山东专用2025版高考数学一轮复习第八章解析几何第四讲直线与圆圆与圆的位置关系学案含解析

PAGE1-第四讲直线与圆、圆与圆的位置关系ZHISHISHULISHUANGJIZICE学问梳理·双基自测eq\x(知)eq\x(识)eq\x(梳)eq\x(理)学问点一直线与圆的位置关系设直线l：Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)，圆：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)，d为圆心(a，b)到直线l的距离，联立直线和圆的方程，消元后得到的一元二次方程的判别式为Δ.方法位置关系几何法代数法相交d__<__rΔ__>__0相切d__＝__rΔ__＝__0相离d__>__rΔ__<__0学问点二圆与圆的位置关系设圆O1：(x－a1)2＋(y－b1)2＝req\o\al(2,1)(r1>0)，圆O2：(x－a2)2＋(y－b2)2＝req\o\al(2,2)(r2>0).方法位置关系几何法：圆心距d与r1，r2的关系代数法：两圆方程联立组成方程组的解的状况公切线条数外离__d>r1＋r2____无解__4外切__d＝r1＋r2__一组实数解3相交__|r1－r2|<d<r1＋r2__两组不同的实数解2内切d＝|r1－r2|(r1≠r2)__一组实数解__1内含0≤d<|r1－r2|(r1≠r2)__无解__0eq\x(重)eq\x(要)eq\x(结)eq\x(论)1．当两圆相交(切)时，两圆方程(x2，y2项的系数相同)相减便可得公共弦(内公切线)所在的直线方程．两圆相交时，两圆连心线垂直平分公共弦；两圆相切时，两圆连心线必过切点．2．过圆x2＋y2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为x0x＋y0y＝r2．过圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2．3．过圆x2＋y2＝r2外一点M(x0，y0)作圆的两条切线，则两切点所在的直线方程为x0x＋y0y＝r2．4．直线与圆相交时，弦心距d，半径r，弦长的一半eq\f(1,2)l满意关系式r2＝d2＋(eq\f(1,2)l)2．eq\x(双)eq\x(基)eq\x(自)eq\x(测)题组一走出误区1．(多选题)下列结论正确的是(CD)A．假如两圆的圆心距小于两圆的半径之和，则两圆相交B．“k＝1”是“直线x－y＋k＝0与圆x2＋y2＝1相交”的必要不充分条件C．过圆O：x2＋y2＝r2外一点P(x0，y0)作圆的两条切线，切点分别为A，B，则O，P，A，B四点共圆且直线AB的方程是x0x＋y0y＝r2D．圆C1：x2＋y2＋2x＋2y－2＝0与圆C2：x2＋y2－4x－2y＋1＝0的公切线有且仅有2条题组二走进教材2．(必修2P132A5改编)直线l：3x－y－6＝0与圆x2＋y2－2x－4y＝0相交于A，B两点，则|AB|＝eq\r(10)．[解析]圆心的方程可化为(x－1)2＋(y－2)2＝(eq\r(5))2，又圆心(1,2)到直线l的距离为eq\f(\r(10),2)，∴|AB|＝2eq\r(5－\f(\r(10),2)2)＝eq\r(10)．题组三考题再现3．(2024·浙江，12)已知圆C的圆心坐标是(0，m)，半径长是r.若直线2x－y＋3＝0与圆C相切于点A(－2，－1)，则m＝__－2__，r＝eq\r(5)．[解析]解法一：设直线2x－y＋3＝0为l，则AC⊥l，又kl＝2，∴kAC＝eq\f(m＋1,0＋2)＝－eq\f(1,2)，解得m＝－2，∴C(0，－2)，∴r＝|AC|＝eq\r(0＋22＋－2＋12)＝eq\r(5)．解法二：由题知点C到直线的距离为eq\f(|－m＋3|,\r(5))，r＝|AC|＝eq\r(22＋m＋12)，由直线与圆C相切得eq\r(22＋m＋12)＝eq\f(|－m＋3|,\r(5))，解得m＝－2，∴r＝eq\r(22＋－2＋12)＝eq\r(5)．