专题4.4 对数函数（5类必考点）（人教A版2019必修第一册）（解析版）

专题4.4对数函数TOC\o"1-3"\h\z\t"正文,1"【考点1：对数函数的概念】 1【考点2：对数函数的图象】 2【考点3：对数函数的定义域与值域】 8【考点4：对数函数的单调性与最值】 11【考点5：对数函数的应用】 19【考点1：对数函数的概念】【知识点：对数函数的概念】形如y＝logax（a>0且a≠1．（2022·全国·高一课时练习）下列函数是对数函数的是（

）A．y=loga(2x) B．y=lg10x【答案】D【分析】根据对数函数的概念即得.【详解】因为函数y=logax(a>0所以ABC均为对数型复合函数，而D是底数为自然常数的对数函数.故选：D.2．（2022·全国·高一课时练习）下列函数是对数函数的是()A．y=log2x

B．y=ln(x+1)

【答案】A【详解】对数函数y=logax（a>0且a≠1），其中a对于选项A，符合对数函数定义；对于选项B，真数部分是x+1，不是自变量x，故它不是对数函数；对于选项C，底数是变量x，不是常数，故它不是对数函数；对于选项D，底数是变量x，不是常数，故它不是对数函数．故选：A．3．（2023·全国·高三专题练习）若函数fx=log2x+a的图象过点−2,0A．3 B．1 C．-1 D．-3【答案】A【分析】因为函数图象过一点，代入该点的坐标解方程即得解.【详解】解：由已知得f−2=log2−2+a故选：A．4．（2022·全国·高一课时练习）已知fx为对数函数，f12【答案】1【分析】根据f12=2【详解】设fx=logax（a>0，且a≠1），则log∴fx∴f2故答案为：1.5．（2022·北京市第十三中学高三开学考试）已知函数fx=logax，且f【答案】

4

−1【分析】由f2=12，得到【详解】由题意，函数fx=logax，因为f所以fx则f1故答案为：4；−1.【考点2：对数函数的图象】【知识点：对数函数的图象】1．对数函数的图象函数y＝logax，a>1y＝logax,0<a<1图象图象特征在y轴右侧，过定点(1,0)当x逐渐增大时，图象是上升的当x逐渐增大时，图象是下降的2.底数的大小决定了图象相对位置的高低不论是a＞1还是0＜a＜1，在第一象限内，自左向右，图象对应的对数函数的底数逐渐变大，如图，0<c<d<1<a<b.在x轴上侧，图象从左到右相应的底数由小变大；在x轴下侧，图象从右到左相应的底数由小变大．(无论在x轴的上侧还是下侧，底数都按顺时针方向变大)3．指数函数与对数函数的关系指数函数y＝ax(a>0且a≠1)与对数函数y＝logax(a>0且a≠1)互为反函数，它们的图象关于直线y＝x对称．1．（2022·全国·高一课时练习）如图所示的曲线是对数函数y=logax，y=logbx，y=logcx，y=logdA．b>a>1>c>d B．a>b>1>c>d C．b>a>1>d>c D．a>b>1>d>c【答案】C【分析】根据对数函数的图象性质即可求解.【详解】由图可知a>1，b>1，0<c<1，0<d<1．过点0，1作平行于x轴的直线，则直线与四条曲线交点的横坐标从左到右依次为c，d，a，b，显然b>a>1>故选：C．2．（2022·福建龙岩·高三期中）函数fx=eA．B．C．D．【答案】D【分析】根据函数定义域以及函数极限，判断即可.【详解】因为fx的定义域为{x|x>0且x≠1}又当x→0时，ex→1,ln当x>1且x→1时，ex→e故选：D.3．（2022·河南安阳·高三阶段练习（文））已知函数f(x)=(3a−2)x−4a,x<1log12x,x≥1的值域为RA．−2,23 B．−23,2 【答案】A【分析】通过函数解析式分析每个分段的值域，因为fx=log12x，x≥1值域为−∞,0，所以fx【详解】当x≥1时，fx=log当x<1时，fx=3a−2x−4a的值域应包含所以3a−2<0，且3a−2×1−4a≤0，解得−2≤a<故选：A4．（2021·江西省新干中学高一期中）在同一坐标系中，函数y=a−x与y=logax(a>0,A． B．C． D．