2024年高考数学复习：13 三角函数与解三角形大题归类（解析版）

13三角函数与解三角形大题归类

目录

一、热点题型归纳................................................................................1

【题型一】Asin(口x+°)图像与性质1:给图求解析式和值域(最值)...........................1

【题型二】Asin(GX+夕)图像与性质2:二倍角降某公式恒等变形...............................5

【题型三】Asin(ox+e)图像与性质3：恒等变形(“打散”、重组、辅助角)....................7

【题型四】Asin(0x+°)图像与性质4：零点求参.............................................10

【题型五】解三角形基础1：正弦定理、角与对边..............................................13

【题型六】解三角形基础2：余弦定理变形....................................................14

【题型七】解三角形1：面积最值............................................................17

【题型八】解三角形2：周长最值............................................................19

【题型九】解三角形3：边长最值............................................................22

【题型十】解三角形4：不对称最值..........................................................23

【题型十一】解三角形5：中线型............................................................26

【题型十二】解三角形6：角平分线..........................................................28

【题型十三】三角形存在个数33

【题型十四】四边形转化为三角形............................................................35

【题型十五】解三角形：四边形求最值........................................................38

【题型十六】三角形中证明题................................................................43

【题型十七】解三角形综合..................................................................47

【题型十八】建模应用......................................................................50

二、最新模考题组练.............................................................................54

【题型一】Asin(ox+°)图像与性质1:给图求解析式和值域(最值)

【典例分析】

1.已知函数/(x)=Asin(s+Q)|A>()⑷的部分图象如图所示.

(2)

⑴求“力;

(2)洛函数y=/(x)图象向左平移5个单位，得到函数)，=g(x)的图象，求g(x)在。彳上的最小值.

14D

【答案】⑴〃x)=2sin(2x+?J,(2)[-1,2]

【分析】(I)由图象可得A、7，则可得出，再将点

的解析式：(2)先利用三角函数图象变换规律求出g(x),再由上的范围得cos2T的范围，可得答案.

(1)由最大值可确定4=2,因为5=一立=5，所以0=1=2,

此时〃x)=2sin(2x+e),代入最高点降,2,可得：sin性+0=1,

IIZ/I。7

从而g+*=W+2版■(丘Z),结合|同＜£,于是当k=0时，T，所以/(x)=2sin2x+g|.

6223\5)

⑵由题意，仆)=.小+总=2sin2卜+司+?=2sin2x+—=2cos2x,

I2)

当rw，),?]时，2xc[(),券],则有cos2xw

所以g(x)在区间0,外上的值域为[T2].

【提分秘籍】

基本规律

1.注意正余弦“第一零点”和“第二零点”的区别和联系。

2.对称轴在最大值最小值处的区别和联系

【变式演练】

1.已知函数/(x)=Asin(公Y+OXAAO.OAOJ同VIO的部分图象如图.

⑴求函数/(力的解析式；

(2)将函数/("的图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，再将所得图象向左平移2个单位，

得到函数g(x)的图象，当xe-，，万时，求g(x)值域.

/\

【答案】(I)/(x)=2sin2x-^:(2)[-V3,2].

【分析】(1)根据图象由函数最值求得A,由函数周期求得由特殊点求得。，即可求得解析式；

(2)根据三角函数图象的变换求得g(“的解析式，再利用整体法求函数值域即可.

⑴由图象可知，〃x)的最大值为2,最小值为-2,又4〉0,故A=2,周期丁二：*W)]W备=环

6y>0,则0=2,从而f(x)=2sin(2x+e),代入点(相,2),得sin51+0]=1,则苧+8=1+2&4，kwZ、

~6J62

即夕=—5+2火;r,keZ,又则e=—?./J(x)=2sin(2x—?).

(2)珞函数/(x)的图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，故可得)，=25而1-?

再将所得图象向左平移弓个单位，得到函数目⑴的图象。故可得g*)=2sin(x-令；

'：XG\~,TT\,sinfx-^le-£,1.2sinjx-g]e-石,2"|,g(x)的值域为[一百,2]

663667[2J」

2.已知函数/")=不皿5+8)+《人＞0,。＞0,|初＜?的部分图象如图所示.

(1)求M的解析式及对称中心坐标：

⑵先把/⑴的图象向左平移2个心位，再向上平移1个单位，得到函数g(x)的图象，若当xw-pj时,

求武力的值域.

