2024北京清华附中朝阳学校初三（上）期中数学（教师版）

第1页/共1页2024北京清华附中朝阳学校初三（上）期中数学2024.11.7一、选择题（共16分，每题2分）每题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．1.古典园林中的窗户是中国传统建筑装饰的重要组成部分，一窗一姿容，一窗一景致．下列窗户图案中，是中心对称图形的是（）A. B. C. D.2.抛物线的顶点坐标是（）A. B. C. D.3.关于x的方程是一元二次方程，则（）A.m＝﹣3 B.m＝2 C.m＝3 D.m＝±34.如果在二次函数的表达式y=ax2+bx+c中，a＞0，b＜0，c＜0，那么这个二次函数的图象可能是（）A. B.C. D.5.将一元二次方程通过配方转化为的形式，下列结果中正确的是（）A. B. C. D.6.如图，在平面直角坐标系xOy中，点A从出发，绕点O顺时针旋转一周，则点A不经过（）A.点M B.点N C.点P D.点Q7.“杂交水稻之父”——袁隆平先生所率领的科研团队在增产攻坚第一阶段实现水稻亩产量700千克的目标，第三阶段实现水稻亩产量1008千克的目标，则第一阶段到第三阶段水稻亩产量的平均增长率x，那么根据题意可以列方程为（）．A. B.C. D.8.如图，线段AB＝5，动点P以每秒1个单位长度的速度从点A出发，沿线段AB运动至点B，以点A为圆心，线段AP长为半径作圆．设点P的运动时间为t，点P，B之间的距离为y，⊙A的面积为S，则y与t，S与t满足的函数关系分别是（）A.正比例函数关系，一次函数关系 B.一次函数关系，正比例函数关系C.一次函数关系，二次函数关系 D.正比例函数关系，二次函数关系二、填空题（共16分，每题2分）9.在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是______．10.将抛物线向上平移一个单位长度，得到的抛物线的表达式为______．11.若关于的一元二次方程的一个根为，则的值为______．12.如图，若抛物线y=ax2+bx+c上的P（4，0），Q两点关于它的对称轴x=1对称，则关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的解是___________．13.关于x的一元二次方程的两个实数根分别为，且，，则m的取值范围是______．14.参加一次活动的每个人都和其他人各握了一次手，所有人共握手10次，有多少人参加活动？设有x人参加活动，可列方程为____________15.如图，中，，将绕点逆时针旋转得到，若，则的度数为____________．16.车间里有五台车床同时出现故障．已知第一台至第五台修复的时间如下表：车床代号ABCDE修复时间（分钟）15829710若每台车床停产一分钟造成经济损失10元，修复后即可投入生产．（1）若只有一名修理工，且每次只能修理一台车床，则下列三个修复车床的顺序：①；②；③中，经济损失最少的是______（填序号）；（2）若由两名修理工同时修理车床，且每台车床只由一名修理工修理，则最少经济损失为______元．三、解答题（共68分，第17-22题，每题5分，第23-26题，每题6分，27-28题，每题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．17.解方程：．18.如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，，将绕点O顺时针旋转得到，点A的对应点为．（1）画出旋转后的图形，并写出点，的坐标；（2）求线段的长．19.已知，求代数式的值．20.已知二次函数的解析式是．（1）写出该二次函数的顶点坐标；（2）在右图中画出该二次函数的图象（不需要列表），并写出该图象与x轴的交点；（3）当时，直接写出y的取值范围．21.已知关于的一元二次方程．（1）求证：方程总有两个实数根；（2）如果方程有一个根为正数，求的取值范围．22.把球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，如下所示为正视图.已知EF＝CD＝16厘米，求出这个球的半径．23.如图，在中，，将绕着点B逆时针旋转得到，点C，A的对应点分别为E，F．点E落在上，连接．（1）若，求的度数；（2）若,，求的长．24.有这样一个问题：探究函数y=（x﹣1）（x﹣2）（x﹣3）+x的性质．(1)先从简单情况开始探究：①当函数y=（x﹣1）+x时，y随x增大而（填“增大”或“减小”）；②当函数y=（x﹣1）（x﹣2）+x时，它的图象与直线y=x的交点坐标为；(2)当函数y=（x﹣1）（x﹣2）（x﹣3）+x时，下表为其y与x的几组对应值．x…﹣013234…y…﹣﹣31237…①如图，在平面直角坐标系xOy中，描出了上表中各对对应值为坐标的点，请根据描出的点，画出该函数的图象；②根据画出的函数图象，写出该函数的一条性质：．