2022年新高考数学小题压轴 6 直线与圆压轴小题（学生版+解析版）

专题6直线与圆压轴小题

一、单选题

1.（2021•江西南昌•高三开学考试（理））已知函数〃力若〃a）+f（b）＞0,若点（。⑼不可能

e

在曲线C上，则曲线C的方程可以是（）

I22

A.（x-l）+（y-l）=2B.（X-1）2+/=2

C.X”2=2D.d+（y-l）2=2

2.（2021•浙江省宁海中学模拟预测）已知平面非零向量"ED满足

｛2®二｛力|£一2|=/团,混[）仅一£）"-B）=。｝，则对于任意的[使得"矶〃（万-2）（）

A.（刚（3小0恒有解B.（口卜1）0.小0恒有解

C.舸-2购//0恒无解D.（同-3）（32）40恒无解

3.（2021・重庆•西南大学附中高三月考）已知定义在R上的函数/（x）满足如下条件：①函数的图象关于

y轴对称；②对于任意xeR,/（x）=/（2-x）；③当xw[O,l]时，/U）=jx；④g（x）=/（4x）.若过点（一1,0）

的直线/与函数以外的图象在xe[0,2]上恰有8个交点，则直线/斜率k的取值范围是（）

A.（哈）B.屉）C.（0,1）D.喈）

4.（2021・全国•高三专题练习）设义-2,0）,8（2,0）,。为坐标原点，点尸满足+归邦K16,若直线

h-j+6=0上存在点。使得NPQO=g,则实数4的取值范围为（）

O

A.[7a,4&]B.（-a）,^V2]u[4V2,+a））

I2JL2J[22」

5.（2021・全国•高三专题练习）在平面直角坐标系xOy中，给定两点N（3,4）,点尸在X轴的正半轴

上移动，当NMPN取最大值时，点尸的横坐标为（）

A.-B.-C.3D.—

233

6.（2021•安徽省怀宁中学高三月考（理））已知抛物线£：/=22），（夕＞0）的焦点到准线的距离为3,点

。（左，%）在抛物线G上，点A3在圆。2：/+、2-4），+3=0上，直线D4,OB分别与圆仅有1个交点，且

与抛物线C1的另一个交点分别为P,。，若直线PQ的倾斜角为120°,则%=（)

A.B.一百或立C.一立或石D.土百

333

7.（2021•云南师大附中高三月考（文））已知d,B,，是平面向量，。与不是单位向量，且值_1〃，向量5

满足4户-8。•5+3=0,则|不-5|的最大值与最小值之和是（）

A.2&B.2百C.4D.2石

8.（2021•云南•峨山彝族自治县第一中学高三月考（文））已知ABC。是矩形，且满足人8=3,8。=4.其所在

平面内点M,N满足：3BM=MC,BN=2NC,则屁＞.而的取值范围是（）

A.B.y,40C.[T4,44]D.[T0,40]

