2024-2025学年上海市同济大学附属嘉定实验中学九年级（上）期中数学试卷（含解析）

-2025学年上海市同济大学附属嘉定实验中学九年级（上）期中数学试卷一、选择题（共6题，每题4分，满分24分）.1．（4分）下列线段中，能成比例的是A．、、、 B．、、、 C．、、、 D．、、、2．（4分）在中，，那么下列关系中，正确的是A． B． C． D．3．（4分）已知一个单位向量，设、是非零向量，那么下列等式中正确的是A． B． C． D．4．（4分）已知是线段的黄金分割点，且，那么下列比例式能成立的是A． B． C． D．5．（4分）在△中，点、、分别在边、、上，联结、，如果，，且，那么的值是A． B． C． D．6．（4分）如图，点是内一点，点在线段的延长线上，与交于点，分别联结、、，如果，那么下列结论正确的是A． B． C． D．．二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分，在答题纸相应题号后的空格内直接填写答案）7．（4分）如果，那么的值等于．8．（4分）甲、乙两地的实际距离是35千米，在比例尺为的地图上甲乙两地的距离是厘米．9．（4分）如图，已知，它们依次交直线、于点、、和点、、．如果，，那么线段的长是．10．（4分）已知点、，那么直线与轴夹角的正弦值是．11．（4分）如图，在平行四边形中，对角线和相交于点，若，则可表示为．12．（4分）如图，与交于点，，若点是线段的中点，且．则的长等于．13．（4分）在中，，，点、分别在边、上，且与相似，如果，那么线段的长是．14．（4分）如图，在△中，点、分别在边，上，与相交于点，，如果，那么的值等于．15．（4分）如图，正方形内接于△，，，如果△的面积是30，那么正方形的边长是．16．（4分）如图，两个大小不同的三角板放在同一平面内，直角顶点重合于点，点在上，，与交于点，连接，若，，则．17．（4分）在△中，，，，点、分别是边、的中点，将△绕着点旋转，点、旋转后的对应点分别为点、，当直线经过点时，线段的长为．18．（4分）在一个三角形中，如果有两条中线互相垂直，我们把这样的三角形称为“中垂三角形”．如果△是“中垂三角形”，、、是中线，，，那么的长为．三、解答题（本大题共7题，满分0分，将下列各题的解答过程，做在答题纸的相应位置上）19．计算：．20．如图，与相交于点，，点在的延长线上，连接，若平分，，．（1）求的长；（2）设，，用含、的式子表示．21．如图，在△中，点在边上，点、点在边上，且，．（1）求证：；（2）如果，，，求的值．22．如图，在中，，，的垂直平分线交边于点，交边于点，交的延长线于点．（1）求的长；（2）求的正弦值．23．如图，在中，是边上的高，点在边上，联结交于点，且，是的平分线，交于点，交于点．求证：（1）；（2）．24．在平面直角坐标系中（如图），一次函数图象与反比例函数图象相交于点和，点，是该反比例函数图象上的一个动点，连接，与轴的正半轴交于点．（1）求一次函数解析式及△的面积；（2）当时，求点到轴的距离；（3）当与轴夹角与相等时，求的值．25．如图，是边长为2的等边三角形，点与点分别位于直线的两侧，且，联结、，交直线于点．（1）当时，求线段的长．（2）过点作，垂足为点，直线交于点，①当时，设，（其中表示的面积，表示的面积），求关于的函数关系式，并写出的取值范围；②当时，请直接写出线段的长．

参考答案一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分，每题只有一个正确选项，在答题纸相应题号的选项上用2B铅笔正确填涂）1．（4分）下列线段中，能成比例的是A．、、、 B．、、、 C．、、、 D．、、、解：根据如果其中两条线段的乘积等于另外两条线段的乘积，则四条线段叫成比例线段．所给选项中，只有符合，，故选：．2．（4分）在中，，那么下列关系中，正确的是A． B． C． D．解：，，错误；错误；，错误，，，正确，故选：．3．（4分）已知一个单位向量，设、是非零向量，那么下列等式中正确的是A． B． C． D．解：、与的模相等，方向不一定相同，故本选项不符合题意．、计算正确，故本选项符合题意．、与的模相等，方向不一定相同，故本选项不符合题意．、与的模相等，方向不一定相同，故本选项不符合题意．故选：．4．（4分）已知是线段的黄金分割点，且，那么下列比例式能成立的是A． B． C． D．解：根据黄金分割定义可知：是和的比例中项，即，．故选：．5．（4分）在△中，点、、分别在边、、上，联结、，如果，，且，那么的值是A． B． C． D．解：在△中，点、、分别在边、、上，，，，如图，，，，故选：．6．（4分）如图，点是内一点，点在线段的延长线上，与交于点，分别联结、、，如果，那么下列结论正确的是A． B． C． D．．解：，，，，，，，，．选项的结论正确．，，，显然与不一定相等，与不一定相等，与不一定平行，，不一定正确，与不一定相等，不一定正确．