2024-2025学年高中数学第一章立体几何初步1.1.6棱柱棱锥棱台和球的表面积学案新人教B版必修2

PAGEPAGE11．1．6棱柱、棱锥、棱台和球的表面积1．了解棱柱、棱锥、棱台的侧面绽开图．2．理解棱柱、棱锥、棱台和球的表面积的概念．3．会用公式求棱柱、棱锥、棱台、球的表面积．1．直棱柱、正棱锥、正棱台的侧面积名称侧面绽开图公式备注直棱柱矩形S直棱柱侧＝chc为底面多边形的周长，h为棱柱的高正棱锥三角形S正棱锥侧＝eq\f(1,2)nah′＝eq\f(1,2)ch′a为底面边长，c为底面周长，h′为斜高正棱台梯形S正棱台侧＝eq\f(1,2)n(a＋a′)h′＝eq\f(1,2)(c＋c′)h′a为下底面边长，a′为上底面边长，c为下底面周长，c′为上底面周长，h′为斜高2．球的表面积公式：S＝4πR2，其中R为球半径．语言叙述：球面面积等于它的大圆面积的4倍．3．圆柱、圆锥、圆台的侧面积名称侧面绽开图公式备注圆柱矩形S圆柱侧＝2πRhR为底面圆半径，h为圆柱的高圆锥扇形S圆锥侧＝eq\f(1,2)cl＝πRlc为底面周长，l为母线长，R为底面圆半径圆台扇环S圆台侧＝π(r1＋r2)l＝eq\f(1,2)(c1＋c2)lr1，r2分别为上、下底面圆半径，c1，c2分别为上、下底面圆周长，l为圆台的母线1．底面为正方形的直棱柱，它的底面对角线长为eq\r(2)，体对角线长为eq\r(6)，则这个棱柱的侧面积是()A．2 B．4C．6 D．8解析：选D．由题意知，底面边长为1，直棱柱的高为2，所以S侧＝4×1×2＝8．2．若球的大圆周长为C，则这个球的表面积是()A．eq\f(C2,4π) B．eq\f(C2,2π)C．eq\f(C2,π) D．2πC2解析：选C．设球的半径为R，则C＝2πR．所以R＝eq\f(C,2π)，所以S＝4π·(eq\f(C,2π))2＝eq\f(C2,π)．3．如图所示，圆锥的底面半径为1，高为eq\r(3)，则圆锥的表面积为()A．π B．2πC．3π D．4π解析：选C．设圆锥的母线长为l，则l＝eq\r(3＋1)＝2，所以圆锥的表面积S＝π×1×(1＋2)＝3π．4．如何相识圆柱、圆锥、圆台的侧面积之间的改变关系？解：圆柱、圆锥、圆台的侧面积公式之间的改变关系为：S圆柱侧＝2πrleq\o(←,\s\up7(r1＝r2＝r))S圆台侧＝π(r1＋r2)leq\o(→,\s\up7(r1＝0，r2＝r))S圆锥侧＝πrl．简洁几何体的表面积正四棱锥的侧面积是底面积的2倍，高是3，求它的表面积．【解】如图，设PO＝3，PE是斜高，因为S侧＝2S底．所以4·eq\f(1,2)·BC·PE＝2BC2．所以BC＝PE．在Rt△POE中，PO＝3，OE＝eq\f(1,2)BC＝eq\f(1,2)PE．所以9＋(eq\f(PE,2))2＝PE2，所以PE＝2eq\r(3)．所以S底＝BC2＝PE2＝(2eq\r(3))2＝12．S侧＝2S底＝2×12＝24．所以S表＝S底＋S侧＝12＋24＝36．eq\a\vs4\al()求棱柱、棱锥、棱台表面积的基本步骤(1)清晰各侧面的形态，求出每个侧面的面积．(2)求出其底面的面积．(3)求和得到表面积．已知一正三棱台的两底面边长分别为30cm和20cm，且其侧面积等于两底面积的和，求棱台的高．解：如图，正三棱台ABC­A1B1C1中，O、O1为两底面中心，D、D1是BC、B1C1的中点，则DD1为棱台的斜高．已知A1B1＝20cm，AB＝30cm，则OD＝5eq\r(3)cm，O1D1＝eq\f(10\r(3),3)cm．由S侧＝S上＋S下，得S侧＝eq\f(1,2)(60＋90)·DD1＝eq\f(\r(3),4)(202＋302)，解得DD1＝eq\f(13\r(3),3)(cm)．