【答案】BD【分析】分情况进行讨论指数函数与对数函数的图象即可求解.【详解】当a>1时，y=a−x定义域为R，且在R上单调递减，y=logax定义域为(0,+∞)，且在(0,+∞)上单调递增，D符合；当0<a<1时，y=a−x故选：BD．5．（2020·山东省青岛第十九中学高一期中）已知a＞0，b＞0，且ab＝1，a≠1，则函数fx=ax与函数A． B．C． D．【答案】AB【分析】根据a＞0，b＞0，且ab＝1，a≠1，分0<a<1和a>1，由指数函数和对数函数的图象判断.【详解】解：∵a＞0，b＞0，且ab＝1，a≠1，∴当0<a<1时，b>1，则函数fx=a，当a>1时，0<b<1，则函数fx=a故选：AB．6．（2022·上海市大同中学高一期中）函数y=log【答案】(0,1)【分析】根据对数函数的性质，令x=0即可确定定点.【详解】由对数的性质知：当x=0时y=log所以函数必过定点(0,1).故答案为：(0,1)7．（2021·上海海洋大学附属大团高级中学高三期中）若函数y=f−1x是函数fx=loga【答案】1,5【分析】求出函数fx的图象所过定点的坐标，再利用反函数的性质结合图象变换可得函数y=【详解】因为f2=loga1=0，即函数fx的图象过定点而函数y=f−1x−1+3的图象可在函数y=f故函数y=f−1x−1故答案为：1,5.8．（2007·全国·高考真题（文））如图，已知过原点O的直线与函数y=log8x的图象交于A，B两点，分别过点A，B作y轴的平行线与函数y=log2(1)证明O，C，D三点在同一条直线上；(2)当BC∥x轴时，求【答案】(1)证明见解析．(2)(3【分析】（1）设A(x1,log8x1)，B(x（2）由B,C两点的纵坐标相等可求得x2=x13【详解】（1）设A(x1,log8x1O,A,B共线，则log8所以13log2所以O,C,D三点共线；（2）由（1）得log8x2=log所以log8x1x1=log8x13x13=所以A点坐标为(3【考点3：对数函数的定义域与值域】【知识点：对数函数的定义域与值域】函数y＝logax(a>0，且a≠1)a>10<a<1性质定义域(0，＋∞)值域R1．（2022·浙江·高一期中）函数f(x)=ln(−xA．(2,3) B．(−C．[2,3] D．(−【答案】A【分析】对数型函数的定义域只需要真数大于0，解出即可【详解】由−x即x2解得2<x<3，即函数的定义域为：x∈(2,3).故选：A.2．（2022·北京四中高三期中）函数fx【答案】(0,e【分析】由对数的真数大于零，且分式的分母不为零，从而可求出函数的定义域.【详解】由题意得x>01−lnx≠0，解得x>0所以函数的定义域为(0,e故答案为：(0,e3．（2022·北京·高三阶段练习（文））函数fx【答案】[0,+∞)【分析】先求出函数的定义域，然后根据二次根式的性质求出1-x【详解】函数fx的定义域为(-∞,1]因为1-所以1-x所以lg所以函数fx值域为[0,+∞)故答案为：[0,+∞)4．（2023·全国·高三专题练习）已知函数y=lgax2−2x+2【答案】0,【分析】由于函数fx的值域为R，则对数函数的真数要取遍所有正数，对a分类讨论解不等式即可求出a【详解】令gx∵函数y=lgax∴x∈R，g当a=0时，gx=−2x+2，符合题意，故当a≠0时，a>0Δ=4−8a≥0解得综上所述a的取值范围是0,1故答案为：0,15．（2021·天津·高一期末）若函数f(x)=(a【答案】(-2,3]【分析】结合对数函数、一次函数的知识求得正确答案.【详解】当x>2时，log而fx的值域为R所以a+2>0解得-2<a所以a的取值范围是(-2,3].故答案为：(-2,3]6．（2022·河南·高三阶段练习（文））已知fx=logax+loga(1)求a的值及fx(2)求fx在1,【答案】(1)a=2，0,4；(2)log【分析】（1）根据f2=2求出参数（2）由（1）可得f(x)=log2−(x−2)2+4，设tx（1）解：由f2=2得loga2+loga(4−2)=2所以fx由x>04−x>0，解得0<x<4，故fx的定义域为（2）解：由（1）及条件知f(x)=log设tx=−(x−2)2+4，x∈当x=1时，tx=3；当x=7所以当x∈1,72时，t所以f(x)max=所以fx在1,727．