12.1全等三角形（解析版）

究！12.1全等三角形一、单选题1．百变魔尺，魅力无穷，如图是用24段魔尺（24个等腰直角三角形，把等腰直角三角形最长边看做1）围成的长为4宽为3的长方形．用该魔尺能围出不全等的长方形个数为（）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】A【分析】根据14＝（1+6）×2＝（2+5）×2＝（3+4）×2，可知能围出不全等的长方形有3个．【详解】∵长为4、宽为3的长方形，∴周长为2×（3+4）＝1414＝（1+6）×2＝（2+5）×2＝（3+4）×2，∴能围出不全等的长方形有3个，故选：A．【点评】此题考查了平面图形的规律变化，通过观察图形,分析、归纳并发现其中的规律，并应用规律解决问题是解题的关键．2．如图，锐角△ABC中，D、E分别是AB、AC边上的点，△ADC≌△ADC′，△AEB≌△AEB′，且C′DEB′BC，BE、CD交于点F，若∠BAC＝α，∠BFC＝β，则（）A．2α+β＝180° B．2β﹣α＝180° C．α+β＝150° D．β﹣α＝60°【答案】A【分析】延长C′D交AC于M，如图，根据全等的性质得∠C′＝∠ACD，∠C′AD＝∠CAD＝∠B′AE＝α，再利用三角形外角性质得∠C′MC＝∠C′+∠C′AM＝∠C′+2α，接着利用C′D∥B′E得到∠AEB＝∠C′MC，而根据三角形内角和定理，三角形外角性质和等角代换，进一步变形后即可得到答案．【详解】延长C′D交AC于M，如图，∵△ADC≌△ADC′，△AEB≌△AEB′，∴∠C′＝∠ACD，∠C′AD＝∠CAD＝∠B′AE＝α，∴∠C′MC＝∠C′+∠C′AM＝∠C′+2α，∵C′D∥B′E，∴∠AEB′＝∠C′MC，∵∠AEB′＝180°﹣∠B′﹣∠B′AE＝180°﹣∠B′﹣α，∴∠C′+2α＝180°﹣∠B′﹣α，∴∠C′+∠B′＝180°﹣3α，∵β＝∠BFC＝∠BDF+∠DBF＝∠DAC+∠ACD+∠B'＝α+∠ACD+∠B′＝α+∠C′+∠B′＝α+180°﹣3α＝180°﹣2α，即：2α+β＝180°．故选：A．【点评】本题考查了平行线的性质，全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质和灵活运用平行线的性质是解题的关键．3．如图，，，，则()A． B． C． D．【答案】A【分析】根据全等三角形对应角相等即可求解；【详解】∵，∴∠A=∠=110°，∵∠ABC=30°，∴∠ACB=180°-110°-30°=40°，故选：A．【点评】本题考查了全等三角形的性质，正确掌握全等三角形对应角相等是解题的关键；4．如图，△ABC≌△ADE，AB＝AD，AC＝AE，∠B＝28，∠E＝95，∠EAB＝20，则∠BAD等于（）A．75 B．57C．55 D．77【答案】D【分析】先根据全等三角形的对应角相等得出∠B=∠D=28°，再由三角形内角和为180°，求出∠DAE=57°，然后根据∠BAD=∠DAE+∠EAB即可得出∠BAD的度数．【详解】∵△ABC≌△ADE，

