专题09 模型构建专题：相似三角形中的基本六大模型模型全攻略（解析版）

专题09模型构建专题：相似三角形中的基本六大模型模型全攻略【考点导航】目录TOC\o"1-3"\h\u【类型一（双）A字型相似基本模型】 1【类型二（双）8字型相似基本模型】 7【类型三母子型相似基本模型】 16【类型四手拉手型相似基本模型】 21【类型五K字型相似基本模型】 32【类型六三角形内接矩形基本模型】 37【典型例题】【类型一（双）A字型相似基本模型】①如图，在中，点D在上，点E在上，，则，．②模型拓展1：斜交A字型条件：，图2结论：；③模型拓展2：如图，∠ACD＝∠B⇔△ADC∽△ACB⇔．例题：如图，在中，点分别在上，且．（1）求证：；（2）若点在上，与交于点，求证：．【答案】（1）见解析；（2）见解析【详解】解：（1）在△AEF和△ABC中，∵，，∴△AEF∽△ABC；（2）∵△AEF∽△ABC，∴∠AEF=∠ABC，∴EF∥BC，∴△AEG∽△ABD，△AGF∽△ADC，∴,，∴．【变式训练】1．如图，在中，，，若，则等于（

）

A．4.5 B．3 C．3.5 D．4【答案】B【分析】证即可利用相似三角形的性质求解．【详解】解：∵∴故选：B【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质．注意确定对应线段．2．如图所示，在中，点是的中点，，点在边上，下列判断错误的是（）

A．B．C．D．【答案】D【分析】根据，，可得，进而根据相似三角形的性质即可求解．【详解】解：∵，，∴，∴，，故A，B，C选项正确；∵点是的中点，∴，∵，∴，故D选项错误，故选：D．【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键．3．如图，是等边三角形，，是边上的高，是线段上一点，过作的平行线交于，交的延长线于，当时，的长度为（

）

A． B． C．1 D．2【答案】C【分析】证得，得到，即，求解即可．【详解】解：是边上的高，，，，，是等边三角形，，，，，，，．故选：C．【点睛】本题考查了等边三角形的性质，三角形相似的判定和性质，证得是解题的关键．4．如图，在中，点，分别在边，上，，射线分别交线段，于点，，且．求证：．【答案】见解析【分析】先证明．可得，结合，即可得到结论．【详解】证明：，，，，．∵，，∴，∵，∴．【点睛】本题主要考查了三角形相似的判定定理，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题关键．5．已知：在中，，，，，与交与点E．

(1)当时，求的长；(2)当周长与四边形的周长相等时，求的长度．【答案】(1)(2)4【分析】（1）根据等腰三角形的性质得到，由勾股定理求得，由已知条件得到，通过，根据相似三角形的性质即可得到结论；（2）根据已知条件推出，由三角形相似得到是等腰三角形，于是得到，设，则，列方程即可求得结论．【详解】（1）解：∵，，，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴；（2）解：∵周长与四边形的周长相等，∴，即，∴，∵，∴是等腰三角形，∴，设，∴，∴，∴，∴．【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质是解题的关键．【类型二（双）8字型相似基本模型】①如图1，AB∥CD⇔△AOB∽△COD⇔；②如图2，∠A＝∠D⇔△AOB∽△DOC⇔．③模型拓展：如图，∠A＝∠C⇔△AJB∽△CJD⇔．例题：如图，在中，，过点B作，垂足为B，且，连接CD，与AB相交于点M，过点M作，垂足为N．若，则MN的长为．【答案】【分析】根据MN⊥BC,AC⊥BC,DB⊥BC，得,可得,因为,列出关于MN的方程，即可求出MN的长．【详解】∵MN⊥BC，DB⊥BC,∴AC∥MN∥DB，∴，∴即,又∵，∴，解得,故填：．【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，解题关键是根据题意得出两组相似三角形以及它们对应边之比的等量关系．【变式训练】1．如图，已知、，与相交于点，作于点，点是的中点，于点，交于点，若，，则值为（

）

A． B． C． D．【答案】A【分析】证明，，，，求出，求出，，得出即可得出答案．【详解】解：、，，∴，，，∴，，∴，，∴，，∴，点是的中点，，，，∴，，∴，∴，故选：．【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，平行线的判定，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定，求出．2．如图中，、为的三等分点，为的中点，与、分别交于、，则．

