《5 相似三角形判定定理的证明》（同步训练）初中数学八年级下册-鲁教版-2024-2025学年

《5相似三角形判定定理的证明》同步训练(答案在后面)一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分）1、在下列各组图形中，如果两个三角形相似，那么正确的是（）A.两个等腰三角形的顶角和底角分别是45°和45°，另一个三角形的顶角和底角分别是60°和60°。B.两个直角三角形的直角边分别为3和4，另一个三角形的直角边分别为6和8。C.两个等边三角形的边长分别为5和10。D.两个锐角三角形的对应角分别是30°、60°和90°。2、已知三角形ABC中，∠A=45°，∠B=45°，如果三角形DEF与三角形ABC相似，那么以下哪个选项正确描述了∠D和∠E的关系？A.∠D=45°，∠E=90°B.∠D=45°，∠E=45°C.∠D=90°，∠E=45°D.∠D=90°，∠E=90°3、在下列各对三角形中，若满足以下条件，则一定相似的是（）A.∠A=∠D，∠B=∠E，AB=DEB.∠A=∠C，∠B=∠D，AC=BDC.∠A=∠D，∠B=∠E，AB∥DED.∠A=∠D，∠B=∠E，AB=2DE4、已知△ABC中，∠BAC=30°，∠B=45°，若BC=2，则△ABC的周长为（）A.4B.6C.8D.105、在△ABC和△DEF中，已知∠A=∠D，AB=DE，BC=EF，那么下列哪个选项是错误的？A.△ABC与△DEF是相似的B.∠B=∠EC.∠C=∠FD.AC与DF不一定平行6、在下列四个选项中，哪个是正确的相似三角形判定定理？A.两个三角形的三边对应成比例，则这两个三角形相似B.两个三角形的两边对应成比例，且夹角相等，则这两个三角形相似C.两个三角形的两边对应成比例，且其中一边的夹角相等，则这两个三角形相似D.两个三角形的两边对应成比例，且对应角相等，则这两个三角形相似7、在三角形ABC中，已知∠A=45°，∠B=30°，∠C=105°，若点D、E分别在边AB、AC上，且∠BDE=∠C，那么下列选项中，下列哪个结论是正确的？A.AD=BEB.∠ADB=∠BECC.∠ADE=∠BCED.∠ABD=∠CBE8、在三角形ABC和三角形DEF中，若∠A=∠D，∠B=∠E，且AB=DE，那么下列哪个结论一定成立？A.∠C=∠FB.BC=EFC.AC=DFD.∠ABC=∠DEF9、在下列各对三角形中，若已知∠A=∠D，∠B=∠E，那么可以判定这两对三角形相似的是：A.△ABC与△DEBB.△ABC与△DECC.△ABC与△EDCD.△ABC与△BEC10、已知在△ABC和△DEF中，∠A=∠D，∠B=∠E，且AB=DE。那么以下哪个选项不能证明△ABC∽△DEF？A.∠C=∠FB.AC=DFC.BC=EFD.∠A=∠D二、计算题（本大题有3小题，每小题5分，共15分）第一题：已知三角形ABC中，∠BAC=45°，∠ABC=60°，∠ACB=75°。点D是边AC上的一点，使得∠ADB=90°。求证：三角形ADB与三角形BEC相似。第二题：在三角形ABC中，已知∠A=45°，∠B=60°，∠C=75°，点D、E分别是BC、AC上的点，且BD=DE=EC。求证：三角形ABD与三角形ACE相似。第三题：已知：在直角三角形ABC中，∠C为直角，∠BAC=30°，AB=6cm，AD⊥BC于D。求证：三角形ACD∽三角形BAC。计算题：求CD的长度。求三角形ACD的面积。若BC=8cm，求三角形ABC的周长。三、解答题（本大题有7小题，第1小题7分，后面每小题8分，共55分）第一题：已知在三角形ABC和三角形DEF中，满足以下条件：∠A=∠D∠B=∠EAB=DE求证：三角形ABC和三角形DEF相似。