∴∠B=∠D=28°，

又∵∠D+∠E+∠DAE=180°，∠E=95°，

∴∠DAE=180°-28°-95°=57°，

∵∠EAB=20°，

∴∠BAD=∠DAE+∠EAB=77°．

故选：D．【点评】本题考查了全等三角形的性质，三角形内角和定理，比较简单．由全等三角形的对应角相等得出∠B=∠D=28°是解题的关键．5．下列命题的逆命题是真命题的是（）A．两个全等三角形的对应角相等B．若一个三角形的两个内角分别为和，则这个三角形是直角三角形C．两个全等三角形的面积相等D．如果一个数是无限不循环小数，那么这个数是无理数【答案】D【分析】根据原命题分别写出逆命题，然后再判断真假即可．【详解】A、两个全等三角形的对应角相等，逆命题是：对应角相等的两个三角形全等，是假命题；B、若一个三角形的两个内角分别为30°和60°，则这个三角形是直角三角形，逆命题是：如果一个三角形是直角三角形，那么它的两个内角分别为30°和60°，是假命题；C、两个全等三角形的面积相等，逆命题是：面积相等的两个三角形全等，是假命题；D、如果一个数是无限不循环小数，那么这个数是无理数，逆命题是：如果一个数是无理数，那么这个数是无限不循环小数，是真命题.故选：D【点评】本题考查了命题与定理，解决本题的关键是掌握真命题．6．下列命题的逆命题是真命题的是（）．A．的平方根是3 B．是无理数C．1的立方根是1 D．全等三角形的周长相等【答案】C【分析】根据把一个命题的条件和结论互换就得到它的逆命题，先得出逆命题，再进行判断即可．【详解】A、的平方根是3的逆命题是：3是的平方根，是假命题；B、是无理数的逆命题是：无理数是，是假命题；C、1的立方根是1的逆命题是：1是1的立方根，是真命题；D、全等三角形的周长相等的逆命题是：周长相等的三角形全等，是假命题；故选：C．【点评】此题考查了命题的真假判断及互逆命题的知识，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题，其中一个命题称为另一个命题的逆命题，判断命题的真假关键是要熟悉各知识点的性质定理．7．如图，△ACB≌△A′CB′，∠ACB＝70°，∠ACB′＝100°，则∠BCA′度数是（）A．40° B．35 C．30° D．45°【答案】A【分析】根据已知ACB≌A′CB′，得到∠A′CB′=∠ACB=70，再通过∠ACB′=100，继而利用角的和差求得∠BCB′=30，进而利用∠BCA′=∠A′CB′-∠BCB′得到结论．【详解】∵ACB≌A′CB′，∴∠A′CB′=∠ACB=70，∵∠ACB′=100，∴∠BCB′=∠ACB′-∠ACB=30，∴∠BCA′=∠A′CB′-∠BCB′=40，故选：A．【点评】本题考查了全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键．8．如图，，，，点在线段上，以速度从点出发向点运动，到点停止运动．点在射线上运动，且．若与全等，则点运动的时间为（）A． B． C．或或 D．或【答案】D【分析】分△ABC≌△PQA和△ABC≌△QPA两种情况，根据全等三角形的性质解答即可．【详解】当时，，点的速度为，；当时，当，点的速度为，故选：．【点评】此题考查的是全等三角形的性质，掌握全等三角形的对应边相等，全等三角形的对应角相等是解题的关键，注意分情况讨论思想的应用．二、填空题9．如图，，点、、、在同一条直线上，、交于点，，则的度数是______°．【答案】60【分析】根据全等三角形的性质得到∠DFE=∠ACB=30°，根据三角形的外角性质计算，得到答案．【详解】∵△ABC≌△DEF，∴∠DFE=∠ACB=30°，∵∠AMF是△MFC的一个外角，∴∠AMF=∠DFE+∠ACB=60°，故答案为：60．【点评】本题考查的是全等三角形的性质、三角形的外角性质，掌握全等三角形的对应角相等是解题的关键．10．如图，，，，，则______．【答案】3【分析】根据全等三角形对应边相等可得AC=BD，再求出AB=CD，然后代入数据进行计算即可得解．【详解】∵△ACE≌△DBF，∴AC=DB，∴AC-BC=BD-BC，即AB=CD，∵AD=8，BC=2，∴AB=（AD-BC）=×（8-2）=3．故答案为：3．【点评】本题考查了全等三角形的性质，根据全等三角形对应顶点的字母写在对应位置上确定出对应边，然后求出AB=CD是解题的关键．