【答案】⑴/。)=2sin(2x+?)-l,(与q,-l)(&eZ)。⑵[0,2]

【分析】(I)先根据图象得到函数的最大值和最小值，由此列方程组求得A8的值，根据周期求得口的值,

根据/(专)=1求得9的值，由此求得/")的解析式，进而求出“X)的对称中心；

(2)根据三角变换法则求得函数g(x)的解析式，再换元即可求H；g(x)的值域.

⑴由图象可知：竹丁。，解得：A=2,8=T,又由于上gq,可得：7=1,所以0=*2

1—A+〃=T21212/

由图像知/(力=1,$桁(2*《+8)=1,又因为-《＜弓+8＜”

1212363

所以2x^+°=g"=9.所以/Cr)=2sin(2x+g)-l

INN，J?

令2x+g=版■*"),得：1="-f"£Z)所以/*)的对称中心的坐标为佟-g-1(kwZ)

326k26)

⑵依题可得g(x)=fx+/]+l=2sin2x+一,因为xe~~7,~7»

II3；L46」

令2x+?=Td，所以sin问0,1],即g(x)的值域为[0,2].

Ju

3.已知函数/(力=人411(3+协(/1>0,0：>0,04夕<乃)的图象如图所示.

⑴求函数/("的解析式；

(2)首先将函数f(.r)的图象上每一点横坐标缩短为原来的然后将所得函数图象向右平移？个单位，最后

再向上平移1个单位得到函数g(x)的图象，求函数g(x)在0,1内的值域.

【答案】(D/(x)=2sin(2x+1}⑵[T3]

【分析】(1)依题意可得A=2,詈一。=1丁，即可求出外，再根据函数过点(詈，2),即可求出9.从

而求出函数解析式；

(2)首先根据三角函数的变换规则得到g(x)的解析式，再由x的取值范围求出的取值范围，最后根

据正弦函数的性质计算可得；

13%713—32%.八,A13〃7t_,

(1)解：由图象得A=2,--—~~---，所以①=2,由2X-^+9=G+2%〃，所以

123446y122

(p=一5~+2k冗(kGZ),

二./(x)=2sin(2x+?)

0<(p<7r,:.(/)=—,

(2)解：将函数小)的图象上每一点横坐标缩短为原来的?得到y=2si«4呜}再将)，=2sin(4呜;

向右平移9个单位得至lj)，=2sin(4|\-g1+91=2sin(4x-£〕，最后再向上平移1个单位得到

),=2sin(4x一看+1,即g(x)=2sin卜x一7)+1

⑶当xw0,g时，所以4》一看《~~7'~7~，所以sin[-1,1],g(x)e[-l,3]

_，」O|_OOJo)

【题型二】Asin(ox+0)图像与性质2:二倍角降幕公式恒等变形

【典例分析】

/\

已知函数f(x)=2sin华cos竽+石l-2sin2^(0>0)的最小正周期是兀.

LL\乙)

⑴求出值；

(2)求/(x)的对称中心和单调递增区间；

(3)珞/(幻的图象向右平移?个单位后，再将所得图象所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变,

TTSTT

得到函数产g(x)的图象，求若=|g(X)-〃?l<2恒成立，求机的取值范围.

【答案】⑴2⑵对称中心为单调递增区间为：弋+k4三+k冗供eZ)(3)gx2

\o27L1212

【分析】(1)先将解析式进行化简，根据最小正周期可求得“；

(2)根据解析式可求得对称中心和单调区间;

(3)先求出g(x)解析式，再求出在给定区间的取值范围，可得机的范围.

-2csi•n169X+—汽

(1)/(-^)=2sin—cos—+V3[-2sin—=sincox+\J3coscoxI3

[I”且I十m«nni/2乃2乃

因为取小正周期为兀，故0=工=—=2,

Tn

(2)由(1)知:/W=2sin|2x+^1令2xJ=k兀,解得：x=--+—,(A:eZ),

I"362

所以对称中心为f—£+竺令-2+2版+巳+2攵乃，

k62J232

解得：-F+E—W二+&7t(&wZ),所以单调递增区间为：-铝+及见二+氏(左wZ).

