上海市浦东新区2022-2023学年高二上学期数学期末试卷（含答案）

上海市浦东新区2022-2023学年高二上学期数学期末试卷姓名：__________班级：__________考号：__________题号一二三总分评分一、填空题1．过平面外一点与该平面平行的平面有个．2．小王做投针实验，观察针压住平行线的次数，所得的数据是．（用“观测数据”或“实验数据”填空）3．某药物公司实验一种降低胆固醇的新药，在500个病人中进行实验，结果如下表所示.胆固醇降低的人数没有起作用的人数胆固醇升高的人数30712073则使用药物后胆固醇降低的经验概率等于.4．已知球的表面积为36π，则该球的体积为.5．“二十四节气歌”是以“春、夏、秋、冬”开始的四句诗.某校高二共有学生400名，随机抽查100名学生并提问二十四节气歌，只能说出一句的有45人，能说出两句及以上的有38人，据此估计该校高二年级的400名学生中，对“二十四节气歌”一句也说不出的有人.6．某校高二（1）班为了调查学生线上授课期间的体育锻炼时间的差异情况，抽取了班级5名同学每周的体育锻炼时间，分别为6，6.5，7，7，8.5（单位：小时），则可以估计该班级同学每周的体育锻炼时间的方差为．7．已知一个正方形的边长为2，则它的直观图的面积为．8．已知大小为π6的二面角的一个面内有一点，它到二面角的棱的距离为6，则这个点到另一个面的距离为9．“阿基米德多面体”也称半正多面体，是由边数不全相同的正多边形围成的多面体，它体现了数学的对称美.二十四等边体就是一种半多正多面体．如图，棱长为1的正方体截去八个一样的四面体，就得到二十四等边体，则该几何体的体积为．10．已知事件A、B互斥，P(A∪B)=35，且P(A)=2P(B)，则P(11．小明和小王在课余玩象棋比赛，可以采用“五局三胜制”或“三局两胜制”.相对而言，小明棋艺稍弱，每一局赢的概率都仅为0.4.小明为了让自己在比赛中赢的几率更大些，应该提议采用12．如图，有一边长为2cm的正方形ABCO，D，E分别为AO、AB的中点.按图中的虚线翻折，使得①三棱锥的表面积为4；②三棱锥的体积为13③三棱锥的外接球表面积为6π；④三棱锥的内切球半径为1.则以上结论中，正确结论是.（请填写序号）二、单选题13．小明同学每天阅读数学文化相关的书籍，他每天阅读的页数分别为：4、5、4.5、5、6、8、7、5、4.5、6（单位：页）.下列图形中不利于描述这些数据的是（）A．条形图 B．茎叶图 C．散点图 D．扇形图14．下列说法正确的是（）A．过球面上任意两点与球心，有且只有一个大圆B．底面是正多边形，侧棱与底面所成的角均相等的棱锥是正棱锥C．用一个平面截圆锥，得到一个圆锥和圆台D．以直角三角形任意一边为旋转轴，其余两边旋转一周所得的旋转体都是圆锥15．某校组织了一次航空知识竞赛，甲、乙两个班级各派8名同学代表参赛．两个班级的数学课代表合作，将甲、乙两班所有参赛同学的得分绘制成如图所示的茎叶图，则下列结论错误的是（）A．甲班参赛同学得分的极差比乙班参赛同学得分的极差小B．甲班参赛同学得分的中位数比乙班参赛同学得分的中位数低C．甲班参赛同学得分的平均数为84D．乙班参赛同学得分的第75百分位数为8916．先后抛掷质地均匀的硬币4次，得到以下结论：①可以从不同的观察角度写出不同的样本空间②事件“至少2次正面朝上”与事件”至少2次反面朝上”是互斥事件③事件“至少1次正面朝上”与事件”4次反面朝上”是对立事件④事件“1次正面朝上3次反面朝上”发生的概率是1以上结论中，正确的个数为（）个A．1个 B．2个 C．3个 D．4个17．过坐标原点O作直线l：(a−2)x+(A．[0，22] B．(0，218．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，A、B为平面上两点，且OA⋅OB=0，M为线段AB中点，其坐标为(a，b)A．55 B．255 C．3三、解答题19．如图，在正方体ABCD−A1B1C（1）求异面直线BD1与（2）判断BD1与平面20．不透明的盒子中有标号为1、2、3、4的4个大小与质地相同的球.（1）甲随机摸出一个球，放回后乙再随机摸出一个球，求两球编号均为奇数的概率；（2）甲、乙两人进行摸球游戏，游戏规则是：甲先随机摸出一个球，记下编号，设编号为m，放回后乙再随机摸出一个球，也记下编号，设编号为n.如果m+n>5，算甲赢；否则算乙赢.这种游戏规则公平吗？请说明理由.21．如图，在直角△AOB中，∠OAB=π6，斜边AB=8，D是AB中点，现将直角△AOB以直角边AO为轴旋转一周得到一个圆锥.点C为圆锥底面圆周上一点，且（1）求圆锥的体积与侧面积；（2）求直线CD与平面BOC所成的角的正切值.22．法国著名的数学家笛卡尔曾经说过：“阅读优秀的书籍，就是和过去时代中最杰出的人们——书籍的作者一一进行交谈，也就是和他们传播的优秀思想进行交流”.阅读会让精神世界闪光．某大学为了解大一新生的阅读情况，通过随机抽样调查了100位大一新生，对这些学生每天的阅读时间（单位：分钟）进行统计，得到样本的频率分布直方图如图所示：（1）求a的值；（2）根据频率分布直方图，估计该校大一新生每天阅读时间的平均数（精确到0.1）（单位：分钟）；（3）为了进一步了解大一新生的阅读方式，该大学采用分层抽样的方法从每天阅读时间位于分组[50，60)，[6023．如图，已知四面体ABCD中，AB⊥平面BCD，BC⊥CD.（1）求证：AC⊥CD；（2）《九章算术》中将四个面都是直角三角形的四面体称为“鱉臑”，若此“鱉臑”中，AB=BC=CD=1，有一根彩带经过面ABC与面ACD，且彩带的两个端点分别固定在点B和点D处，求彩带的最小长度；（3）若在此四面体中任取两条棱，记它们互相垂直的概率为P1；任取两个面，记它们互相垂直的概率为P2；任取一个面和不在此面上的一条棱，记它们互相垂直的概率为P3.试比较概率P1、

