新高考数学三轮冲刺天津卷押题练习第17题（原卷版）

空间向量与立体几何考点2年考题考情分析空间向量与立体几何2023年天津卷第17题2022年天津卷第17题最近两年对于立体几何与空间向量的考察比较简单，主要包括线面平行的判定，直线与平面的夹角，平面与平面的夹角，以及23年首次考察了点到平面的距离公式。预测24年高考不会有大的变化，仍然考察线面平行判定，以及空间中夹角和距离的运算。整体难度较低。题型一立体几何与空间向量17．（15分）（2023•天津）在三棱台SKIPIF1<0中，若SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0中点．（Ⅰ）求证：SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；（Ⅱ）求平面SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0所成角的余弦值；（Ⅲ）求点SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距离．17．（15分）（2022•天津）直三棱柱SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为SKIPIF1<0中点，SKIPIF1<0为SKIPIF1<0中点，SKIPIF1<0为SKIPIF1<0中点．（1）求证：SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；（2）求直线SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0的正弦值；（3）求平面SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0夹角的余弦值．1．异面直线所成的角若异面直线l1，l2所成的角为θ，其方向向量分别是u，v，则cosθ＝|cos〈u，v〉|＝eq\f(|u·v|,|u||v|).2．直线与平面所成的角如图，直线AB与平面α相交于点B，设直线AB与平面α所成的角为θ，直线AB的方向向量为u，平面α的法向量为n，则sinθ＝|cos〈u，n〉|＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(u·n,|u||n|)))＝eq\f(|u·n|,|u||n|).3．平面与平面的夹角如图，平面α与平面β相交，形成四个二面角，我们把这四个二面角中不大于90°的二面角称为平面α与平面β的夹角．若平面α，β的法向量分别是n1和n2，则平面α与平面β的夹角即为向量n1和n2的夹角或其补角．设平面α与平面β的夹角为θ，则cosθ＝|cos〈n1，n2〉|＝eq\f(|n1·n2|,|n1||n2|).常用结论1．线面角θ的正弦值等于直线的方向向量a与平面的法向量n所成角的余弦值的绝对值，即sinθ＝|cos〈a，n〉|，不要误记为cosθ＝|cos〈a，n〉|.2．二面角的范围是[0，π]，两个平面夹角的范围是eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2))).4．点到直线的距离如图，已知直线l的单位方向向量为u，A是直线l上的定点，P是直线l外一点，设eq\o(AP,\s\up6(→))＝a，则向量eq\o(AP,\s\up6(→))在直线l上的投影向量eq\o(AQ,\s\up6(→))＝(a·u)u，在Rt△APQ中，由勾股定理，得PQ＝eq\r(|\o(AP,\s\up6(→))|2－|\o(AQ,\s\up6(→))|2)＝eq\r(a2－a·u2).5．点到平面的距离如图，已知平面α的法向量为n，A是平面α内的定点，P是平面α外一点．过点P作平面α的垂线l，交平面α于点Q，则n是直线l的方向向量，且点P到平面α的距离就是eq\o(AP,\s\up6(→))在直线l上的投影向量eq\o(QP,\s\up6(→))的长度，因此PQ＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\o(AP,\s\up6(→))·\f(n,|n|)))＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(\o(AP,\s\up6(→))·n,|n|)))＝eq\f(|\o(AP,\s\up6(→))·n|,|n|).1．如图，三棱台中，，，，侧棱平面，点是的中点．（1）求证：平面；（2）求点到平面的距离；（3）求平面和平面夹角的余弦值．2．如图所示，在三棱柱中，平面，，，是棱的中点，为棱中点．是的延长线与的延长线的交点．（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值；（Ⅲ）求平面与平面夹角的余弦值．3．如图，在四棱锥中，平面，，点是棱上靠近端的三等分点，点是棱上一点．（Ⅰ）证明：平面；（Ⅱ）求点到平面的距离；（Ⅲ）求平面与平面夹角的余弦值．4．如图，四棱锥的底面是正方形，平面，，点，分别是棱，的中点，点是线段上一点．（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）求平面与平面的夹角的余弦值；（Ⅲ）若直线与平面所成的角的正弦值为，求此时的长度．5．在四棱台中，底面是正方形，且侧棱垂直于底面，，，分别是与的中点．（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）求平面与平面所成角（锐角）的大小；（Ⅲ）求点到平面的距离．6．如图，多面体是由一个正四棱锥与一个三棱锥拼接而成，正四棱锥的所有棱长均为．（1）在棱上找一点，使得面面，并给出证明；（2）当时，求点到面的距离；（3）若，求直线与面所成角的正弦值．7．如图，正方形与梯形所在平面互相垂直，已知，，，．点为线段的中点．（1）求证：平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值；（3）求平面与平面夹角的余弦值．8．如图，在直三棱柱中，，，，分别为，的中点．（1）求异面直线与所成角的余弦值；（2）求点到平面的距离；（3）求平面与平面夹角的余弦值．9．如图，且，，且，且，平面，．（Ⅰ）若为的中点，为的中点，求证：平面；（Ⅱ）求平面与平面的夹角的正弦值；（Ⅲ）若点在线段上，且直线与平面所成的角为，求线段的长．10．如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面，，，点在线段上，且．（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值；（Ⅲ）求平面与平面的夹角的余弦值．11．如图，平面，，，，，，．（1）求证：平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值；（3）求平面与平面夹角的余弦值．12．如图所示，四棱锥中，底面，，为的中点，底面四边形满足，，．（Ⅰ）证明：平面；（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值；（Ⅲ）求平面与平面夹角的余弦值．13．如图，四棱锥中，侧面为等边三角形，线段的中点为且底面，，，是的中点．（1）证明：平面；（2）点在棱上，且直线与底面所成角为，求平面与平面夹角的余弦值；（3）在（2）的条件下，求点到平面的距离