（2022·安徽省怀宁县第二中学高三阶段练习）已知函数fx(1)若fx<0，求(2)当14≤x≤8时，求函数【答案】(1)12,4【分析】（1）设t=log（2）设t=log2x，可得t∈（1）设t=log2x，x>0所以fx=log解得−1<t<2，所以−1<log2x<2即x∈1（2）由（1）得，当14≤x≤8，所以函数可转化为y=t2−t−2当t=12时，y取最小值为当t=−2或t=3时，y取最大值为4，即当x=2时，fx取最小值为当x=14或x=8时，fx即函数fx的值域为−【考点4：对数函数的单调性与最值】【知识点：对数函数的单调性与最值】函数y＝logax(a>0，且a≠1)a>10<a<1性质单调性在(0，＋∞)上是增函数在(0，＋∞)上是减函数函数值变化规律当x＝1时，y＝0当x>1时，y>0；当0<x<1时，y<0当x>1时，y<0；当0<x<1时，y>01．（2008·湖南·高考真题（文））下面不等式成立的是（

）A．log32<logC．log23<log【答案】A【分析】结合对数函数y=log3x,y=【详解】由题意，对数函数y=log3x,y=故1=log22<即log3故选：A2．（2022·福建·宁德市民族中学高三期中）函数fx=lnA．−∞,−2 B．−∞,−1 C．【答案】D【分析】根据复合函数的单调性的性质，结合对数函数、二次函数的单调性、对数的定义进行求解即可.【详解】由对数的定义可知：x2−2x−8>0⇒x>4或二次函数y=x2−2x−8的对称轴为x=1所以fx=ln故选：D3．（2022·福建·厦门一中高一期中）已知函数f(x)=ln1+x2−11+|x|，若实数aA．[1,3] B．0,13 C．(0,3] 【答案】D【分析】先判断函数f(x)为R上的偶函数，且在0,+∞上单调递增，则不等式flog3a+f【详解】f(x)=ln1+x2−11+|x|当x>0时，f(x)=ln1+x2−又flog3a即flog3a≤f(1)，故log3故选：D.4．（2022·北京市第一六一中学高三期中）关于函数fx=lnA．定义域为−1,1 B．图象关于y轴对称C．图象关于原点对称 D．在0,1内单调递增【答案】B【分析】由21−x−1>0即可求出其的定义域；利用f(−x)=−f(x)可判断f(x)为奇函数；求利用复合函数的单调性即可判断f(x)在【详解】因为f(x)=ln所以1+x1−x所以定义域为−1,1，故A正确；因为f(−x)=ln所以f(x)图象关于原点对称，故B错误，C正确;又y=1−x>0在0,1上单调递减，所以y=21−x−1>0又y=lnx在所以y=ln21−x故选：B.5．（2022·湖北·宜昌英杰学校高二阶段练习）若a=log45，b=12log23，c=eA．a<b B．b<aC．c<b D．b<c【答案】AD【分析】利用对数运算性质得到将a,b化为底相同的对数，然后利用对数函数的相关性质得到1<a<b<2，而c=e【详解】a=log22所以根据对数函数y=log2x即1<a<b<2，c=eln2故选：AD.6．（2022·重庆·高三阶段练习）已知a>0且a≠1，函数f(x)=ax+1x【答案】0,【分析】根据对数函数的性质可得当a>1时函数无最小值，不符合题意；当0≤a<1时，利用基本不等式求出f(x)=ax+1x在[a,+∞)上的最小值2a，利用对数函数的性质求出y=loga【详解】当a>1时，y=logax在（0，故函数f（x）无最小值，不符合题意；当0≤a<1时，1a>a，fx所以f(x)=ax+1x≥2a，当且仅当所以f(x)的最小值为fy=logax在（0，故函数f（x）有最小值只需2a≤1，即a≤1故答案为：(0,17．（2022·湖北·郧阳中学高一阶段练习）已知函数fx①若函数fx的最小值为0，则a=−2②若函数fx的定义域为R，则−4≤a≤0③若函数fx的值域为R，则a≤−4或a≥0④若a=2，则函数fx的单调减区间为−⑤若函数fx在−2,−1上单调递减，则a≤其中正确说法的个数为__________个．