高等代数实践课不变子空间

高等代数实践课不变子空间引入：回忆：1.子空间：令w是数域F上向量空间的一个非空子集。如果W对于V的加法以及标量与向量的乘法都封闭，那么称W是V的一个子空间。*这一节课我们将学习不变子空间，大家想一下不变子空间与子空间有什么样的联系呢？下面我们比较着学习。不变子空间课程要求：1.了解不变子空间的定义

2.哪些是不变子空间，举例说明

3.“限制”以及它的应用

4.不变子空间的求法

5.不变子空间与一个线性变换的矩阵的关系定义V的一个子空间W说是在线性变换σ之下不变（或稳定），如果σ(w)⊆w.简单的说，如果子空间在σ之下不变，那么w就叫做σ的一个不变子空间下面，我们来看一下不变子空间的例子例1：V本身和零空间{0}显然在任意线性变换之下不变。所以V本身和零空间{0}都是不变子空间。再看几个例子：例2：令σ是V的一个线性变换，那么σ的核Ker(σ)和像Im(σ)都在σ之下不变，所以σ的核Ker(σ)和像Im(σ)都是不变子空间。解析：事实上，对于任意ξ∈Ker(σ)，都有σ（ξ）=0∈Ker(σ)，所以Ker(σ)在σ之下不变。即：Ker(σ)={σ（ξ）=0}至于Im(σ)在σ之下不变，是显然的。即：Im(σ)=σ（v）例3：V的任意子空间在任意位似变换之下不变

解析：首先请大家回忆一下“位似”的概念ξ∊V,定义σ(ξ)=kξ.容易验证,σ是V到自身的一个线性映射。这样的一个线性映射叫做V的一个位似。位似变换：ξ↦kξ例4：令σ是V₃中以某一过原点的直线L为轴，旋转一个角ѳ的旋转。那么旋转轴L是σ的一个一维不变子空间，而过原点与L垂直的平面H是σ的一个二维不变子空间。例5：

令f[x]是数域F上一切一元多项式所成的向量空间，σ：f(x)→f‘(x)是求导数运算。对于每一自然数n，令Fn[x]表示一切次数不超过n的多项式连同零多项式所成的子空间。那么Fn[x]在σ之下不变。限制设w是线性变换σ的一个不变子空间。只考虑σ在w上的作用，就得到子空间w本身的一个线性变换，称σ在w上的限制，并且记作σ｜w.这样，对于任意ξ∈W,σ｜w(ξ)=σ(ξ).然而，如果ξ∉W，那么σ｜w(ξ)没有意义。现在我们来看一下：不变子空间和简化线性变换的矩阵的关系设V是数域F上的一个n维向量空间,σ是V的一个线性变换。假设σ有一个非平凡不变子空间W，那么取W的一个基α₁,α₂,…,αγ,再补充成为V的一个基α₁,α₂…，αγ,αγ+₁,…,αn.由于W在σ之下不变,所以σ(α₁),σ(α₂),…,σ(αγ)仍在W内,因而可以有W的基α₁,α₂,…,αγ线性表示.有：

σ(α₁)=a₁₁α₁+a₂₁α₂+…+aγ₁αγ，……………

σ(αγ)=a₁γα₁+a₂γα₂+…+aγγαγ，

σ(αγ+₁)=a₁,γ+₁α₁+…+aγ,γ+₁αγ+aγ+1，γ+1αγ+1+…+an,γ+₁

αn

σ(αn)=a₁nα₁+…+aγnαγ+aγ+1,nαγ+1+…+annαn.因此,σ关于这个基的矩阵有形A=()，这里有A1=()A1A3OA2a11...a1γ..........aγ1…aγγ是σ|w关于W的基α₁,α₂,…,αγ的矩阵,而A中左下方的O表示一个（n-r）*r零矩阵。即：若线性变换σ有一个非平凡不变子空间,那么只要适当取定V的基,就可以使与σ对应的矩阵中有一些元素是零.特别,如果V可以写成两个非平凡子空间W1与W2的直和:V=W1⊕W2,那么选取W1的一个基α₁,α₂,…,αγ,和W2的一个基αγ+₁,…,αn，凑成V的一个基α₁,α₂,…,αn.当W1和W2都在σ之下不变时，容易看出,σ关于这样取定的基的矩阵是A=(),这里A1是r阶矩阵，它是σ|w1关于基α₁,α₂,…,αγ的矩阵，而A2是一个n-r阶矩阵，它是σ|w2关于基αγ+₁,…,αn的矩阵。A1OOA2例6：令σ是例4所给出的V3的线性变换，显然V3是一位子空间L与二维子空间H的直和，而L和H都在σ之下不变。取L的一个非零向量α₁，取H的两个彼此正交的单位长度向量α₂,α3,那么α₁,α₂,α3是V3的一个基，而σ关于这个基的矩阵是

