专题37 空间点、直线、平面之间的位置关系原卷版-2025版高中数学一轮复习讲义知识梳理、考点突破和分层检测

Page专题37空间点、直线、平面之间的位置关系（新高考专用）目录目录【知识梳理】 2【真题自测】 4【考点突破】 6【考点1】基本事实的应用 6【考点2】空间位置关系的判断 8【考点3】异面直线所成的角 9【分层检测】 11【基础篇】 11【能力篇】 14【培优篇】 15考试要求：1.借助长方体，在直观认识空间点、直线、平面的位置关系的基础上抽象出空间点、直线、平面的位置关系的定义.2.了解四个基本事实和一个定理，并能应用定理解决问题.知识梳理知识梳理1.与平面有关的基本事实及推论(1)与平面有关的三个基本事实基本事实内容图形符号基本事实1过不在一条直线上的三个点，有且只有一个平面A，B，C三点不共线⇒存在唯一的α使A，B，C∈α基本事实2如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内A∈l，B∈l，且A∈α，B∈α⇒l⊂α基本事实3如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线P∈α，且P∈β⇒α∩β＝l，且P∈l(2)基本事实1的三个推论推论内容图形作用推论1经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面确定平面的依据推论2经过两条相交直线，有且只有一个平面推论3经过两条平行直线，有且只有一个平面2.空间点、直线、平面之间的位置关系直线与直线直线与平面平面与平面平行关系图形语言符号语言a∥ba∥αα∥β相交关系图形语言符号语言a∩b＝Aa∩α＝Aα∩β＝l独有关系图形语言符号语言a，b是异面直线a⊂α3.基本事实4和等角定理平行公理：平行于同一条直线的两条直线互相平行.等角定理：如果空间中两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补.4.异面直线所成的角(1)定义：已知a，b是两条异面直线，经过空间任意一点O作直线a′∥a，b′∥b，把a′与b′所成的角叫做异面直线a与b所成的角(或夹角).(2)范围：eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2))).1.证明点共线与线共点都需用到基本事实3.2.两异面直线所成的角归结到一个三角形的内角时，容易忽视这个三角形的内角可能等于两异面直线所成的角，也可能等于其补角.真题自测真题自测一、单选题1．（2024·全国·高考真题）设为两个平面，为两条直线，且.下述四个命题：①若，则或

②若，则或③若且，则

④若与,所成的角相等，则其中所有真命题的编号是（

）A．①③ B．②④ C．①②③ D．①③④2．（2024·天津·高考真题）若为两条不同的直线，为一个平面，则下列结论中正确的是（

）A．若，，则 B．若，则C．若，则 D．若，则与相交3．（2022·浙江·高考真题）如图，已知正三棱柱，E，F分别是棱上的点．记与所成的角为，与平面所成的角为，二面角的平面角为，则（

）A． B． C． D．4．（2021·全国·高考真题）在正方体中，P为的中点，则直线与所成的角为（

）A． B． C． D．二、多选题5．（2022·全国·高考真题）已知正方体，则（

）A．直线与所成的角为 B．直线与所成的角为C．直线与平面所成的角为 D．直线与平面ABCD所成的角为6．（2021·全国·高考真题）如图，在正方体中，O为底面的中心，P为所在棱的中点，M，N为正方体的顶点．则满足的是（

）A． B．C． D．三、解答题7．（2021·北京·高考真题）如图：在正方体中，为中点，与平面交于点．（1）求证：为的中点；（2）点是棱上一点，且二面角的余弦值为，求的值．8．（2021·浙江·高考真题）如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，，M，N分别为的中点，.（1）证明：；（2）求直线与平面所成角的正弦值.考点突破考点突破【考点1】基本事实的应用一、单选题1．（2002·全国·高考真题）已知，为异面直线，平面，平面，，则（

）A．与，都相交 B．与，中至少一条相交C．与，都不相交 D．至多与，中的一条相交2．（2024·四川绵阳·模拟预测）如图所示，在正方体中，M是棱上一点，平面与棱交于点N.给出下面几个结论，其中所有正确的结论是（

）①四边形是平行四边形；②四边形可能是正方形；③存在平面与直线垂直；④任意平面都与平面垂直.