第二题：已知在ΔABC和ΔDEF中，满足以下条件：∠BAC=∠DEF∠ABC=∠DEFAB=DE（1）判断ΔABC和ΔDEF是否相似，并给出判定依据。（2）若ΔABC和ΔDEF相似，请证明△ABC∽△DEF。第三题：已知：在ΔABC和ΔDEF中，AB=DE，∠BAC=∠EDF，AC=DF。求证：ΔABC∽ΔDEF。第四题：已知在三角形ABC和三角形DEF中，满足以下条件：∠BAC=∠DEF∠ABC=∠DEFAB=DE（1）判断三角形ABC和三角形DEF是否相似，并给出理由；（2）如果三角形ABC和三角形DEF相似，写出它们相似的关系，并给出相似比。第五题：已知三角形ABC和三角形DEF满足以下条件：∠A=∠D∠B=∠EAB=DE求证：三角形ABC∽三角形DEF。第六题：已知在三角形ABC中，点D是边AB上的一个点，点E是边BC上的一个点，且DE平行于AC。已知∠BAC=50°，∠B=70°，求证：∠AED=50°。第七题：在直角三角形ABC中，∠C=90°，点D是斜边AB上的一点，且CD=6cm。已知AD=8cm，BC=10cm。求证：三角形ACD与三角形BDC相似。《5相似三角形判定定理的证明》同步训练及答案解析一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分）1、在下列各组图形中，如果两个三角形相似，那么正确的是（）A.两个等腰三角形的顶角和底角分别是45°和45°，另一个三角形的顶角和底角分别是60°和60°。B.两个直角三角形的直角边分别为3和4，另一个三角形的直角边分别为6和8。C.两个等边三角形的边长分别为5和10。D.两个锐角三角形的对应角分别是30°、60°和90°。答案：B解析：根据相似三角形的判定定理，两个直角三角形的两个直角边成比例时，这两个三角形相似。选项B中，两个直角三角形的直角边分别为3和4，另一个三角形的直角边分别为6和8，它们的比例是相同的，即3:4=6:8，因此这两个三角形相似。2、已知三角形ABC中，∠A=45°，∠B=45°，如果三角形DEF与三角形ABC相似，那么以下哪个选项正确描述了∠D和∠E的关系？A.∠D=45°，∠E=90°B.∠D=45°，∠E=45°C.∠D=90°，∠E=45°D.∠D=90°，∠E=90°答案：B解析：由于三角形ABC是等腰直角三角形，所以∠C也是45°。根据相似三角形的性质，相似三角形的对应角相等。因此，如果三角形DEF与三角形ABC相似，那么∠D和∠E也应该是45°，即选项B正确。3、在下列各对三角形中，若满足以下条件，则一定相似的是（）A.∠A=∠D，∠B=∠E，AB=DEB.∠A=∠C，∠B=∠D，AC=BDC.∠A=∠D，∠B=∠E，AB∥DED.∠A=∠D，∠B=∠E，AB=2DE答案：C解析：根据相似三角形的判定定理，如果两个三角形的两个角分别相等，那么这两个三角形相似。选项A中虽然有两个角相等，但没有说明这两角是对应角；选项B中同样没有说明两个角是对应角；选项D中虽然有两个角相等，但边的比例不满足相似的条件。只有选项C中，两个三角形的两个角分别相等，并且这两角是对应角，因此这两个三角形一定相似。4、已知△ABC中，∠BAC=30°，∠B=45°，若BC=2，则△ABC的周长为（）A.4B.6C.8D.10答案：B解析：在△ABC中，∠BAC=30°，∠B=45°，由于三角形的内角和为180°，因此∠ACB=180°-30°-45°=105°。由于∠B=45°，且∠ACB=105°，根据三角形外角定理，∠BAC=180°-45°-105°=30°，说明△ABC是等腰三角形，AB=BC=2。