(3)将/(x)的图象向右平移!•个单位后，再将所得图象所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变,

得到g(x)=2sin1高，

当时，OWx-gwg,所以0$g(x)W2,若|g(x)-〃力<2恒成立,

3632

<0

则m・2<g(x)<m+2,所以〈，解得：0</??<2.

m+2>2

【提分秘籍】

基本规律

1.对于文科学生而言，所谓“见平方就降嘉”。要注意最终目标是角度一致

2.二倍角、降零目的都是“化一”，最终是辅助角

【变式演练】

1.已知函数/(力=1+2出吟(3：-$访6,在/BC中，角A、B、C所对的边分别为。、b、C,

(1)求函数/(C)的最大值，并求出此时C的值；

⑵若=Rb2=ac,求cosB的值.

【答案】(1)/(。)的最大值为0,此时C=弓；(2)cos8=^l.

【分析】(1)利用三角恒等变换亿简得出/W=&sin(F+?],由角C的取值范围以及正弦函数的有界

性可求得/(c)的最大值及其对应的c的值；

(2)由已知条件结合角C的取值范围可求得。=措，利用正弦定理可得出关于cos3的等式，结合角3为锐

角可求得cos8的值.

\CX.X、c.%X,..7X.2x2xrr.(2x

(1)解：j(x)=1+2sin—cos—sin—=2sin—cos—+1-2sin"—=sin—+cos—=x/2sin—+—,

J'，3133)33333lk34)

vo<c<^,则当£+于二£时，即当。=与时，/(C)取得最大值&.

44312432o

⑵解：心-。=后唱.)[=限«与+讣&所以，sin(争讣I,

八「7i2C7i5TTI2c兀元_，.^八冗

,.-0<C<^»则milTV^T+TV-T：则-T+T=7，可得。=彳，

6366J622

因为从=公，则$"3=§由4=5抽6—8)二际4,HP1-COS2B=COSB，所以，COS2^+COSB-1=0,

因为3为锐角，则OccosBcl,解得8sB=避二1.

2

2.已知/(x)=2cos'3H■Zx/5sin函COS0X,其中0V/V4,且函数/(工)的图象关于直线1=已对称.

⑴求/(力的最小正周期；

(2)在AABC中，角4,B,C所对的边分别为a,b,c,若/(C)=2,c=26，求△ABC面积的最大值.

【答案】(1)乃；(2)36.

【分析】

(1)利用三角恒等变换化简/(£|,根据题意求得⑷，再求其最小正周期即可；

(2)根据(1)中所求，结合题意求得C,再利用余弦定理和基本不等式，即可求得结果.

⑴因为/(x)Feos?3H~2\/5sinmcos(ox=cos2a)x+1+石sin2cox=2sin(2s+看+1,

乂函数/(x)的图象关于直线x=J对称，则23xg+£=A4+1,即0=3A+lMeZ,

6662

又0V/V4,故可得0=1,则/(x)=2sinbx+/1+l,则〃x)的最小正周期7=4=乃.

(2)因为〃C)=2sin(2C+£|+l=2,故可得sin(2C+?)[,

则2C+g=2版■+£或2Qr+2,AeZ,解得C二br或版'+^,262,又Ce(0,;r),故0=£.

66633

又C=2G，由余弦定理则L"~+”112,则/+/="+]222"，解得HW12,

2lab

当且仅当〃=b=26时取得等号;则S板=ysinC=冬山<36.

故ZMAC面积的最大值为3名.

【题型三】Asin(s+0)图像与性质3:恒等变形(“打散”■重组・辅助角)

【典例分析】

式

已知函数/(%)=2sin——x-cos—F2x

4(3

(1)求函数〃幻的最小正周期;

⑵在锐角dBC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若*)=1，且c?=他，试判断,极的形

状.

【答案】(1)江.(2),ABC是正三角形.

【分析】(1)运用三角恒等变换公式化简函数/(x),利用正弦函数的周期公式可求得答案;

(2)由(1)求得C=(,再运用余弦定理求得。二人由此可判断,/BC的形状.

⑴解：函数/(%)=2sin(?-x卜os乃x-cosl—n+2.vI=sinI-n-2x-cos—cos2x-sin-sin2.r

73233

16

=CDS2x——cos2x+——sin2x

22

=^sin2x+1cos2x=sin(2x+4,

乃:.T=生=兀.

・•・函数的最小正周期为期.

22I6r2

(2)解:/信兀2222

=sinC+-=1,,,0<C<，所以解得C=?.又•.C?=ab=a+b-labcosC=a+b—ab,

X乙l6J2

即〃=人.・.,他。是正三角形.