25.赛龙舟是中国端午节的习俗之一，也是一项广受欢迎的民俗体育运动．某地计划进行一场划龙舟比赛，图1是比赛途中经过的一座拱桥，图2是该桥露出水面的主桥拱的示意图，可看作抛物线的一部分，建立如图所示的平面直角坐标系，桥拱上的点到水面的竖直高度y（单位：）与到点O的水平距离x（单位：）近似满足函数关系，据调查，龙舟最高处距离水面，为保障安全，通过拱桥时龙舟最高处到桥拱的竖直距离至少．（1）水面的宽度_______；（2）要设计通过拱桥的龙舟赛道方案，若每条龙舟赛道宽度为，求最多可设计龙舟赛道的数量．26.在平面直角坐标系中，点，在抛物线上．（1）当时，求抛物线的顶点坐标，并直接写出和的大小关系；（2）抛物线经过点．①当时，若，则a的值为_______；②若对于任意的都满足，求a的取值范围．27.在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，CD为AB边上的中线．在Rt△AEF中，∠AEF＝90°，AE＝EF，AF＜AC．连接BF，M，N分别为线段AF，BF的中点，连接MN．（1）如图1，点F在△ABC内，求证：CD＝MN；（2）如图2，点F在△ABC外，依题意补全图2，连接CN，EN，判断CN与EN的数量关系与位置关系，并加以证明；（3）将图1中的△AEF绕点A旋转，若AC＝a，AF＝b（b＜a），直接写出EN的最大值与最小值．28.将平面直角坐标系中的一些点分为两类，满足每类至少包含两个点．对于同一类中的任意两点，，称与中的最大值为点和点的“联络量”，记作，．将每类能得到的最大联络量作为该类的“代表量”，定义代表量中的最大值为这种分类的“类筹”．如图，点，，，，的横、纵坐标都是整数．（1）①点A，C，D，E，O，与点B“联络量”是2的有；②点M在平面上运动，已知将点D，E，M分在同一类时“代表量”是5，则动点M所在区域的面积为；（2）已知二次函数上的任一点均满足将点，，，，，分为两类的最小“类筹”大于4，直接写出的取值范围．

参考答案一、选择题（共16分，每题2分）每题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．1.【答案】C【分析】本题主要考查了中心对称图形，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．把一个图形绕某一点旋转180度，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，根据中心对称图形的概念求解．【详解】解：选项C能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180度后与原来的图形重合，所以是中心对称图形，选项A、B、D均不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180度后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形，故选：C．2.【答案】D【分析】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在中，顶点坐标为，对称轴为．根据抛物线的解析式直接写出顶点坐标即可．【详解】解：抛物线的顶点坐标是．故选：D．3.【答案】D【分析】根据一元二次方程的定义可得m2﹣7＝2，求出m的值即可．【详解】解：∵关于x的方程是一元二次方程，∴m2﹣7＝2，解得m＝±3，故选：D．【点睛】本题考查了一元二次方程的问题，掌握一元二次方程的定义以及解法是解题的关键．4.【答案】C【分析】由a＞0，b＜0，c＜0，推出﹣＞0，可知抛物线的图象开口向上，对称轴在y轴的右边，交y轴于负半轴，由此即可判断．【详解】解：∵a＞0，b＜0，c＜0，∴﹣＞0，∴抛物线的图象开口向上，对称轴在y轴的右边，交y轴于负半轴，故选C．【点评】本题考查二次函数的图象，解题的关键是熟练掌握基本知识，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．5.【答案】A【分析】将常数项移到方程的右边，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后即可．【详解】解：∵，∴，∴，即，故选A．【点睛】本题考查了解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．6.【答案】C【分析】根据旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等，逐一判断即可.