3戒2）,则等于（）

A.gB.3C.—wD.—3

答案A

解析设嘉函数兀0=非，贝［40=3X2。，

解得a=Iog23,所以八x）=xlog23,

所以/（，=2—唾23=/

2.（2022・泸州模拟）若log/>l,其中a>0且aWl,b>l,则（）

A.0<a<l<bB.\<a<b

C.l<b<aD.l<b<a2

答案B

解析当0<〃<1时，y=log小单调递减，

由/?>1,贝!Ilog/<0,与log«Z?>l矛盾，故a>l9

由logfl/?>l得log«/?>log^,贝Ib>a,故b>a>l.

3.函数人无）=笠;;二K的零点有（)

A.2个B.3个

C.5个D.无数个

答案B

解析/(x)的定义域为(一5,5),

令7(x)=°，得sinx=0,:・x=kR,kRZ,

又x^(—5,5),.\x=0或不=±兀，

故兀0有3个零点.

4.朗伯比尔定律（Lambert—Beerlaw）是分光光度法的基本定律，是描述物质对某一波长光吸

收的强弱与吸光物质的浓度及其液层厚度间的关系，其数学表达式为A=lg4=Kbc,其中A

为吸光度，T为透光度，K为摩尔吸光系数，c为吸光物质的浓度，单位为mol/L,6为吸收

层厚度，单位为cm.保持K,b不变，当吸光物质的浓度增加为原来的两倍时，透光度由原来

的T变为（）

A.2TB.F

c.|rD.ior

答案B

解析由A=lg/=K6c,得/=10\

所以7=（玄〉，

保持K,b不变，当吸光物质的浓度增加为原来的两倍时，透光度变为7,

则KZ?-2c=2A=lg^^,所以/-=1。2匕

所以T，=（金』［阖"=『2,

所以透光度由原来的T变为r2.

5.（2022・十堰统考）已知a=ln3,b=305,c=lg9,贝！1（）

A.a>b>cB.c>a>b

C.b>a>cD.b>c>a

答案c

解析因为0=lgl<c=lg9<lg10=1,

a=ln3>lne=l,所以a>c,

-3

又e3>2H>32,所以e2>3,则］>ln3,

3

则fe=305>2>ln3=a.

故b>a>c.

6.（2022・聊城模拟）“环境就是民生，青山就是美丽，蓝天也是幸福”，随着经济的发展和社

会的进步，人们的环保意识日益增强.某化工厂产生的废气中污染物的含量为1.2mg/cn?,

排放前每过滤一次，该污染物的含量都会减少20%,当地环保部门要求废气中该污染物的含

量不能超过0.2mg/cn?,若要使该工厂的废气达标排放，那么该污染物排放前需要过滤的次

数至少为（参考数据：1g2-0.30,1g3q048）（）

A.6B.7C.8D.9

答案C

解析设该污染物排放前过滤的次数为“（WGN*）,

由题意得1.2X0.8"W