答案解析部分1．【答案】1【解析】【解答】由面面平行的传递性知，若平面α∥平面β，平面α∥平面γ，则平面β∥平面γ，假设过平面外一点与该平面平行的平面不止一个，则这些平面均相交，与上述结论相矛盾，所以假设不成立，所以过平面外一点与该平面平行的平面有1个．故答案为：1．

【分析】假设过平面外一点与该平面平行的平面不止一个，由面面平行的性质推出矛盾，得出结果为1.2．【答案】实验数据【解析】【解答】由题意，小王做具体投针实验，观察针压住平行线的次数，所得的数据是实验数据.故答案为：实验数据.

【分析】根据具体的实验，得到具体的实验数据.3．【答案】307【解析】【解答】依题意使用药物后胆固醇降低的人数为307，又试验总次数为500，所以使用药物后胆固醇降低的经验概率等于307500故答案为：307

【分析】根据古典概型的概率公式可求出答案.4．【答案】【解析】【解答】设球半径为R，∵球的表面积为36π，∴4πR∴R=3，∴该球的体积为V=4故答案为：36π．【分析】根据球的表面积求出球的半径，代入即可求出球的体积.5．【答案】68【解析】【解答】由题意可知，随机抽查100名学生中有100−45−38=17人一句也说不出，又抽查比例为4：所以，该校高二年级的400名学生中共有17×400故答案为：68

【分析】根据题意可知，随机抽查比例是4：6．【答案】0.7【解析】【解答】解：数据为6，6.5，7，7，8.5，所以平均数为：15则方差为S2故答案为：0.7

【分析】先求出数据的平均数位7，利用方差的公式求解即可.7．【答案】2【解析】【解答】由题意可知，原图形面积为S=2又直观图面积是原图形面积的24倍，所以直观图的面积为4×故答案为：2