9.（2021・全国•高三专题练习）已知动直线/与圆W+y2=4相交于A,B两点,且满足|阴=2,点C为直

线/上一点，且满足而=：而，若M为线段A8的中点，O为坐标原点，则元.两■的值为（）

A.3B.2GC.2D.-3

10.（2021・全国•高三月考）己知函数/（"是定义域为R的偶函数，/（x4-l）=/（l-x）,当OVxVl时，

/（X）=3-VT7,则函数g（x）=3-.与函数y=/（x）交点的个数为（）

6

A.6B.7C.12D.14

11.（2021•陕西•榆林市第十中学高三月考（理））已知”（3,4）是半径为1的动圆C上一点，尸为圆

O:/+y2=i上一动点，过点尸作圆c的切线，切点分别为A,B,则当|4可取最大值时，△23的外接圆

的方程为（）

A.x2+y2-3x-4y-6=0B.x2+y2-3x-4y+6=0

C.x2+y2-3x-4y=OD.x2+y2-4x-3y=0

12.（2021•山东青岛•高三开学考试）将函数丫=而二？_2（xe[-3,3]）的图象绕点（-3,0）逆时针旋转

。（0工。工夕），得到曲线C,对于每一个旋转角a,曲线C都是一个函数的图象，则夕最大时的正切值为（）

37

A.—B.-C.1D.6

13.（2021•山东肥城•模拟预测）己知瓦'是圆C：f+y2—2x—4y+3=0的一条弦，且CE_LC尸，P是EF的

中点，当弦E尸在圆。上运动时，直线，：x-y-3=0上存在两点4B,使得N4P8N、恒成立，则线段48长

度的最小值是（）

A.3V2+IB.4>/2+2C.40+1D.4^+2

14.（2021・北京•模拟预测）在平面直坐标系中，点出牛凹）,鸟优，%），定义二?|

为点小巴之间的极距，已知点P是直线，：2x+y-9=0上的动点，已知点Q是圆O:V+y2=5上的动点，

则尸，。两点之间距离最小时，其极距为（）

A.IB.逑C.-D.75

55

15.（2021・全国•高三专题练习（理））已知曲线尸"在点（*）处的切线/与圆（4-。2+（尹1）2=/（,>0）也

相切，当半径「最大时圆的方程是（）

A.（j：-l）2+（y+l）2=lB.（x-l）2+（y+l）2=2

C.Z+（y+l）2=lD.d+（），+i）2=2

16.（2021•浙江省杭州第二中学模拟预测）定义集合

C=｛（x,y）|xeR,），eR｝,M=｛（x,y）kcos0+ysinO=2,0<0,2I）｝,N=｛（乂）］国+|>|V2｝,则下列判断正确

的是（）

A.McN=0

B.Q)(MuN)=0

R+引+），sin,+引

C.若h1213£M,4:xcos6+ysine=2,l2:xcos=2,

2,则由4,围成的三角形一定是正三角形，且所有正三角形面积一定

相等

D.满足尸色M且尸eN的点尸构成区域的面积为4（4-1）

17.（2021・重庆八中模拟预测）已知直线/"7+4=0与方轴相交于点儿过直线/上的动点P作圆Y+y2=4

的两条切线，切点分别为C,D两点,记“是。。的中点，则|AM|的最小值为（）

A.2^2B.3&C.V17D.3

18.（2021・全国•高三专题练习）若实数匹丁满足大-%/7=2尸7，则工最大值是（）

A.4B.18C.20D.24

19.（2021・全国•高三专题练习（理））设集合M={（x,川y=67},N={（x,y）|（x-2）2+（丁一2）2=/}

（r>0）.当McN有且只有一个元素时，则正数广的所有取值为（）

A.2+上或2艰-2B.2<r<245

C.2（rW2后或广=2应一2D.24rW2宕或/*=2&-2

二、多选题

20.（2021•重庆市蜀都中学校高三月考）曼哈顿距离（或出租车几何）是由十九世纪的赫尔曼,闵可夫斯基所创

的词汇，是一种使用在几何度量空间的几何学用语.例如，在平面上，点P（X，X）和点Q（W，%）的曼哈顿距

离为：L股=|不一切+|升一%|•若点P（X，X）为0+。=4上一动点,。&,力）为直线八区-丁-2Z-4

=0（&寸-3,2］）上一动点，设〃外为尸，。两点的曼哈顿距离的最小值，则L伏）的可能取值有（）

A.1B.2C.3D.4

21.（2021・广东茂名•高三月考）已知曲线C：xW+y|M=l,则下列结论正确的是（）

A.直线x+y=。与曲线C没有公共点

B.直线x+y=m与曲线c最多有三个公共点

c.当直线x+y=m与曲线c有且只有两个不同公共点出芭,凶），6（程必）时，中2的取值范围为18,小

D.当直线x+），=相与曲线C有公共点时，记公共点为E&,y）（ieM）.则£>，的取值范围为（0,夜）

f=d

22.（2021•重庆实验外国语学校高三开学考试）如图，P为椭圆5+!=】上的动点，过尸作椭圆C1的

86

