2024-2025学年高中数学第二章点直线平面之间的位置关系2.1.3空间中直线与平面之间的位置关系2.1.4平面与平面之间的位置关系学案含解析新人教A版必修2

PAGE2.1.3空间中直线与平面之间的位置关系2．1.4平面与平面之间的位置关系[目标]1.会推断直线与平面、平面与平面的位置关系；2.会用符号语言和图形语言表示直线与平面、平面与平面的位置关系．[重点]直线与平面、平面与平面位置关系的推断．[难点]直线与平面、平面与平面位置关系的推断．学问点一直线与平面的位置关系[填一填]1．位置关系：有且只有三种(1)直线在平面内——有多数个公共点；(2)直线与平面相交——有且只有一个公共点；(3)直线与平面平行——没有公共点．直线与平面相交或平行的状况统称为直线在平面外．2．符号表示：直线l在平面α内，记为l⊂α；直线l与平面α相交于点M，记为l∩α＝M；直线l与平面α平行，记为l∥α.3．图示：直线l在平面α内，如下图(1)所示；直线l与平面α相交于点M，如下图(2)所示；直线l与平面α平行，如下图(3)所示．[答一答]1．假如不当心一支铅笔掉在地面上，那么铅笔所在的直线与地面有何关系？提示：直线在平面内．2．直线l在平面α外，l就与α无公共点吗？提示：直线l在平面α外包含两种状况：l与α平行，l与α相交．若l与α相交，则有唯一的公共点．所以直线l在平面α外，l与α不肯定没有公共点．3．若直线l上有多数个点都在平面α外，则直线l与平面α的位置关系是什么？提示：相交或平行．学问点二平面与平面的位置关系[填一填]1．位置关系：有且只有两种(1)两个平面平行——没有公共点；(2)两个平面相交——有一条公共直线．2．符号表示：两个平面α，β平行，记为α∥β；两个平面α，β相交于直线l，记为α∩β＝l.3．图示：两个平面α，β平行，如下图(1)所示；两个平面α，β相交于直线l，如下图(2)所示．[答一答]4．两本书所在的平面可以平行吗？公共点的个数是多少？提示：可以，无公共点．5．两本书所在的平面可以相交吗？公共点的个数是多少？提示：可以，有多数个公共点．类型一直线与平面之间的位置关系[例1]下列命题中正确的是()A．假如a、b是两条直线，a∥b，那么a平行于经过b的任何一个平面B．假如直线a和平面α满意a∥α，那么a平行于平面α内的任何一条直线C．假如直线a、b满意a∥α，b∥α，则a∥bD．假如直线a、b和平面α满意a∥b，a∥α，b⊄α，那么b∥α[解析]如图，在长方体ABCD­A′B′C′D′中，AA′∥BB′，AA′却在过BB′的平面AB′内，故选项A不正确；AA′∥平面B′C，BC⊂平面B′C，但AA′不平行于BC，故选项B不正确；AA′∥平面B′C，A′D′∥平面B′C，但AA′与A′D′相交，所以选项C不正确；选项D中，假设b与α相交，因为a∥b，所以a与α相交，这与a∥α冲突，故b∥α，即选项D正确．故选D.[答案]D推断空间中直线与平面的位置关系，一般先作出几何图形，直观推断，然后依据公理给出严格证明．另外，借助模型(如长方体)举反例也是解决这类问题的有效方法．[变式训练1]如图所示，A′B与长方体ABCD­A′B′C′D′的六个面所在的平面有什么位置关系？解：∵直线A′B与平面ABB′A′有多数个公共点，∴直线A′B在平面ABB′A′内．∵直线A′B与平面ABCD，BCC′B′都有且只有一个公共点B，∴直线A′B与平面ABCD，BCC′B′相交．∵直线A′B与平面ADD′A′，A′B′C′D′都有且只有一个公共点A′，∴直线A′B与平面ADD′A′，A′B′C′D′相交．∵直线A′B与平面DCC′D′没有公共点，∴直线A′B与平面DCC′D′平行．类型二平面与平面之间的位置关系命题视角1：两平面位置关系的推断[例2]假如在两个平面内分别有一条直线，这两条直线相互平行，那么这两个平面的位置关系肯定是()A．平行B．相交C．平行或相交D．垂直相交[解析]可依据题意作图(如图①②)，推断．[答案]C两个平面之间的位置关系有且只有两种：平行和相交.推断两个平面之间的位置关系的主要依据是两个平面之间有没有公共点.解题时要擅长将文字语言或符号语言转换成图形语言，借助空间图形作出推断.[变式训练2]α，β是两个不重合的平面，下面说法正确的是(C)A．平面α内有两条直线a，b都与平面β平行，那么α∥βB．平面α内有多数条直线平行于平面β，那么α∥βC．平面α内全部的直线都与平面β平行，那么α∥βD．以上说法均正确解析：依据两平面相交和平行的定义进行推断，A，B都不能保证α，β无公共点，正确答案为C.命题视角2：两平面位置关系的作图[例3]完成下列作图．(1)在图中画出两个平行平面．(2)在图中画出两个相交平面．(3)在图中画出一个平面与两个平行平面相交．(4)在图中画出三个两两相交的平面．[解]动手作图对于空间想象实力的培育大有帮助，也能够更深刻地理解空间中直线与平面、平面与平面的位置关系.另外留意空间中不同状况的探讨，这也是一种分类探讨思想的详细体现.[变式训练3](1)两个平面将空间分成几部分？(2)将一个三棱柱的各面延展成平面后，这些平面可将空间分成几部分？解：(1)两个平面平行时，将空间分成三部分；两个平面相交时，将空间分成四部分．(2)如图，将三棱柱的三个侧面延展成平面后，可将空间分成7部分，然后将三棱柱的两底面延展成平面，那么每一个平面将这7部分一分为二，故共分成3×7＝21部分．1．过平面外两点，可作这个平面的平行线条数为(D)A．1条 B．2条C．多数条 D．不确定解析：可能有1条，也可能没有．2．若a∩α＝A，则直线a与平面α内的直线的可能关系是(B)A．相交 B．相交或异面C．异面与平行 D．相交或平行3．在如图正方体中，与平面AA1C1C平行的棱有BB1和DD1，与棱BB1平行的平面有平面AD1和平面4．下列命题：①两个平面有多数个公共点，则这两个平面重合；②若l，m是异面直线，l∥α，m∥β，则α∥β.其中错误命题的序号为①②.解析：对于①，两个平面相交，则有一条交线，也是有多数个公共点，故①错误；对于②，借助于正方体ABCD­A1B1C1D1，AB∥平面DCC1D1，B1C1∥平面AA1D1D，又AB与B1C1异面，而平面DCC1D1与平面AA1D1D5．指出如下图所示的图形的画法是否正确，若不正确，则画出正确的图形．解：都不正确．正确的画法如下图所示．——本课须驾驭的两大问题1．直线和平面的位置关系(1)在直线和平面的位置关系中，直线和平面平行，直线和平面相交，统称直线在平面外，可以用记号a⊄α来表示a∥α、a∩α＝A这两种情形．(2)一般地，直线a在平面α内，应把直线a画在表示平面α的平行四边形内；直线a