【提分秘籍】

基本规律

1.“打散”：角度不一致，可以拆开

2.“重组，系数次幕一致，合并为正弦余弦，便于使用辅助角“化一”

【变式演练】

1.己知函数/(x)=2sin与cos(华-g)+〃［3>0).在下列条件①、条件②、条件③这三个条件中，选择可

4JJ

以确定①和，〃值的两个条件作为已知.(1)求/(£)的值；

4

⑵若函数/(x)在区间［0，。］上是增函数，求实数〃的最大值.

条件①：/(、)的最小正周期为万；

条件②：/(、)的最大值与最小值之和为0;

条件③："0)=2.

【答案】(1)见解析(2)工

【分析】⑴先对函数化简得/a)=sin"-?)+孚+/〃，若选择①和②，则品〃，

1+亭+机一1+#+加=0,求出口,"2的值，从而可得的解析式，从而可求出/(?),若选择①和③，则

至二m/(0)=疝1-勺+走+〃?=2,求出加的值，从而可得/⑶的解析式，从而可求出/(£),若选择

coV3J24

②和③时，，〃不存在，

(2)由(1)得到的解析式，求出函数的增区间，再根据题意可求出。的最大值

(l)/(x)=2sin—cos(--y)+m(co>0)=2sin—|^cos—cosy+sm—sin+m

c.(07T1con.CO07TT.871(O7t石.2M.1./T1-COS69^

=2sin—+与sin—+〃？=sin——cos——+V3sin——+m=—sincox+yj3---------\-m

222222222

.())G

=sin(i)x---+-----\-m

I3j2

(l)若选择①和②，则竺=万，1+且+〃L1+走+〃?=()，解得0=2,〃?=—无，所以/(x)=sinb.i-J

3222k3J

LLtI£/冗、.冗冗I.4I

所以/(R=sin---=sin-=-,

若选择①和③，则二二乃,/(0)=sin(-工］+走+〃?=2,解得3=2,6=2,所以/(x)=sin2x--^+―+2,

(0\3)2I3J2

.7t..(7t乃，V3c5+V3

所rci以t|fr(：)=sin7一彳+—+2=——,

43J22

若选择②和③，则

、+立+m=2,这样的，〃不存在,

1++m-1++m=0,且/'(O)=sin-y

)2

⑵rh(I)可知，若选择①和②，/*)=sin,由——+IkTt<2x——<—+2k^,kGZ»

【232

得

Jl5万兀,所以f(x)的增区间为-气+冗噂+

—+k7t<x<+kkjZ,kk](keZ),

1212

因为函数/(X)在区间[0,0上是增函数，所以实数。的最大值为法，

若选择①和③，则/(x)=sin(2x-()+等+2,

TTTTTTTT)7T

由——+2々乃W2x----<—+2k7r,kEZ,得-----+k^<x<——+k7r、kwZ,

2321212

jrSjr

所以/(X)的增区间为一五+"乃不+"乃代CZ),因为函数/*)在区间付㈤上是增函数，

所以实数。的最大值为三,

2.已知函数/(x)=sin(2x+4)+cos(2x+2)+2sinxcosx

36

⑴求函数"X)的最小正周期，及对称轴方程.

(2)先将函数'=/")的图象向右平移展个单位长度，再将所得图象上各点的横坐标伸长为原来的4倍，纵

坐标不变，得到函数y=g(x)的图象，求y=g(x)在[*2扪上的值域.

【答案】⑴最小正周期为兀，对称轴为+丘Z(2)卜1,2]

【分析】(1)化简/("解析式，由此求得〃x)的最小正周期，利用整体代入法求得的对称轴.

(2)先利用三角恒等变换求得g(x)的解析式，再根据三角函数值域的求法求得g(x)在区间号,2兀]上的值

域.

(l)/(x)=sin2%+2+cosf2x++2sinxcosx=_sin2x+-^cos2x+-^cos2x--sin2x+sin2x

II2222

=§m2犬+石<：0$2"=2411卜1+^)所以函数/")的最小正周期7=母=兀.

J/

^-2x+—=kit+—得对称轴方程为工二不+彳,攵eZ.

⑵/•(x)=2sin(2x+])向右平移2个单位得至ljy=2sin

再将所得图象上各点的横坐标伸长为原来的4倍，纵坐标不变，得至lJg(x)=2sin(!X+3

\26

兀,-兀X,冗,X兀，7兀

—<x<2几,—<—<7t,-<—+—<一,所以sin

3623266

3.己知JeR,设函数/(x)=cos2.r-sin(x+e)cos(x+e).