切线交圆。2：V+y2=24于M,N,过N作。2切线交于Q，则（）

A.S,8Q的最大值为G

B.2。丝的最大值为苧

c.Q的轨迹方程是《+£=1

3648

D.Q的轨迹方程是f=1

7296

23.（2021・全国•高三专题练习（理））已知平面上的线段/及点尸，任取/上一点Q,称线段尸。长度的最小

值为点尸到线段/的距离，记作或代/）.已知线段4“=-1（-2«丁<2）,/2："=1（-24），<0）,点「为平面上一

点，且满足或尸，4）=或P，Q，若点P的轨迹为曲线C，A,8是第一象限内曲线C上两点，点尸（1，0）且|力刊二£

2

A.曲线C关于X轴对称B.点A的坐标为

f35、IQ

C.点3的坐标为彳,彳D.△科3的面积为启

122J16

24.（2021•全国全国•模拟预测）过直线x+y=4（0vx<4）上一点尸作圆。：V=4的两条切线，切点

分别为A,B,直线A3与％,轴分别交于点M,N,则（）

A.点。恒在以线段A8为直径的圆上B.四边形处08面积的最小值为4

C.|明的最小值为2夜D.|OM|+|QN|的最小值为4

25.（2021•吉林・长岭县第二中学三模）已知实数x,V满足方程/+V一44+1=0.则下列选项正确的是（）

A.一的最大值是也

x+l2

B.々的最大值是G

C.过点（1,一祀）做炉+y2-41+1=0的切线，则切线方程为X一瓶），+1=0

D.过点做/+9一4》+1=0的切线，则切线方程为x+>/2y+\=0

26.（2021•福建省福州格致中学高二月考）已知点P是直线/：x+y=4上的一点，过点尸作圆O:Y+y2=2的

切线，切点分别为A,B,连接04,OB,则（）

A.若直线A8/〃，则同回=遍B.巨5.丽的最小值为4>£-6

C.直线A3过定点D.点O到直线A8距离的最大值为孝

27.（2021•江苏常州一模）已知曲线C上的点P（x,y）满足方程“Lll+Hy-hO,则下列结论中正确的是

（）

A.当戈时，曲线C的长度为20+冬

B.当xW-L2］时，?二的最大值为1,最小值为-:

x+22

c.曲线c与x轴、y轴所围成的封闭图形的面积和为

42

D.若平行于工轴的直线与曲线C交于A,B,C三个不同的点，其横坐标分别为司，与，/，则为+吃+巧

的取值范围是卜,|+孝

28.（2021•全国全国•高三月考）古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名.他发现：“平面内

到两个定点A,8的距离之比为定值2（2工1）的点的轨迹是圆”.后来人们将这个圆以他的名字命名，称为阿

波罗尼斯圆，简称阿氏圆.在平面直角坐标系仙，中，A（-2,0）,8（4,0）,点尸满足周.点尸的轨迹为C,

下列结论正确的是（）

A.曲线C的方程为（x+4?+y2=i6

B.在曲线。上存在点M,使得|MO|=2|MA|

PD1

C.在X轴上存在异于A,8的两定点。，E,使得万斤=7

PE2

D.当A,B,尸三点不共线时，射线P。是NAP5的平分线

三、双空题

29.（2021•吉林•梅河口市第五中学高三期末（理））古希腊数学家阿波罗尼斯（约公元前262-190年），与欧

几里得、阿基米德并称古希腊三大数学家；他的著作《圆锥曲线论》是古代数学光辉的科学成果，它将圆

锥曲线的性质网络殆尽，几乎使后人没有插足的余地.他发现“平面内到两个定点AB的距离之比为定值

的点的轨迹是圆后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.比如

在平面直角坐标系中，4（0,1）、8（0,4）,则点尸满足;l=g所得尸点轨迹就是阿氏|员|；己知点。（-2,4）,Q为

抛物线产=版上的动点，点。在直线1=-2上的射影为“，M为曲线（1+2）2+9=4上的动点，则

^\MC\+\QH\+\QM\的最小值为.则|阳+|。川+|加|的最小值为.

30.（2021•天津二中高三期中）已知边长为46的正△48C,内切圆的圆心为O,过8点的直线/与圆相交

于M,N两点，（1）若圆心。到直线/的距离为1,则|丽卜：（2）若

两=入丽+〃就G，〃«o,3））,则％+4的取值范围为.

31.（2021•广东高州•二模）已知区域O表示不在直线（1-病卜+2阳=2+2鬲（meR）上的点构成的集合，

则区域。的面积为,若在区域。内任取一点尸（x,y）,则j：2：；的取值范围为.

32.（2021•吉林吉林•三模（文））已知圆C:（x+iy+y2=]6,p是圆。上任意点，若A（l,0）,线段AP的垂直

平分线与直线。相交于点Q,则点。的轨迹方程是；若力是圆C所在平面内的一定点，线段AP的

垂直平分线与直线CP相交于点Q,则点0的轨迹是:①一个点②圆③椭圆④双曲线⑤抛物线，其中可能的结

果有.