因此，△ABC的周长为AB+BC+AC=2+2+√(2^2+2^2)=2+2+2√2=6。选项B正确。5、在△ABC和△DEF中，已知∠A=∠D，AB=DE，BC=EF，那么下列哪个选项是错误的？A.△ABC与△DEF是相似的B.∠B=∠EC.∠C=∠FD.AC与DF不一定平行答案：D解析：根据题目条件，我们可以知道△ABC与△DEF有两个对应角相等（∠A=∠D），且对应边成比例（AB=DE，BC=EF）。根据相似三角形的判定定理（AA判定），我们可以确定△ABC与△DEF是相似的。因此，选项A、B、C都是正确的。选项D提到AC与DF不一定平行，这是错误的，因为在相似三角形中，对应边是平行的。因此，选项D是错误的。6、在下列四个选项中，哪个是正确的相似三角形判定定理？A.两个三角形的三边对应成比例，则这两个三角形相似B.两个三角形的两边对应成比例，且夹角相等，则这两个三角形相似C.两个三角形的两边对应成比例，且其中一边的夹角相等，则这两个三角形相似D.两个三角形的两边对应成比例，且对应角相等，则这两个三角形相似答案：B解析：根据相似三角形的判定定理，正确的选项是B。选项A缺少条件，仅三边成比例不足以判定三角形相似；选项C中提到的夹角不明确是哪两个角相等，不够严谨；选项D中的条件也不够完整，因为仅两边对应成比例和对应角相等不能完全判定三角形相似。而选项B中提到的两个三角形的两边对应成比例，且夹角相等，是符合相似三角形的判定定理（SAS判定）的。因此，选项B是正确的。7、在三角形ABC中，已知∠A=45°，∠B=30°，∠C=105°，若点D、E分别在边AB、AC上，且∠BDE=∠C，那么下列选项中，下列哪个结论是正确的？A.AD=BEB.∠ADB=∠BECC.∠ADE=∠BCED.∠ABD=∠CBE答案：D解析：由题意知，∠BDE=∠C，且∠B=30°，∠A=45°，所以∠ABD=∠CBE（三角形内角和定理），选项D正确。8、在三角形ABC和三角形DEF中，若∠A=∠D，∠B=∠E，且AB=DE，那么下列哪个结论一定成立？A.∠C=∠FB.BC=EFC.AC=DFD.∠ABC=∠DEF答案：C解析：根据相似三角形的判定定理，如果两个三角形的两个角分别相等，那么这两个三角形相似。所以，由题意可知，三角形ABC∽三角形DEF，因此AC=DF。选项C正确。9、在下列各对三角形中，若已知∠A=∠D，∠B=∠E，那么可以判定这两对三角形相似的是：A.△ABC与△DEBB.△ABC与△DECC.△ABC与△EDCD.△ABC与△BEC答案：C解析：根据相似三角形的判定定理，如果两个三角形的两个角分别相等，那么这两个三角形相似。题目中给出了∠A=∠D和∠B=∠E，这意味着△ABC与△EDC的两个角分别相等，因此可以判定△ABC与△EDC相似。选项C正确。10、已知在△ABC和△DEF中，∠A=∠D，∠B=∠E，且AB=DE。那么以下哪个选项不能证明△ABC∽△DEF？A.∠C=∠FB.AC=DFC.BC=EFD.∠A=∠D答案：D解析：根据相似三角形的判定定理，若要证明两个三角形相似，需要证明它们的两个角相等或它们的对应边成比例。选项A、B、C都提供了额外的信息来证明三角形相似（角角边、边边边、边角边），而选项D只是重复了题目中已知的条件。因此，单独的∠A=∠D并不能证明△ABC∽△DEF。选项D不能证明三角形相似。二、计算题（本大题有3小题，每小题5分，共15分）第一题：已知三角形ABC中，∠BAC=45°，∠ABC=60°，∠ACB=75°。点D是边AC上的一点，使得∠ADB=90°。求证：三角形ADB与三角形BEC相似。答案：证明：因为∠BAC=45°，∠ACB=75°，所以∠ABC=180°-∠BAC-∠ACB=180°-45°-75°=60°。