浙江省杭州市周边重点中学四校2024-2025学年高一上学期10月联考数学试题含答案及解析

2024学年第一学期高一年级10月四校联考数学学科试题卷命题人：浦江中学徐德荣校对人：浦江中学于杭君考生须知：1．本卷满分150分，考试时间120分钟；2．答题前，在答题卷指定区域填写班级､姓名､考场､座位号及准考证号（填涂）；3．所有答案必须写在答题卷上，写在试卷上无效；一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合，则（）A. B. C. D.2.如图，已知全集，集合，则图中阴影部分表示的集合的子集个数为（）A.3 B.4 C.7 D.83.已知，则“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件4.已知，那么的大小关系是（）A. B.C. D.5.命题“”否定是（）A B.C. D.6.若命题“，”为真命题，则实数a可取的最小整数值是（）A. B.0 C.1 D.37.已知关于不等式的解集为，则（）A.B.点在第二象限C.的最大值为D.关于的不等式的解集为8.若数集具有性质：对任意的与中至少有一个属于A，则称集合A为“权集”，则（）A.“权集”中一定有1 B.为“权集”C.为“权集” D.为“权集”二､多选题：本题3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对得部分分，有错选的得0分．9.中国古代重要数学著作《孙子算经》下卷有题：“今有物，不知其数．三三数之，剩二．五五数之，剩三；七七数之，剩二．问：物几何？”现有如下表示：已知，，若，则下列选项中符合题意的整数为（）A B. C. D.10.根据不等式的有关知识，下列日常生活中的说法正确的是（）A.自来水管的横截面制成圆形而不是正方形，原因是：圆的面积大于与它具有相同周长的正方形的面积.B.购买同一种物品，可以用两种不同的策略.第一种是不考虑物品价格的升降，每次购买这种物品的数量一定；第二种是不考虑物品价格的升降，每次购买这种物品所花的钱数一定.用第一种方式购买比较经济.C.某工厂第一年的产量为，第二年的增长率为，第三年的增长率为，则这两年的平均增长率等于.D.金店使用一架两臂不等长天平称黄金.一位顾客到店内购买20g黄金，店员先将10g的砝码放在天平左盘中，取出一些黄金放在天平右盘中，使天平平衡；再将10g的砝码放在天平右盘中，再取出一些黄金放在天平左盘中，使得天平平衡；最后将两次称得的黄金交给顾客．记顾客实际购得的黄金为，则.11.若正实数满足，则下列说法正确的是（）A.有最大值为 B.有最小值为C.有最小值为 D.有最大值为三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.某学校举办秋季运动会时，高一某班共有名同学参加比赛，有人参加游泳比赛，有人参加田赛，有人参加径赛，同时参加游泳比赛和田赛的有人，同时参加游泳比赛和径赛的有人，没有人同时参加三项比赛，借助文氏图（Venndiagram），可知同时参加田赛和径赛的有________人．13.甲、乙两地相距1000千米，汽车从甲地匀速行驶到乙地，已知汽车每小时的运输成本（以元为单位）由可变部分和固定部分组成．可变部分与速度（千米/时）的平方成正比，比例系数为2，固定部分为5000元．为使全程运输成本最小，汽车的速度是________千米/时．14.若一个三角形的三边长分别为，记，则此三角形面积，这是著名的海伦公式.已知的周长为，则的面积的最大值为___________.四､解答题：本题共5小题，共77分．解答题应写出文字说明､证明过程或演算步骤．15.用篱笆在一块靠墙的空地围一个面积为的等腰梯形菜园，如图所示，用墙的一部分做下底，用篱笆做两腰及上底，且腰与墙成，当等腰梯形的腰长为多少时，所用篱笆的长度最小？并求出所用篱笆长度的最小值．16.已知集合,集合．（1）若，求；（2）设命题；命题，若命题是命题的必要不充分条件，求实数的取值范围17.如图，为梯形，其中，，设O为对角线的交点.表示平行于两底且与它们等距离的线段（即梯形的中位线），表示平行于两底且使梯形与梯形相似的线段，表示平行于两底且过点O的线段，表示平行于两底且将梯形分为面积相等的两个梯形的线段.试研究线段，，，与代数式，，，之间的关系，并据此推测它们之间的一个大小关系.你能用基本不等式证明所得到的猜测吗？18.已知二次函数（1）若的解集为，解关于的不等式；（2）若且，求的最小值；（3）若，且对任意，不等式恒成立，求的最小值．19.已知集合为非空数集，定义：，（实数a，b可以相同）（1）若集合，直接写出集合S、T；（2）若集合，，且，求证：；（3）若集合，，记为集合中元素的个数，求的最大值．