四、填空题

33.（2021全国高二专题练习）设“、yeR,贝11〃。（工十1—83y）2十（1一1十51”）2的最小值是.

34.（2021•江西•景德镇一中高三月考（理））已知点?（2,0）,动点。满足以P。为直径的圆与y轴相切，过

点尸作直线x+（〃—）y+2加-5=0的垂线，垂足为R,则|叫+|。?|的最小值为.

35.（2021・全国•高三专题练习）直线系A:（x-3）cosa+ysina=2,直线系力中能组成正三角形的面积等于

36.（2021・上海徐汇•二模）已知实数。、b使得不等式|加+以+。|夕对任意工£[1,2]都成立，在平面直角坐

标系xOv中，点（。，b）形成的区域记为Q.若圆/+/=户上的任一点都在C中，则，•的最大值为.

37.（2021•湖北•武汉二中高三月考）在平面直角坐标系中，定义尸G，y）、。（七,%）两点间的直角距离为

4（只。）=|玉-七|+|凹一%,如图，BC是圆A：（xIpI丁=1当*工5时的一段弧，。是sc与上轴的交点，将

8C依次以原点。为中心逆时针旋转60。五次，得到由六段圆弧构成的曲线.贝.若点P为

曲线上任一点，则d（O,P）的最大值为.

38.（2021•浙江•高三期末）设圆0:f+）2=]上两点3/）,8（wM满足：丽丽=-；,则

1%-2讯+区-2%|的取值范围是.

39.（2021・上海市张堰中学高三月考）已知二元函数〃x,y）=J?+y2+J，+u，_a）2+“x+a）2+y2.〉。）

的最小值为忘+6,则正实数。的值为.

40.（2021・湖南师大附中高三月考）已知函数/"）=竺噜匕D,若

/（-2019）+/（-2018）+-«+/（2021）=2020（/+〃）+1,a,。£氏则|4一6+2份|的最大值为.

41.（2021•浙江•丽水外国语实验学校高三期末）在平面直角坐标互中，给定M（1,2）,N（3,4）两点，点P在x

轴的正半轴上移动，当NMQN最大值时，点尸的横坐标为

42.（2021•云南•模拟预测（理））设而为不共线的非零向量.口双二上次+工丽.定义点集

1+21+4

\^PA-PCPBPC

:当片，且不在直线力8上时，若对任意的；122,不等式|强卜川同

I|可二百

恒成立，则实数机的最小值是.

43.（2021•黑龙江•大庆中学模拟预测（理））已知圆C:/+y2=],点M«,2）,若C上存在两点A8满足

MA=2AB^则实数f的取值范围

44.（2021•全国•高三专题练习（理））焦点为尸的抛物线G：）?=4X与圆6：（工-1）2+），2=改伊>0）交于人、

2

y=4X,X<.XA

B两点,其中A点横坐标为乙，方程的曲线记为「，C是圆。2与x轴的交点，。是

222

(x-l)+y=/?,X>X4

坐标原点.有下面的四个命题，请选出所有正确的命题：.①对于给定的角ae（Oz）,存在K,使

得圆弧AC8所对的圆心角44人8>。；②对于给定的角a，存在H,使得圆弧AC3所对的圆心角

ZAFB<a；③对于任意R,该曲线有且仅有一个内接正△。尸。；④当R>2021时，存在面积大于2021的

内接正

45.（2021•北京海淀•高三期末）已知圆P:（x-5）2+（y-2）2=2,直线，：丫=如，点M（5,2+四），点A（s"）.

给出下列4个结论：

①当〃=0时，直线/与圆P相离；

②若直线/是圆P的一条对称轴，则〃=|;

20

③若直线/上存在点A,圆P上存在点N,使得N肠4N=90。，则〃的最大值为王■;

④N为圆尸上的一动点，若ZMAN=90。,则f的最大值为巫3.