在直角梯形O1ODD1中，O1O＝eq\r(DDeq\o\al(2,1)－(OD－O1D1)2)＝eq\r((\f(13\r(3),3))2－(5\r(3)－\f(10\r(3),3))2)＝4eq\r(3)(cm)，即棱台的高为4eq\r(3)cm．组合体的面积如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为()A．20π B．24πC．28π D．32π【解析】该几何体的表面积由圆锥的侧面积、圆柱的侧面积和圆柱的一个底面圆的面积组成．其中，圆锥的底面半径为2，母线长为eq\r((2\r(3))2＋22)＝4，圆柱的底面半径为2，高为4，故所求表面积S＝π×2×4＋2π×2×4＋π×22＝28π．【答案】Ceq\a\vs4\al()求组合体表面积时应留意的问题(1)首先应弄清它的组成，其表面有哪些底面和侧面，各个面应怎样求其面积，然后把这些面的面积相加或相减．(2)在求组合体的表面积时要留意“表面(和外界干脆接触的面)”的定义，以确保不重复、不遗漏．如图所示，一个正方体的棱长为2，以相对两个面的中心连线为轴，钻一个直径为1的圆柱形孔，所得几何体的表面积为多少？解：几何体的表面积为S＝6×22－π×(0．5)2×2＋2π×0．5×2＝24－0．5π＋2π＝24＋1．5π．球的表面积在球内有相距1cm的两个平行截面，截面积分别是5πcm2和8πcm2，求球的表面积．【解】(1)当球心不在两截面之间时，画出截面图如图所示．圆O是球的大圆，A1B1、A2B2分别是两个平行截面圆的直径，过O作OC1⊥A1B1于C1，延长OC1至边A2B2于C2．由于A1B1∥A2B2，所以OC2⊥A2B2．由圆的性质可得，C1和C2分别是A1B1和A2B2的中点．设两平行平面的半径分别为r1和r2，且r1>r2，依题意πreq\o\al(2,1)＝8π，πreq\o\al(2,2)＝5π，所以req\o\al(2,1)＝8，req\o\al(2,2)＝5，因为OA1和OA2都是球的半径R，所以OC1＝eq\r(R2－req\o\al(2,1))＝eq\r(R2－8)，OC2＝eq\r(R2－req\o\al(2,2))＝eq\r(R2－5)，所以eq\r(R2－5)－eq\r(R2－8)＝1，解这个方程得R2＝9．所以S球＝4πR2＝36π(cm2)．(2)当球心在两截面之间时，由(1)可得OC1＋OC2＝1，即eq\r(R2－8)＋eq\r(R2－5)＝1无解．故球的表面积为36πcm2．eq\a\vs4\al()求球的表面积的方法(1)把握球的表面积公式S＝4πR2是计算表面积的关键，半径与球心是确定球的条件，把握这两点，球的表面积问题也就迎刃而解了．(2)两个球的表面积之比等于这两个球的半径之比的平方．1．两个球的半径之比为1∶3，那么两个球的表面积之比为()A．1∶9 B．1∶27C．1∶3 D．1∶1解析：选A．设两球的半径分别为R1，R2，因为R1∶R2＝1∶3，所以两球的表面积之比为S1∶S2＝4πReq\o\al(2,1)∶4πReq\o\al(2,2)＝Req\o\al(2,1)∶Req\o\al(2,2)＝1∶9．2．有三个球，第一个球内切于正方体，其次个球与这个正方体各棱相切，第三个球过这个正方体的各个顶点，求这三个球的表面积之比．解：设正方体的棱长为a．(1)正方体的内切球球心是正方体的中心，切点是六个正方形的中心，经过四个切点及球心作截面如图(1)，所以有2r1＝a，r1＝eq\f(a,2)，所以S1＝4πreq\o\al(2,1)＝πa2．(2)球与正方体各棱的切点在每条棱的中点，过球心作正方体的对角面得截面，如图(2)，2r2＝eq\r(2)a，r2＝eq\f(\r(2),2)a，所以S2＝4πreq\o\al(2,2)＝2πa2．