【分析】根据直观图面积是原图形面积的248．【答案】3【解析】【解答】如图，设二面角α−l−β为π6，点A∈α，且AB⊥l，AB=6过点A作AC⊥平面β，垂足为C，连接BC，∵AC⊥平面β，l，∴AC⊥l，又∵AB⊥l，AB∩AC=A，∴l⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，则l⊥BC，故二面角α−l−β的平面角为∠ABC=π在Rt△ABC中，AC=ABsin故点A到平面β的距离为3.故答案为：3.【分析】作出图形，根据题意结合直角三角形运算求解.9．【答案】5【解析】【解答】棱长为1的正方体截去八个一样的四面体，就得到二十四等边体，则该几何体的体积为V=V故答案为：5

【分析】利用割补法可得二十四等边体的体积，计算即可得解.10．【答案】4【解析】【解答】解：∵事件A、B互斥，且P(A)=2P(B)，∵P(A∪B)=P(A)+P(B)=3P(B)=∴解得P(B)=1∴P(B故答案为：45

【分析】由已知事件A、B互斥，且P(A)=2P(B)，可求P(B)=111．【答案】三局两胜制【解析】【解答】因为小明每一局赢的概率都为0.4，所以采用“三局两胜制”时小明获胜的概率为C2所以小明选择“三局两胜制”时在比赛中赢的几率更大些，故答案为：三局两胜制.

【分析】分别计算出“三局两胜制”和“五局三胜制”下小明赢的概率，比较概率大小，确定选法.12．【答案】①②③【解析】【解答】根据题意可知，三棱锥的表面积与正方形ABCO的面积相等为4，即①正确；设A，B，O三点重合于点易知CP=2，根据几何关系可知CP⊥PD，CP⊥PE，PD∩PE=P所以三棱锥的体积V=13S由CP⊥PD，CP⊥PE，设三棱锥的外接球半径为R，则满足C所以，其表面积为4πR2=6π设三棱锥的内切球半径为r，由①知三棱锥的表面积为S=4利用等体积法可知V=13r所以三棱锥的内切球半径为14，即④故答案为：①②③

【分析】根据折叠规则可确定三棱锥的表面积与原正方形面积相等，即可判断①；再利用垂直关系找出三棱锥的底面积和高可求得其体积，能判断②；利用三条棱两两垂直可构造长方体求外接球的半径，即可判断③；利用等体积法可求得三棱锥的内切球半径判断④，得出结论.13．【答案】C【解析】【解答】条形图：是用宽度相同的条形的高度（或长度）表示数据的频数，故符合题意；茎叶图：即可以保留原始数据又可以方便记录数据，故符合题意；散点图：用两组数据构成多个坐标点，通常用于比较跨类别的成对数据，不符合题意；扇形图：是用整个圆表示总体，用圆内各个扇形的大小表示各个部分占总体的百分数，扇形图可以容易看出各个部分所占总体的比例，故符合题意；故答案为：C.

【分析】根据相关图的特征理解判断.14．【答案】B【解析】【解答】球面上两点与球心共线时，有无数个大圆，A不符合题意.底面是正多边形，侧棱与底面所成的角均相等，则顶点在底面的射影是底面的中心，所以是正棱锥，B符合题意.用一个平行于底面的平面截圆锥，得到一个圆锥和圆台，C不符合题意.以直角三角形任意一直角边为旋转轴，旋转一周所得的旋转体都是圆锥，D不符合题意.故答案为：B

【分析】根据空间几何体的概念和性质可判断.15．【答案】D【解析】【解答】对A，甲班参赛同学得分的极差为93−76=17，乙班参赛同学得分的极差为94−71=23，故正确；对B，甲班参赛同学得分的中位数是82+842=83，乙班参赛同学得分的中位数是对C，甲班参赛同学得分的平均数为76+79+80+82+84+88+90+938对D，乙班参赛同学得分为71，80，81，82，85，89，90，94，8×34=6故答案为：D

【分析】A.利用极差的定义求解判断；B.利用中位数的定义求解判断；C.利用平均数的定义求解判断；D.利用百分位数的定义求解判断.16．【答案】C【解析】【解答】①本实验是一个古典概型，可只考虑正反面出现的次数或既考虑次数也考虑顺序，所以可以从不同的观察角度写出不同的样本空间，故正确；②事件“至少2次正面朝上”为2正2反，3正1反，4正，事件“至少2次反面朝上”为2反2正，3反1正，4反，不互斥，故错误；③事件“至少1次正面朝上”为1正3反，2正2反，3正1反，4正，与事件“4次反面朝上”互为对立事件，故正确；④样本空间为“4反，1正3反，2正2反，3正1反，4正”，共4种，事件“1次正面朝上3次反面朝上”有1种，所以事件“1次正面朝上3次反面朝上”发生的概率是14故答案为：C.