4

其中所有正确结论的序号是

专题6直线与圆压轴小题

一、单选题

1.(2021•江西南昌•高三开学考试(理))已知函数〃力若〃a)+f(b)>0,若点(。⑼不可能

e

在曲线C上，则曲线C的方程可以是()

A.(x-l)2+(y-l)2=2B.(X-1)2+/=2

C.X”2=2D.d+(y-l)2=2

【答案】C

【分析】

将函数变形=在R上单调递漕，并且关于点(1,0)对称，结合已知条件可知人>2,说明曲线

C的图像恒在直线xi)Y2的区域，再判断直线与圆的位置关系即可得解.

【详解】

函数/(%)=《3=显然函数f(力在R上单调递增，

又f(2-x)=e2~x-e2^2~x)=e2-x=-f(x),即f(2-x)+f(x)=0

所以〃%)关于点(1,0)成中心对称，且/。)=0

故“。)+/(。)>0，则。+6>2,

点(4b)不可能在曲线。上，说明曲线Cfl勺图像恒在直线1+丁42的区域，

对于A,表示圆心(1,1),半径r=应的圆，圆心。,1)在直线x+y=2上，即直线与圆相交，不符合题意；

对于B,表示圆心(1,0),半径r=&的圆，圆心到直线的距离4=专<播，即直线与圆相交，不符合题意；

对于C,表示圆心(0,0),半径r=应的圆，圆心到直线的距离4即直线与圆相切，并且圆的

图像恒在直线x+y=2下方，符合题意；

对于D,表示圆心(0,1),半径r=0的圆，圆心到直线的距离d=*<四，即直线与圆相交，不符合题

意；

故选：C

【点睛】

关键点点睛：本题考查函数的单调性，对称性的应用，及直线与圆的位置关系，解题的关键是利用函数的

对称性，推出a+b>2,说明曲线C的图像恒在直线x+y«2的区域，考查学生的逻辑推理能力，属于难题.

2.(2021•浙江省宁海中学模拟预测)已知平面非零向量满足

松母三口股一团/团3口仔一个卜一％。｝,则对于任意的I使得(£一2)//仍Z)()

A.舸购，卜。恒有解B.(同-1庐.小0恒有解

C.舸_2购.小0恒无解D.佃-3胞•平0恒无解

【答案】B

【分析】

设OQ=Z=(r,0),OU=〃=(x,y),其中/•>(),i^OA=a,OB=b,OC=c

则有而二不了=比即(1——)/一2次+/+丁=0,然后分r=1,0<r<l,r>l三种情况讨论，再根

据直线48是过点。的直线与圆锥曲线E的两个不同的交点和点C在以AB为直径的圆ME分析圆〃与

相应准线的位置关系，即可求解.

【详解】

解：设0£i=d=(r,O),OU=〃=(x,y),其中r>0,记)=3,a=欧元=2

则有、/(x—r)2+y2=m，DP(1-r)x2-2r¥+r2+/=0.

若r=l,则点U的轨迹是抛物线，方程为E：y2=2x-l,点。恰为抛物线E的焦点，

则AB是过点D的直线与抛物线E的两个不同的交点，点C在以A8为直径的圆M上，

此时&2之0.

若0<r<1,贝IJ点U的轨迹是椭圆，方程为E：(1)J__二丫+匕不),2=],

点O为椭圆E的左焦点，5轴是椭圆的左准线，A8是过点。的直线与椭圆E的两个不同的交点，点C在以

AB为直径的圆M上，此时圆M与准线相离，故工.7>0.

若r>l,则点U的轨迹是双曲线，方程为氏°J),--」丫一±11/=],

r4I1-r2Jr4

点。为双曲线E的右焦点，丁轴是双曲线的右准线，是过点。的直线与双曲线E的两个不同的交点，点

。在以48为直径的圆“上，此时圆M与准线相交，故31可正，可负，可零.

所以，当0VY1时，恒有(同)伍])〉。，故力错误;

当r>l时,(p|-2)(c.J)<0,与(即3).仅.小。均有解，故C,。错误；

故选：B.

【点睛】

关键点点睛：利用坐标法，设丽=2=(匚0)，9=i=(x,y),其中r>0,记次=2,而=反觉=2则有

丁(1_/)2+与=次,即(1一〃)/-2“+”+/=0,然后分r=1,0<r<l,三种情况讨论，将原问题

转化为判断圆M与准线的位置关系，从而解决问题.