【详解】解：连接OA、OM、ON、OP，根据旋转的性质，点A的对应点到旋转中心的距离与OA的长度应相等根据网格线和勾股定理可得：OA=，OM=，ON=，OP=，OQ=5∵OA=OM=ON=OQ≠OP∴则点A不经过点P故选C.【点睛】此题考查的是旋转的性质和勾股定理，掌握旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等和用勾股定理求线段的长是解决此题的关键.7.【答案】A【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，设第一阶段到第三阶段水稻亩产量的平均增长率x，根据“第一阶段实现水稻亩产量700千克的目标，第三阶段实现水稻亩产量1008千克的目标”列出一元二次方程即可，理解题意，找准等量关系是解此题的关键．【详解】解：第一阶段到第三阶段水稻亩产量的平均增长率x，那么根据题意可以列方程为，故选：A．8.【答案】C【分析】根据题意分别列出y与t，S与t的函数关系，进而进行判断即可．【详解】解：根据题意得，，即，是一次函数；⊙A的面积为，即，是二次函数故选C【点睛】本题考查了列函数表达式，一次函数与二次函数的识别，根据题意列出函数表达式是解题的关键．二、填空题（共16分，每题2分）9.【答案】【分析】本题考查了点的坐标，根据关于原点对称的点的坐标的横、纵坐标互为相反数即可得解．【详解】解：在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是，故答案为：．10.【答案】【分析】根据“左加右减，上加下减”的平移规律即可得答案．【详解】∵抛物线向上平移1个单位长度，∴抛物线平移后的表达式为，故答案为：．【点睛】本题考查二次函数图象的平移，熟练掌握“左加右减，上加下减”的平移规律是解题关键．11.【答案】1【分析】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．把代入一元二次方程得到，然后解一次方程即可．【详解】解：把代入方程得，解得．故答案为：1．12.【答案】x1=4x2=-2【分析】由对称的性质得出点Q的坐标，再根据一元二次方程与二次函数之间的关系得出方程的解.【详解】点P关于x=1对称的点Q的坐标为（﹣2，0），∴方程ax2+bx+c=0的解是x1=4，x2=﹣2.故答案为x1=4，x2=﹣2.【点睛】本题主要考查二次函数与x轴的交点与一元二次方程的解之间的关系.13.关于x的一元二次方程的两个实数根分别为，且，，则m的取值范围是______．【答案】且【分析】此题考查了根的判别式和根与系数的关系，一元二次方程根的情况与判别式的关系，先由根的判别式可得方程有两个实数根则，根据根与系数的关系得出，，再由，，解出不等式组即可．【详解】解：∵，∴，∵，，∴，且，∴且．故答案为：且．14.【答案】【分析】本题考查了一元二次方程的应用，理解题意，列出方程是解题关键．设有人参加活动，每个人与其他人握手的次数均为次，并且每个人与其他人握手均重复一次，由此列出方程即可．【详解】解：设有x人参加活动，每个人与其他人握手的次数均为次，并且每个人与其他人握手均重复一次，由此可得：，即，故答案为：．15.【答案】##100度【分析】由旋转可知，，，根据，计算求解即可．【详解】解：由旋转可知，，，∴，故答案为：．【点睛】本题考查了旋转的性质．解题的关键在于明确角度之间的数量关系．16.【答案】①.①②.1010【分析】本题考查了有理数的混合运算，找出方案是解题的关键．（1）因为要经济损失最少，就要使总停产的时间尽量短，显然先修复时间短的即可；（2）一名修理工修按D，E，C的顺序修，另一名修理工修按B，A的顺序修，修复时间最短，据此计算即可．【详解】解：（1）①总停产时间：分钟，②总停产时间：分钟，③总停产时间：分钟，故答案为：①；（2）一名修理工修按D，E，C的顺序修，另一名修理工修按B，A的顺序修，分钟，（元）故答案为：1010．三、解答题（共68分，第17-22题，每题5分，第23-26题，每题6分，27-28题，每题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．17.【答案】【分析】本题考查了解一元二次方程-因式分解法：“利用因式分解求出方程的解的方法”，是解一元二次方程最常用的方法，本题利用因式分解法，进行计算即可解答．【详解】解：，或，所以．18.【答案】（1）详见解析，，的坐标（2）【分析】本题考查作图——旋转变换以及勾股定理求长度．（1）将点A、B分别绕点O顺时针旋转得到对应点，再与点O顺次连接即可，根据图形得出坐标；（2）根据勾股定理得出的长．【小问1详解】如图所示，即为所求，此时，的坐标；【小问2详解】连接，如图，．19.【答案】2【分析】先利用平方差公式，及单项式乘以多项式法则计算得到最简结果，再把已知等式变形后代入计算即可求出值．【详解】解：，，，∵，∴．0∴原式．