【答案】【分析】首先过点M作，交分别于K，N，由M是的中点与、为的三等分点，根据平行线分线段成比例定理，即可求得，，，然后根据比例的性质，即可求解．【详解】解：过点M作，交分别于K，N，

∵M是的中点，∴，∵、为的三等分点，∴，∴，∵，，∴，，设，∴，∴．故答案为：．【点睛】此题考查了平行线分线段成比例定理与比例的性质．此题难度适中，解题的关键是注意辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．4．如图，和都是的高，相交于F点，连接．

(1)求证：；(2)若点D是的中点，，则的长为__________．【答案】(1)见解析(2)【分析】（1）根据相似三角形的判定，即，再根据即可证明结论；（2）根据垂直平分线的性质可得，由(1)，可得，再根据勾股定理即可求出的长；【详解】（1）证明:∵是的高,∴,∵,∴，∴，即，又∵,∴；（2）∵点是的中点,,∴,在中,∵,，，∵，，，，．故答案为：．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，解决本题的关键是证明.4．如图，在中，点E在上，，和相交于点F，过点F作，交于点G．

(1)求的值．(2)若，①求证：．②求证：．【答案】(1)(2)①详见解析；②详见解析【分析】（1）结合题意，根据平行线的性质，通过证明，得；再结合，根据平行线性质，通过证明，根据相似比的性质计算，即可得到答案；（2）①，根据题意计算得；结合（1）的结论，得，从而推导得，通过证明，即可完成证明；②根据（2）①的结论以及平行线的性质，证明，根据相似三角形的性质计算，即可完成证明．【详解】（1）解：∵，∴，∴，∵，∴，∴，∵，，∴，即，∵，∴，∵，∴，∴，即；（2）证明：①设，∵，∴，∴，由（1）的结论，得：，∴，∴，即：，∵，∴，∴；②∵，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴．【点睛】本题考查了平行四边形、平行线、相似三角形的知识；解题的关键是熟练掌握平行线、相似三角形的性质，从而完成求解．5．如图1，矩形中，，，点是对角线上的一个动点点不与、重合，连接并延长交射线于点，

(1)当时，求的面积用含、的代数式表示）(2)若点为边的中点，点为线段的中点，连接、，求证、、三点共线；(3)如图2，当为何值时，与的面积之和最小．【答案】(1)(2)见解析(3)当时，与的面积之和最小【分析】（1）由矩形性质，得到，由，即可得到，则，可得，可求出，然后求出面积；（2）由，得到，进而证明，然后得到，由，即可得到，即可得证；（3）过点作交、于、，设，则，根据相似三角形的性质，对应线段成比例，求出的值；然后根据面积之和，得到关于的一元二次方程，利用根的判别式，求出面积的取值范围，当面积最小时，求出的值，然后得到的值．【详解】（1）解：如图①：

