湖北省鄂州市部分高中教科研协作体2024-2025学年高二上学期期中考试数学试卷（含答案）

1PAGE第10页2024-2025学年湖北省鄂州市部分高中教科研协作体高二（上）期中数学试卷及解析一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．（5分）已知直线l经过点，（﹣2，0），则直线l的倾斜角为（）A． B． C． D．2．（5分）在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，若＝，＝，＝，点P为A1C1与B1D1的交点，则＝（）A．++ B．+﹣ C．﹣+ D．+﹣3．（5分）若点P（1，1）在圆C：x2+y2﹣x﹣2y﹣k＝0的外部，则实数k的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣1） B． C． D．4．（5分）“五道方”是一种民间棋类游戏，甲，乙两人进行“五道方”比赛，约定连胜两场者赢得比赛．若每场比赛，甲胜的概率为，乙胜的概率为，则比赛6场后甲赢得比赛的概率为（）A． B． C． D．5．（5分）直线ax+y﹣a＝0（a∈R）与圆（x﹣2）2+y2＝4的位置关系是（）A．相离 B．相交 C．相切 D．无法确定6．（5分）已知直线l1：2x﹣y+1＝0，l2：3x+ay+7＝0，l3：bx+2y﹣1＝0，若l1⊥l2且l2∥l3，则a+b的值为（）A．﹣5 B．5 C．﹣7 D．77．（5分）在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为x2+y2﹣4y+3＝0，若直线y＝kx﹣1上存在点P，使以P点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，则实数k的取值范围是（）A． B． C． D．8．（5分）如图，在四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD是矩形，AD＝SA＝SD＝2AB＝2，P为棱AD的中点，且SP⊥AB，，若点M到平面SBC的距离为，则实数λ的值为（）A． B． C． D．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。（多选）9．（6分）设M，N是两个随机事件，若P（M）＝，P（N）＝，则下列结论正确的是（）A．若N⊆M，则P（M∪N）＝ B．若M∩N＝∅，则P（M+N）＝0 C．若P（M∩N）＝，则M，N相互独立 D．若M，N相互独立，则（多选）10．（6分）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝2，，则（）A．若x+y＝1，则点P的轨迹为线段AD1 B．若，则点P的轨迹为连接棱AD的中点和棱A1D1中点的线段 C．若x＝y，则三棱锥P﹣A1BC1的体积为定值 D．若，则BP与平面ABCD所成角的余弦值的最大值为（多选）11．（6分）若点P的坐标是（a，b），圆M：x2+y2+2x﹣4y+3＝0关于直线2ax+by+6＝0对称，Q（m，n）是圆M上的动点，则下列说法正确的是（）A．点P在直线x﹣y﹣3＝0上 B．2m+n的取值范围是 C．以PM为直径的圆过定点R（2，﹣1） D．若直线PA与圆M切于点A，则|PA|＞4三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12．（5分）已知向量＝（1，m，﹣1），＝（n，2，﹣2），若∥，则m﹣n＝．13．（5分）若圆C：x2+y2＝r2（r＞0）与曲线y＝|x|﹣2有两个公共点，则r的取值范围为．14．（5分）先后两次掷一枚质地均匀的正方体骰子，记向上的一面点数分别为a，b，则函数f（x）＝x3a﹣2b是定义域为R的偶函数的概率为．四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15．（13分）直线l1：x+2y﹣11＝0与直线l2：2x+y﹣10＝0相交于点P，直线l经过点P．（1）若直线l⊥l2，求直线l的方程；（2）若直线l在坐标轴上的截距相等，求直线l的方程．16．（15分）已知圆C：x2+y2﹣4x+2y﹣5＝0和点M（1，﹣5）．（1）过点M作一条直线与圆C交于A，B两点，且|AB|＝6，求直线AB的方程；（2）过点M作圆C的两条切线，切点分别为E，F，求EF所在的直线方程．17．（15分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AB⊥AD，CD⊥AD，AB＝AD＝PD＝CD＝1，PA＝，PC＝，点Q为棱PC上一点．（1）证明：PA⊥CD；（2）当二面角P﹣BD﹣Q的余弦值为时，求．18．（17分）有4名同学下课后一起来到图书馆看书，到图书馆以后把书包放到了一起，后来停电了，大家随机拿起了一个书包离开图书馆，分别计算下列事件的概率．（1）恰有两名同学拿对了书包；（2）至少有两名同学拿对了书包；（3）书包都拿错了．19．（17分）球面几何在研究球体定位等问题有重要的基础作用．球面上的线是弯曲的，不存在直线，连接球面上任意两点有无数条曲线，它们长短不一，其中这两点在球面上的最短路径的长度称为两点间的球面距离．球面三角学是研究球面三角形的边、角关系的一门学科．如图1，球O的半径为R，A，B，C为球面上三点，曲面ABC（阴影部分）叫做球面三角形．若设二面角C﹣OA﹣B，A﹣OB﹣C，B﹣OC﹣A分别为α，β，γ，则球面三角形ABC的面积为．（1）若平面OAB，平面OAC，平面OBC两两垂直，求球面三角形ABC的面积；（2）将图1中四面体OABC截出得到图2，若平面三角形ABC为直角三角形，AC⊥BC，设∠AOC＝θ1，∠BOC＝θ2，∠AOB＝θ3．①证明：cosθ1+cosθ2﹣cosθ3＝1；②延长AO与球O交于点D，连接BD，CD，若直线DA，DC与平面ABC所成的角分别为，，且，λ∈（0，1]，S为AC的中点，T为BC的中点，设平面OBC与平面EST的夹角为θ，求sinθ的最小值．