【点睛】此题考查了整式的混合运算及化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．20.【答案】（1）（2）见解析，该图象与x轴的交点为，（3）当时，y的取值范围为【分析】本题考查了二次函数的图象与性质、画二次函数图象，采用数形结合的思想是解此题的关键．（1）将二次函数的解析式化为顶点式即可得解；（2）求出该图象与x轴的交点为，，再画出函数图象即可；（3）由函数图象即可得解．【小问1详解】解：，∴该二次函数的顶点坐标为1,4【小问2详解】解：令，则，解得，，∴该图象与x轴的交点为，，画出该二次函数的图象如图：，【小问3详解】解：由图象可得：当时，y的取值范围为．21.【答案】（1）见解析（2）【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式及完全平方式的非负性，即可证得结论；（2）首先解一元二次方程，再根据根的情况，利用不等式，即可求解．【小问1详解】证明：无论m取何值，，∴方程总有两个实数根．【小问2详解】解：由原方程得：，解得，，∵方程有一个根为正数，，，．【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式及根据根的情况求参数，完全平方式的非负性，熟练掌握和运用一元二次方程根的判别式及解方程的方法是解决本题的关键．22.【答案】10.【分析】过球心O作IG⊥BC，分别交BC、AD、劣弧于点G、H、I，连接OF，根据垂径定理、勾股定理和矩形的性质列方程组求解即可．【详解】解：如图，过球心O作IG⊥BC，分别交BC、AD、劣弧于点G、H、I，连接OF．设OH=x，HI=y，则依题意，根据垂径定理、勾股定理和矩形的性质，得，解得．∴球的半径为x＋y=10（厘米）．考点：1.垂径定理；2.勾股定理；3.矩形的性质；4.解方程组．23.【答案】（1）（2）【分析】本题考查旋转的性质，三角形的内角和定理，等腰三角形的性质，勾股定理．（1）根据三角形的内角和定理得到，根据旋转的性质得到，，根据三角形的内角和定理即可得到结论；（2）根据勾股定理得到，根据旋转的性质得到，，根据勾股定理即可得到结论．【小问1详解】在中，，，∴，∵将绕着点B逆时针旋转得到，∴，，∴；【小问2详解】∵，,，∴，∵将绕着点B逆时针旋转得到，∴，，，∴，∵，∴在中，．24.【答案】（1）①增大；②（1，1），（2，2）；（2）①图形见解析（3）性质见解析【详解】试题分析：（1）①整理成一次函数的一般式，根据一次函数的性质得出即可；②求出组成的方程组的解，即可得出答案；（2）①把各个点用平滑的曲线连接即可；②根据图象和（1）中结论写出一个符合的信息即可．试题分析：解：（1）①∵y＝(x－1)＋x＝x－，k＝＞0，∴y随x增大而增大，故答案为增大；②解方程组得：，，所以两函数的交点坐标为（1，1），（2，2），故答案为（1，1），（2，2）；（2）①如图：②该函数的性质：a、y随x的增大而增大；b、函数的图象经过第一、三、四象限；c、函数的图象与x轴y轴各有一个交点；d、函数图象与直线y＝x的交点坐标为（1，1）（2，2）（3，3）．25.【答案】（1）（2）4条．【分析】（1）求出抛物线与x轴的交点坐标即可得到答案；（2）求出当时，x的值，即可求出可设计赛道的宽度，再根据每条龙舟赛道宽度为即可得到答案．【小问1详解】解：令，则，∴，解得或，∴，∴，故答案为：；【小问2详解】解：令，得，∴解得，．可设计赛道的宽度为，∵每条龙舟赛道宽度为，最多可设计赛道4条．【点睛】本题主要考查了二次函数的实际应用，正确理解题意是解题的关键．26.【答案】（1），；（2）①；②或．【分析】（1）根据题意可得顶点坐标为，且开口向上，即可求解；（2）①根据，抛物线的对称轴为直线，即可求解；②分两种情况结合图形，即可求解．【小问1详解】解：当时，，，∴顶点坐标为，且开口向上，∵，∴；【小问2详解】解：①当时，点，∵，∴抛物线的对称轴为直线，∵抛物线的对称轴为直线，∴；故答案为：②对于任意的都满足，点A、B、C存在如下情况：情况1，如示意图，当时，有，．解得：．情况2：如示意图；当时，可知，，，解得．综上所述，或．【点睛】本题考查了二次函数的综合应用，掌握二次函数图像和性质，数形结合是解答本题的关键．27.【答案】（1）证明见解析；（2）CN与EN的数量关系CN＝EN，CN与EN的位置关系CN⊥EN．证明见解析；（3）EN的最大值为，最小值为．【分析】（1）利用直角三角形的斜边的中线等于斜边的一半和三角形的中位线解题即可；（2）构造出△EMN≌△DNC进而利用互余即可得出结论；（3）借助（2）的结论，先判断出点N是以点D为圆心，为半径的圆上，即可得出答案.【详解】解：（1）证明：在Rt△ABC中，∵CD是斜边AB上的中线．∴．在△ABF中，点M，N分别是边AF，BF的中点，∴，∴CD＝MN．（2）答：CN与EN的数量关系CN＝EN，CN与EN的位置关系CN⊥EN．证明：连接EM