备战2023年重庆数学中考二轮复习知识点精练10-解直角三角形(解析版)

精练10--解直角三角形1．如图，某辆自行车放在水平的地面上，车把头下方A处与坐垫下方B处在平行于地面的水平线上，测得AB＝54cm，AC、BC与AB的夹角分别为45°与60°．（1）求点C到AB的距离（结果保留一位小数）．（2）若点C到地面的距离CD为30cm，坐垫中轴E与点B的距离BE为4cm（坐垫E可按轴线BC上下伸缩调节）．茜茜根据自己身高比例，坐垫E到地面的距离为70cm时，乘坐该自行车最舒适．茜茜坐上该自行车，感觉不是很舒适，问：如果要达到最佳舒适高度，茜茜应该如何调节坐垫E的位置？（结果保留一位小数）（参考数据：≈1.4，≈1.7）【解答】解：过点C作CM⊥AB于点M，则∠CMA＝∠CMB＝90°，∵∠CAM＝45°，∠CBM＝60°，∴AM＝CM，BM＝，∵AB＝54（cm），∴CM+＝54，∴CM＝27（3﹣）≈35.1（cm），∴点C到AB的距离为35.1cm；（2）∵坐垫E到地面的距离为70cm时，乘坐该自行车最舒适，∴点E到AB的距离为70﹣30﹣35.1＝4.9（cm），过点E作EN⊥AB于点N，则EN＝4.9（cm），∠ENB＝90°，∵∠EBN＝∠CBM＝60°，∴BE＝＝≈5.8（cm）∵原BE为4cm，∴需将BE调长5.8﹣4＝1.8（cm）．2．某小区拟建设地下停车库入口，将原步行楼梯入口AC改造为斜坡AD．已知入口高AB＝3m，坡面AC的坡度i＝1：1，新坡面坡角∠ADB＝30°．（1）求斜坡底部增加的长度CD为多少米？（保留根号）（2）入口处水平线AE＝5m，地下停车库坡道入口上方点E处有悬挂广告牌EF，EF⊥BD，EF＝0.5m．若一辆高度为2米的货车沿斜坡AD驶入车库，行进中是否会碰到广告牌的下端F？请说明理由．（参考数据：≈1.4，≈1.7）【解答】解：（1）∵坡面AC的坡度i＝1：1，∴AB：BC＝1：1，∴BC＝AB＝3m，∵∠ADB＝30°，∴tan∠ADB＝＝tan30°＝，∴BD＝AB＝3m），∴CD＝BD﹣BC＝（3﹣3）（m），答：斜坡底部增加的长度CD为（3﹣3）米；（2）若一辆高度为2米的货车沿斜坡AD驶入车库，行进中不会碰到广告牌的下端F，理由如下：如图，延长EF交AD于G，过F作FH⊥AD于H，由题意得：∠AEG＝90°，AE∥BD，∴∠EAG＝∠ADB＝30°，∵tan∠EAG＝＝tan30°＝，AE＝5m，∴EG＝AE＝（m），∴FG＝EG﹣EF＝﹣0.5＝（﹣）（m），在Rt△FGH中，∠FGH＝90°﹣∠EAG＝90°﹣30°＝60°，∵sin∠FGH＝＝sin60°＝，∴FH＝FG＝×（﹣）＝﹣≈2.075（m）＞2m，∴若一辆高度为2米的货车沿斜坡AD驶入车库，行进中不会碰到广告牌的下端F．3．如图，在同一剖面内，小明在点A处用测角仪测得居民楼的顶端F的仰角为27°，他水平向右前进了30米来到斜坡的坡脚B处，沿着斜坡BC上行25米到达C点，用测角仪测得点F的仰角为54°，然后，水平向右前进一段路程来到了居民楼的楼底E处，若斜坡BC的坡度为3：4，请你求出居民楼EF的高度．（测角仪的高度忽略不计，计算结果精确到0.1米．）参考数据：sin27°≈0.45，tan27°≈0.51，sin54°≈0.81，tan54°≈1.38）【解答】解：如图，过点C作CG⊥AD于点G，EH⊥AD于点H，得矩形CGHE，∴CE＝GH，CG＝EH，在Rt△BCG中，BC＝25米，CG：BG＝3：4，∴CG＝EH＝15米，BG＝20米，在Rt△AFH中，AH＝AB+BC+GH＝30+20+GH＝50+CE，∵∠FAG＝27°，∴FH＝AH•tan27°，∴EF+15≈（50+CE）×0.51，在Rt△FCE中，∵∠FCE＝54°，∴EF＝CE×tan54°≈1.38CE，∴1.38CE+15≈（50+CE）×0.51，解得CE＝，∴EF≈1.38CE≈16.7（米），∴居民楼EF的高度约为16.7米．