江苏省无锡市宜兴市2023-2024学年下学期九年级数学中考模拟卷（四）

试卷第=page88页，共=sectionpages88页2023-2024学年九年级数学中考模拟卷（四）一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1．4的算术平方根是（

）A． B．2 C．4 D．2．函数中，自变量可取的值是（

）A．5 B． C．0 D．13．二元一次方程的一个解是（）A． B． C． D．4．下列运算正确的是（

）A． B． C． D．5．将函数的图像向上平移5个单位长度，得到的函数表达式为（

）A． B． C． D．6．某学校图书馆2021年图书借阅总量是5000本，2023年图书借阅总量是7200本，设该图书馆的图书借阅总量的年平均增长率为x，则下列方程中，正确的是(

)A．B．C． D．7．如图，将绕点逆时针旋转角（）得到，点的对应点恰好落在边上，若，，则旋转角的度数是（）A． B． C． D．第7题第9题第10题8．下列四个命题中，正确的是（

）（1）各角相等的圆内接五边形是正五边形；（2）各边相等的圆内接五边形是正五边形；（3）各角相等的圆内接六边形是正六边形；（4）各边相等的圆内接六边形是正六边形．A．（1）（2）（3） B．（1）（2）（4） C．（1）（3）（4） D．（2）（3）（4）9．如图，四边形是矩形，，，点P是边上一点（不与点A，D重合），连接．点M，N分别是的中点，连接，，，点E在边上，，则的最小值是（

）A． B．3 C． D．10．如图，圆O的直径，是弦，，弧CEB和弧EBD相等，，的延长线与的延长线相交于点，的延长线与的延长线相交于点，连接．下列结论中正确的个数是（

）①；②是圆O的切线；③B，E两点间的距离是；④．A．1 B．2 C．3 D．4二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）11．分解因式：________.12．杭州亚运会开幕式上，约105800000名“数字火炬人”和现场火炬手共同点燃了主火炬塔，实现了首个“数实融合”的点火仪式，将数据105800000用科学计数法表示为________.13．分式方程的解是________.14．已知一个直棱柱共有15条棱，它的底面边长都是，侧棱长都是，则这个棱柱的所有侧面的面积之和是________．15．写出一个y关于x的函数，满足当时，：________.16．《九章算术》是古代数学著作，书中记载：“今有开门去阃（读kǔn，门槛）一尺，不合二寸，问：门广几何？”题目大意是如图①、图②（图②为图①的俯视示意图），今推开双门，门框上点和点到门槛的距离为1尺（1尺寸），双门间的缝隙为2寸，则门宽的长是________寸.17．已知中，，，．点在上，，点从点出发，沿的边上运动，最后回到点，在运动的过程中，若满足的点恰好有3个（点，重合不包括在内），则的取值范围为________.18．在中，，点D是AC的中点，将沿BD折叠得到，点E在外，连接AE.若于点F，BC=10，则AF的长为________.

三．解答题（共10小题，共96分）19．（本题满分8分）（1）计算：(2)化简：20．（本题满分8分）（1）解方程：；（2）解不等式组：21．（本题满分10分）如图，正方形的边长为1，点F在边上，延长到点E，使得，连接．

(1)求证：；(2)若延长与恰好相交于中点G，求的长．22．（本题满分10分）如图，有张分别印有版西游图案的卡片：唐僧、孙悟空、猪八戒、沙悟净．

现将这张卡片（卡片的形状、大小、质地都相同）放在不透明的盒子中，搅匀后从中任意取出张卡片，记录后放回、搅匀，再从中任意取出张卡片求下列事件发生的概率：(1)第一次取出的卡片图案为“孙悟空”的概率为__________；(2)用画树状图或列表的方法，求两次取出的2张卡片中至少有张图案为“唐僧”的概率．23．（本题满分10分）香醋中有一种物质，其含量不同，风味就不同，各风味香醋中该种物质含量如下表．风味偏甜适中偏酸含量/71.289.8110.9某超市销售不同包装（塑料瓶装和玻璃瓶装）的以上三种风味的香醋，小明将该超市月份售出的香醋数量绘制成如下条形统计图．