(1)若7U)是偶函数，求。的取值集合;

⑵若方程/'(X)+/(T)=/'(())有实数解，求sinO+cos。的取值范围.

【答案](1){06=券_?乂£2卜

【分析】(1)用二倍角的正弦公式变形函数式，再利用偶函数的定义结合和差角的正弦化简即可求解作答.

⑵巾⑴及已知，利用三角恒等变换公式化简变形，求出sin26的范围，再把sin，+8s。用sin2J表示例求解

作答.

(1)因函数/(工)=8§。一/皿2工+20是偶函数，即WxeR,/(，0=/(-幻成立,

则cos2x-[sin(-2x+2e)=cos2x」sin(2x+2e),化简整理得：sin2xcos26>=0,

22

而Sin2x不恒为0,于是得8s2。=0,解得20=M•—,即0二竺一2MEZ,

224

所以6的取值集合{4。二曰-7,AwZ}

(2)由⑴及已知得:cos-x——sin(2r+2^)+cos-x——sin(-2x+28i=1——sin2。，

222

即2cos2x-cos2xsin26>=l--sin26>,化简整理得：2(sin20—l)cos2x=sin20,

2

sin22

显然sin20H1,贝Ijcos2x=

2(sin2(9-1)

依题意，原方程有实数解等价于T工力,解得-14sin28«],

」(sinZ寒e/—1)3

2

(sin^+cos6?)=l+sin2^e[0,1],-2^1<sin6^+cos0<,所以sinO+cos。的取值范围是

[-华争

【题型四】Asin(ox+0)图像与性质4:零点求参

【典例分析】

irr

己知〃x)="?〃一1+28S2]COS^].⑴求函数/(X)的对称中心和单调增区间;

(2)洛函数y=/(x)的图象上的各点得到函数产g(%)的图像，当收-器?时，方程g(x)=a

有解，求实数〃的取值范围.

在以下①、②中选择一个，补在(2)的横线上，并加以解答，如果①、②都做，则按①给分.

①问左平移:个单位，再保持纵坐标不变，横坐标缩小为原来的一半；②纵坐标保持不变，横坐标缩小为

7T

原来的一半，再向右平移/单位.

【答案】⑴对称中心是观—g，0,“Z单调增区间为2kA=,2ki+三,kez

I6JL33」

⑵选①②答案相同，均为

【分析•】(1)根据向量的数量积定义计算出/(力，再求解对称中心和递增区间：(2)根据伸缩变换和平移

变换得到y=x(x)的解析式，再求解XC-看5的值域，进而求出数”的取值范围.

(I),.*/(A)=mn-\=\^sin—cos—+cos2—+—-1=sinfx+—1,

~八，2222

故函数的对称中心是(版■一%。)，keZ；

77TTT

单调增区间为2k冗一工2k冗,ksZ.

(2)选①，则可得)，=&3=$而(21+5+看)=-8$(21+7，的图象.

当工e嚓%时，2x+gw-g，斗，cos(2x+j]w-\1,则g(x)wT,J,若方程g("=a有解，

_o4Jo[_o3JIo7[_2Jl_2_

则4€-1,^.

选②，则可得N=g(x)=sin2x-y+yl=sinf2x-^的图象，

当“e-£，£时，-斗，J，sin(2x-j]w-1,4,则g(x)e-1,：,若方程g(x)=a有解，则

_64J33ojI3/L2J2

「J]

七.

【提分秘籍】

基本规律

1.可以直接求解：五点画图法思维

2,可以换元求解

【变式演练】

1.已知函数/(x)=6sg+8)+cos(2.r+*)(悯4J,将/(”的图象向左平移？个单位长度.所得函数的

图象关于V轴对称.

⑴求函数/(力的解析式；

⑵若关于x的方程小)=。在上恰有两个实数根，求实数〃的取值范围.

/\

【答案】⑴〃x)=2sin2x-g。(2)[>/l2)

【分析1(1)利川辅助角公式结合图象的变换得出y=2sin(2x+e+R,再根据对称性得出

中、之九=T+k九kwZ,从而得出函数/(”的解析式；

o2

(2)由得出2、-!我,寻]利用正弦函数的性质结合方程/(x)=a在g,"上恰有两

olZJLo12

个实数根，得出实数。的取值范围.