又因为∠ADB=90°，所以∠ADB是直角。在三角形ADB中，∠ADB=90°，∠BAC=45°，因此∠BAD=45°。在三角形BEC中，∠ABC=60°，∠ACB=75°，因此∠BCE=180°-∠ABC-∠ACB=180°-60°-75°=45°。因为∠BAD=∠BCE=45°，且∠ADB=∠BEC=90°，所以根据AA相似定理，三角形ADB与三角形BEC相似。解析：本题通过证明两个三角形的一个锐角相等和一个角都是直角，根据AA相似定理（两个角相等的三角形相似），证明了三角形ADB与三角形BEC相似。解题的关键在于正确运用相似三角形的判定条件。第二题：在三角形ABC中，已知∠A=45°，∠B=60°，∠C=75°，点D、E分别是BC、AC上的点，且BD=DE=EC。求证：三角形ABD与三角形ACE相似。答案：证明：因为∠B=60°，∠C=75°，所以∠BAC=180°-∠B-∠C=180°-60°-75°=45°。又因为BD=DE=EC，所以BE=BC。由三角形的内角和定理知，∠ABD=180°-∠B-∠BAC=180°-60°-45°=75°。同理，∠ACE=180°-∠A-∠C=180°-45°-75°=60°。因为∠ABD=∠ACE，且BE=BC，所以根据AA相似定理，三角形ABD与三角形ACE相似。解析：本题通过使用三角形的内角和定理以及AA相似定理来证明两个三角形相似。首先，我们通过内角和定理计算出∠BAC的度数。然后，由于BD=DE=EC，我们可以得出BE=BC。接着，通过计算得到∠ABD和∠ACE的度数，最后利用AA相似定理证明两个三角形相似。第三题：已知：在直角三角形ABC中，∠C为直角，∠BAC=30°，AB=6cm，AD⊥BC于D。求证：三角形ACD∽三角形BAC。计算题：求CD的长度。求三角形ACD的面积。若BC=8cm，求三角形ABC的周长。答案：CD的长度为3cm。三角形ACD的面积为9cm²。三角形ABC的周长为22cm。解析：由于∠BAC=30°，且在直角三角形ABC中，AD⊥BC，因此三角形ACD为30°-60°-90°的特殊直角三角形。在这种三角形中，对边之比为1:√3:2。由于AB=6cm，CD为AB的一半，因此CD=6cm/2=3cm。三角形ACD的面积可以通过底和高计算得出。底为AD，高为CD。由于AD是AB的√3/2倍，所以AD=6cm×√3/2=3√3cm。因此，三角形ACD的面积=1/2×底×高=1/2×AD×CD=1/2×3√3cm×3cm=9cm²。三角形ABC的周长为AB+BC+AC。已知AB=6cm，BC=8cm，AC可以通过勾股定理计算得出。在直角三角形ABC中，AC²=AB²+BC²，所以AC²=6²+8²=36+64=100，AC=10cm。因此，三角形ABC的周长=AB+BC+AC=6cm+8cm+10cm=22cm。三、解答题（本大题有7小题，第1小题7分，后面每小题8分，共55分）第一题：已知在三角形ABC和三角形DEF中，满足以下条件：∠A=∠D∠B=∠EAB=DE求证：三角形ABC和三角形DEF相似。答案：证明：由于∠A=∠D，∠B=∠E，且AB=DE，根据相似三角形的判定定理（AA相似定理），我们可以得出三角形ABC和三角形DEF相似。解析：首先，根据题目给出的条件，我们得到了两个对应角相等，即∠A=∠D，∠B=∠E。然后，根据题目给出的条件，我们还得到了两边的比例相等，即AB=DE。根据相似三角形的判定定理（AA相似定理），如果两个三角形的两个角分别相等，那么这两个三角形相似。因此，由∠A=∠D，∠B=∠E，以及AB=DE，我们可以得出三角形ABC和三角形DEF相似。