已知月份共售出150瓶香醋，其中“偏酸”的香醋占．(1)求出a，b的值．(2)售出的玻璃瓶装香醋中该种物质的含量的众数为______，中位数为______．(3)根据小明绘制的条形统计图，你能获得哪些信息？（写出一条即可）24．（本题满分10分）如图，已知，点D，E分别在上，且满足，．

(1)用直尺和圆规确定点D，E；（保留作图痕迹，不写作法）(2)连接与交于点F．若则的长为___________．25．（本题满分10分）如图，点O是的边AC上一点，以点O为圆心，OA为半径作，与BC相切于点E，交AB于点D，连接OE，连接OD并延长交CB的延长线于点F，．(1)连接AF，求证：AF是的切线；(2)若，，求FD的长．26．（本题满分10分）某景区旅游商店以元的价格采购一款旅游食品加工后出售，销售价格不低于元，不高于元，经市场调查发现每天的销售量与销售价格（元）之间的函数关系如图所示．(1)求关于的函数表达式：(2)当销售价格定为多少时，该商店销售这款食品每天获得的销售利润最大？最大销售利润是多少？【销售利润=（销售价格一采购价格）×销售量】27．（本题满分10分）数学活动课上，老师组织数学小组的同学们以“正方形折叠”为主题开展数学活动．【动手实践】（1）如图（1），已知正方形纸片，数学小组将正方形纸片沿过点A的直线折叠，使点B落在正方形的内部，点B的对应点为点M，折痕为，再将纸片沿过点A的直线折叠使与重合，折痕为，易知点E、M、F共线，则_____°，三条线段的关系为______________；【拓展应用】（2）解决下面问题：①如图（2）作于点N，交于点P，求证：；②如图（3），数学小组在图（1）的基础上进行如下操作：将正方形纸片沿继续折叠，点C的对应点为点N，他们发现，当点E的位置不同时，点N的位置也不同，若点N恰好落在边上，，请直接写出此时的长度．28．（本题满分10分）抛物线与x轴交于点，，与y轴交于点C．(1)求抛物线的表达式；(2)如图，点D是抛物线上的一个动点，设点D的横坐标是，过点D作直线轴，垂足为点E，交直线于点F．当D，E，F三点中一个点平分另外两点组成的线段时，求线段的长；(3)若点P是抛物线上的一个动点（点P不与顶点重合），点M是抛物线对称轴上的一个点，点N在坐标平面内，当四边形是矩形邻边之比为时，请直接写出点P的横坐标．答案第=page22页，共=sectionpages2525页2023-2024学年九年级数学中考模拟卷（四）参考答案1．B【分析】本题主要考查了求一个数的算术平方根，对于两个非负实数a、b，若满足，那么a就叫做b的算术平方根，据此求解即可．【详解】解；4的算术平方根是2，故选；B．2．A【分析】本题考查了函数自变量取值范围，解题关键是掌握二次根式被开方数是非负数；根据题意列出不等式求解即可．【详解】解：函数中，自变量的取值范围是：，即；故选：A．3．A【分析】本题主要考查了二元一次方程的解．正确利用二元一次方程的解的意义是解题的关键．将四个选项分别代入原方程，能使方程左右两边相等的未知数的值是方程的解．【详解】解：∵将代入原方程，左边右边，∴A选项符合题意；∵将代入原方程，左边右边，∴B选项不符合题意；将代入原方程，左边右边，∴C选项不符合题意；∵将代入原方程，左边右边，∴D选项不符合题意．故选：A．4．C【分析】本题主要考查了积的乘方、合并同类项、同底数幂乘法运算以及完全平方公式等知识，熟练掌握相关运算法则和运算公式是解题关键．根据积的乘方运算法则、合并同类项法则、同底数幂乘法运算法则以及完全平方公式逐项分析判断即可．【详解】解：A.，故运算不正确，不符合题意；B.，故运算不正确，不符合题意；C.，运算正确，符合题意；D.，故运算不正确，不符合题意．故选：C．5．C【分析】本题考查了一次函数的平移，根据一次函数的平移规律“左加右减，上加下减”进行解答即可．【详解】解：将函数的图像向上平移5个单位长度，得到的函数解析式为，故选：C．6．D【分析】本题考查了一元二次方程的应用，根据2023年图书借阅总量2021年图书借阅总量列出方程即可得．【详解】解：由题意，可列方程为，故选：D．7．C【分析】本题考查了旋转的性质，三角形的内角和定理，由，，则有，再根据旋转的性质即可求解，解题的关键是熟练掌握旋转的性质及其应用．【详解】根据题意，，，∴，由旋转的性质，则，，∴，∴，∴旋转角的度数是，故选：．8．B【分析】本题考查多边形与圆的关系，熟记正多边形的概念及正多边形与圆的关系是解题的关键；根据正多边形的性质及正多边形与圆的关系逐项判断即可．【详解】（1）各角相等的圆内接五边形是正五边形，因为圆内接五边形的角度都是相等的，所以是正五边形，故符合题意；（2）各边相等的圆内接五边形是正五边形，因为圆内接五边形的边长都相等，所以是正五边形，故符合题意；（3）各角相等的圆内接六边形，因为圆内接六边形的角度相等，但各边不一定相等，所以不一定是正六边形，故不符合题意；（4）各边相等的圆内接六边形是正六边形，因为圆内接六边形的边长都是相等的，所以是正六边形，故符合题意．综上所述命题正确的有（1）（2）（4），故选：B9．C【分析】根据直线三角形斜边中线的性质可得，，通过证明四边形是平行四边形，可得，则，作点C关于直线的对称点M，则，点B，P，M三点共线时，的值最小，最小值为．【详解】解：四边形是矩形，，，点M，N分别是的中点，，，，，，，，又，四边形是平行四边形，，，如图，作点C关于直线的对称点M，连接，，