4．如图，在某海域内有一小岛P，在以P为圆心，半径r为6海里的圆形海域内有暗礁，一轮船自东向西航行，它在A处测得小岛P位于北偏西45°的方向上，当这艘轮船行驶4海里后到达B地，此时观测小岛P位于B地北偏西30°的方向上．（1）求A、P之间的距离；（结果精确到0.1海里，参考数据：≈1.41，≈2.45）（2）该轮船由B地继续向西行驶（4﹣4）海里到达C地，此时观测小岛P位于C地北偏西15°的方向上，同时接到总部通知，由于突发状况，该轮船必须驶离东西航线并沿北偏西某航向行驶，那么该轮船由C处开始沿北偏西至少多少度的方向航行才能避开小岛P周围的暗礁安全通过这一海域？【解答】解：（1）过点P作PD⊥AB，交AB的延长线于点D，由题意得，∠BPD＝30°，∠PAD＝45°，AB＝4海里，设PD＝x海里，则AD＝x海里，∴BD＝AD﹣AB＝（x﹣4）海里，在Rt△PBD中，∵BD＝PDtan30°，∴x﹣4＝x，∴x＝2（3+），∴PA＝PD＝x＝6+2≈13.4（海里），答：A，P之间的距离约为13.4海里；（2）因为r﹣PD＝6﹣2（3+）＝6﹣6﹣2≈﹣1＜0，所以无触礁的危险；设轮船无触礁危险的新航线为射线CH，作PE⊥CH，垂足为E，当P到CH的距离PE＝6海里时，有sin∠PCE＝，设CD＝y海里，∵BC＝（4﹣4）海里，在Rt△PBD中，PD＝2（3+）海里，∠BPD＝30°，∴BD＝PDtan30°，∴y+4﹣4＝2（3+）×，解得y＝6﹣2，∴CD＝（6﹣2）海里，∴PC＝＝＝4，∴sin∠PCE＝＝＝，∴∠PCE＝60°，∴60°+15°＝75°，∴该轮船由C处开始沿北偏西至少75度的方向航行才能避开小岛P周围的暗礁安全通过这一海域．5．如图，某渔船向正东方向以14海里/时的速度航行，在A处测得小岛C在北偏东70°方向，2小时后渔船到达B处，测得小岛C在北偏东45°方向，已知该岛周围20海里范围内有暗礁．（参考数据：sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，tan70°≈2.75，≈1.41）（1）求B处距离小岛C的距离（精确到0.1海里）；（2）为安全起见，渔船在B处向东偏南转了25°继续航行，通过计算说明船是否安全？【解答】解：（1）如图，过点C作CN⊥AD于M，CN⊥BE于N，由题意得，∠CAD＝90°﹣70°＝20°，∠CBD＝90°﹣45°＝45°，AB＝14×2＝28海里，∵∠CBD＝45°，∴CM＝BM，在Rt△CAM中，∵tan∠ACM＝，∴tan70°＝，解得CM≈16，在Rt△BCM中，BC＝CM＝16≈22.6（海里），答：B处距离小岛C的距离约为22.6海里；（2）在Rt△BCN中，∠CBN＝45°+25°＝70°，BC＝16海里，∴CN＝BC•sin∠CBN≈16×0.94≈21.2（海里），∵21.2＞20，∴能安全通过，答：能安全通过．6．首钢滑雪大跳台是世界上首个永久性的单板大跳台，其优美的造型，独特的设计给全球观众留下深刻的印象，大跳台场地分为助滑区、起跳台、着陆坡和终点区域4个都分，现将大跳台抽象成如图的简图，FC表示运送运动员上跳台的自动扶梯，CD表示助滑区，Rt△DEH表示起跳台，EB表示着陆坡．已知∠CFA＝60°，∠EBF＝30°，在助滑区D处观察到顶点C处的仰角是30°，且自动扶梯的速度是2m/s，运送运动员到达跳台顶端C点处需要30秒，BE＝24m，DE∥BF，CA、DG、EF都垂直于BF．（1）求大跳台AC的高度是多少米（结果精确到0.1m）；（2）首钢滑雪大跳台主体结构采用装配式钢结构体系和预制构件，“助滑区”和“着陆坡”赛道面宽35米，面板采用10mm耐候钢，密度为7850kg/m3，求铺装“助滑区”和“着陆坡”赛道的耐候钢总重量是多少吨（结果精确到1吨）．