函数的应用（一）练习 高一上学期数学人教B版（2019）必修第一册

3.3函数的应用（一）练习高一上学期数学人教B版（2019）必修第一册一、单选题1．假设在某次交通事故中，测得肇事汽车的刹车距离大于，肇事汽车在该路段的限速为．根据经验，在该路段的刹车距离（单位：）与刹车前的速度（单位：）之间的关系为，下面的表格记录了三次实验的数据：（单位：km/h）10…（单位：m）…对于以下两个结论：①若该肇事汽车刹车前的速度为，则的最小正整数的值为；②可以断定，该肇事汽车在刹车前是超速行驶．其中正确的是（

）A．①成立，②成立 B．①成立，②不成立C．①不成立，②成立 D．①不成立，②不成立2．函数的部分图象大致为（

）A． B．C． D．3．放射性核素锶89会按某个衰减率衰减，设初始质量为，质量与时间（单位：天）的函数关系式为（其中为常数），若锶89的半衰期（质量衰减一半所用时间）约为50天，那么质量为的锶89经过30天衰减后质量约变为（

）（参考数据：）A． B． C． D．4．已知函数的图象与直线的公共点不少于两个，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．5．某市环保研究所对市中心每天环境污染情况进行调查研究后发现，一天中环境污染指数与时刻（时）的关系为，其中是与气象有关的参数，且．如果以每天的最大值为当天的环境污染指数，并记为，若规定为环境污染指数不超标，则该市中心的环境污染指数不超标时，的取值范围为（

）A． B． C． D．6．某公司引进新的生产设备投入生产，新设备生产的产品可获得的总利润（单位：百万元）与新设备运行的时间（单位：年，）满足，当新设备生产的产品可获得的年平均利润最大时，新设备运行的时间（

）A． B． C． D．二、多选题7．高斯是德国的天才数学家，享有“数学王子”的美誉．以“高斯”命名的概念、定理、公式很多，如高斯函数y=x，其中不超过实数的最大整数称为的整数部分，记作x．如，，，记函数，则（）A． B．的值域为C．在0,3上有3个零点 D．，方程有两个实根8．已知集合，定义集合A到B的函数除以3的余数，下列说法正确的是（

）A．B．，C．，D．函数的图像与的图像有且仅有一个交点三、填空题9．已知，则.10．已知函数，有两个零点，则实数的取值范围是.11．已知函数，且，若函数有三个不同的零点，则实数的取值范围是．12．函数的零点个数为.四、解答题13．某手作特产店拟举行某产品的促销活动，经调查测算，该产品的年销售量万份与年促销投入费用万元满足（为常数），如果不搞促销活动，则该产品的年销售量只能是2万件.已知店内生产该产品的固定投入（设备等）为8万元，每生产一万件该产品需要再投入4万元，店家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍（每件产品年平均成本按元来计算），按需生产，生产出的产品恰好被全部售出.(1)将该产品的年利润万元表示为年促销费用万元的函数；(2)该店家的促销投入费用为多少万元时，利润最大？最大利润是多少？14．已知函数是定义在R上的奇函数，且当时，．(1)求函数解析式，若函数在区间上单调递增，求实数a的取值范围；(2)求不等式的解集；(3)写出关于x的方程可能的解的个数，并求方程有最多解时m的取值范围．15．弗里热是年巴黎奥运会和残奥会的吉祥物．企业结合市场部的调研报告，决定设计限量款周边并在年月进行销售．经产品评估，生产此限量款周边的固定成本为万元，每生产（单位：千件）限量款周边，需可变成本万元，其中，．市场调研可知，当生产千件限量款周边时，可变成本为10万元．(1)求生产万件限量款周边所需的平均成本；(2)已知每千件周边定价万元，且销路畅通供不应求．当产量为多少千件时，企业所获得的利润最大?最大利润是多少?16．某技术公司计划购买成本为500万元的先进设备，用于生产某大型电子实验机器，需要投入成本（单位：万元）与年产量（单位：台）的函数关系式为.据市场调查，每台大型电子实验机器的平均估价为300万元，且依据目前市场的需求状态所有大型电子实验机器均能售完.(1)求年利润关于年产量的函数关系式；（利润=销售额-投入成本-固定成本）(2)试求出年利润的最大值以及利润最大时的年产量.参考答案：题号12345678答案CBBBBBABDABD1．C【分析】先根据题意建立方程求出函数的解析式，再利用函数的单调性验证临界值，即可分别求解．【详解】由题意可得，则，即，对称轴在轴左侧，知该函数在0,+∞上单调递增，又，，，若该肇事汽车刹车前的速度为，则的最小正整数的值为，①不成立；又的最小正整数的值为，可以断定，该肇事汽车在刹车前是超速行驶，②成立．故选：C．2．B【分析】先判断函数的奇偶性，再根据图像趋势即可判断.【详解】函数定义域为，且，所以图像关于原点对称，排除A、C；当从正向无限趋近于0时，也正向无限趋近于零；所以排除D；故选：B.3．B【分析】根据时，代入函数关系式中，可得的值，进而代入求解即可．【详解】由题意，锶89半衰期（质量衰减一半所用的时间）所用时间为50天，即，则，所以质量为的锶89经过30天衰减后，质量大约为；故选：B．4．B【分析】对分类讨论，结合函数图象，即可求解.【详解】解：，①当时，其图象如图1函数的图象与直线的公共点只有1个，不符合题意．②当时，其图象如如图2函数的图象与直线的公共点不少于两个时，，解得；③当时，其图象如如图3，结合图象，不符合题意．综上所述：实数的取值范围是：．故选：B5．B【分析】换元得到，根据单调性结合端点值得到，求出的取值范围.【详解】，设，当时，，当且仅当，即时，等号成立，故，当时，，所以，其中在上单调递减，在上单调递增，有，，，所以即，当时，，当时，，当时，，所以该市中心的环境污染指数不超标时，的取值范围为．故选：B．6．B【分析】由已知可得，当和时分别求得最大值，即可求解.【详解】由题意，新设备生产的产品可获得的年平均利润，当时，，当且仅当时，等号成立，则，所以当时，取得最大值，且最大值为，当时，，所以函数在上单调递减，所以当时，取得最大值，且最大值为，故当新设备生产的产品可获得的年平均利润最大时，新设备运行的时间.故选：.7．ABD【分析】根据高斯函数的概念，分段可作出函数的图象，数形结合，逐项判断即可.【详解】对于A，，故A正确;对于B，当时，；当时，；当时，，依次类推，可得函数的图象如下:

