2024高考数学一轮复习专练39空间几何体的结构及其三视图和直观图含解析理新人教版

PAGE专练39空间几何体的结构及其三视图和直观图命题范围：柱体、锥体、台体、球体的结构及其简洁几何体的三视图和直观图[基础强化]一、选择题1．以下命题：①以直角梯形的一腰所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆台；②圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆面；③用一个平面截圆锥，得到一个圆锥和一个圆台．其中正确命题的个数为()A．0B．1C．2D．32．用随意一个平面截一个几何体，各个截面都是圆面，则这个几何体肯定是()A．圆柱B．圆锥C．球体D．圆柱、圆锥、球体的组合体3．已知正△ABC的边长为a，那么△ABC的平面直观图△A′B′C′的面积为()A.eq\f(\r(3),4)a2B.eq\f(\r(3),8)a2C.eq\f(\r(6),8)a2D.eq\f(\r(6),16)a24．把边长为1的正方形ABCD沿对角线BD折起，形成的三棱锥A－BCD的正视图与俯视图如图所示，则其侧视图的面积为()A.eq\f(\r(2),2)B.eq\f(1,2)C.eq\f(\r(2),4)D.eq\f(1,4)5．三视图如图所示的几何体是()A．三棱锥B．四棱锥C．四棱台D．三棱台6．[2024·全国卷Ⅲ]如图为某几何体的三视图，则该几何体的表面积是()A．6＋4eq\r(2)B．4＋4eq\r(2)C．6＋2eq\r(3)D．4＋2eq\r(3)7．[2024·全国卷Ⅱ]如图是一个多面体的三视图，这个多面体某条棱的一个端点在正视图中对应的点为M，在俯视图中对应的点为N，则该端点在侧视图中对应的点为()A．EB．FC．GD．H8．[2024·合肥一中高三测试]如图，某几何体的三视图如图所示，则该几何体的各条棱中最长的棱和最短的棱长度之和为()A．6B．4eq\r(2)C．2eq\r(5)＋2D．2eq\r(6)＋29．[2024·全国卷Ⅰ]埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形态可视为一个正四棱锥．以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为()A.eq\f(\r(5)－1,4)B.eq\f(\r(5)－1,2)C.eq\f(\r(5)＋1,4)D.eq\f(\r(5)＋1,2)二、填空题10．一个圆台上、下底面的半径分别为3和8，若两底面圆心的连线长为12，则这个圆台的母线长为________．11．[2024·衡水中学高三测试]已知一个四棱锥的高为3，其底面用斜二测画法所画的水平放置的直观图是一个边长为1的正方形，则此四棱锥的体积为________．12．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，P是上底面A1B1C1D1内一动点，则三棱锥P－[实力提升]13．某四棱锥的三视图如图所示，在此四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为()A．1B．2C．3D．414．[2024·长沙一中高三测试]某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的四个面的面积中，最大的面积是()A．4eq\r(3)B．8eq\r(3)C．4eq\r(7)D．815．已知三棱锥的四个面都是腰长为2的等腰三角形，该三棱锥的正视图如图所示，则该三棱锥的体积是________．16．三棱锥P－ABC中，D，E分别为PB，PC的中点，记三棱锥D－ABE的体积为V1，P－ABC的体积为V2，则eq\f(V1,V2)＝________.