11．如图，，B、E、C、F在同一直线上，，，则CF的长为___________．【答案】3【分析】直接用全等三角形的性质可得CF=EF-CE=BC-CE，然后进行求解即可；【详解】∵△ABC≌△DEF，∴BC=EF，∵BC=7，EC=4，∴CF=7-4=3，故答案为：3．【点评】本题考查了全等三角形的性质以及应用，正确理解全等三角形的性质是解题的关键．12．如图，已知，若，，则________度．【答案】30【分析】先根据全等三角形的性质得到∠BAC=∠F=105°，然后根据三角形内角和计算∠B的度数．【详解】∵△ABC≌△FDE，∴∠BAC=∠F=105°，∵∠BAC+∠B+∠C=180°，∴∠B=180°-105°-45°=30°．故答案为30．【点评】本题考查了全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等；全等三角形的对应角相等．13．下列命题，①对顶角相等；②两直线平行，同位角相等；③全等三角形的对应角相等．其中逆命题是真命题的命题共有_________个．【答案】1【分析】根据逆命题、对顶角、平行线、全等三角形的性质，对各个选项逐个分析，即可得到答案．【详解】对顶角相等的逆命题为：相等的角是对顶角，故①错误；两直线平行，同位角相等的逆命题为：同位角相等，两直线平行，故②正确；全等三角形的对应角相等的逆命题为：对应角相等的三角形为全等三角形，故③错误；逆命题是真命题的命题共有：1个故答案为：1．【点评】本题考查了逆命题、对顶角、平行线、全等三角形的知识；解题的关键是熟练掌握对顶角、平行线、全等三角形的性质，从而完成求解．14．如图，在锐角中，D、E分别是、上的点，，，且，、相交于点F，若，则_________．【答案】110°【分析】由全等三角形的对应角相等、三角形外角定理以及三角形内角和定理进行解答可求∠BFC的度数．【详解】设∠C′=α，∠B′=β，∵△ADC≌△ADC′，△AEB≌△AEB′，∴∠ACD=∠C′=α，∠ABE=∠B′=β，∠BAE=∠B′AE=35°，∴∠CDB=∠BAC+ACD=35°+α，∠CEB′=35°+β．∵C′D∥EB′∥BC，∴∠ABC=∠C′DB=35°+α，∠ACB=∠CEB′=35°+β，∴∠BAC+∠ABC+∠ACB=180°，即105°+α+β=180°．则α+β=75°．∵∠BFC=∠BDC+∠DBE，∴∠BFC=35°+α+β=35°+75°=110°．故答案为：110°．【点评】本题考查了全等三角形的性质，此题利用了“全等三角形的对应角相等”和“两直线平行，内错角相等”进行推理的．三、解答题15．如图，是直角坐标系轴上一点，动点从原点出发，沿轴正半轴运动，速度为每秒2个单位长度，以为直角顶点在第一象限内作等腰．设点的运动时间为秒．（1）若轴，求的值；（2）如图2，当时，坐标平面内有一点（不与重合）使得以、、为顶点的三角形和全等，请直接写出点的坐标．【答案】（1）1.5；（2）（8，−3），（3，7），（11，1）【分析】（1）由AB∥x轴，可找出四边形ABCO为长方形，再根据△APB为等腰三角形可得知∠OAP＝45°，从而得出△AOP为等腰直角三角形，由此得出结论；（2）分类讨论：①△ABP≌△MBP，②△ABP≌△MPB，③△ABP≌△MPB，分别求解，即可．【详解】（1）过点B作BC⊥x轴于点C，如图所示．∵AO⊥x轴，BC⊥x轴，且AB∥x轴，∴四边形ABCO为长方形，∴AO＝BC＝3．∵△APB为等腰直角三角形，∴AP＝BP，∠PAB＝∠PBA＝45°，∴∠OAP＝90°−∠PAB＝45°，∴△AOP为等腰直角三角形，∴OA＝OP＝3．∴t＝3÷2＝1.5（秒），故t的值为1.5；（2）当t＝2时，M、P、B为顶点的三角形和△ABP全等，①如图，若△ABP≌△MBP，则AP＝PM，过点M作MD⊥OP于点D，∵∠AOP＝∠PDM，∠APO＝∠DPM，∴△AOP≌△MDP（AAS），∴OA＝DM＝3，OP＝PD＝4，∴M（8，−3）．②如图，若△ABP≌△MPB，同理可求得M（3，7），③如图，若△ABP≌△MPB，则△AOP≌△PNB≌△MCB，同理可求得M（11，1）．综合以上可得点M的坐标为（8，−3），（3，7），（11，1）．【点评】本题考查了全等三角形的性质、坐标与图形性质，本题综合性强，有一定难度，添加辅助线，构造全等三角形，是解题的关键．