2024-2025学年湖北省鄂州市部分高中教科研协作体高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．（5分）【答案】A2．（5分）【答案】C3．（5分）【答案】B4．（5分）【答案】C5．（5分）【答案】B6．（5分）【答案】D7．（5分）【答案】B8．（5分）【答案】A二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。（多选）9．（6分）【答案】ACD（多选）10．（6分）【答案】BC（多选）11．（6分）【答案】AC三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12．（5分）【答案】﹣1．13．（5分）【答案】．14．（5分）【答案】．四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15．（13分）【解答】解：（1）联立，解得，即P（3，4）．∵l⊥l2，不妨设直线l的方程为x﹣2y+λ＝0，将点P（3，4）代入x﹣2y+λ＝0，得λ＝5，∴直线l的方程为x﹣2y+5＝0．（2）当直线l经过坐标原点时，直线l的方程是，即4x﹣3y＝0；当直线l不经过坐标原点时，设直线l的方程为，将点P（3，4）代入，得a＝7，∴直线l的方程为，即x+y﹣7＝0．综上所述，直线l的方程是4x﹣3y＝0或x+y﹣7＝0．16．（15分）【解答】解：（1）圆C的标准方程为（x﹣2）2+（y+1）2＝10，圆心为C（2，﹣1），半径为，所以圆心C到直线AB的距离为，当直线AB的斜率不存在时，直线AB的方程为x＝1，此时圆心C到直线AB的距离为|2﹣1|＝1，符合题意；当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为y+5＝k（x﹣1），即kx﹣y﹣k﹣5＝0，由题意可得，解得，此时直线AB的方程为，即15x﹣8y﹣55＝0，综上所述，直线AB的方程为x＝1或15x﹣8y﹣55＝0；（2）因为，则，所以以点M为圆心，|ME|为半径为圆的方程为（x﹣1）2+（y+5）2＝7，联立，两式相减整理可得：x+4y+12＝0，即EF所在的直线方程为x+4y+12＝0．17．（15分）【解答】解：（1）证明：因为，所以PD2+CD2＝PC2，所以CD⊥PD，又CD⊥AD，且AD∩PD＝D，AD，PD⊂平面PAD，所以CD⊥平面PAD，又PA⊂平面PAD，所以PA⊥CD．（2）因为，所以AD2+PD2＝PA2，则PD⊥AD，由（1）可知PD，AD，DC两两垂直，以D为原点，以DA，DC，DP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系D﹣xyz，则D（0，0，0），B（1，1，0），P（0，0，1），C（0，2，0），由，设，则，设平面BDQ的一个法向量，则，则，即，令y1＝1﹣λ，解得x1＝λ﹣1，z1＝﹣2λ，故，设平面BDP的一个法向量为，则，则，得，令y2＝﹣1，解得x2＝1，z2＝0，故，所以，即，整理，得8λ2+2λ﹣1＝0，解得或（舍去），故．18．（17分）【解答】解：根据题意，设四名同学的书包为A，B，C，D，则全部基本事件有：（A，B，C，D），（A，B，D，C），（A，C，B，D），（A，C，D，B），（A，D，B，C），（A，D，C，B），（B，A，C，D），（B，A，D，C），（B，C，A，D），（B，C，D，A），（B，D，A，C），（B，D，C，A），（C，A，B，D），（C，A，D，B），（C，B，A，D），（C，B，D，A），（C，D，A，B），（C，D，B，A），（D，A，B，C），（D，A，C，B），（D，B，A，C），（D，B，C，A），（D，C，A，B），（D，C，B，A），共24种，（1）其中恰有两名同学拿对了书包有6种，则恰有两名同学拿对了书包的概率为；（2）至少有两名同学拿对了书包有7种，则至少有两名同学拿对了书包的概率为；（3）书包都拿错了有9种，则书包都拿错了的概率为．19．（17分）【解答】解：（1）若平面OAB，平面OAC，平面OBC两两垂直，有，所以球球面三角ABC的面积为；（2）①证明：由余弦定理有：，且AC2+BC2＝AB2，消掉R2，可得cosθ1+cosθ2﹣cosθ3＝1；②由AD是球的直径，则AB⊥BD，AC⊥CD，且AC⊥BC，CD∩BC＝C，CD，BC⊂平面BCD，所以AC⊥平面BCD，且BD⊂平面BCD，则AC⊥BD，且AB∩AC＝A，AB，AC⊂平面ABC，可得BD⊥平面ABC，由直线DA，DC与平面ABC所成的角分别为，，所以，