812向量数量积的运算律课件高一下学期数学人教B版

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数学

必修第三册第八章向量的数量积与三角恒等变换8.1.2向量数量积的运算律课标定位素养阐释1.掌握向量数量积的运算律.2.能根据运算律解决一些向量数量积的运算问题.3.培养逻辑推理能力和数学运算素养.自主预习新知导学向量数量积的运算律1.实数的乘法运算满足交换律、结合律和分配律,向量的数量积运算中,是否也有类似的性质?提示:有.2.向量数量积的运算律:(1)交换律:a·b=b·a;(2)分配律:(a+b)·c=a·c+b·c;(3)数乘向量结合律:对任意实数λ,有λ(a·b)=(λa)·b=a·(λb).A.-25 B.25 C.-24 D.24答案:A【思考辨析】

判断下列说法是否正确,正确的在它后面的括号里画“√”,错误的画“×”.(1)无论a,b是何向量,a·b与b·a必相等.(

)(2)|a|2-|b|2=(a+b)·(a-b).(

)(3)(a·b)·c=a·(b·c).(

)√√×合作探究释疑解惑探究一向量数量积运算律的应用【例1】

已知a与b的夹角θ=150°,且|a|=3,|b|=4,求(a+b)·(a-2b).分析:根据向量数量积的运算律求解即可.解:(a+b)·(a-2b)=a2-a·b-2b2=|a|2-|a||b|cos

θ-2|b|2=9-3×4×cos

150°-2×42=-23+6.在本例中,求|a+2b|的值.根据数量积的运算律,向量的加、减与数量积的混合运算类似于多项式的乘法运算.【变式训练1】

已知|a|=4,|b|=5,且向量a与b的夹角为60°,则(2a+3b)·(3a-2b)=

.

解析:(2a+3b)·(3a-2b)=6a2+5a·b-6b2=6×16+5×4×5×-6×25=-4.答案:-4探究二与向量的模有关的问题【例2】

已知向量a,b满足|a|=12,|b|=15,|a+b|=25,求|a-b|.解:|a+b|2=(a+b)2=|a|2+2a·b+|b|2=625,即2a·b=625-144-225=256,1.求向量的模问题一般转化为求向量的模的平方,与向量数量积联系,并灵活应用a2=|a|2,勿忘记开方.2.a·a=a2=|a|2或|a|=,可以实现实数运算与向量运算的相互转化.【变式训练2】

已知|a|=3,|b|=4,且a与b的夹角为60°,|ka-2b|=13,求k的值.解:∵|a|=3,|b|=4,<a,b>=60°,∴a·b=|a||b|cos

60°=3×4×=6.|ka-2b|2=k2a2-4ka·b+4b2=132,即9k2-24k+64=169,∴9k2-24k-105=0,探究三两向量的夹角和垂直问题【例3】

已知非零向量a,b满足|b|=4|a|,且a⊥(2a+b),则a与b的夹角为(

)解析:∵a⊥(2a+b),∴a·(2a+b)=0,∴2|a|2+a·b=0,即2|a|2+|a||b|cos<a,b>=0.∵|b|=4|a|,∴2|a|2+4|a|2cos<a,b>=0,答案:C求两向量a,b夹角的关键是求得a·b和|a||b|,从而得到cos<a,b>的值,最后求出<a,b>.解决此类问题时,应注意向量夹角的范围.【变式训练3】

已知a⊥b,|a|=2,|b|=3且向量3a+2b与ka-b互相垂直,则k的值为(

)解析:∵3a+2b与ka-b互相垂直,∴(3a+2b)·(ka-b)=0,∴3ka2+(2k-3)a·b-2b2=0.∵a⊥b,∴a·b=0,又|a|=2,|b|=3,∴12k-18=0,k=.答案:B思想方法转化思想在证明问题中的应用【典例】

求证:平行四边形两条对角线的平方和等于四条边的平方和.分析:将问题转化为向量问题解决.将线段长度的问题转化为向量模的问题,从而开阔了解题思路,收到了事半功倍的效果.【变式训练】

已知在四边形ABCD中,对角线AC,BD相互平分,且AC⊥BD,求证:四边形ABCD是菱形.随堂练习1.下列说法正确的是(

)A.|a·b|=|a||b|B.a·b≠0⇔|a|+|b|≠0C.a·b=0⇔|a||b|=0D.(a+b)·c=a·c+b·c答案:D2.若非零向量a,b满足|a|=|b|,(2a+b)·b=0,则a与b的夹角为(

)A.30° B.60° C.120° D.150°解析:∵(2a+b)·b=2a·b+b2=2|a||b|cos<a,b>+|b|2=0,又|a|=|b|,∴cos<a,b>=-,∴<a,b>=120°.答案:C3.(多选题)对任意向量a,b,下列关系式中恒成立的是(

)A.|a·b|≤|a||b|B.|a-b|≤||a|-|b||C.(a+b)2=|a+b|2D.(a+b)·(a-b)=a2-b2答案:ACD答案:15.已知单位向量e1,e2的夹角为α,且cosα=,若向量a=3e1-2e2,则|a|=

.

答案:36.已知a,b满足|a|=4,|b|=3,(2a-3b)·(2