A．①② B．③④ C．①④ D．①②④二、多选题3．（2023·河北·模拟预测）如图，已知正方体的棱长为1，O为底面ABCD的中心，交平面于点E，点F为棱CD的中点，则（

）A．三点共线 B．异面直线BD与所成的角为C．点到平面的距离为 D．过点的平面截该正方体所得截面的面积为4．（2022·全国·模拟预测）如图，在正方体中，，分别为，的中点，则（

）A．，，三条直线不可能交于一点，平面平面B．，，三条直线一定交于一点，平面平面C．直线与直线异面，平面平面D．直线与直线相交，平面平面三、填空题5．（2024·山东济南·三模）在正四棱柱中，，，M，N分别是，的中点，则平面截该四棱柱所得截面的周长为．6．（2021·全国·模拟预测）如图，在直三棱柱中，，D，E分别为，分如中点，则过点A，D，E的截面与三棱柱的侧面的交线的长为．反思提升：共面、共线、共点问题的证明(1)证明共面的方法：先确定一个平面，然后再证其余的线(或点)在这个平面内.(2)证明共线的方法：先由两点确定一条直线，再证其他各点都在这条直线上.(3)证明线共点问题的常用方法是：先证其中两条直线交于一点，再证其他直线经过该点.【考点2】空间位置关系的判断一、单选题1．（2023·浙江嘉兴·二模）已知正方体的棱长为为空间内一点且满足平面，过作与平行的平面，与交于点，则（

）A．1 B． C． D．2．（2021·全国·模拟预测）已知，，是三条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列结论一定正确的是（

）A．若，，，，则B．若，，则C．若，，，则D．若，，，则二、多选题3．（2024·浙江·三模）已知平面，，直线，若，，与所成的角为，则下列结论中正确的有（

）A．内垂直a的直线必垂直于B．内的任意直线必垂直于内的无数条直线C．b与所成的角为D．b与内的任意一条直线所成的角大于等于4．（23-24高二上·湖北恩施·期中）在棱长为2的正方体中，，分别为，的中点，则（）A．异面直线与所成角的余弦值为B．点为正方形内一点，当平面时，的最大值为C．过点，，的平面截正方体所得的截面周长为D．当三棱锥的所有顶点都在球的表面上时，球的表面积为三、填空题5．（2023·全国·模拟预测）已知是两个不同的平面，是平面外两条不同的直线，给出四个条件：①；②；③；④，以下四个推理与证明中，其中正确的是.（填写正确推理与证明的序号）（1）已知②③④，则①成立（2）已知①③④，则②成立（3）已知①②④，则③成立（4）已知①②③，则④成立6．（2022·北京平谷·模拟预测）设棱长为2的正方体，是中点，点、分别是棱、上的动点，给出以下四个结论：①存在；②存在平面；③存在无数个等腰三角形；④三棱锥的体积的取值范围是.则所有结论正确的序号是.反思提升：空间中两直线位置关系的判定，主要是异面，平行和垂直的判定.异面直线的判定可采用直接法或反证法；平行直线的判定可利用三角形(梯形)中位线的性质、基本事实4及线面平行与面面平行的性质定理；垂直关系的判定往往利用线面垂直或面面垂直的性质来解决.【考点3】异面直线所成的角一、单选题1．（2024·江西南昌·二模）在三棱锥中，平面，，，，分别为，的中点，则下列结论正确的是（

）A．，是异面直线， B．，是相交直线，C．，是异面直线，与不垂直 D．，是相交直线，与不垂直2．（2024·陕西西安·模拟预测）如图，这是一个正方体的平面展开图，在该正方体中，下列命题正确的是（

）

A． B． C． D．二、多选题3．（2024·全国·模拟预测）如图，已知正三棱锥和正三棱锥的侧棱长均为．若将正三棱锥绕旋转，使得点分别旋转至点处，且四点共面，点分别位于两侧，则下列说法中正确的是（