第二题：已知在ΔABC和ΔDEF中，满足以下条件：∠BAC=∠DEF∠ABC=∠DEFAB=DE（1）判断ΔABC和ΔDEF是否相似，并给出判定依据。（2）若ΔABC和ΔDEF相似，请证明△ABC∽△DEF。答案：（1）ΔABC和ΔDEF相似。判定依据：根据相似三角形的判定定理，如果两个三角形的两个角分别相等，则这两个三角形相似。在本题中，∠BAC=∠DEF，∠ABC=∠DEF，因此可以判定ΔABC和ΔDEF相似。（2）证明：已知：∠BAC=∠DEF，∠ABC=∠DEF，AB=DE求证：△ABC∽△DEF证明：由已知条件可知，∠BAC=∠DEF，∠ABC=∠DEF，这是三角形相似的一个条件。又因为AB=DE，这是两个相似三角形对应边的比例关系。根据AA相似准则，两个三角形的两个角分别相等，则这两个三角形相似。因此，可以得出结论：△ABC∽△DEF。第三题：已知：在ΔABC和ΔDEF中，AB=DE，∠BAC=∠EDF，AC=DF。求证：ΔABC∽ΔDEF。答案：证明：根据题意，已知AB=DE，AC=DF。由已知，∠BAC=∠EDF。根据SAS（Side-Angle-Side）相似定理，如果两个三角形中有两边分别相等，且这两边对应的夹角也相等，则这两个三角形相似。在ΔABC和ΔDEF中，AB=DE，AC=DF，且∠BAC=∠EDF，满足SAS相似定理的条件。因此，ΔABC∽ΔDEF。解析：本题主要考查相似三角形的判定定理。根据SAS相似定理，当两个三角形中有两边分别相等，且这两边对应的夹角也相等时，可以判定这两个三角形相似。本题中，已知ΔABC和ΔDEF的两边分别相等，且这两边对应的夹角也相等，因此可以根据SAS相似定理判定ΔABC∽ΔDEF。第四题：已知在三角形ABC和三角形DEF中，满足以下条件：∠BAC=∠DEF∠ABC=∠DEFAB=DE（1）判断三角形ABC和三角形DEF是否相似，并给出理由；（2）如果三角形ABC和三角形DEF相似，写出它们相似的关系，并给出相似比。答案：（1）三角形ABC和三角形DEF相似。理由：根据题目条件，我们有∠BAC=∠DEF，∠ABC=∠DEF，这意味着三角形ABC和三角形DEF有两个角对应相等。根据相似三角形的判定定理（AA定理），如果两个三角形的两个角分别相等，那么这两个三角形相似。（2）三角形ABC和三角形DEF的相似关系为ABC∽DEF，相似比为1：1。解析：（1）首先，我们根据相似三角形的AA判定定理，由于∠BAC=∠DEF，∠ABC=∠DEF，且这两个角是三角形ABC和三角形DEF的非邻角，所以根据AA定理可以判定三角形ABC和三角形DEF相似。（2）相似比为1：1，因为题目中给出的条件AB=DE，这表明三角形ABC和三角形DEF的对应边AB和DE相等，因此它们的相似比是边长的比，即1：1。第五题：已知三角形ABC和三角形DEF满足以下条件：∠A=∠D∠B=∠EAB=DE求证：三角形ABC∽三角形DEF。答案：证明：由条件1和条件2可知，三角形ABC和三角形DEF有两个角分别相等。再由条件3可知，三角形ABC和三角形DEF有对应边成比例。根据相似三角形的判定定理，若两个三角形有两个角分别相等，且对应边成比例，则这两个三角形相似。因此，根据上述条件，可以得出三角形ABC∽三角形DEF。解析：本题主要考察相似三角形的判定定理。首先通过已知条件确定两个三角形的两个角分别相等，然后通过已知的边长比例关系，利用相似三角形的判定定理进行证明。解题过程中要注意理解相似三角形的定义和判定定理，以及如何运用这些知识进行逻辑推理。第六题：已知在三角形ABC中，点D是边AB上的一个点，点E是边BC上的一个点，且DE平行于AC。已知∠BAC=50°，∠B=70°，求证：∠AED=50°。答案：证明：由于DE