3.(2021•重庆•西南大学附中高三月考)已知定义在R上的函数f(x)满足如下条件：①函数"X)的图象关于

y轴对称；②对于任意xeR,/(x)=/(2-x)；③当xw［O,l］时，/(x)=|x；④g(x)=f(4幻.若过点(T,0)

的直线/与函数g(x)的图象在xe［0,2］上恰有8个交点，则直线/斜率k的取值范围是()

【答案】A

【分析】

结合①②可知/(X)是周期为2的函数，再结合④可知g(x)是周期为g的函数，结合③作出g(x)在02］上的

图像，然后利用数形结合即可求解.

【详解】

因为函数/V)的图象关于》轴对称，所以“幻为偶函数，即f(*)=/(r),

又因为对于任意xtR，f(x)=f(2-x),所以/*)=/(2—x)=/(—x),

从而/(x)=/(x+2),即是周期为2的函数，

因为g(x)=/(4x),则g(x)图像是/(x)的图像的横坐标缩短为原来的；得到，

故g(»也是偶函数，且周期为2x：=：,

42

2-0

当X=（时，易知g（x）='|，即A（，|）,则直线M4的斜率右八二^-=-,

二一（一1）

4

过点（-1，0）的直线/与函数g。）的图象在、e[0,2]上恰有8个交点,

则只需0“<勤=4,即直线/斜率〃的取值范围是（0，$）

故选：A.

4.（2021•全国•高三专题练习）设A（-2,0）,8（2,0）,。为坐标原点，点?满足|网R尸可飞16,若直线

—+6=°上存在点。使得/加。咚则实数〃的取值范围为（）

A.[Y64匈B.

C.,+ooD.

22

【答案】C

【分析】

由|即2+|P8「W16可得|。”<2,由正弦定理得出|Q2|=2|OHsinNQPOK4,再根据原点到直线的距离小于

等于4即可求出左的范围.

【详解】

设P(x,y),贝ij|+|PB|2=(X+2)2+/+(X-2)2+/<16,

整理可得/+/44,故|8|42,

在““中，国二四，

sinNQPOsin/尸。。

..\OP\sinZQPO..

则|OQ|=।J/尸荔=2|OP|sinZ.QPO<2x2xl=4,

设原点到直线的距离为d,则需满足d«4,

・"二"|=44,解得kW-五或kN更.

5+122

故选：C.

【点睛】

本心号仃门线中参数范出的求例，解励i勺关过是得出|OQ|二2|O”sin/QPOW4,利用原点到直线的距禽小

于等于4求解.

5.(2021・全国•高三专题练习)在平面直角坐标系成刀中,给定两点"(1,2),N(3,4),点尸在X轴的正半轴

上移动，当NMW取最大值时，点尸的横坐标为()

A.-B.-C.3D.—

233

【答窠】C

【分析】

由平面几何知识可知，当过M、N两点的圆与1轴相切时，切点即为所求点尸，再由切割线定理可求得点尸

的横坐标.

【详解】

当过M、N两点的圆与x轴相切时，切点即为所求点P.

易得过M、N两点的直线方程为y=x+L其与X轴交点为4(T,O),易得|人"|=2&,|AN|=4&,由切

割线定理得|APf=|AM|.|AN|=2&x40=16,所以|4尸1=4,进而可得?G.O),点尸的横坐标为3.

故选：C.

【点睛】

关键点点睛：本题的关键点是确定点尸的位置.

6.(2021•安徽省怀宁中学高三月考(理))已知抛物线G：Y=2py(p>0)的焦点到准线的距离为点

力(不，%)在抛物线弓上，点48在圆。2：炉+产-4)，+3=0上，直线OAO8分别与圆Cz仅有1个交点，且

与抛物线G的另一个交点分别为P,。，若直线的倾斜角为120。，则超=()

A.t2B.一0或也C.—B或0D.±73

333

【答案】C

【分析】

根据题意求得P=3,得到V=y,设过点。与圆相切直线的斜率为k,得到切线方程履-y+芯-履。=0,

利用1结合球定理‘求得联立方程组仁;心线二°，取得

结合%叩二々5,列出方程，即可求解.