专练39空间几何体的结构及其三视图和直观图1.B由圆台的定义可知①错误，②正确．对于命题③，只有平行于圆锥底面的平面截圆锥，才能得到一个圆锥和一个圆台，③不正确．2．C截面是随意的且都是圆面，则该几何体为球体．3．D如图所示的①②分别为△ABC的实际图与直观图由斜二测画法可知：A′B′＝AB＝a，O′C′＝eq\f(1,2)OC＝eq\f(1,2)×a×eq\f(\r(3),2)＝eq\f(\r(3),4)a，∴S△A′B′C′＝eq\f(1,2)A′B′×O′C′×sin45°＝eq\f(1,2)×a×eq\f(\r(3),4)a×eq\f(\r(2),2)＝eq\f(\r(6),16)a2.4．D由正视图与俯视图可得三棱锥A－BCD的一个侧面与底面垂直，其侧视图是直角三角形，且直角边长均为eq\f(\r(2),2)，故其侧视图的面积S＝eq\f(1,2)×eq\f(\r(2),2)×eq\f(\r(2),2)＝eq\f(1,4).5．B由三视图可作几何体如图，可知选B.6．C在正方体中还原几何体如图．几何体为正方体的一部分：三棱锥P­ABC，S表面积＝S△PAC＋S△PAB＋S△PBC＋S△BAC＝eq\f(1,2)×2eq\r(2)×2eq\r(2)×eq\f(\r(3),2)＋eq\f(1,2)×2×2＋eq\f(1,2)×2×2＋eq\f(1,2)×2×2＝2eq\r(3)＋6.故选C.7．A依据三视图可得直观图如图所示，图中的点U在正视图中对应的点为M，在俯视图中对应的点为N，所以该端点在侧视图中对应的点为E.故选A.8．D由三视图知，该几何体是底面为腰长为2的等腰直角三角形、长为4的侧棱垂直于底面(垂足为腰与底边交点)的三棱锥，所以该三棱锥的最长棱的棱长为eq\r(42＋2\r(2)2)＝2eq\r(6)，最短棱的棱长为2，所以该几何体中最长的棱与最短的棱的长度之和为2eq\r(6)＋2，故选D.9．C如图，设正四棱锥的底面边长BC＝a，侧面等腰三角形底边上的高PM＝h，则正四棱锥的高PO＝eq\r(h2－\f(a2,4))，∴以|PO|为边长的正方形面积为h2－eq\f(a2,4)，一个侧面三角形面积为eq\f(1,2)ah，∴h2－eq\f(a2,4)＝eq\f(1,2)ah，∴4h2－2ah－a2＝0，两边同除以a2可得4eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(h,a)))2－2·eq\f(h,a)－1＝0，解得eq\f(h,a)＝eq\f(1±\r(5),4)，又∵eq\f(h,a)>0，∴eq\f(h,a)＝eq\f(\r(5)＋1,4).故选C.10．13解析：如图，过A作AC⊥BO，交BO于点C，则BC＝OB－O′A＝8－3＝5，又AC＝12，∴AB＝eq\r(AC2＋BC2)＝eq\r(52＋122)＝13.11．2eq\r(2)解析：∵该四棱锥底面的直观图是一个边长为1的正方形，故其直观图的面积为1，故原四棱锥的底面面积为2eq\r(2)，故其体积为V＝eq\f(1,3)S底h＝eq\f(1,3)×2eq\r(2)×3＝2eq\r(2).12．1解析：设正方体的棱长为a，则P－ABC的正视图与侧视图都是三角形，且面积都是eq\f(1,2)a2，∴面积之比为1.13．C由三视图得几何体的直观图，如图．其中SD⊥底面ABCD，AB⊥AD，AB∥CD，SD＝AD＝CD＝2，AB＝1，故△SDC，△SDA为直角三角形．∵AB⊥AD，AB⊥SD，AD∩SD＝D，∴AB⊥平面SDA，∴AB⊥SA，故△SAB是直角三角形，从而SB＝eq\r(SD2＋AD2＋AB2)＝3，易知BC＝eq\r(22＋12)＝eq\r(5)，SC＝eq\r(22＋22)＝2eq\r(2)，则SB2≠BC2＋SC2，故△SBC不是直角三角形，故选C.14．C设该三棱锥为P－ABC，其中PA⊥面ABC，PA＝4，由三视图可知，△ABC是边长为4的等边三角形，∴PB＝PC＝4eq\r(2)，∴S△ABC＝eq\f(1,2)×4×2eq\r(3)＝4eq\r(3)，S△PAB＝S△PAC＝eq\f(1,2)×4×4＝8，∴S△PBC＝eq\f(1,2)×4×eq\r(4\r(2)2－22)＝4eq\r(7)，故四个面中面积最大的为S△PBC＝4eq\r(7).15.eq\f(\r(3),3)解析：∵三棱锥的四个面都是腰长为2的等腰三角形，∴其三条侧棱均相等且等于2，从三棱锥的正视图可以看出，该三棱锥的底面是腰为2，底边边为2eq\r(3)的三角形，三棱锥的高为1，∴底面三角形的高为eq\r(22－\r(3)2)＝1，∴该三棱锥的体积V＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×2eq\r(3)×1×1＝