(3)正方体的各个顶点在球面上，过球心作正方体的对角面得截面，如图(3)，所以有2r3＝eq\r(3)a，r3＝eq\f(\r(3),2)a，所以S3＝4πreq\o\al(2,3)＝3πa2．综上可得S1∶S2∶S3＝1∶2∶3．1．棱柱、棱锥、棱台的表面都可以绽开成平面，它们的表面积都是依据绽开图的性质求得．运用侧面绽开图解决有关问题是特别重要的手段，它体现了空间与平面问题相互转化的思想方法．2．棱柱、棱锥和棱台的侧面积公式的内在联系必需明确，这样有利于相识这三种几何体的本质，也有利于区分这三种几何体．正棱柱、正棱锥、正棱台的侧面积公式之间的关系如下：1．在求面积的问题中，要留意应用所学的几何体的定义和性质．2．对于面积的计算，有些可以用表示数字的字母进行计算，有些可以保留精确值及表示圆周率的字母π，有些实际应用的问题要依据要求的精确度取值．3．将正棱锥的高与斜高混淆，对几个重要的三角形应用不娴熟，导致错误．事实上正棱锥的高是顶点向底面作垂线，顶点与垂足间的距离；而斜高是顶点向底面多边形的边作垂线，顶点与垂足间的距离．1．一个几何体的三视图如图，该几何体的表面积为()A．280 B．292C．360 D．372解析：选C．由三视图知，该几何体由上、下2个长方体组合而成．下面长方体的长、宽、高分别为8、10、2，上面长方体的长、宽、高分别为6、2、8，所以S表＝2×10×8＋2×(8＋10)×2＋2×(2＋6)×8＝360．故选C．2．矩形的边长分别为1和2，分别以这两边为轴旋转，所形成的几何体的侧面积之比为()A．1∶2 B．1∶1C．1∶4 D．4∶1解析：选B．以边长为1的边为轴旋转得到的圆柱的侧面积S1＝2π×2×1＝4π，以边长为2的边为轴旋转得到的圆柱的侧面积S2＝2π×1×2＝4π，所以S1∶S2＝4π∶4π＝1∶1．3．一个圆锥的底面半径为2，高为2eq\r(3)，则圆锥的侧面积为________．解析：S侧＝πRl＝π×2×eq\r(22＋(2\r(3))2)＝8π．答案：8π4．已知棱长为1，各面都是正三角形的四面体，则它的表面积是________．答案：eq\r(3)[学生用书P87(单独成册)])[A基础达标]1．已知某长方体同一顶点上的三条棱长分别为1，2，3，则该长方体的表面积为()A．22 B．20C．10 D．11解析：选A．所求长方体的表面积S＝2×(1×2)＋2×(1×3)＋2×(2×3)＝22．2．底面是菱形的直棱柱，它的体对角线的长分别是9和15，高是5，则这个棱柱的侧面面积是()A．130 B．140C．150 D．160解析：选D．如图，直棱柱ABCD­A1B1C1D1，AA1＝BB1＝CC1＝DD1＝5，BD1＝9，A1C＝15，可求得AC＝eq\r(A1C2－AAeq\o\al(2,1))＝eq\r(152－52)＝10eq\r(2)，BD＝eq\r(BDeq\o\al(2,1)－DDeq\o\al(2,1))＝eq\r(92－52)＝2eq\r(14)．所以AB＝BC＝C1B1＝A1B1＝eq\r(50＋14)＝8，所以棱柱侧面积为4×5×8＝160．3．若圆锥的高等于底面直径，则它的底面积与侧面积之比为()A．1∶2 B．1∶eq\r(3)C．1∶eq\r(5) D．eq\r(3)∶2解析：选C．设圆锥的高为a，则底面半径为eq\f(a,2)，所以S底＝π·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,2)))eq\s\up12(2)＝eq\f(πa2,4)，S侧＝π·eq\f(a,2)·eq\r(a2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,2)))\s\up12(2))＝eq\f(\r(5),4)πa2，所以eq\f(S底,S侧)＝eq\f(1,\r(5))，故选C．