2024学年西安市华清中学高二数学上学期期中考试卷附答案解析

学年西安市华清中学高二数学上学期期中考试卷2024.11一、单选题（本大题共8小题）1．直线的倾斜角是（

）A． B． C． D．2．双曲线的焦点坐标为（）A． B． C． D．3．若两条直线与相互垂直，则（）A．B．C．或 D．或4．已知为双曲线的一个焦点，则点到的一条渐近线的距离为（

）A． B．3 C． D．5．圆的圆心到直线的距离为1，则（

）A． B． C． D．26．如图所示，已知三棱锥，点M，N分别为，的中点，且，，，用，，表示，则等于（

）A． B．C． D．7．在直三棱柱中，，，，则异面直线与所成角的余弦值为（

）A． B． C． D．8．已知椭圆E:＋＝1(a>b>0)的右焦点为F(3,0)，过点F的直线交椭圆于A、B两点．若AB的中点坐标为(1，－1)，则E的方程为（

）A．＋＝1 B．＋＝1C．＋＝1 D．＋＝1二、多选题（本大题共3小题）9．已知曲线.（

）A．若m>n>0，则C是椭圆，其焦点在y轴上B．若m=n>0，则C是圆，其半径为C．若mn<0，则C是双曲线，其渐近线方程为D．若m=0，n>0，则C是两条直线10．已知点在圆上，点，，则（

）A．点到直线的距离小于B．点到直线的距离大于C．当最小时，D．当最大时，11．设点，分别为椭圆：的左、右焦点，点是椭圆上任意一点，若使得成立的点恰好是4个，则实数的取值可以是（

）A．1 B．3 C．5 D．4三、填空题（本大题共3小题）12．过点且在两坐标轴上截距相等的直线的方程为．13．设为双曲线的两个焦点，点是双曲线上的一点，且，则的面积为.14．设为椭圆的两个焦点，为上一点且在第一象限.若为等腰三角形，则的坐标为.四、解答题（本大题共5小题）15．已知点，圆.(1)若过点的直线与圆相切，求直线的方程：(2)若直线与圆相交于两点，弦的长为2，求的值.16．如图，在三棱柱中，＝2，且，⊥底面ABC，E为AB中点．(1)求证：平面；(2)求二面角的余弦值．17．已知椭圆：的离心率为，左焦点.（1）求椭圆的标准方程；（2）若直线与椭圆交于不同的两点、，且线段的中点在圆上，求的值.18．已知曲线C：x2﹣y2＝1及直线l：y＝kx﹣1．且直线l与双曲线C有两个不同的交点A，B．(1)求实数k的取值范围；(2)O是坐标原点，且△AOB的面积为，求实数k的值．19．椭圆的右焦点为F、右顶点为A，上顶点为B，且满足．(1)求椭圆的离心率；(2)直线l与椭圆有唯一公共点M，与y轴相交于N（N异于M）．记O为坐标原点，若，且的面积为，求椭圆的标准方程．

参考答案1．【答案】D【解析】首先求出直线的斜率，由倾斜角与斜率的关系即可求解.【详解】直线的斜率，设其倾斜角为，则tan，∴.故选：D.2．【答案】D【详解】由双曲线，可得，则，且双曲线的焦点在轴上，所以双曲线的焦点坐标为.故选：D.3．【答案】C【分析】根据两直线垂直可得出关于实数的等式，由此可求得实数的值.【详解】因为，则，解得或.故选：C.4．【答案】A【分析】求出双曲线的标准方程后可求基本量，从而可求渐近线方程，利用公式可求焦点到渐近线的距离.【详解】由已知得，双曲线的标准方程为，则，，设一个焦点，而一条渐近线的方程为，即，所以焦点到渐近线的距离为，故选：A．5．【答案】A【详解】试题分析：由配方得，所以圆心为，因为圆的圆心到直线的距离为1，所以，解得，故选A.【名师点睛】直线与圆的位置关系有三种情况：相交、相切和相离.已知直线与圆的位置关系时，常用几何法将位置关系转化为圆心到直线的距离d与半径r的大小关系，以此来确定参数的值或取值范围．6．【答案】A【详解】结合图形，易得又因为点M，N分别为，的中点，故，，，所以.故选：A.7．【答案】B【详解】