则，当点B，P，M三点共线时，的值最小，最小值为，在中，，，，的最小值，故选C．【点睛】本题考查矩形的性质，直线三角形斜边中线的性质，中位线的性质，平行四边形的判定与性质，轴对称的性质，勾股定理，线段的最值问题等，解题的关键是牢固掌握上述知识点，熟练运用等量代换思想．10．B【分析】连接、、，过点作交延长线于，于．①根据已知、垂径定理和圆内接四边形证，，即可得到；②根据已知、垂径定理、中垂线定理证，推出，不垂直，即可判断不是的切线；③证，结合、，计算出、、，最后根据勾股定理计算即可；④先计算出，推理出，设，用含的代数式表示和，代入求解即可．【详解】如图，连接、、，过点作交延长线于，于

的直径，，，，，，是弦，，，（垂直于弦的直径平分弦所对的弧），，即，，，，（圆内接四边形的一个外角等于它的内对角），，故结论①正确，，又（同弧所对圆周角是圆心角的一半），，，，于，，，，，，故结论③正确，，，，平分（垂直于弦的直径平分弦），是的中垂线，，，，，，即，是弦，是锐角，是钝角，是钝角，，不垂直，不是的切线，故结论②不正确，，，，，，，，设，则，，，，，，，，，解得：，，故结论④不正确综上，①和③这2个结论正确，故选：B．【点睛】本题考查了圆的性质综合，结合判断切线、勾股定理、三角函数解直角三角形知识点，熟练掌握、综合运用知识点推理证明和计算是解题的关键．11．【分析】原式提取公因式，再利用完全平方公式分解即可．此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．【详解】解：原式．故答案为：．12．【分析】用移动小数点的方法确定a值，根据整数位数减一原则确定n值，最后写成的形式即可．本题考查了科学记数法表示绝对值较大的数，熟练掌握把小数点点在左边第一个非零数字的后面确定a，运用整数位数减去1确定n值是解题的关键．【详解】∵，故答案为：．13．【分析】本题主要考查了解分式方程，解题的关键是掌握分式方程的解法．根据去分母、去括号、合并同类项即可求解．【详解】解：，故答案为：．14．100【分析】本题考查了几何体的表面积，根据棱柱侧面积的面积公式，代入数据即可得出结论．【详解】一个直棱柱共有15条棱，该直棱柱为五棱柱，侧面是5个相同的长方形，长方形的长，宽为，所有侧面的面积之和为：．故答案为：100．15．y=x（答案不唯一）【分析】根据函数的概念，列出满足条件的一次函数即可．【详解】解：根据题意，函数y=x，当x＞0时，y＞0满足题意；故答案为：y=x．【点睛】此题考查函数的概念；函数概念的理解主要抓住以下三点：①有两个变量；②一个变量的数值随着另一个变量的数值的变化而变化；③对于自变量每一个确定的值，函数有且只有一个值与之对应．掌握一次函数图象的特征是解题关键．16．101【解析】略17．