4．已知球的表面积为16π，则它的内接正方体的表面积S的值是()A．4π B．32C．24 D．12π解析：选B．设球的内接正方体的棱长为a，由题意知球的半径为2，则3a2＝16，所以a2＝eq\f(16,3)，正方体的表面积S＝6a2＝6×eq\f(16,3)＝32．5．若一个正三棱柱(底面是等边三角形)的三视图如图所示，则这个三棱柱的表面积为()A．18eq\r(3) B．15eq\r(3)C．24＋8eq\r(3) D．24＋16eq\r(3)解析：选C．由三视图知，底面正三角形的高为2eq\r(3)，设边长为a，则eq\f(\r(3),2)a＝2eq\r(3)，所以a＝4．S底＝2×eq\f(1,2)×4×2eq\r(3)＝8eq\r(3)，又棱柱的高为2，所以S侧＝3×4×2＝24．所以S表面积＝24＋8eq\r(3)．6．若圆柱的底面直径和高都与球的直径相等，圆柱、球的表面积分别记为S1、S2，则eq\f(S1,S2)＝________．解析：由题意可得圆柱的底面直径和高都与球的直径相等，设球的半径为1，则S1＝6π，S2＝4π．所以S1∶S2＝3∶2．答案：eq\f(3,2)7．正方体的表面积是a2，它的顶点都在球面上，则这个球的表面积是________．解析：设正方体的棱长为x，球的半径为R，则6x2＝a2，得x＝eq\f(\r(6),6)a．球的半径R＝eq\f(\r(3),2)×eq\f(\r(6),6)a＝eq\f(\r(2),4)a．则S球＝4πR2＝eq\f(π,2)a2．答案：eq\f(π,2)a28．如图是一个几何体的三视图，依据图中数据，可得该几何体的表面积是________．解析：该几何体是由球和圆柱组成的组合体．S球＝4πR2＝4π，S圆柱侧＝2πRh＝6π，S底＝2πR2＝2π，所以S表面积＝4π＋6π＋2π＝12π．答案：12π9．正三棱锥底面边长为a，高为eq\f(\r(3),3)a，求此棱锥的侧面积．解：如图，设斜高h′，则h′＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),3)a))\s\up12(2)＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),6)a))\s\up12(2))＝eq\f(\r(15),6)a，所以侧面积S＝3×eq\f(1,2)×eq\f(\r(15),6)a×a＝eq\f(\r(15),4)a2．10．已知某几何体的俯视图是如图所示的矩形．主视图是一个底边长为8、高为4的等腰三角形，左视图是一个底边长为6、高为4的等腰三角形．(1)推断该几何体的形态；(2)求该几何体的体积V与侧面积S．解：(1)由已知可得该几何体是一个底面为矩形，高为4，顶点在底面的射影是矩形中心的四棱锥．(2)作出该几何体的直观图，如图，E、F分别为AB、BC的中点，则AB＝8，BC＝6，PO＝4．V＝eq\f(1,3)×(8×6)×4＝64．在Rt△POF中，PF＝eq\r(16＋16)＝4eq\r(2)，所以S△PBC＝eq\f(1,2)×6×4eq\r(2)＝12eq\r(2)，在Rt△POE中，PE＝eq\r(16＋9)＝5，所以S△PAB＝eq\f(1,2)×8×5＝20，所以侧面积为2(12eq\r(2)＋20)＝24eq\r(2)＋40．[B实力提升]11．球面上三点A、B、C，若AB＝18，BC＝24，AC＝30，且球心到△ABC所在平面的距离等于球半径的一半，则这个球的表面积为()A．eq\f(4