以为坐标原点，向量方向分别为轴，建立空间直角坐标系，则，所以，，所以异面直线与所成角的余弦值等于.故选：B8．【答案】D【详解】设、，所以，运用点差法，所以直线的斜率为，设直线方程为，联立直线与椭圆的方程，所以；又因为，解得.【考点定位】本题考查直线与圆锥曲线的关系，考查学生的化归与转化能力.9．【答案】ACD【分析】结合选项进行逐项分析求解，时表示椭圆；时表示圆；时表示双曲线；时表示两条直线.【详解】对于A，∵若，∴，∴，∵，∴，∴曲线表示焦点在轴上的椭圆，故A正确，对于B，∵若，∴，∴，∴曲线：表示圆心在原点，半径为的圆，故B不正确，对于C，∵若，∴∴，此时曲线C表示双曲线，∵令，∴，故C正确，对于D，∵若，∴由，得，∴，此时曲线表示平行于轴的两条直线，故D正确，故选：ACD.10．【答案】ACD【分析】计算出圆心到直线的距离，可得出点到直线的距离的取值范围，可判断AB选项的正误；分析可知，当最大或最小时，与圆相切，利用勾股定理可判断CD选项的正误.【详解】圆的圆心为，半径为，直线的方程为，即，圆心到直线的距离为，所以，点到直线的距离的最小值为，最大值为，A正确，B错误；如下图所示：当最大或最小时，与圆相切，连接，，可知，，，由勾股定理可得，CD正确.故选ACD.【方法总结】若直线与半径为的圆相离，圆心到直线的距离为，则圆上一点到直线的距离的取值范围是.11．【答案】BD【分析】首先设点，得到，，结合点在椭圆上得到，若成立的点有四个，则在有两实数解，则有，解出其范围结合选项即得.【详解】设，∵，，∴，，由可得，又∵点在椭圆上，即，∴，要使得成立的点恰好是4个，则，解得.故选BD.12．【答案】或.【详解】当直线过原点时，设直线，代入点，得，得，即；当直线不过原点时，设直线，代入点，得，得，即，化简得.综上可知，满足条件的直线方程为或.故答案为：或.【易错警示】注意不要忽略直线过原点的情况.13．【答案】3【详解】如图，由可知，设，由定义，的面积为.故答案为：314．【答案】【分析】根据椭圆的定义分别求出，设出的坐标，结合三角形面积可求出的坐标.【详解】由已知可得，又为上一点且在第一象限,为等腰三角形，．∴．设点的坐标为，则，又，解得，，解得（舍去），的坐标为．【点睛】本题考查椭圆标准方程及其简单性质，考查数形结合思想、转化与化归的能力，很好的落实了直观想象、逻辑推理等数学素养．15．【答案】(1)；(2).【详解】（1）由于，即在圆上，而圆心，则，所以过点的切线斜率为，故直线的方程为.（2）由，圆心，半径为，则到的距离，又弦的长为2，所以，可得.16．【答案】(1)证明见解析(2)【详解】（1）连接与交于点O，连接OE，由分别为的中点，所以，又平面，平面，所以平面.（2）由，底面，故底面，建立如图所示空间直角坐标系：则，所以，设平面的一个法向量为：，则，即，令，则，则，因为底面，所以为平面一个法向量，所以，由图可知，二面角为锐角，所以二面角的余弦值为.17．【答案】（1）；（2）.【分析】（1）利用椭圆的离心率，焦点坐标，求解，，得到椭圆方程．（2）联立直线与椭圆方程，利用韦达定理求解中点坐标，结合圆的方程，求解即可．【详解】解：（1）由题意得，解得，∴椭圆的标准方程为；（2）设点、的坐标分别为，，线段的中点为，联立，消得，由韦达定理得：，∴，，∵点在圆上，∴，∴，满足，∴.18．【答案】(1){k|k，且k≠±1}(2)或0【详解】（1）设A（x1，y1），B（x2，y2），联立，整理可得（1﹣k2）x2+2kx﹣2＝0，当时，直线l与双曲线由两个不同的交点，即，所以k的取值范围为{x|k，且k≠±1}；（2）由（1）可知x1+x2，x1x2，所以弦长|AB|，原点O到直线AB的距离d，所以S△AOB|AB|d，由题意，解得：k＝±或0，符合题意，所以实数k的值为或0．19．【答案】(1)(2)【分析】（1）根据已知条件可得出关于、的等量关系，由此可求得该椭圆的离