【分析】本题考查的是含的直角三角形的性质，勾股定理的应用，二次根式的加减运算，确定Q的位置是解本题的关键；如图，当时，此时满足条件的Q有2个，即Q，B，求解的长度，如图，当于时，则此时满足条件的Q只有2个，连接，再求解此时的的长度，从而可得答案．【详解】解：如图，当时，此时满足条件的Q有2个，即Q，B，∵，，．∴，，∴，，此时，如图，当于时，则此时满足条件的Q只有2个，连接，此时，∵，∴由勾股定理可得：，∴，∵，，∴，，∴，∴∴满足的点恰好有3个（点，重合不包括在内），则的取值范围为．故答案为：18．【分析】取中点，连接，取中点，连接，作于点．设，由折叠可知则，得到，从而推导出，由三角形中位线定理得到，从而推导出，得到四边形是正方形，，，最后利用勾股定理解答即可．【详解】解：取中点，连接，取中点，连接，作于点．∵，为的中点，∴，，．∵点是的中点，∴是的中位线，∴，则于点，

设，由折叠可知则，∵，∴，，又由折叠得，，∴，∴，即，∴，解得：，∴，∵是的中位线，∴，，∴，由折叠知，，在和中，，∴，∴．∵，∴，∴．又∵，且，∴，∴，∴，∴四边形是正方形，∴，∴．在中，，∴，解得：，∴，，即，，在中，．故答案为：．【点睛】本题考查了折叠的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，解直角三角形，正方形的判定及性质等，解答本题的关键是设边长，根据勾股定理列方程求解．19．(1)(2)【分析】（1）根据负指数幂、特殊三角函数值及实数的运算可进行求解；（2）根据多项式乘以多项式及完全平方公式可进行求解．【详解】（1）解：原式；（2）解：原式．【点睛】本题主要考查负指数幂、特殊三角函数值、实数的运算、多项式乘以多项式及完全平方公式，熟练掌握各个运算是解题的关键．20．(1)，(2)【分析】（1）根据公式法进行求解方程即可；（2）根据一元一次不等式组的解法可进行求解．【详解】（1）解：∵，∴，∴，∴，；（2）解：由①得：；由②得：；∴该不等式组的解集为．【点睛】本题主要考查一元二次方程及一元一次不等式组的解法，熟练掌握各个解法是解题的关键．21．(1)见解析(2)【分析】（1）依据正方形的性质，即可得到，，再根据，即可得到；（2）连接AC，依据全等三角形的性质，即可得出；再根据G是CE中点，即可得到AG是CE的垂直平分线，即可得到；最后依据进行计算即可．【详解】（1）证明：∵正方形，∴，，在和中，，∴；（2）解：连接AC，

∵，∴，∴，∴，∵G为中点，∴，∵，∴．【点睛】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，解题的关键是掌握正方形四条边相等，四个角都是直角；全等三角形对角相等；等腰三角形三线合一．22．(1)(2)【分析】（1）根据概率公式即可求解；（2）根据题意，画出树状图，进而根据概率公式即可求解．【详解】（1）解：共有张卡片，第一次取出的卡片图案为“孙悟空”的概率为故答案为：．（2）树状图如图所示：

