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柯西不等式与权方和不等式高中必会系列之题型一

柯西不等式柯西-施瓦茨不等式，最初于1821年被柯西提出，故大多数时候被简称为“柯西不等式”。其积分形式在1859被布尼亚科夫斯基提出，其证明由施瓦兹于1888年给出。由于柯西不等式的积分形式在分析学中占有十分重要的地位，故历史上，该不等式又称为柯西-布尼亚科夫斯基-施瓦茨不等式。柯西不等式的原始形式描述了离散形式的变量的大小关系：(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2(a，b，c，d∈R，当且仅当ad＝bc时，等号成立).证明：由均值不等式，可知原式得证二维形式的柯西不等式的变式给定两个平面向量由平面向量的数量积运算规则可知其中，从而证明原不等式。当且仅当两向量共线时，即

时，上式取等号。可推出柯西不等式的向量形式|α·β|≤|α||β|(当且仅当β是零向量，或存在实数k，使α＝kβ时，等号成立).例1

已知x，y∈R,3x2＋2y2≤6，求2x＋y的最值.例2证明跟踪训练1

设a＝(1，－2)，b＝(x，y)，若x2＋y2＝16，则a·b的最大值为________.∵a＝(1，－2)，b＝(x，y)，∴a·b＝x－2y.由柯西不等式的向量形式可得[12＋(－2)2](x2＋y2)≥(x－2y)2，即5×16≥(x－2y)2，当且仅当b＝ka，题型二

权方和不等式

例1

(1)若x>0，y>0，

＝2，则6x＋5y的最小值为__________.

跟踪训练已知正数x，y，

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