4．(2024·怀柔二模)若圆C1：x2＋y2＝1与圆C2：x2＋y2－6x－8y＋m＝0外切，则m＝(C)A．21 B．19C．9 D．－11[解析]圆C1的圆心为C1(0,0)，半径r1＝1，因为圆C2的方程可化为(x－3)2＋(y－4)2＝25－m，所以圆C2的圆心为C2(3,4)，半径r2＝eq\r(25－m)(m<25)．从而|C1C2|＝eq\r(32＋42)＝5，由两圆外切得|C1C2|＝r1＋r2，即1＋eq\r(25－m)＝5，解得m＝9，故选C．5．(2024·四川资阳、遂宁等七市联考)圆x2＋y2＋2x－2y－2＝0上到直线l：x＋y＋eq\r(2)＝0的距离为1的点共有(C)A．1个 B．2个C．3个 D．4个[解析]与直线l距离为1的直线分别为l1：x＋y＝0，l2：x＋y＋2eq\r(2)＝0，又圆C：x2＋y2＋2x－2y－2＝0，即(x＋1)2＋(y－1)2＝4的圆心C(－1,1)到l1、l2的距离分别为d1＝0<r、d2＝2＝r(r为圆C的半径2)，∴l1、l2分别与圆C相交、相切，故选C．KAODIANTUPOHUDONGTANJIU考点突破·互动探究考点一直线与圆的位置关系的判定——自主练透例1(1)(2024·西安八校联考)若过点A(3,0)的直线l与曲线(x－1)2＋y2＝1有公共点，则直线l的斜率的取值范围为(D)A．(－eq\r(3)，eq\r(3)) B．[－eq\r(3)，eq\r(3)]C．(－eq\f(\r(3),3)，eq\f(\r(3),3)) D．[－eq\f(\r(3),3)，eq\f(\r(3),3)](2)(多选题)(2024·山东日照一中期中)已知ab≠0，O为坐标原点，点P(a，b)是圆x2＋y2＝r2外一点，过点P作直线l⊥OP，直线m的方程是ax＋by＝r2，则下列结论正确的是(AD)A．m∥l B．m⊥lC．m与圆相离 D．m与圆相交[解析](1)数形结合可知，直线l的斜率存在，设直线l的方程为y＝k(x－3)，则圆心(1,0)到直线y＝k(x－3)的距离应小于或等于半径1，即eq\f(|2k|,\r(1＋k2))≤1，解得－eq\f(\r(3),3)≤k≤eq\f(\r(3),3)，故选D．(2)∵点P(a，b)在圆x2＋y2＝r2外，∴a2＋b2>r2，又直线l的方程为y－b＝－eq\f(a,b)(x－a)，即ax＋by＝a2＋b2，又m：ax＋by＝r2，∴m∥l，又圆心O到直线m的距离d＝eq\f(r2,\r(a2＋b2))<r，∴m与圆相交，故选AD．名师点拨☞推断直线与圆的位置关系的常见方法(1)几何法：利用d与r的关系．(2)代数法：联立方程之后利用Δ推断．(3)点与圆的位置关系法：若直线恒过定点且定点在圆内，可推断直线与圆相交．〔变式训练1〕(多选题)(2024·湖南五市十校联考改编)已知两点M(－1,0)，N(1,0)，若直线3x－4y＋m＝0上存在点P满意eq\o(PM,\s\up6(→))·eq\o(PN,\s\up6(→))＝0，则实数m的值可以是(BCD)A．－12 B．0C．2 D．5[解析]设P(x，y)，则eq\o(PM,\s\up6(→))＝(－1－x，－y)，eq\o(PN,\s\up6(→))＝(1－x，－y)，由eq\o(PM,\s\up6(→))⊥eq\o(PN,\s\up6(→))得x2＋y2＝1，因P在直线3x－4y＋m＝0上，故圆心到直线的距离d＝eq\f(|m|,\r(32＋42))≤1，故m∈[－5,5]，故选B、C、D．考点二直线与圆的综合问题——多维探究角度1圆的切线问题例2(1)过点P(2,4)作圆(x－1)2＋(y－1)2＝1的切线，则切线方程为(C)A．3x＋4y－4＝0 B．4x－3y＋4＝0C．x＝2或4x－3y＋4＝0 D．y＝4或3x＋4y－4＝0(2)由直线y＝x＋1上的动点P向圆C：(x－3)2＋y2＝1引切线，则切线长的最小值为(C)A．1 B．2eq\r(2)C．eq\r(7) D．