（≈1.41，≈1.73）【解答】解：（1）根据题意可知：AC＝2×30＝60（m），答：大跳台AC的高度是60米；（2）如图，过点D作DM⊥CA于点M，得矩形AMDG，矩形DGNE，在Rt△ACF中，CF＝60m，∠CFA＝60°，∴AC＝CF•sin60°＝60×＝30（m），在Rt△EBN中，∠EBN＝30°，BE＝24m，∴EN＝BE＝12m，∴AM＝DG＝EN＝12m，∴CM＝AC﹣AM＝（30﹣12）m，∵DE∥BF，∴∠CDM＝∠E＝30°，∴CD＝2CM＝2（30﹣12）＝60﹣24≈79.8m，∴耐候钢的体积＝79.8×35×10﹣2+24×35×10﹣2＝36.33（m3），∴耐候钢总重量＝36.33×7850≈285190（吨）．答：赛道的耐候钢总重量约为285190吨．7．5G时代，万物互联．互联网、大数据、人工智能与各行业应用深度融合，助力数字经济发展，共建智慧生活．网络公司在改造时，把某一5G信号发射塔MN建在了山坡BC的平台CD上，已知山坡BC的坡度为1：2.4．眼睛距地面1.6米的小明站在A处测得塔顶M的仰角是37°．向前步行6米到达B处，再延斜坡BC步行6.5米至平台点C处，测得塔顶M的仰角是50°．若A．B、C、D、M、N在同一平面内，且A、B和C、D、N分别在同一水平线上．（1）求平台CD距离地面的高度；（2）求发射塔MN的高度．（结果精确到0.1米．参考数据：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，tan37°≈0.75，sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.20）【解答】（1）解：如图，过点Q作QP⊥MN于P，过点F作FE⊥MN于E，∵山坡BC的坡度为1：2.4，BC＝6.5米，设CG＝x，则BG＝2.4x，∴x2+（2.4x）2＝6.52，解得x＝，∴CG＝HN＝米，BG＝6米，（2）解：∵CG＝HN＝米，BG＝6米，∴AG＝12米，由题意知∠MQP＝37°，∠MFE＝50°，设EF＝a米，则PQ＝AH＝（a+12）（米），∵tan50°＝≈1.20，∴ME＝1.2a，∵tan37°＝≈0.75，∴MP＝（a+12），∵ME+EN+NH＝MP+PH，∴1.2a+1.6+＝（a+2）+1.6，解得a＝米，∴MN＝1.2a+1.6≈18.9（米）．8．如图，为了测量陶行知纪念馆AB的高度，小李在点C处放置了高度为1.5米的测角仪CD，测得纪念馆顶端A点的仰角∠ADE＝51°，然后他沿着坡度i＝1：2.4的斜坡CF走了6.5米到达点F，再沿水平方向走4米就到达了纪念馆底端点B．（结果精确到0.1，参考数据：sin51°≈0.78，cos51°≈0.63，tan51°≈1.23）（1）求点D到纪念馆AB的水平距离；（2）求纪念馆AB的高度约为多少米？【解答】解：（1）延长AB交水平线于点M，过F作FN⊥CM于N，延长DE交AM于H，则四边形HMCD为矩形，∴HM＝CD＝1.5米，DH＝CM，∵斜坡CF的坡度i＝1：2.4，∴＝，∴CN＝2.4FN，∵CF＝6.5米，∴BM＝FN＝2.5（米），CN＝6（米），∵MN＝BF＝4米，∴DH＝CM＝6+4＝10（米），答：点D到纪念馆AB的水平距离为10米；（2）在Rt△ADH中，tan∠ADE＝则AH＝DH•tan∠ADE＝10×tan51°≈12.3（米），∴AB＝AM﹣BM＝AH+HM﹣BM＝12.3+1.5﹣2.5≈11.3（米），答：纪念馆AB的高度约为11.3米．9．2022北京冬奥会已正式闭幕，但因冬奥燃起的冰雪消费热潮仍在持续中国滑雪场、冰雪产业正在逐步形成．