16．在的方格纸中，每格的边长为1，请按下列要求画图．（1）在图1中画一个格点，使与全等，且所画格点三角形的顶点均不与点B，C重合．（2）在图2中画一个面积为7的格点四边形，且为锐角．【答案】（1）见解析；（2）见解析【分析】（1）利用轴对称的性质解决问题即可．（2）构造梯形，利用数形结合的思想解决问题即可．【详解】（1）如图1中，△ADE即为所求．（2）如图2中，四边形ABCD即为所求．【点评】本题考查作图-应用与设计，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想思考问题，属于中考常考题型．17．如图，已知△ABC≌△EBD，（1）若BE=6，BD=4，求线段AD的长；（2）若∠E=30°，∠B=48°，求∠ACE的度数．【答案】（1）2；（2）78°．【分析】（1）根据△ABC≌△EBD，得AB=BE=6,根据AD=AB-BD计算即可；（2）根据△ABC≌△EBD，得∠A=30°，利用∠ACE=∠A+∠B计算即可．【详解】（1）∵△ABC≌△EBD，∴AB=BE=6,∵AD=AB-BD，BD=4，∴AD=6-4=2；（2）∵△ABC≌△EBD，∴∠A=∠E=30°，∵∠ACE=∠A+∠B，∠B=48°，∴∠ACE=30°+48°=78°．【点评】本题考查了全等三角形的性质，三角形外角和定理，熟练掌握全等三角形的性质和三角形外角和定理是解题的关键．18．如图所示，，，三点在同一直线上，且．（1）求证：；（2）当满足什么条件时，？【答案】（1）证明见解析；（2）为直角时，【分析】（1）根据全等三角形的性质求出BD=AE，AD=CE，代入求出即可；2）根据全等三角形的性质求出∠E=∠BDA=，推出∠BDE=，根据平行线的判定求出即可．【详解】（1）证明：∵，∴AE=BC，AC=DE，又∵，∴．（2）若，则，又∵，∴，∴，又∵，∴，即当满足为直角时，．【点评】本题考查全等三角形的性质和平行线的判定的应用，关键是通过三角形全等得出正确的结论．19．如图，在中，厘米，厘米，点D为AB的中点，如果点P在线段BC上以2厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时点Q在线段CA上由C点向A点运动，当一个点停止运动时，另一个点也随之停止运动，当点Q的运动速度为多少时，能够在某一时刻使与全等．【答案】当点Q的速度为cm/s或2cm/s时，使得△BPD与△CQP全等．【分析】设点P的运动时间为t秒，点Q的运动速度为vcm/s，根据题意易得BP=2t厘米，CP=（7-2t）厘米，BD=4cm，CQ=vt厘米，则由与全等，可分BP=PC和PB=CQ，然后分别求解即可．【详解】设点P的运动时间为t秒，点Q的运动速度为vcm/s，∵厘米，厘米，点D为AB的中点，∴BD=4cm，∴BP=2t厘米，CP=（7-2t）厘米，CQ=vt厘米，由与全等，则有：①当BP=PC时，则有BD=CQ=4cm，∴，解得：，∴，解得：；②当PB=CQ时，则有BD=CP=4cm，∴，解得：，∴，解得：；综上所述：当点Q的速度为cm/s或2cm/s时，使得△BPD与△CQP全等．【点评】本题主要考查全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键．20．如图，△EFG≌△NMH，E，H，G，N在同一条直线上，EF和NM，FG和MH是对应边，若EH＝1.1cm，NH＝3.3cm．求线段HG的长．【答案】2.2cm【分析】根据，可得，从而有，再计算HG的长即可．【详解】（1），EF和NM，FG和MH是对应边，，，又EH＝1.1cm，NH＝3.3cm，cm，答：线段HG的长为2.2cm；【点评】本题考查了全等三角形全等的性质，熟练找出两个全等三角形的对应边是解此题的关键．21．如图，，，，求的长；如图，在中，是边上的高，点是上一点，交于点，且，求证：是直角三角形．【答案】（1）5；（2）见解析【分析】（1）通过全等三角形的对应边转化为AD=AC，而使AF+DF=AC-AE可利用已知的AD与AE的差求得；（2）根据对顶角相等得到∠CMD=∠AEM，根据三角形内角和定理得到∠AEC=∠ADC=90°，即可证明结论．【详解】（1）解：∵，∴，，∴，∴；（2）∵AD是BC边上的高，