四边形是矩形，，，，，，，，∴，，∴．（2）四边形是矩形，，，，点、是、的中点，，又，，又，即，、、三点共线（3）如图②，过点作交、于、．

设，则，，，，，设与的面积之和为，则，①关于的方程①有实数根，，即，，，，即，当时，由方程①可解得满足题意，，，当时，与的面积之和最小．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，矩形的性质，解一元二次方程以及根的判别式，解题的关键是掌握相似三角形的判定与性质，利用根的判别式求出的最小值，从而得到答案．【类型三母子型相似基本模型】如图为斜“A”字型基本图形．当时，，则有．．如图所示，当E点与C点重合时，为其常见的一个变形，即子母型．当时，，则有．例题：如图，在△ABC中，BD平分∠ABC交AC于点D，AD＝BD．(1)求证：△ABC∽△BDC．(2)若∠C＝90°，BC＝2，求AB的长．【答案】(1)见解析；(2)4．【分析】（1）先证明∠A＝∠DBA，进而得到∠A＝∠CBD，再根据∠C＝∠C，即可证明△ABC∽△BDC；（2）根据∠C＝90°得到∠A＋∠ABC＝90°，根据（1）得到∠A=∠ABD＝∠CBD，即可求出∠A＝30°，即可求出AB＝4．（1）证明：如图，∵AD＝BD，∴∠A＝∠DBA，∵BD平分∠ABC交AC于点D，∴∠CBD＝∠DBA，∴∠A＝∠CBD，∵∠C＝∠C，∴△ABC∽△BDC；（2）解：如图，∵∠C＝90°，∴∠A＋∠ABC＝90°，由（1）得∴∠A=∠ABD＝∠CBD，∴∠A＋∠ABD＋∠CBD＝3∠A＝90°，∴∠A＝30°，∵BC＝2，∴AB＝4．【点睛】本题考查了相似三角形的证明和直角三角形的性质，熟知相似三角形的判定方法是解题关键，第（2）步中求出∠A＝30°是解题关键．【变式训练】1．如图，在△ABC中，D是BC上的点，E是AD上一点，且，∠BAD＝∠ECA．（1）求证：AC2＝BC•CD；（2）若AD是△ABC的中线，求的值．【答案】（1）证明见解析；（2）【分析】（1）首先利用相似三角形的判定得出，得，进而求出，再利用相似三角形的性质得出答案即可；（2）由可证，进而得出，再由（1）可证，由此即可得出线段之间关系．【详解】（1）证明：，，，，，，，．（2）解：，，，，AD是△ABC的中线，，，即：，∴．【点睛】此题主要考查了相似三角形的判定与性质以及重心的性质等知识，根据已知得出是解题关键．2.在△ABC中，∠ABC＝2∠ACB，BD平分∠ABC交AC于点D．（1）如图（1），若AB＝3，AC＝5，求AD的长；（2）如图（2），过点A分别作AC，BD的垂线，分别交BC，BD于点E，F．①求证：∠ABC＝∠EAF；②求的值．【答案】（1）AD＝；（2）①见解析；②．【详解】（1）∵∠ABC＝2∠ACB，BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠ACB.又∠A＝∠A，∴△ABD∽△ACB，∴，即，∴AD＝（2）①证明：∵AE⊥AC，AF⊥BD，∴∠AFB＝∠EAC＝90°.又∵∠ABF＝∠C，∴△ABF∽△ECA，∴∠BAF＝∠CEA.∵∠BAF＝∠BAE＋∠EAF，∠AEC＝∠ABC＋∠BAE，∴∠ABC＝∠EAP.②如图，取CE的中点M，连接AM.在Rt△ACE中，AM＝CE，∠AME＝2∠C.∵∠ABC＝2∠C，∴∠ABC＝∠AME，∴AM＝AB，∴．3．如图，在中，是边上一点．

(1)当时，①求证：；②若，，求的长；(2)已知，若，求的长．【答案】(1)①见解析；②(2)【分析】（1）①根据相似三角形判定方法对应角相等证明即可；②利用相似三角形对应边呈比例求解即可；（2）据相似三角形判定方法对应边呈比例证明，由，，即可求解．【详解】（1）①证明：∵，，∴；②解：∵，∴，即，∴；（2）解：∵，∴.∵，∴，∴.，，∴【点睛】本题考查了三角形相似的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定方法和性质是解题的关键．【类型四手拉手型相似基本模型】①如图，若△ABC∽△ADE，则△ABD∽△ACE.[来源:Zxxk.Com]②如图所示，和都是等腰直角三角形，的延长线与相交于点P，则，且相似比为，与的夹角为．总结：旋转相似型中由公共旋转顶点、一点及其旋转后的对应点组成的三角形与由公共旋转顶点、另一点及其旋转后的对应点组成的三角形相似．③如图所示，，则，，且．例题：【问题情境】如图1，在中，，点D，E分别是边的中点，连接．如图2，将绕点C按顺时针方向旋转，记旋转角为．【观察发现】如图2，当时，_________．【方法迁移】如图3，矩形中，点E，F分别是的中点．四边形为矩形，连接．如图4，将矩形绕点A逆时针旋转．旋转角为α，连接．请探究矩形旋转过程中，与的数量关系；【拓展延伸】如图5，若将上题中的矩形改为“平行四边形”且，矩形改为“平行四边形”，其他条件不变，如图6，在平行四边形旋转过程中，直接写出_________．

【答案】观察发现：；方法迁移：；拓展延伸：【分析】观察发现：由勾股定理求出根据三角形中位线定理求出再证明可得结论；方法迁移：由勾股定理求出再证明可得结论；拓展延伸：先求出再证明可得结论．【详解】观察发现：如图1，∵分别是的中点，∴是的中位线，∴,由勾股定理得,∴,如图2，由旋转得∴即又∵∴,∴故答案为方法迁移：理由如下：连接，如图，