3[解析](1)当斜率不存在时，x＝2与圆相切；当斜率存在时，设切线方程为y－4＝k(x－2)，即kx－y＋4－2k＝0，则eq\f(|k－1＋4－2k|,\r(k2＋1))＝1，解得k＝eq\f(4,3)，则切线方程为4x－3y＋4＝0，故切线方程为x＝2或4x－3y＋4＝0．(2)如图：切线长|PM|＝eq\r(|PC|2－1)，明显当|PC|为C到直线y＝x＋1的距离即eq\f(3＋1,\r(2))＝2eq\r(2)时|PM|最小为eq\r(7)，故选C．[引申](1)若将本例(1)中“P(2,4)”改为“P(1＋eq\f(\r(2),2)，1－eq\f(\r(2),2))”，则切线方程为x－y－eq\r(2)＝0．(2)本例(1)中过切点的直线方程为__x＋3y－5＝0__．(3)本例(2)中切线长最小时切线的方程为(4－eq\r(7))x＋3y－10＋eq\r(7)＝0或(4＋eq\r(7))＋3y－10－eq\r(7)＝0．角度2圆的弦长问题例3(1)(2024·课标全国Ⅰ)直线y＝x＋1与圆x2＋y2＋2y－3＝0交于A，B两点，则|AB|＝2eq\r(2)．(2)(2024·河南中原名校联盟第三次联考)设圆x2＋y2－2x－2y－2＝0的圆心为C，直线，过(0,3)，且与圆C交于A，B两点，若|AB|＝2eq\r(3)，则直线l的方程为(D)A．3x＋4y－12＝0或4x－3y＋9＝0B．3x－4y＋12＝0或4x＋3y＋9＝0C．4x－3y＋9＝0或x＝0D．3x＋4y－12＝0或x＝0[解析](1)将圆x2＋y2＋2y－3＝0化为标准方程为x2＋(y＋1)2＝4，则圆心坐标为(0，－1)，半径r＝2，∴圆心到直线x－y＋1＝0的距离d＝eq\f(2,\r(2))＝eq\r(2)，∴|AB|＝2eq\r(r2－d2)＝2eq\r(22－\r(2)2)＝2eq\r(2)．(2)圆的标准方程为(x－1)2＋(y－1)2＝4，由|AB|＝2eq\r(3)知，圆心(1,1)到直线l的距离为1，当直线l的斜率不存在，即直线l的方程为x＝0时，符合题意；当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y－3＝k(x－0)，即kx－y＋3＝0，由eq\f(|k＋2|,\r(k2＋1))＝1得k＝－eq\f(3,4)，此时直线l的方程为3x＋4y－12＝0，故选D．名师点拨☞直线与圆综合问题的常见类型及解题策略(1)处理直线与圆的弦长问题时多用几何法，即弦长的一半、弦心距、半径构成直角三角形．(2)圆的切线问题的处理要抓住圆心到直线的距离等于半径，从而建立关系解决问题．注：①过圆C内一点P的最短弦所在直线与PC垂直，最长弦所在直线是PC．②过圆C外P作圆的切线，切点为A、B，则AB是圆C与以PC为直径的圆的公共弦．〔变式训练2〕(1)(角度1)(2024·吉林长春模拟)已知直线x＋y＝0与圆(x－1)2＋(y－b)2＝2相切，则b＝(C)A．－3 B．1C．－3或1 D．eq\f(5,2)(2)(角度2)(2024·河北衡水中学调研)过三点A(1,3)，B(4,2)，C(1，－7)的圆截直线x＋ay＋2＝0所得弦长的最小值等于(B)A．2eq\r(3) B．4eq\r(3)C．eq\r(13) D．2eq\r(13)[解析](1)由圆心到切线的距离等于半径，得eq\f(|1＋b|,\r(12＋12))＝eq\r(2)，∴|1＋b|＝2，∴b＝1或b＝－3，故选C．(2)设圆心坐标P为(a，－2)，则r2＝(1－a)2＋(3＋2)2＝(4－a)2＋(2＋2)2，解得a＝1，r＝5，所以P(1，－2)．又直线过定点Q(－2,0)，当直线PQ与弦垂直时，弦长最短，依据圆的性质可知弦长为2eq\r(r2－PQ2)＝2eq\r(25－13)＝4eq\r(3)，∴直线x＋ay＋2＝0被圆截得的弦长为4eq\r(3).故选B．考点三圆与圆的位置关系——师生共研例4已知圆C1：(x－a)2＋(y＋2)2＝4与圆C2：(x＋b)2＋(y＋2)2＝1相外切，则ab的最大值为(C)A．eq\f(\r(6),2) B．eq\f(3,2)C．