2024学年第一学期高一年级10月四校联考数学学科试题卷命题人：浦江中学徐德荣校对人：浦江中学于杭君考生须知：1．本卷满分150分，考试时间120分钟；2．答题前，在答题卷指定区域填写班级､姓名､考场､座位号及准考证号（填涂）；3．所有答案必须写在答题卷上，写在试卷上无效；一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由集合的定义求出，结合交集与补集运算即可求解.【详解】因为，所以，则，故选：D2.如图，已知全集，集合，则图中阴影部分表示的集合的子集个数为（）A.3 B.4 C.7 D.8【答案】D【解析】【分析】先求出图中阴影部分表示的集合，再利用集合的子集个数公式即可得解.【详解】由题意得，故图中阴影部分表示的集合为，所以图中阴影部分表示的集合的子集个数为个.故选：D.3.已知，则“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】根据由能不能推出及由能不能推出即可得答案.【详解】解：由，可得或；由可得且，所以由不能推出，但由能推出，所以“”是“”的必要不充分条件.故选：B4.已知，那么的大小关系是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】利用不等式的性质比较大小即可.【详解】由可得，所以.故选：A5.命题“”的否定是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根据存在量词命题的否定即可得解.【详解】命题“”的否定是“”.故选：B.6.若命题“，”为真命题，则实数a可取的最小整数值是（）A. B.0 C.1 D.3【答案】A【解析】【分析】分析可知，根据存在性问题结合配方法分析求解.【详解】因为，即，又因为，当且仅当时，等号成立，若，，即，所以实数a可取的最小整数值是.故选：A.7.已知关于不等式的解集为，则（）A.B.点在第二象限C.的最大值为D.关于不等式的解集为【答案】D【解析】【分析】根据分式不等式与整式不等式的转化，结合解的性质可得和分别是和的实数根，即可得，，进而可求解AB，利用二次函数的性质即可求解C，由一元二次不等式的求解即可判断D.【详解】原不等式等价于，因为解集为,所以和分别是和的实数根，故且，，故A错误；因为，，所以点在第三象限，故B错误；，由于开口向下，故最大值为，故C错误，由得即解集为，故D正确．故选：D．8.若数集具有性质：对任意的与中至少有一个属于A，则称集合A为“权集”，则（）A.“权集”中一定有1 B.为“权集”C.为“权集” D.为“权集”【答案】B【解析】【分析】根据集合的新定义，验证选项B,C,D，集合“权集”中不一定有1，判定A错误.【详解】因为，，都属于数集,是“权集”，所以“权集”中不一定有1，所以A错误；因为都属于数集，为“权集”，所以B正确；因为与均不属于数集，不为“权集”，所以C错误；因为与均不属于数集，不为“权集”，所以D错误；故选：B二､多选题：本题3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对得部分分，有错选的得0分．9.中国古代重要的数学著作《孙子算经》下卷有题：“今有物，不知其数．三三数之，剩二．五五数之，剩三；七七数之，剩二．问：物几何？”现有如下表示：已知，，若，则下列选项中符合题意的整数为（）A. B. C. D.【答案】AC【解析】【分析】直接将各选项的数字变形判断即可.【详解】对A，，满足的描述，所以，符合；对B，，不满足的描述，则，不符合；对C，，满足的描述，，符合；对D，，不满足的描述，则，不符合.故选：AC10.根据不等式的有关知识，下列日常生活中的说法正确的是（）A.自来水管的横截面制成圆形而不是正方形，原因是：圆的面积大于与它具有相同周长的正方形的面积.B.购买同一种物品，可以用两种不同的策略.第一种是不考虑物品价格的升降，每次购买这种物品的数量一定；第二种是不考虑物品价格的升降，每次购买这种物品所花的钱数一定.用第一种方式购买比较经济.C.某工厂第一年的产量为，第二年的增长率为，第三年的增长率为，则这两年的平均增长率等于.D.金店使用一架两臂不等长的天平称黄金.一位顾客到店内购买20g黄金，店员先将10g的砝码放在天平左盘中，取出一些黄金放在天平右盘中，使天平平衡；再将10g的砝码放在天平右盘中，再取出一些黄金放在天平左盘中，使得天平平衡；最后将两次称得的黄金交给顾客．记顾客实际购得的黄金为，则.【答案】AD【解析】【分析】根据题意利用不等式的性质以及作差法、基本不等式逐项分析判断.【详解】对于选项A：设周长为，则圆的面积为，正方形的面积为，因为，可得，即，故A正确；对于选项B：按第一种策略购物，设第一次购物时的价格为元/kg，购，第二次购物时的价格为元/kg，购，两次购物的平均价格为；若按第二种策略购物，第一次花m元钱，能购物品，第二次仍花m元钱，能购物品，两次购物的平均价格为.