如图，是某度假村兴建的专业滑雪场地，小南在观景台A处向前走15米到达观景点B处，测得滑雪场顶端E的仰角为22°，沿着坡度为1：2.4的斜坡走了26米到达坡底C处，然后往前走93米到达滑雪场底端D处．A、B、C、D、E、M、N在同一平面内，ED⊥MD，BN⊥MD，AM⊥MD，AB∥MD．（参考数据：sin22°≈0.37，cos22°≈0.93，tan22°≈0.40）（1）求观景台A处到坡底C的水平距离CM；（2）求滑雪场顶端E到CD的距离ED的长（结果精确到1米）．【解答】解：（1）延长AB交DE于F，∵ED⊥MD，BN⊥MD，AM⊥MD，AB∥MD，∴AM∥BN∥FD，BF⊥EF，∴四边形AMNB和四边形BNDF是平行四边形，∴▱AMNB和▱BNDF是矩形，在Rt△BCN中，＝，BC＝26，BN2+CN2＝BC2，设BN＝x，CN＝2.4x，∴x2+（2.4x）2＝262，解得：x＝10，∴BN＝10，CN＝24，∵四边形AMNB是矩形，AB＝15，∴MN＝AB＝15，∴CM＝MN+CN＝15+24＝39（米），答：观景台A处到坡底C的水平距离CM为39米；（2）∵四边形BNDF是矩形，BN＝10，CD＝93，CN＝24，∴FD＝BN＝10，BF＝DN＝CN+CD＝24+93＝117，在Rt△BEF中，tan∠EBF＝＝tan22°，∴EF＝BF•tan22°≈117×0.40＝46.8，∴ED＝EF+FD＝56.8≈57（米）．答：滑雪场顶端E到CD的距离ED的长约为57米．10．如图，梯形ABCD是一个拦河坝的截面图，坝高5米，背水坡AD的坡度为1：1.2．为了提高河坝抗洪能力，防汛指挥部决定加固河坝，若坝顶CD加宽1米，新的背水坡EF的坡角α为30°，河坝总长400米．（1）求大坝底端AF需加宽多少米？（精确到0.1米，参考数据：≈1.73，≈1.41）（2）某工程队每天加固150立方米，工程队能否在30天内完成河坝加固？（体积＝底面积×高）【解答】解：（1）过点D作DG⊥AB于G，过点E作EH⊥AB于H，则四边形EHGD为矩形，∴HG＝ED＝1米，∵坡AD的坡度为1：1.2，DG＝5米，∴AG＝5×1.2＝6米，∴AH＝AG﹣GH＝6﹣1＝5（米），在Rt△EFH中，∠F＝30°，∴FH＝＝＝5≈8.65（米），∴AF＝FH﹣AH＝8.65﹣5＝3.65≈3.7（米），答：大坝底端AF需加宽约为3.7米；（2）需加固的土方量为：×（1+3.7）×5×400＝4700（立方米），工程队每天加固150立方米，工程队30天内完成的土方量为：150×30＝4500（立方米），∵4500＜4700，∴工程队不能在30天内完成河坝加固，答：工程队不能在30天内完成河坝加固．11．图1是安装在倾斜屋顶上的热水器，图2是安装热水器的侧面示意图．已知屋面AE的倾斜角∠EAD为22°，长为3米的真空管AB与水平线AD的夹角为37°，安装热水器的铁架竖直管CE的长度为0.5米．（1）真空管上端B到水平线AD的距离．（2）求安装热水器的铁架水平横管BC的长度（结果精确到0.1米）．（参考数据：sin37°≈，cos37°≈，tan37°≈，sin22°≈，cos22°≈，tan22°≈0.4）【解答】解：（1）过B作BF⊥AD于F．在Rt△ABF中，sin∠BAF＝，则BF＝ABsin∠BAF＝3sin37°≈3×＝1.8（米）．答：真空管上端B到AD的距离约为1.8米；（2）在Rt△ABF中，cos∠BAF＝，则AF＝ABcos∠BAF＝3×cos37°≈2.25（米），∵BF⊥AD，CD⊥AD，BC∥FD，∴四边形BFDC是矩形．∴BF＝CD，BC＝FD，∵EC＝0.5米，∴DE＝CD﹣CE＝1.3米，在Rt△EAD中，tan∠EAD＝，则AD＝≈＝3.25（米），∴BC＝DF＝AD﹣AF＝3.25﹣2.25≈1.0（米），答：安装热水器的铁架水平横管BC的长度约为1.0米．1