所以函数的值域为，故B正确;对于C，根据图象，在0,3上，只有，即在0,3上有2个零点，故C错；对D，，函数与的图象有两个交点，如上图:所以，方程有两个实根，故D正确.故选：ABD8．ABD【分析】由函数的新定义可得A正确；设，由函数新定义可得B正确，C错误；令，求解整数解验证可得D正确.【详解】对于A，由题意可得，所以，又故A正确；对于B，，设，则，所以，，所有取值情况如下表：由列表结合定义可知，当时，；当时，；综上所述，，即，故B正确；对于C，命题“，”的否定为“，”.下面证明命题：“，”为真命题.证明：，设，则.则，所以，，所有取值情况如下表：当，，即；当，，即；综上所述，，，得证.即命题“，，”是假命题，故C错误；对于D，设，设，则，设两函数交点为，则或或.①当时，令，则，方程无解，即此时两图象不相交；②当时，令，即解得，或.当时，，而，即此时两函数图象不相交；当时，，且，故是两函数图象的交点；③当时，令，即，此时，解得，方程无自然数解，即此时两函数图象也不相交.综上所述，是两函数图象的唯一交点，故D正确；故选：ABD.【点睛】关键点点睛：余数问题的常用处理方法就是按余数的不同进行分类讨论，当研究两个变量的余数时可利用表格分析求解.9．【分析】根据解析式代入求解.【详解】.故答案为：.10．【分析】分类讨论m的范围，根据对勾函数的性质计算即可.【详解】由题意可知：若，则均在上单调递增，即在上单调递增，不会有两个零点，则不符合题意；若，，仍在上单调递增，不会有两个零点，则不符合题意；故，利用对勾函数的单调性知要符合题意需，而，即，时取得最小值，所以.故答案为：11．【分析】根据给定条件，按与讨论，当时，分段去绝对值符号讨论方程的解的情况作答.【详解】当时，，当时，在上单调递减，函数在上最多一个零点，不符合要求，当时，，由，得最多两个实根，又在上递减，且当时，，因为函数在上有三个不同的零点，因此在上有一个零点，在上有两个零点，当时，由，解得，即，于是，当，由，得，函数在上单调递减，在上单调递增，当时，，要使函数在上有两个零点，必有，此时在上递减，在递增，因此，解得，所以实数a的取值范围是.故答案为：【点睛】思路点睛：涉及分段函数零点个数求参数范围问题，可以按各段零点个数和等于总的零点个数分类分段讨论解决.12．1【分析】判断函数的单调性，分类讨论k的取值范围，结合零点存在定理，即可求得答案.【详解】由题意知在上单调递减，当时，，此时函数有1个零点；当时，，，此时函数在上有唯一零点，当时，，，此时函数在上有唯一零点，综合可得函数的零点个数为1，故答案为：113．(1)(2)促销投入费用为1万元时，店家获得最大利润9万元.【分析】（1）由已知求得，结合每件产品的销售价格，可得出利润；（2）利用基本不等式求解最大利润即可．【详解】（1）由已知得，当时，，则，得，故.

故每件产品的销售价格为，故利润.（2）因为当时，，所以，

当且仅当，即时等号成立.即促销投入费用为1万元时，店家获得最大利润9万元.14．(1)，a的取值范围为；(2)；(3)答案见解析．【分析】（1）利用奇函数性质求解析式，数形结合判断单调性，结合区间单调性求参数范围；（2）由题意有或，即可求解集；（3）问题化为函数与直线的交点的个数，应用分类讨论求不同参数取值情况下对应交点个数，即可得结果.【详解】（1）根据题意，函数是定义在R上的奇函数，则，当时，，则，则，故，其图象大致如图：若在区间上单调递增，必有，得，即a的取值范围为；（2）根据题意，函数是定义在R上的奇函数，则，有或，则或，即不等式的解集为；（3）根据题意，的图象大致如图：方程的解的个数就是函数与直线的交点的个数，当，即时，与直线没有交点，方程无解，当，即时，与直线有3个交点，方程有3个解，当，即或时，与直线有6个交点，方程有6个解，当，即时，与直线有4个交点，方程有4个解，当，即或时，与直线有2个交点，方程有2个解，综上，方程可能的解的个数为0、2、3、4、6个，且当或时，方程有最多解．15．(1)万元(2)答案见解析【分析】（1）结合题意求出即可；（2）由基本不等式求解即可；【详解】（1）由题意可得，，解得，所以当时，平均成本为（元）.（2）设当产量为千件时，企业所获得的利润最大，最大利润为，当且仅当即