【详解】

由抛物线C,：X2=2py（p>0）的焦点到准线的距离为可得p=g,

所以抛物线的方程为f=y,

又由。2：/+V-4），+3=0,可得圆心坐标为《2（0,2）,半径r=1,

设过点。（为,%）与圆G相切的直线的斜率为4，

可得方程为了一为=攵*一/），即y-片二七。一%）,即京一了+*一匕0=0,

则圆心到直线的距离为卜°；线一斗=1,

整理得（片-1）公+（4/-24）&+片—4片+4=0,可得匕+占=,

联立方程组巧一'+'°一乜一°，可得f-依-4+5=0,

x=y

即4（％-工0）="2-x1,所以4-X+*o，

所以8》=占一%,%Q=&2-“0,

因为直线PQ的倾斜角为120。，所以即Q=M

X

_yQ-yP_4-P_,_o_2玉5_2)__2%_r-

可得%=------=------=x^+xp=ki-ik2-2x0=-----j—；----2%=——-=-y13,

xQ-xPxQ-xP毛一1汇一1

解得％=百或%=-乎.

故选：C.

7.(2021・云南师大附中高三月考(文))已知彳，5,2是平面向量，0与不是单位向量，向量5

满足4斤-8。〃+3=0，则的最大值与最小值之和是()

A.272D.2>/3C.4

【答案】A

【分析】

将462-8。石+3=0变形为(25-0)-(25-3巨)=0,从而可得(1,0),由向量减法及

数量积可知5的终点在以(1，0)为圆心，以方为半径的圆周上，结合圆的性质可得答案.

【详解】

由4户-除5+3=0得3-43-3。)=0,十一］

不妨设2=(1,0),则5的终点在以(1,0)为圆心，以5为半径的圆周上.

因为Z与］是单位向量，所以|万一加的最大值是(OJ)与圆心距离加

即应+；,最小值是(0，1)与圆心距离减3，即血-；，故和为2&.

故选：A.

8.（2021・云南•峨山彝族自治县第一中学高三月考（文））已知ARTO是矩形，且满足48=3.3。=4.其所在

平面内点M,N满足：3BM=MC,BN=2NC,则启.而的取值范围是（）

A.与，与B.y,40c.[T4,44]D.[T0,40]

【答案】B

【分析】

建立平面直角坐标系，根据题意得到点MN的轨迹方程，然后作出图形，进而结合数量积的定义和坐标运

算得到答案.

【详解】

如图所示，建立平面直角坐标系，则8（0,0）（（4,0）,0（4,3）,A（O,3）

设M（x,y）,由38M=MC,所以3色万=再了万，化简得：

1+gj+y2=\,记为圆

设N（a,b）,EBN=2NC,所以25+从njL+J,化简得：

卜一野+从亭，记为圆C2,即为卜一打十丁=孽

两圆圆心距为：IGGI=?+:=^，半径和为：彳+弓=,+、=§,

所以ICGi>1+0,则两圆相离，

如图所示，对圆G，令产0,得：E（-2,0）,F（1,0）,

令圆C2,令产0,得：G（*0）,8（8,0）,

所以宓£77=（10,0），又前>=（4,0），

结合平面向量数量积的定义可知，4b.而的最小值为前法=（4,0）•悖0）=拳

Ab.而的最大值为筋•茄=（4,o）（10,0）=40.

故选：B.

9.（2021•全国•高三专题练习）已知动直线/与圆V+y2=4相交于A,B两点,且满足|AB|=2,点C为直

线/上一点，且满足C3=；CA,若M为线段AB的中点，。为坐标原点，则的.两的值为（）

A.3B.2石C.2D.-3

【答窠】A

【分析】

先利用圆的方程和弦长判定△。钻为等边三角形，设出符合条件的一条直线，再利用平面向量共线得到点的

坐标，再利用数量积的坐标运算进行求解.

【详解】

动直线/与圆0：V+V=4相交于A,B两点，

且满足|AB|=2,则“MB为等边三角形，

所以不妨设动直线/为丫=>/久+2,

根据题意可得8（—2,0）,4（T,G）,

设C(x,y),•・•丽=|兀

；・(―2—x,-y)=：(—1——y),

i

5

2

•・衣•汨卜冷NT白>91=3.

故选：A.

10.(2021・全国•高三月考)已知函数“X)是定义域为R的偶函数，/(x+l)=/(l-x),当0341时，

〃力=3-6二则函数g(x)=3-■与函数y=f(x)交点的个数为()

6

A.6B.7C.12D.14

【答案】D

【分析】

由/(»奇偶性可知函数是偶函数，对称性可知/(另关于直线x=l对称，周期性可知/(力的周期为2,于是

可以得出只需要知道x>0时〃幻和g(x)交点的个数便可，又根据直线和圆的关系判断出x>0时交点的个

数，便可求出在定义域为R上/(幻和g(x)的交点个数.