∵，点E，F分别是的中点，∴，在矩形中，在中，由勾股定理得，同理可求得∵，∴，∴，又∵，∴，∴；拓展延伸：连接过点A作于点H，如图5，

∵，点E，F分别是的中点，四边形分别是平行四边形，∴∴∴∴∴∴∴同理可得，；如图6，连接

由旋转得，∴又∵∴∴故答案为：．【点睛】本题主要考查了旋转的性质，矩形的属性持，平行四边形的性质以及相似三角形的判定与性质，能够识别图形，正确作出辅助线是解答本题的关键．【变式训练】1.如图，AB＝3，AC＝2，BC＝4，AE＝3，AD＝4.5，DE＝6，∠BAD＝20°，则∠CAE的度数为（）A．10° B．20° C．40° D．无法确定【答案】B【解答】，，，∴，∴△ABC∽△ADE，∴∠BAC＝∠DAE，∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，∴∠CAE＝∠BAD＝20°，故选：B．2．如图①，正方形和正方形，连接，．

(1)发现：当正方形绕点A旋转，如图②，①线段与之间的数量关系是________；②直线与直线之间的位置关系是________．(2)探究：如图③，若四边形与四边形都为矩形，且，，证明：直线．(3)应用：在（2）情况下，连接（点在上方），若，且，，则线段是多少？（直接写出结论）【答案】(1)，(2)见解析(3)【分析】（1）先判断出，进而得出，，再利用等角的余角相等即可得出结论；（2）先利用两边对应成比例夹角相等判断出，得出，再利用等角的余角相等即可得出结论；（3）先求出，进而得出，即可得出四边形是平行四边形，进而得出，求出，借助（2）得出的相似，即可得出结论．【详解】（1）①∵四边形和四边形是正方形，∴，∴，在和中，，∴，∴；②如图2，延长交于M，交于H，

由①知，，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴（2）∵四边形和四边形都为矩形，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴；（3）如图4，（为了说明点B，E，F在同一条线上，特意画的图形）

∵，∴在中，，∴，∴，∵，∴，∵，∴四边形是平行四边形，∴，∵，∴点B，E，F在同一条直线上如图5，

∴，在中，根据勾股定理得，，由（2）知，，∴，∴，∴．【点睛】此题是四边形综合题，主要考查了正方形的性质，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，旋转的性质，判断出三角形全等和相似是解本题的关键．3．【问题提出】（1）如图1，是等腰直角三角形，，可得到，点D，E分别在边，上，且，把绕点A旋转时，则的值是；【问题探究】（2）如图2，O为矩形对角线的交点，点M为边上任一点，且与边交于点N，若，，求四边形面积的最大值；【问题解决】（3）如图3，是西安市纺渭路的一部分，因燃气管道抢修，需在米，米的矩形平面开挖一个的工作面，其中E、F分别在直线、直线上，且，为缓解该路段对市民正常生活和出行影响，经勘测发现的面积越小越好，求出的面积最小值．

【答案】（1），；（2）；（3）8【分析】（1）利用等腰直角三角形的性质易得，结合旋转的性质，证，即可求得；（2）过点作于点，作于点，证，设，分点在线段上和点在线段上两种情况讨论，分别求出关于的一次函数解析式，根据一次函数性质即可求解；（3）将绕点顺时针旋转并把边长缩小为原来的，得到，根据矩形的判定和性质可得和的比值，然后根据三角形外接圆性质得，，最后根据三角形面积公式可得答案．【详解】（1）是等腰直角三角形，，，，；，，也是等腰直角三角形，，，，，，，，故答案为：，；（2）如图，过点作于点，作于点，四边形是矩形，O为矩形对角线的交点，，，，，，，，，，，，当点在线段上时，点在线段上，设，则，，当时，取得最大值，最大值为6，当点在线段上时，点在线段上，设，则，，当时，取得最大值，最大值为，，四边形面积的最大值；

（3）四边形是矩形，，，如图，将绕点顺时针旋转并把边长缩小为原来的，得到，，，，过点作于点，于点，，四边形是矩形，且，，设的外接圆半径为，，，由题意得，即，，，的面积最小值为，的面积最小值为．