()

1

0

00cosѳ-sinѳ0Sinѳ

cosѳ一般地，如果向量空间V可以写成s个子空间W1，W2,...,WS的直和，并且每一个子空间都在线性变换σ之下不变，那么在每一个空间中取一个基，凑成V的一个基,σ关于这个急的矩阵就有形状(),这里Ai是σ|wi关于所取的wi的基的矩阵。A10A1⋱0AS因此，给了n维向量空间V的一个线性变换，只要能够将V分解成一些在σ之下不变的子空间的直和，那么就可以适当的选取V的基，使得σ关于这个基的矩阵具有比较简单的形状。显然，这些不变子空间的维数越小，相应的矩阵的形状就越简单。特别，如果能够将V分解成n个在σ之下不变的一维子空间的直和，那么与σ相当的矩阵就有对角形式。谢谢每年进入夏季，由于气温高、湿度大，对幼儿的照顾要特别注意，以下是出国留学网为您搜集整理的育儿健康小常识1.不是所有宝宝都需额外补充维生素很多家长会问，孩子多大需要开始补充维生素?小婴儿是否需要补充维生素?刘主任表示，孩子多大补充维生素没有明确的界定，如果宝宝是吃母乳或奶粉，一般营养物质都足够、全面，不需要额外补充维生素，如果出现了某些症状，如缺乏维生素B或维生素C等，再有针对性的补充会更好。维生素D可以促进钙的吸收，小婴儿也应该补充，特别是纯母乳喂养的宝宝，如果没有补充维生素D，常带宝宝晒太阳，也可以转化为维生素D，从而促进钙的吸收。给宝宝晒太阳，一般每天半小时到1小时，注意不要遮挡着晒太阳，如果是戴太阳帽、打伞或擦防晒霜等，起不到晒太阳的效果。2.不能用维生素补充剂代替蔬菜水果有的家长认为，都是补充维生素，用维生素补充剂方便多了，因此就用维生素补充剂代替水果和蔬菜。刘主任表示，只要条件允许，应尽量从食物中摄取维生素，如果是因为某些特殊情况导致不能全面有效获得维生素，则可以考虑食用维生素补充剂。而且维生素补充剂是不能代替蔬菜和水果的。因为蔬菜、水果中的各种维生素是按一定比例存在的天然成份，是多种维生素的集合体;而维生素制剂多数是人工合成的，两者在性质上会有所差别。蔬菜、水果除了含有维生素外，还含有一些虽然对人体的作用与维生素类似的天然物质，如叶绿素、胡萝卜素等。此外蔬菜中含有矿物质、微量元素、碳水化合物、纤维素等非维生素类营养成份。3.维生素补充剂含有的维生素种类不是越多越好有的家长容易陷入一个误区，认为既然要补，那就补得全面一点，总给宝宝吃综合性维生素。刘主任表示，维生素补充剂并不是所含种类越多越好。刘主任建议，对于挑食特别厉害的宝宝，吃东西的品种少，可以选择补充综合性维生素剂;如果是缺乏某些维生素，建议有针对性地补充更合适;如果只是缺乏某一种维生素，没必要补充综合维生素制剂，因为有的维生素会产生蓄积中毒的情况。4.维生素应从正规渠道购买如果是身体缺乏维生素的话，还是要在医生的指导下服用维生素药品，如果是出于保健的需求，可以服用保健品5.维生素补多久补多少最好由医生判断给宝宝补充维生素一定要注意用量，特别是维生素缺乏者，最好由医生判断该如