【详解】

解：由题意得

•・・f(x)是偶函数，且当0CW1时，/(X)=3-X/17?

•••当-IWXWO时，设y=/(x)=/(—x)=3—Vn^,整理得f+(y-3)2=l

XV/(x+l)=/(l-x)

・・・/(上)关于直线x=l对称,/(力的周期为2

故当1<%42时，/（力=3-J-（x-2»即（x・2『+（广3『=1,

在5<%46时，/(x)=3-^l-(x-6)2,即(x-6)2+(y-3)2=1,

・・・”.，)与g(x)均为偶函数

・.・直线丁=3-己过点(6,2),且点(6,2)也在上，当以点(6,3)为圆心，1为半径的部分圆卜«5,6])与直

线y=or+3相切时，满足=解得“=_壶<_[(。=意显然不符合题意)

二在/>0时，有7个交点

.••共14个交点

故选：D.

11.(2021・陕西・榆林市第十中学高三月考(理))已知”(3,4)是半径为1的动圆C上一点，P为圆

O：Y+,，2=i上一动点，过点尸作圆C的切线，切点分别为A,8,则当同回瓶最大值时，△RW的外接圆

的方程为()

A.x*+y2-3x-4y-6=0B.x2+y2-3x-4y+6=0

C.x2+y2-3x-4y=0D.x2+y2-4x-3y=0

【答案】A

【分析】

由题设，确定C的轨迹方程，结合已知可得3«|PC区7,再根据切线的性质、勾股定理及面积法得到|人回关

于|PC|的关系式且△皿的外接圆以线段PC为直径，结合两圆的位置关系及其动点距离最值情况，写出外

接圆的方程.

【详解】

由=1,则动圆心C的轨迹方程为(X-3)2+(y-4)2=1.

产为圆O:d+y2=i上的动点，又|0叫=5,

.­.3<|PCj<7,

V|PC|.|AB|=2|AC|-|E4|,|AC|=1,|PC|2=|E4|2+|AC|2,

•.•同=得=21^,

工当|PC|最小时，|用最小,当|PC|最大时，|阴最大.

当归C|=|。陷+2=7时，|4叫取最大值,△PAB的外接圆以线段PC为直径，而PC中点，即OM中点为0,2

・•・外接圆方程为.一|[+(y-2>=?,即/+/-3x-4y-6=0.

12.(2021•山东青岛•高三开学考试)将函数y=二7一2。4-3,3])的图象绕点(-3,0)逆时针旋转

。(0工。工6),得到曲线C,对于每一个旋转角a,曲线。都是一个函数的图象，则。最大时的正切值为()

3?

A.-B.-C.1D.G

【答案】B

【分析】

先画出函数)，=而二7-23€[-3,3])的图象，然后根据由图可知当此圆弧绕点(-3,0)逆时针方向旋转角大

于NM48时，曲线C都不是一个函数的图象，求出此角即可.

【详解】

解：由丁=，13—』一2(工£[一3,3])，得y20，

/+日+2)2=13,则函数的图像是以〃(0,-2)为圆心的圆的一部分，

先画出函数)，=J13-f-2(xe[-3,3])的图象,

这是•个圆弧/从圆心为MQ-2),如图所示，

由图可知当此圆弧绕点(-3,0)逆时针方向旋转角大于NM48时,

曲线c都不是•个函数的图象，

即当圆心A/C0.-2）在X轴上时,

所以e最大值即为ZMAB,

22

tanZA/AB=-,所以。最大时的正切值为1.

故选：B.

13.（2021•山东肥城•模拟预测）已知EF是圆C"2+y2-2x-4y+3=0的一条弦，且CE上CF,P是E尸的

中点，当弦即在圆。上运动时，直线/：x-y-3=0上存在两点A8,使得恒成立，则线段AB长

度的最小值是（）

A.372+1B.4夜+2C.4石+1D.46+2

【答案】B

【分析】

根据已知条件先确定出点尸的轨迹方程，然后将问题转化为“以A8为直径的圆要包括圆

（A-l）2