【点睛】本题属于四边形综合题，考查了矩形的性质，等腰直角三角形的性质，相似三角形的判定与性质，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题．【类型五K字型相似基本模型】(1)“三垂直”模型：如图1，∠B＝∠D＝∠ACE＝90°，则△ABC∽△CDE.(2)“一线三等角”模型：如图2，∠B＝∠ACE＝∠D，则△ABC∽△CDE.特别地，连接AE，若C为BD的中点，则△ACE∽△ABC∽△CDE.补充：其他常见的一线三等角图形例题：如图，AB⊥BC，DC⊥BC，E是BC上一点，使得AE⊥DE．(1)求证：△ABE∽△ECD；(2)若AB＝4，AE＝BC＝5，求CD的长．【答案】（1）见解析；（2）CD＝．【详解】(1)证明：∵AB⊥BC，DC⊥BC，∴∠B＝∠C＝90°，∠BAE＋∠AEB＝90°，∵AE⊥DE，∴∠AED＝90°，∴∠AEB＋∠DEC＝90°，∴∠BAE＝∠DEC，∴△ABE∽△ECD.(2)在Rt△ABE中，∵AB＝4，AE＝5，∴BE＝3，∴EC＝BC－BE＝5－3＝2，∵△ABE∽△ECD，∴，∴，∴CD＝.【变式训练】1．（2023春·湖南株洲·九年级统考开学考试）如图，已知矩形，点在边上，连接，过点作交于点．

(1)求证：．(2)若，，，求的长．【答案】(1)证明过程见详解(2)的长为【分析】（1）根据矩形的性质可得，，根据，可得，由此可得，根据相似三角形的判定即可求解；（2）由（1）可知，根据相似三角形的性质即可求解．【详解】（1）证明：∵四边形是矩形，∴，∴在中，，∵，∴，∴，∴，且，∴．（2）解：∵，，∴，且，由（1）可知，，∴，即，解得，，∴的长为．【点睛】本题主要考查矩形的性质，相似三角形的判定和性质的综合，掌握以上知识是解题的关键．2．如图，已知四边形ABCD，∠B＝∠C＝90°，P是BC边上的一点，∠APD＝90°．（1）求证：；（2）若BC＝10，CD＝3，PD＝3，求AB的长．【答案】（1）证明见解析；（2）8．【分析】（1）先根据直角三角形的两锐角互余、角的和差可得，再根据相似三角形的判定即可得证；（2）先利用勾股定理求出PC的长，从而可得BP的长，再利用相似三角形的性质即可得．【详解】（1），，，在和中，，；（2）在中，，，，，由（1）已证：，，即，解得．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识点，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题关键．3．（1）问题如图1，在四边形ABCD中，点P为AB上一点，当时，求证：．（2）探究若将90°角改为锐角或钝角（如图2），其他条件不变，上述结论还成立吗？说明理由．（3）应用如图3，在中，，，以点A为直角顶点作等腰．点D在BC上，点E在AC上，点F在BC上，且，若，求CD的长．【答案】（1）见解析；（2）成立，理由见解析；（3）【分析】（1）由∠DPC=∠A=B=90°，可得∠ADP＝∠BPC，即可证到△ADP△BPC，然后运用相似三角形的性质即可解决问题；（2）由∠DPC＝∠A＝∠B＝α，可得∠ADP=∠BPC，即可证到△ADP△BPC，然后运用相似三角形的性质即可解决问题；（3）先证△ABD△DFE，求出DF=4，再证△EFC△DEC，可求FC＝1，进而解答即可．【详解】（1）证明：如题图1，∵∠DPC=∠A=∠B=90°，∴∠ADP＋∠APD=90°，∠BPC＋∠APD=90°，∴∠ADP=∠BPC，∴△ADP△BPC，，∴ADBC=APBP，（2）结论仍然成立，理由如下，，又，，，设，，，，∴ADBC=APBP，（3），，，，，是等腰直角三角形，，，，，，，，,，，，．【点睛】本题考查相似三角形的综合题，三角形的相似；能够通过构造45°角将问题转化为一线三角是解题的关键．【类型六三角形内接矩形基本模型】由之前的基本模型（A型或AX型）推导出来的。结论：AH⊥GF，△AGF∽△ABC，例题：如图1，在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，正方形DEFG的顶点D、G分别在AB、AC上，EF在BC上．（1）求正方形DEFG的边长；（2）如图2，在BC边上放两个小正方形DEFG、FGMN，则DE=．【答案