【答案】3【分析】根据对数型复合函数的最值、定义域、值域、单调性等知识对四个说法进行分析，从而确定正确答案.【详解】函数y=x2+ax−a①，若函数fx的最小值为0，则−a2②，若函数fx的定义域为R，则Δ③，若函数fx的值域为R，则Δ=a2+4a≥0④，a=2时，fx=lgx2⑤，若函数fx在−2,−1上单调递减，则−a2故答案为：38．（2022·安徽·砀山中学高三阶段练习）已知函数f(x)=loga(3−x)+loga(1)求fx(2)若fx的最大值为2，求a【答案】(1)定义域为−1,3，对称轴为x=1；(2)2.【分析】（1）直接根据真数部分大于零得定义域，通过证明f(2−x)=f(x)得对称轴；（2）先求出真数部分的范围，进而可通过最值列式计算求a的值.c【详解】（1）由题意得3−x>0x+1>0，解得−1<x<3故fx的定义域为−1,3又f(2−x)=log∴fx图象的对称轴方程为x=1（2）由（1）知，f(x)=log当x∈−1,3时，−∵函数fx∴a>1且loga4=2，解得9．（2022·广东·深圳中学高一期中）设a>0且a≠1，函数fx=log(1)求a的值及fx(2)求fx在0,【答案】(1)a=2，−1,3(2)单调增区间为0,1，单调减区间为1,3【分析】（1）根据对数函数得性质和计算规则计算即可；（2）复合函数单调性根据内外函数同增异减，先判断内函数单调性，再判断外函数单调性即可.【详解】（1）∵函数fx=log∴loga1+1+loga又a>0且a≠1，∴a=2，要使fx则1+x>03−x>0∴fx的定义域为−1,3（2）fx令t=∵0≤x≤32，∴t=−x−12+4的最大值为4，此时x=1，且∴fx在0,32上的单调增区间为0,110．（2022·安徽·高三阶段练习）已知函数f(x)=logax(a>0(1)若函数f(x)的图象与函数ℎ(x)的图象关于直线y=x对称，且点P(2,16)在函数ℎ(x)的图象上，求实数a的值；(2)已知函数g(x)=fx2fx8，x∈【答案】(1)4(2)12【分析】（1）由题意可知ℎx=ax，然后将点（2）由（1）得g(x)=logax2−4loga2⋅log（1）因为函数f(x)=logax(a>0，且a≠1）的图象与函数ℎ(x)所以ℎx=ax（因为点P(2,16)在函数ℎ(x)的图象上，所以16=a2，解得a=4，或（2）gx=logax①当0<a<1时，由12≤x≤8，有二次函数φt=t可得最大值为φ−解得a=12或②当a>1时，由12≤x≤8，有二次函数φ(t)=t2−4t可得最大值为φ−loga2=综上，实数a的值为1211．（2022·浙江大学附属中学高一期末）已知a∈R，函数f(x)=(1)若函数f(x)过点(1,1)，求此时函数f(x)的解析式；(2)设a>0，若对任意t∈[12,1]，函数f(x)在区间[t,t+1]【答案】(1)f(x)=(2)a≥【分析】（1）将点(1,1)代入f(x)=log2(（2）由复合函数的单调性知f(x)=log2(x2+x+a)在区间（1）解：因为函数f(x)过点(1,1)，即f(1)=log解得a=0，故f(x)=log（2）因为f(x)=log2(x2∵t∈[12,1]，∴u(x)=x2故函数f(x)在区间[t,t+1]上单调递增，∴f(x)由题意f(t+1)−f(t)≤1对任意t∈[1即log2(t即t2+3t+2+a≤2t即−t2+t+2≤a设g(t)=−t2+t+2，t∈[因为g(t)=−t2+t+2故g(t)=−t2+t+2故g(t)故a≥912．