故选：．二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分，在答题纸相应题号后的空格内直接填写答案）7．（4分）如果，那么的值等于3．解：，，故．故答案为：3．8．（4分）甲、乙两地的实际距离是35千米，在比例尺为的地图上甲乙两地的距离是7厘米．解：35千米厘米，在比例尺为的地图上甲乙两地的距离为：（厘米），故答案为：7．9．（4分）如图，已知，它们依次交直线、于点、、和点、、．如果，，那么线段的长是6．解：，，，，解得：，故答案为：610．（4分）已知点、，那么直线与轴夹角的正弦值是．解：，过作轴，交轴于点，则，在△中，，直线与轴夹角的正弦值，故答案为：．11．（4分）如图，在平行四边形中，对角线和相交于点，若，则可表示为．解：四边形是平行四边形，，，，，故答案为；12．（4分）如图，与交于点，，若点是线段的中点，且．则的长等于．解：，，，，，，，，，，，故答案为．13．（4分）在中，，，点、分别在边、上，且与相似，如果，那么线段的长是8或．解：如图，当，，即，解得：，当，，即，解得：，故答案为：8或14．（4分）如图，在△中，点、分别在边，上，与相交于点，，如果，那么的值等于．解：，△与△等高，，在△中，点、分别在边，上，，，，△△，，，，△△，，故答案为：．15．（4分）如图，正方形内接于△，，，如果△的面积是30，那么正方形的边长是．解：正方形内接于△，，如图，过点作于点，交于点，，，，△△，，，△的面积是30，，，，，四边形是矩形，，，解得，故答案为：．16．（4分）如图，两个大小不同的三角板放在同一平面内，直角顶点重合于点，点在上，，与交于点，连接，若，，则．解：如图，过点作于点，过点作于点，，，，在中，，，，，在与中，，，，，，，，，，，，，在中，，在中，，，，在中，，在中，，，，，，方法二：如图，过点作于点，过点作于点，，，，在中，，，，，在与中，，，，，，，，，，，，，在中，，在中，，，，，，，，故答案为：．17．（4分）在△中，，，，点、分别是边、的中点，将△绕着点旋转，点、旋转后的对应点分别为点、，当直线经过点时，线段的长为或．解：如图1，当时，，，，点、分别是边、的中点，将△绕着点旋转，点、旋转后的对应点分别为点、，，，，，，，，，，直线经过点，，，根据题意，得，，，△△，，，解得；如图2，根据题意，得，，，△△，，，解得；故答案为：或．18．（4分）在一个三角形中，如果有两条中线互相垂直，我们把这样的三角形称为“中垂三角形”．如果△是“中垂三角形”，、、是中线，，，那么的长为或．解：△为“中垂三角形”，即于点，又，，，，、分别是中线，连接，是△的中位线，，，，△△，，，，，；如图，当时，同理可得，，，，，；如果△是“中垂三角形”，设三条中线相交于，当时，取中点，连接，过作于，为中点，，为中点，，又，，，，，，，这与垂线段最短相矛盾，不存在；综上，的长为或．故答案为：或．三、解答题（本大题共7题，满分0分，将下列各题的解答过程，做在答题纸的相应位置上）19．计算：．解：原式．20．如图，与相交于点，，点在的延长线上，连接，若平分，，．（1）求的长；（2）设，，用含、的式子表示．解：（1），，，平分，，，，，；（2），，，，．21．如图，在△中，点在边上，点、点在边上，且，．（1）求证：；（2）如果，，，求的值．【解答】（1）证明：在△中，，，，，△△，，；（2）解：，，，，，，，，，，，△△，．22．如图，在中，，，的垂直平分线交边于点，交边于点，交的延长线于点．（1）求的长；（2）求的正弦值．解：（1）过作于，，，，，，，垂直平分，，，，；（2）过作于，，，，，，，，，．23．如图，在中，是边上的高，点在边上，联结交于点，且，是的平分线，交于点，交于点．求证：（1）；（2）．【解答】证明：（1），，是边上的高，，和是直角三角形，，，又，，．，；（2）在和中，，，，，即，在和中，．，是的平分线，，即．24．在平面直角坐标系中（如图），一次函数图象与反比例函数图象相交于点和，点，是该反比例函数图象上的一个动点，连接，与轴的正半轴交于点．（1）求一次函数解析式及△的面积；（2）当时，求点到轴的距离；（3）当与轴夹角与相等时，求的值．解：（1）在平面直角坐标系中，一次函数图象与反比例函数图象相交于点和，设反比例函数的解析式为，将点坐标代入得：，解得，则反比例函数的解析式为．当时，，故点，设一次函数解析式为，将点，点的坐标代入得：，解得，故解析式为；．设直线与轴的交点为，如图1，则，故，．（2）过点作轴于点，过点作轴于点，如图2，则，故△△，，，，，解得，故，，点到轴的距离为；（3）过点作于点，如图3，点和，，，，，点，是该反比例函数图象上的一个动点，，，过点作轴于点，根据题意，得，，整理，得，（舍去），，解得（舍去），．25．如图，是边长为2的等边三角形，点与点分别位于直线的两侧，且，联结、，交直线于点．（1）