eq\f(9,4) D．2eq\r(3)[解析]由圆C1与圆C2相外切，可得eq\r(a＋b2＋－2＋22)＝2＋1＝3，即(a＋b)2＝9，依据基本(均值)不等式可知ab≤(eq\f(a＋b,2))2＝eq\f(9,4)，当且仅当a＝b时等号成立．故选C．[引申1]把本例中的“外切”变为“内切”，求ab的最大值．[解析]由C1与C2内切，得eq\r(a＋b2＋－2＋22)＝1．即(a＋b)2＝1，又ab≤(eq\f(a＋b,2))2＝eq\f(1,4)，当且仅当a＝b时等号成立，故ab的最大值为eq\f(1,4)．[引申2]把本例条件“外切”变为“相交”，求公共弦所在的直线方程．[解析]把圆C1，圆C2的方程都化为一般方程．圆C1：x2＋y2－2ax＋4y＋a2＝0， ①圆C2：x2＋y2＋2bx＋4y＋b2＋3＝0， ②由②－①得(2a＋2b)x＋3＋b2－a2＝0，即(2a＋2b)x＋3＋b2－a2＝0为所求公共弦所在的直线方程．[引申3]将本例条件“外切”变为“若两圆有四条公切线”，试推断直线x＋y－1＝0与圆(x－a)2＋(y－b)2＝1的位置关系．[解析]由两圆存在四条公切线，故两圆外离，故eq\r(a＋b2＋－2＋22)>3，∴(a＋b)2>9，即a＋b>3或a＋b<－3．∴圆心(a，b)到直线x＋y－1＝0的距离d＝eq\f(|a＋b－1|,\r(2))>1，∴直线x＋y－1＝0与圆(x－a)2＋(y－b)2＝1相离．名师点拨☞如何处理两圆的位置关系推断两圆的位置关系时常用几何法，即利用两圆圆心之间的距离与两圆半径和、差之间的关系，一般不采纳代数法．若两圆相交，则两圆公共弦所在直线的方程可由两圆的方程作差消去x2、y2项得到．〔变式训练3〕(1)(2024·山东模拟)已知圆M：x2＋y2－2ay＝0(a>0)截直线x＋y＝0所得线段的长度是2eq\r(2)，则圆M与圆N：(x－1)2＋(y－1)2＝1的位置关系是(B)A．内切 B．相交C．外切 D．相离(2)若⊙O：x2＋y2＝5与⊙O1：(x－m)2＋y2＝20(m∈R)相交于A、B两点，且两圆在点A处的切线相互垂直，则线段AB的长度是__4__．[解析](1)由垂径定理得(eq\f(a,\r(2)))2＋(eq\r(2))2＝a2，解得a2＝4，又a>0，所以a＝2，所以圆M：x2＋(y－2)2＝4，所以圆M与圆N的圆心距d＝eq\r(0－12＋2－12)＝eq\r(2).因为2－1<eq\r(2)<2＋1，所以两圆相交．故选B．(2)由题意⊙O1与⊙O在A处的切线相互垂直，则两切线分别过另一圆的圆心，∴O1A⊥OA．又∵|OA|＝eq\r(5)，|O1A|＝2eq\r(5)，∴|OO1|＝5.又A，B关于OO1对称，∴AB为Rt△OAO1斜边上的高的2倍．∴|AB|＝2×eq\f(\r(5)×2\r(5),5)＝4．MINGSHIJIANGTANSUYANGTISHENG名师讲坛·素养提升解决直线与圆问题中的数学思想1．数形结合思想例5(2024·长春模拟)过点(eq\r(2)，0)引直线l与曲线y＝eq\r(1－x2)相交于A、B两点，O为坐标原点，当△AOB的面积取最大值时，直线l的斜率等于(B)A．eq\f(\r(3),3) B．－eq\f(\r(3),3)C．±eq\f(\r(3),3) D．－eq\r(3)[解析]∵S△AOB＝eq\f(1,2)|OA||OB|sin∠AOB＝eq\f(1,2)sin∠AOB≤eq\f(1,2)．当∠AOB＝eq\f(π,2)时，△AOB面积最大．此时O到AB的距离d＝eq\f(\r(2),2)．设AB方程为y＝k(x－eq\r(2))(k<0)，即kx－y－eq\r(2)k＝0.由d＝eq\f(|\r(2)k|,\r(k2＋1))＝eq\f(\r(2),2)得k＝－eq\f(\r(3),3)．2．转化与化归例6(2024·江西临川一中、南昌二中联考)已知两点A(－2,0)，B(2,0)以及圆C：(x＋4)2＋(y－3)2＝r2(r>0)，若圆C上存在点P，满意eq\o(PA,\s\up6(→))·eq