第27章 圆-切线判定的常用方法 华东师大版九年级下册专题训练1(含答案)

专题训练三切线判定的常用方法有公共点,连半径,证垂直1.已知△ABC内接于☉O,过点A作直线EF,如图所示,AB是不过圆心O的弦,且∠CAE=∠B,那么EF是☉O的切线吗?试证明你的判断.2.如图,已知AB为☉O的直径,C是BD的中点,AD垂直于过点C的直线于点E.(1)求证:CE是☉O的切线;(2)若∠BAD=60°,AB=43,求CE的长.3.如图,AB是☉O的直径,点C,E在☉O上,∠CAB=2∠EAB,点F在线段AB的延长线上,且∠AFE=∠ABC.(1)求证:EF是☉O的切线;(2)若BF=1,sin∠AFE=45,求BC的长4.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,延长CA到点D,以AD为直径作☉O,交BA的延长线于点E,延长BC到点F,使BF=EF.(1)求证:EF是☉O的切线;(2)若OD=5,∠F=100°,求扇形AOE的面积.(结果保留π)无切点,作垂直,证半径5.如图,△ABC为等腰三角形,O是底边BC的中点,腰AB与☉O相切于点D.求证:AC是☉O的切线.6.如图,在四边形ABCD中,∠A=∠B=90°,AD+BC=CD,以AB为直径作☉O.求证:CD与☉O相切.7.如图,在Rt△ABC中,∠B=90°,∠BAC的平分线交BC于点D,E是AB上一点,DE=DC,以点D为圆心,BD长为半径作☉D,AB=5,EB=2.(1)求证:AC是☉D的切线;(2)求线段AC的长.8.如图,△ABC是等腰直角三角形,∠ACB=90°,O为AB的中点,连结CO交☉O于点E,☉O与AC相切于点D.(1)求证:BC是☉O的切线;(2)延长CO交☉O于点G,连结AG交☉O于点F,若AC=42,求FG的长.

【详解答案】1.解:EF是☉O的切线.证明如下:如图,连结AO并延长,交☉O于点M,连结CM,则∠ACM=90°,∠M=∠B,∴∠M+∠CAM=∠B+∠CAM=90°.∵∠CAE=∠B,∴∠CAM+∠CAE=90°.∴AE⊥AM.∵AM为☉O的直径,∴EF是☉O的切线.2.(1)证明:如图1.连结OC.图1∵C是BD的中点,∴DC=BC,∴∠CAD=∠∵OA=OC,∴∠ACO=∠BAC,∴∠CAD=∠ACO,∴AE∥OC.∵AE⊥CE,∴OC⊥CE.∵OC是☉O的半径,∴CE是☉O的切线.(2)解:如图2,连结BC.图2∵AB为☉O的直径,∴∠ACB=90°.∵∠BAD=60°,∴∠CAD=∠BAC=30°.∵AB=43,∴AC=ABcos∠BAC=43×32∴CE=ACsin∠CAD=6×12=33.(1)证明:如图,连结OE,则∠FOE=2∠OAE.∵∠CAB=2∠EAB,∴∠CAB=∠FOE.∵∠AFE=∠ABC,∴∠CAB+∠ABC=∠FOE+∠AFE.∴∠ACB=∠OEF.∵AB是☉O的直径,∴∠ACB=90°.∴∠OEF=90°,即OE⊥EF,∵OE是☉O的半径,∴EF是☉O的切线.(2)解:设半径为r,即OE=OB=r,则OF=r+1,在Rt△EOF中,sin∠AFE=45=OEOF=∴AB=2r=8.在Rt△ABC中,sin∠ABC=ACAB=sin∠AFE=4∴AC=45×8=32∴BC=AB4.(1)证明:如图,连结EO.∵OE=OA,∴∠OEA=∠OAE.∵∠OAE=∠CAB,∴∠OEA=∠CAB.∵EF=FB,∴∠FEB=∠FBE.在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∴∠CAB+∠CBA=90°,∴∠BEF+∠OEA=90°,即∠OEF=90°.∵点E在☉O上,∴EF是☉O的切线.(2)解:在四边形COEF中,∠FEO=∠OCF=90°,∴∠F+∠EOC=180°.∵∠F=100°,∴∠EOC=180°-100°=80°.∴扇形AOE的面积为52×80π5.证明:如图,过点O作OE⊥AC于点E,连结OD、OA,∵AB与☉O相切于点D,∴AB⊥OD.∵△ABC为等腰三角形,O是底边BC的中点,∴AO是∠BAC的平分线.∴OE=OD,即OE是☉O的半径.∵AC经过☉O的半径OE的外端点且垂直于OE,∴AC是☉O的切线.6.证明:如图,连结CO,延长CO、DA交于点H,过点O作OE⊥CD于点E,∵∠OAH=∠B=90°,∠AOH=∠BOC,AO=BO,∴△AOH≌△BOC(A.S.A.).∴AH=BC,HO=CO.∵AD+BC=CD,AH+AD=HD,∴CD=DH.∴∠H=∠DCH.∵∠OAH=∠OEC=90°,HO=CO,∴△AHO≌△ECO(A.A.S.).∴OA=OE.∴OE为☉O的半径.∵OE⊥EC,∴CD与☉O相切.7.(1)证明:如图,过点D作DF⊥AC于点F.∵∠B=90°,AD平分∠BAC,∴BD=DF.∴DF为☉D的半径.∴AC为☉D的切线.(2)解:∵AC为☉D的切线,∴∠DFC=∠B=90°.∵在Rt△BDE和Rt△FDC中,BD=FD,DE=DC,∴Rt△BDE≌Rt△FDC(H.L.).∴EB=CF.∵AB=AF,∴AB+EB=AF+CF,即AB+EB=AC.∴AC=5+2=7.8.(1)证明:如图1,连结OD,过点O作OP⊥BC于点P.图1∵☉O与AC相切于点D,∴OD⊥AC.∵△ABC是等腰直角三角形,∠ACB=90°,O为AB的中点,∴∠OCD=∠OCP=45°,∴OD=OP,即OP是☉O的半径,∴BC是☉O的切线.(2)解:∵AC=42.BC=AC,∠ACB=90°.∴AB=2AC=8