）

A．多面体存在外接球 B．C．平面 D．点运动所形成的最短轨迹长大于4．（2024·江西宜春·模拟预测）如图，在棱长为的正方体中，点在线段上运动，则（）A．平面平面B．三棱锥的体积为定值C．异面直线与所成角的取值范围是D．当为的中点时，三棱锥的外接球的表面积为三、填空题5．（2024·上海崇明·二模）已知底面半径为1的圆柱，是其上底面圆心，、是下底面圆周上两个不同的点，是母线．若直线与所成角的大小为，则．6．（2022·重庆沙坪坝·模拟预测）如图，已知，是相互垂直的两条异面直线，直线与，均相互垂直，且，动点，分别位于直线，上，若直线与所成的角，三棱锥的体积的最大值为.反思提升：1.综合法求异面直线所成角的步骤：(1)作：通过作平行线得到相交直线.(2)证：证明所作角为异面直线所成的角(或其补角).(3)求：解三角形，求出所作的角，如果求出的角是锐角或直角，则它就是要求的角；如果求出的角是钝角，则它的补角才是要求的角.2.向量法：利用向量的数量积求所成角的余弦值.分层分层检测【基础篇】一、单选题1．（2024·安徽芜湖·三模）下列说法正确的是（

）A．正方体各面所在平面将空间分成27个部分B．过平面外一点，有且仅有一条直线与这个平面平行C．若空间中四条不同的直线满足，则D．若为异面直线，平面平面，且与相交，若直线满足，则必平行于和的交线2．（2024·上海·三模）如图，点N为正方形ABCD的中心，为正三角形，平面ECD⊥平面ABCD，M是线段EB的中点，则（

）A．DM≠EN，且直线DM、EN是异面直线B．DM＝EN，且直线DM、EN是异面直线C．DM≠EN，且直线DM、EN是相交直线D．DM＝EN，且直线DM、EN是相交直线3．（2020·四川眉山·二模）给出以下四个命题：①依次首尾相接的四条线段必共面；②过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面；③空间中如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角必相等；④垂直于同一直线的两条直线必平行.其中正确命题的个数是（

）A．0 B．1 C．2 D．34．（2024·山东日照·一模）已知l，m是两条不同的直线，为平面，，下列说法中正确的是（

）A．若l与不平行，则l与m一定是异面直线B．若，则l与m可能垂直C．若，且，则l与m可能平行D．若，且l与不垂直，则l与m一定不垂直二、多选题5．（2024·云南昆明·模拟预测）如图是一个正方体的平面展开图，则在该正方体中（

）A． B．C．与成60°角 D．与是异面直线6．（2024·山西运城·一模）设a、b是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列命题正确的有（

）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则7．（2024·广东深圳·二模）已知m，n是异面直线，，，那么（

）A．当，或时，B．当，且时，C．当时，，或D．当，不平行时，m与不平行，且n与不平行三、填空题8．（20-21高二上·山西太原·阶段练习）下列命题中正确的命题为.①若在平面外，它的三条边所在的直线分别交于，则三点共线；②若三条直线互相平行且分别交直线于三点，则这四条直线共面；③若直线异面，异面，则异面；④若，则.9．（2024·江苏南通·二模）已知二面角为直二面角，，，，，则与，所成的角分别为，，与所成的角为.10．（2005·山东·高考真题）已知m、n是不同的直线，是不重合的平面，给出下列命题：①若，则；②若，则；③若，则；④m，n是两条异面直线，若，则．上面的命题中，真命题的序号是．（写出所有真命题的序号）四、解答题11．（2022·陕西西安·模拟预测）如图，在正四面体A-BCD中，点E，F分别是AB，BC的中点，点G，H分别在CD，AD上，且，．(1)求证：直线EH，FG必相交于一点，且这个交点在直线BD上；(2)若，求点B到平面EFGH的距离．12．（2023·广东汕头·二模）如图，正方体中，直线平面，，.(1)设，，试在所给图中作出直线，使得，并说明理由；(2)设点A与（1）中所作直线确定平面.①求平面与平面ABCD的夹角的余弦值；②请在备用图中作出平面截正方体所得的截面，并写出作法.【能力篇】一、单选题1．（2023·天津和平·三模）已知正方体的棱长为6，点，分别在棱，上，且满足，点为底面的中心，过点，，作平面，则平面截正方体所得的截面面积为（

）A． B． C． D．二、多选题2．（2024·全国·模拟预测）已知是两条不同的直线，是两个不同的平面，则（

）A．若，则 B．若，则与为异面直线C．若，则 D．若，则三、填空题3．（2006·四川·高考真题），是空间两条不同的直线，，是空间两个不同平面，下面有四个命题：①，，；②，，③，