（2022·河南·新密市第二高级中学高一阶段练习）已知函数f(1)设函数g(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，(2)已知集合A①求集合A；②当x∈A时，函数ℎ(x)=【答案】(1)g(2)①A=[33,27]；②【分析】（1）根据奇函数的性质求解即可；（2）①由题知解3log3x-1②由题知ℎx=log3x【详解】（1）解：根据题意，当x>0时，g当x<0时，-x>0因为函数g(x)所以，g0=0所以，g（2）解：①3log3所以，3log所以，13≤log所以，A②ℎ由①可得t所以，函数ℎ(x)等价转化为m下面分三种情况讨论求解：当a+22≤13，即a≤-43，φ(当a+22≥3，即a≥4时，φ(t)当13<a+22<3，即-4综上：a的值为2-22【考点5：对数函数的应用】【知识点：对数函数的应用】1．（2022·广西北海·一模（理））大西洋鲑鱼每年都要逆流而上，游回到自己出生的淡水流域产卵．记鲑鱼的游速为v（单位：m/s），鲑鱼的耗氧量的单位数为Q，研究发现v=klnQ100k>0．当v=0.5m/sA．12800 B．24800 C．25600 D．51200【答案】D【分析】根据题意得k=16ln【详解】解：因为v=0.5m/s所以0.5=kln800100所以，v=1.5m/s时，1.5=所以Q100=2故选：D．2．（2022·江苏江苏·高三阶段练习）每年3月3日是国际爱耳日，2022年的主题是“关爱听力健康，聆听精彩未来”．声强级是表示声强度相对大小，其值为y（单位dB），定义y=10lgII0，其中I为声场中某点的声强度，其单位为W/m2（瓦/平方米）I0=10−12WA．107 B．108 C．109【答案】B【分析】利用代入法，结合指数式与对数式的互化公式进行求解即可.【详解】设声音是120dB的声强度为I1，则120=10lgI声音是40dB的声强度为I2，则40=10lgI∴I1I2=故选B3．（2022·北京市八一中学高三阶段练习）点声源在空间中传播时，衰减量ΔL与传播距离r（单位：米）的关系式为ΔL=10lgπr24（单位：dBA．14dB B．18dB C．21dB D．28dB【答案】A【分析】根据所给公式及对数的运算求解.【详解】解：因为衰减量ΔL与传播距离r（单位：米）的关系式为Δ所以r从8米变化到40米时，衰减量的增加值约为：10=10≈20×0.7=14dB；故选：A4．（2022·浙江大学附属中学高一期中）声强级Li（单位：dB）为声强I（单位：ωm2）之间的关系是：Li=10lgII0，其中A．闻阈的声强级为0dBB．此歌唱家唱歌时的声强范围[10−5,C．如果声强变为原来的2倍，对应声强级也变为原来的2倍D．声强级增加10dB，则声强变为原来的10倍【答案】C【分析】根据题设可得Li=10lg(1012I)=120+10lgI，令I=10−12ω【详解】由题意10lg1I0=120，则I当I=10−12ωm若Li=70dB，即10lgI=−50，则I=10−5ωm2；若Li=80dB，即10lgI=−40，则将I1,2I将Li,Li+10对应声强作商为10Li+10−120故选：C5．（2022·江苏常州·高一期中）声强级Li（单位：dB）与声强I（单位：ω/m2）之间的关系是：Li=10×lgII0，其中I0A．闻阈的声强为10－12B．声强级增加10dB，则声强变为原来的2倍C．此歌唱家唱歌时的声强范围10−5D．如果声强变为原来的10倍，对应声强级增加10dB【答案】ACD【分析】依题意求出I0，即可判断A；将Li=70、Li=80代入求声强范围判断C；设声强变为原来的k倍，对应声强级增加10dB，依题意得到方程，解得k【详解】解：由题意10lg1I0=120，即lg1I0=12若Li=70dB，即10lgI=−50，则I=10若Li=80dB，即10lgI=−40，则I=10−4ωm设声强变为原来的k倍，对应声强级增加10dB，则120+10lgkI−即如果声强变为原来的10倍，对应声强级增加10dB，故D正确，B错误；故选：ACD6．（2022·上海市进才中学高三阶段练习）学校鼓励学生课余时间积极参加体育锻炼，现需要制定一个课余锻炼考核评分制度，建立一个每天得分y与当天锻炼时间x（单位：分钟）的函数关系，要求如下：（1）函数的图象接近图示；（2）每天运动时间为0分钟时，当天得分为0分；（3）每天运动时间为30分钟时，当天得分为3分；（4）每天最多得分不超过6分.现有以下三个函数模型供选择：①y=kx+