⑴解：fW=\/3sin(2x+(p)+cos(2x+^?)=2sinI2x+^?+—将函数/(A)的图象向左平移y个电位长度后,

所得函数为

y=2sin2(x+—|++-=2sin|24+°+—江)J(p+-^=—+k/r,k&Za(p=-—+k7r,kE.Z

Lk376JV6J623

又l8l<[・・・e=TAf(x)=2sin(2x-^].

23\6；

(2)VXGJ,。・・・2x—%当942x一£4,即时,/(x)单调递增；

.612J6|_63」66263

当咚,即卓时，/⑶单调递减.且/停|=2,/佟］=1"(寄=后

•・•方程〃在L上恰有两个实数根.・・・石4。<2

o12

・••实数〃的取值范围为h/J,2).

2.已知函数/(x)=2sin(s),其中常数0>0.

(1)若。=2,将函数)，=/8)的图象向左平移［个单位，得到的函数>=冢幻的图象，求g(x)；

6

⑵若y=/(x)在［-丁，乌］上单调递增，求。的取值范围；

43

(3)对(1)中的g(x),区间仅，b］(a,力ER且。<加满足：)，=g(x)在他，句上至少含有30个零点，在所

有满足上述条件的口,句中,求力-巳的最小值.

【答案】(l)g(x)=2sin(2x+£)。⑵(0,口。⑶

342

【分析】(1)由〃x)=2sin2x向左平移7个单位可得g(x)=2sin［2(x+g)］,化简即可;

66

兀兀

——(0>——

/2,从而求出。的取值范围;

(2)由题意可得

2兀，兀

——co<—

32

(3)令g(x)=。，得4”-三壮八可得相邻两个零点之间的距离为g,可知人］47+卜学，可

26222

求出力―。的最小值.

⑴若。=2,由题意得/O)=2sin2x,向左平移，个单位，得到的函数

6

y=g(x)=2sin[2(.r+—)]=2sin(2x+—).故g(x)=2sin(2.r+—).

633

⑵：心。,当问!争时,(yxc[一色似目①|又V=f(x)=2sin3在[一m，单调递增,

434

--6y>--

・・・、42,解得・••G的取值范围为(0,

2冗，兀44

——co<—

32

⑶由函数y=g(x)=2sin(2x+四)可知，令g(x)=O,得2%+四=E(keZ),即工二"一四(ZwZ).

3326

・••相邻两个零点之间的距离为且周期丁二兀，

则要使y=在［〃，句上至少含有30个零点，至少包含14.5个周期.

即6-a.l4T+5二学.故人一〃的最小值为亭.

乙乙乙

3.已知函数/(x)=\Z?sin(ar+0)+2sin2二次卜1(④>0,0<。<九)为偶函数，且f(x)图象的相邻两对称轴

、乙)

间的距离为，.

(1)求/(1)的解析式；

(2)将函数/U)的图象向右平移[个单位长度，再把横坐标缩小为原来的;(纵坐标不变)，得到函数g(x)的

图象，若以X)-机=。在上有两个不同的根，求，〃的取值范围.

_126_

【答案】(D"X)=2COS2X(2)[1,2)

【分析】(1):先利用辅助角公式化简，然后利用偶函数的性质，和两对■称轴的距离可求出。，便可写出/“);

(2)：将图像平移得到gJ),求其在定义域内的两根转为两个函数由两个交点，便可求出〃?的取值范围.

/\

(1);函数/")=百5m(a1+8)+25吊28①-1=x/isin(twx+0)-cos(tyx+9)=2sin(ox+s-二)为偶函数

k2；6

：.(p--=k7r+—,ke.Z令％=0，可得°/(x)=2sin(69x+—)=2cos69.r

6232

二•JM图像的相邻两对称轴间的距离为:x至=g二。=2/(x)=2cos2x

2co2

(2)洛函数f(x)的图像向右平移《个单位长度，可得y=28s(M-5的图像，再将横坐标缩小为原来的!(纵

6JN

TT7T7T

坐标不变)，得到函数g(x)=2cos[4x-彳)的图像。若g。)-〃』)在一百，工上有两个不同的根，则

3L126」

cos(4x-g)=々在亮闱上有两个不同的根，即函数)，=cos(4x-g)的图像与直线广;在|上有

32126」32L126

两个不同的交点.