由图可以看出一共有16种等可能结果，其中至少一张卡片图案为“A唐僧”的结果有7种．∴(至少一张卡片图案为“A唐僧”）．答：两次取出的2张卡片中至少有一张图案为“A唐僧”的概率为．【点睛】本题考查了概率公式求概率，画树状图法求概率，熟练掌握求概率的方法是解题的关键．23．(1)(2)110.9，89.8(3)见解析【分析】（1）根据月份共售出香醋的总量和“偏酸”的香醋占比，可求出a的值，进而求出b的值；（2）分别计算出玻璃瓶装香醋三种风味各自的数量，数量最多和数量居中的那种风味对应的含量即为答案；（3）根据条形统计图，任写一条合理的信息即可，答案不唯一．【详解】（1）∵月份共售出150瓶香醋，其中“偏酸”的香醋占比，∴售出“偏酸”的香醋的数量为（瓶）．∴，解得．∵，即，解得．综上，．（2）售出的玻璃瓶装香醋的数量为（瓶）．其中：风味偏甜的有20瓶，风味适中的有38瓶，风味偏酸的有42瓶，∵售出的风味偏酸的数量最多，风味适中的数量居中，∴售出的玻璃瓶装香醋中的该种物质的含量的众数为，中位数为，故答案为：110.9，89.8．（3）根据小明绘制的条形统计图可知，人们更喜欢风味偏酸的香醋（答案不唯一，合理即可）．【点睛】本题考查条形统计图、中位数和众数，理解和掌握这些概念并能够灵活地运用它们是本题的关键．24．(1)见解析(2)【分析】（1）以点A为圆心，为半径，画弧交于点D，作线段的垂直平分线，交于点E；（2）过点A作于点H，由得到，由得到，则，由，则，再证，则，代入数值即可得到答案．【详解】（1）如图，点D、E即为所求，

（2）解：过点A作于点H，∵∴，∵，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴故答案为：【点睛】此题考查了相似三角形的判定和性质、勾股定理、基本作图、解直角三角形等知识，数形结合和准确计算是解题的关键．25．(1)见解析(2)FD的长为【分析】（1）根据SAS证△AOF≌△EOF，得出∠OAF＝∠OEF＝90°，即可得出结论；（2）根据勾股定理求出AF，证△OEC∽△FAC，设圆O的半径为r，根据线段比例关系列方程求出r，利用勾股定理求出OF，最后根据FD＝OF﹣OD求出即可．【详解】（1）证明：在△AOF和△EOF中，，∴△AOF≌△EOF（SAS），∴∠OAF=∠OEF，∵BC与相切，∴OE⊥FC，∴∠OAF=∠OEF=90°，即OA⊥AF，∵OA是的半径，∴AF是的切线；（2）解：在中，∠CAF=90°，FC=10，AC=6，∴，∵BC与相切，AF是的切线∴∠OEC＝∠FAC＝∠90°，∵∠OCE=∠FCA，∴△OEC∽△FAC，∴，设的半径为r，则，解得，在Rt△FAO中，∠FAO=90°，AF=8，，∴，∴，即FD的长为．【点睛】本题主要考查切线的判定和性质、相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识，熟练掌握切线的判定和性质是解题的关键．26．(1)(2)销售价格为元时，利润最大为【分析】（1）分时，当时，分别待定系数法求解析式即可求解；（2）设利润为，根据题意当时，得出，当时，，进而根据分时，当时，分别求得最大值，即可求解．【详解】（1）当时，设关于的函数表达式为，将点代入得，∴解得：∴，当时，设关于的函数表达式为，将点代入得，解得：∴，（2）设利润为当时，∵在范围内，随着的增大而增大，当时，取得最大值为；当时，∴当时，w取得最大值为，当销售价格为元时，利润最大为．【点睛】本题考查了一次函数的应用，二次函数的应用，根据题意列出函数关系式是解题的关键．27．（1），；（2）①见详解；②的长为或．【