【分析】①本实验是一个古典概型，考虑正反面出现的次数及顺序有关或无关判断；②分别列举事件“至少2次正面朝上”和事件“至少2次反面朝上”判断；③列举事件“至少1次正面朝上”判断；④利用古典概型的概率求解判断.17．【答案】D【解析】【解答】直线l：(a−2)x+(a+1)y+6=0，即令x+y=0−2x+y+6=0，解得x=2即直线l：(a−2)x+(a+1)y+6=0过定点由过坐标原点O作直线l：(a−2)x+(a+1)y+6=0的垂线，垂足为可知：H(而以OA为直径的圆为(x+1故m2+n而圆过原点，圆上点到原点的最远距离为|OA但将原点坐标代入直线l：(a−2)即直线l不过原点，所以H(故m2故答案为：D

【分析】直线l：(a−2)x+(a+1)y+6=0过定点A(2，−2)，由题意可知H18．【答案】B【解析】【解答】因为OA⋅OB=0，所以OA因为M为线段AB中点，坐标为(a，b)，则|OM|=|2a+b−4|几何意义为圆M的半径与点M到直线2x+y−4=0的距离相等，即圆M与直线2x+y−4=0相切，则圆M的半径最小值为点O到直线2x+y−4=0的距离的一半，即|−4|1+4故答案为：B

【分析】由题意得以AB为直径的圆过点O，由5|OM|=|2a+b−4|得|OM|=|2a+b−4|519．【答案】（1）解：因为BB1//CC1，所以∠设BB1=a，则B1D所以异面直线BD1与CC1所成的角为arctan2（2）解：BD1连接BD，交AC于O，连接OE，在△BDD1中，O，E分别为BD、DD1中点，因为OE⊂平面AEC上，而BD1⊄由直线与平面平行的判定定理得，BD1//【解析】【分析】（1）因为BB1//CC1，所以∠B1BD1就是异面直线BD1与CC1所成的角，在三角形△BB1D20．【答案】（1）解：设事件两球编号均为奇数为事件A，由已知随机试验的样本空间为(1，1)，(1，2)，所以事件两球编号均为奇数的概率为14（2）解：由(1)事件m+n>5包含基本事件(2，4)，所以事件甲赢的概率为38，故事件乙赢的概率为5因为事件甲赢的概率与事件乙赢的概率不相等，所以这种游戏规则不公平.【解析】【分析】(1)列出样本空间，根据古典概型概率公式求事件两球编号均为奇数的概率；

(2)由(1)分别求出事件甲赢和乙赢的概率，比较概率大小判断游戏是否公平.21．【答案】（1）解：由题意可得OB=4，所以底面圆面积S=π⋅OB2=16π所以圆锥的体积为V=1圆锥侧面展开图的半径为R=AB=8，弧长为底面圆周长l=2π⋅OB=8π圆锥的侧面积为S侧（2）解：取BO中点H，连接DH，在△AOB中，中位线DH//AO，易知AO⊥可得DH⊥平面BOC，所以∠DCH即为直线CD与平面BOC所成的角，易知DH=12AO=23，又所以tan∠DCH=所以直线CD与平面BOC所成的角的正切值为155【解析】【分析】（1）根据旋转体的几何特征可求得圆锥底面积和高，利用圆锥体积公式可求得体积，再利用侧面展开图和扇形面积公式可得侧面积；

（2）取BO中点H，连接DH，CH，根据线面角的定义得∠DCH即为直线CD与平面BOC所成的角，在直角三角形22．【答案】（1）解：因为频率分布直方图的所有矩形面积之和为1，所以(0得a=0.（2）解：各区间的中点值为55、65、75、85、95对应的频数分别为10、20、45、20、5这100名大一新生每天阅读时间的平均数为55×10+65×20+75×45+85×20+95×5所以估计该校大一新生每天阅读时间的平均数为74分钟.（3）解：由题意，阅读时间位于分组[50，60)，10人、20人、20人，因此[50[60[80再从中任选2人