■.'4X-—G,cos(--)=cos(-)=—,cos()=l求得1K〃?<2

33333222

故〃，的取值范围为[1,2).

【题型五】解三角形基础：正弦定理、角与对边

【典例分析】

已知二ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,/?,c,2asin4cost+AOS24=ZJ.

(1)求4的值；

(2)若a+c=4/A8c的面积为百，求。的值.

【答案】(1)8=三。(2)。=2

【分析】

(1)由正弦定理和正弦的二倍角公式得到呜j进而求解出…2)利用面积公式得至仆%结合

a+c=4,求出。的值.

DD

⑴由已知得：2«sinAcos—=2Z?s:n2A.由正弦定理得：sin2Acos—=sinfisin2A.

22

因为Aw(0,7l),所以sinAwO,所以得：cosy=sinB=2sinycosy

枭卜,外。所以cos】[0所以sing="又()<!<].所以*.即8g

因为8£(0,兀),

22222263

(2)由已知得：；ocsin8=G.得：ac=4.又因为a+c=4,所以a=c=2.

【提分秘籍】

基本规律

一般大题规律：第一问正余弦定理求出角度，第二问借助角所对应边长。多用余弦定理。此类题，特别是

文科若考察解三角形，应用较多。

【变式演练】

L在.4BC中，角A,B,C的对边分别为4,b,C,已知(5a-4€)cosB=4/K：osC.

⑴求COS8的值；

(2)若。=：,/?=6,求sin八的值

4

【答案】(l)cosB=2(2)述

510

【分析】(1)将(5a-4c)cos8=4〃cosC由正弦定理转化为(5sinA-4sinC)cosB=4sin8cosC,再利用三角函数恒

等变换公式化简变形，可求出COS5的值，

(2)先求出Sin8,再利用三角函数恒等变换公式可求出sinA的值

⑴因为(5"4C)COSB=4/，COSC,

所以由正弦定理=—得(5sinA-4sinC)cos8=4sinBcosC,

sinAsinBsinC

所以5sinAcosB=4(sinBcosC+sinCeosB)=4sin(B+C),

因为在ABC中，A+B+C=180,所以sin(B+0=sin(18O-A)=$in4,

所以5《114838=4411小乂Aw(0,;r),sirL4wO,所以cos8=g

(2)因为在ABC中，cosB=p所以sinB=Jl^嬴7万=|,

因为在.ABC中，A+B+C=180

2.,ABC的内角A,R,C的对边分别为。，b,。，已知2cosc(acos8+AosA)=c.

(1)求角C的大小；

⑵若c=J7,ARC的面积为空，求SRC的周长.

2

【答案】(1)((2)5+疗

【分析】

(1)由己知及正弦定理，两角和的正弦函数公式，三角形内角和关系化简己知可得2coscsin(4+3)=sinC,

由sinOO,可求cosC,结合角C的范围即可得解；

(2)由三角形面积公式可求而，利用余弦定理即可得解。+匕的值，从而可得答案.

(I)解：因为2cosc(acos4+/x:osA)=c,所以2cosc(sinAcos4+sin/fcosA)=sinC,

整理得：2cosCsin(A+B)=sinC,vsinC^O»sin(A+B)=sinC,/.cosC=,

又0<C<〃，，。:?；

2

(2)解：由余弦定理得7=/+^-24/；!，-,(a+b)-3ab=l,7s=i^sinC=^«h=—,

2242

:.ab=6,.\(a+b)2-18=7,:.a+b=5,.,..•,ABC的周长为5+".

3./BC的内角A1,C的对边分别为。也c,已知siaA-sinB+sinC=(四一2卜i^sin"

siaA-sin^-sinC

⑴求角C；

(2)^h=4,sin4(1-7x:osC)=2r:osAsinC,求A5C的面积.

【答案】（1）£（2）8&

【分析】（1）对已知式子化简后利用正弦定理得/+/一。2=血他，再利用余弦定理可求出角C,

（2）由sinA（l-2cosC）=2cosAsinC「piJ^sinA=2sinB,再由正弦定理得再利用三角形的面积公式

可求得结果

⑴由sinA-sinB+sinC=("一~卜"出访8,(sjn/\_sinB+sinC)(sin/t-sinB-sinC)=(>/2-2卜inAsinB,

sirtA-sinB-sinC

得(siiL4-sinfi)2-sin2C=(72-2)sin4sinB,