比较两次购的平均价格：，当且仅当时，等号成立，所以第一种策略的平均价格不低于第二种策略的平均价格，因而用第二种策略比较经济，故B错误；对于选项C：设这两年的平均增长率为，则，可得，因为，即，当且仅当，即时，等号成立，即这两年的平均增长率不大于，故C错误；对于选项D：设天平左臂长为，右臂长为，且，左盘放的黄金为克，右盘放的黄金为克，，解得，，当且仅当时，取到等号，由于，所以，故D正确；故选：AD.11.若正实数满足，则下列说法正确的是（）A.有最大值为 B.有最小值为C.有最小值为 D.有最大值为【答案】ABC【解析】【分析】直接利用不等式即可求解AC，利用乘“1”法即可求解B，利用不等式成立的条件即可求解D.【详解】对于A：因为，则，当且仅当，即时取等号，故A正确，对于B，，当且仅当，即时取等号，故B正确，对于C：因为，则，当且仅当，即时取等号，故C正确，对于D：因为，当且仅当，即，时取等号，这与均为正实数矛盾，故D错误，故选：ABC．三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.某学校举办秋季运动会时，高一某班共有名同学参加比赛，有人参加游泳比赛，有人参加田赛，有人参加径赛，同时参加游泳比赛和田赛的有人，同时参加游泳比赛和径赛的有人，没有人同时参加三项比赛，借助文氏图（Venndiagram），可知同时参加田赛和径赛的有________人．【答案】【解析】【分析】设同时参加田赛和径赛的学生人数为，作出韦恩图，根据题意可得出关于的等式，即可解出的值.【详解】设同时参加田赛和径赛的学生人数为，如下图所示：由韦恩图可的，解得.因此，同时参加田赛和径赛的有人.故答案为：.13.甲、乙两地相距1000千米，汽车从甲地匀速行驶到乙地，已知汽车每小时的运输成本（以元为单位）由可变部分和固定部分组成．可变部分与速度（千米/时）的平方成正比，比例系数为2，固定部分为5000元．为使全程运输成本最小，汽车的速度是________千米/时．【答案】50【解析】【分析】依据题意建立函数关系，再利用基本不等式求解最值即可.【详解】设汽车速度为千米/时，运输成本为，∴当且仅当，即时，运输成本最小．故答案为：5014.若一个三角形的三边长分别为，记，则此三角形面积，这是著名的海伦公式.已知的周长为，则的面积的最大值为___________.【答案】##【解析】【分析】由条件可得，然后利用基本不等式可得，然后可得答案.【详解】由题意，由，则时取等，则.故答案为：四､解答题：本题共5小题，共77分．解答题应写出文字说明､证明过程或演算步骤．15.用篱笆在一块靠墙的空地围一个面积为的等腰梯形菜园，如图所示，用墙的一部分做下底，用篱笆做两腰及上底，且腰与墙成，当等腰梯形的腰长为多少时，所用篱笆的长度最小？并求出所用篱笆长度的最小值．【答案】当等腰梯形的腰长为时，所用篱笆长度最小，其最小值为．【解析】【分析】以实际应用问题为情境，建立函数关系，利用函数最值的求法解出结果；【详解】设，上底，分别过点作下底的垂线，垂足分别为，则，，则下底，该等腰梯形的面积，所以，则，所用篱笆长为，当且仅当，即，时取等号．所以，当等腰梯形的腰长为时，所用篱笆长度最小，其最小值为．16.已知集合,集合．（1）若，求；（2）设命题；命题，若命题是命题的必要不充分条件，求实数的取值范围【答案】（1）或．（2）【解析】【分析】（1）根据集合的并集和补集的定义即可求解，（2）根据是集合的真子集，讨论和两种情况即可求解.【小问1详解】由题意可知，若故，或．【小问2详解】命题是命题的必要不充分条件，集合是集合的真子集，当时，，解得，当时，（等号不能同时成立），解得，综上所述，实数的取值范围为17.如图，为梯形，其中，，设O为对角线的交点.表示平行于两底且与它们等距离的线段（即梯形的中位线），表示平行于两底且使梯形与梯形相似的线段，表示平行于两底且过点O的线段，表示平行于两底且将梯形分为面积相等的两个梯形的线段.试研究线段，，，与代数式，，，之间的关系，并据此推测它们之间的一个大小关系.你能用基本不等式证明所得到的猜测吗？【答案】答案见解析【解析】【分析】根据题中所给的梯形模型，结合平行线分线段成比例定理，相似，面积相等等方式，建立得到几个平均数，再利用基本不等式和作差法比较大小即可【详解】因为是梯形的中位线，所以；因为梯形与梯形相似，所以，所以；因为，所以，所以，所以，所以，设梯形，的面积分别为，高分别为，则，，所以，所以，所以；由图可知，，即；证明：显然，，因为，所以，所以，所以18.已知二次函数（1）若的解集为，解关于的不等式；（2）若且，求的最小值；（3）若，且对任意，不等式恒成立，求的最小值．【答案】（1）不等式的解集为.（2）的最小值为；（3）的最小值为.【解析】【分析】（1）由条件可得是方程的解，由此可求，结合一元二次不等式解法求的解集；（2）由已知可得，结合基本不等式求结论；（3）由条件可得，由此可得，换元并结合基本不等式可求其最小值.【小问1详解】由已知的解集为，且，所以是方程的解，所以，，所以，，所以不等式可化为，所以，故不等式解集为.【小问2详解】因为，所以因为，所以，由基本不等式可得，当且仅当时等号成立，