∴∠ADC=90°，

∵∠DCM=∠MAE，∠CMD=∠AME，

∴∠AEC=∠ADC=90°，

∴△ACE是直角三角形．【点评】本题考查了全等三角形的性质，直角三角形的性质，三角形内角和定理．掌握全等三角形的性质以及三角形内角和定理是解题的关键．22．如图，在等腰中，∠C=90°，F是AB边上的中点，点D、E分别在AC、BC边上运动，且保持.连接DE、DF、EF.在此运动变化的过程中，下列结论：求证是等腰直角三角形；【答案】证明见解析【分析】根据等腰直角三角形的性质：CF=AF，∠A=∠BCF，再由全等三角形判定SAS得△ADF≌△CEF，由全等三角形性质：全等三角形对应边、对应角相等得DF=EF，∠DFA=∠CFE，等量代换即可求得∠EFD=90°，从而得证.【详解】连接CF，∵在等腰直角三角形ABC中.∠ACB=90°，F是AB边上中点∴CF=AF，∠A=∠B=45°，∠ACF=∠BCF=45°∴∠A=∠BCF在△ADF与△CEF中∴∴DF=EF即∴为等腰直角三角形【点评】此题主要考察三角形全等及等腰直角三角形，熟练掌握三角形全等判定及性质是解题关键.23．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点A、B两点的坐标分别A（m，0），B（0，n），且|mn3|0，点P从A出发，以每秒1个单位的速度沿射线AO匀速运动，设点P运动时间为t秒．（1）求OA、OB的长；（2）连接PB，若△POB的面积不大于3且不等于0，求t的范围；（3）过P作直线AB的垂线，垂足为D，直线PD与y轴交于点E，在点P运动的过程中，是否存在这样的点P，使△EOP≌△AOB?若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．【答案】（1），；（2）或；（3）或【分析】（1）利用绝对值和算术平方根的非负性求出n和m的值，就得到OA和OB的长；（2）分两种情况讨论，P再线段AO上和P再线段AO的延长线上，用t表示AP和PO长，从而表示出的面积，再根据的面积不大于3且不等于0，列不等式解不等式，求出t的取值范围；（3）分情况画出对应的图象，利用全等三角形的性质求出P运动的路程，得到使得的时间t的值．【详解】（1）∵，，且，∴，，即，，∴，；（2）分情况讨论：①当P在线段AO上时，如图，，，，∵的面积不大于3且不等于0，∴，解得；②当P在线段AO的延长线上时，如图，，，，∵的面积不大于3且不等于0，∴，解得；（3）①如图，，∴，则；②如图，，∴，，则，综上：存在，或．【点评】本题考查动点问题，涉及绝对值和算术平方根的非负