2024秋高中数学第一章导数及其应用1.1变化率与导数1.1.1变化率问题课时作业含解析新人教A版选修2-2

PAGE1-第一章1.11.1.1请同学们仔细完成练案[1]A级基础巩固一、选择题1.如图，函数y＝f(x)在A，B两点间的平均改变率等于(B)A．1 B．－1C．2 D．－2[解析]平均改变率为eq\f(1－3,3－1)＝－1.2．函数y＝2x在区间[x0，x0＋Δx]上的平均改变率为(D)A．x0＋Δx B．1＋ΔxC．2＋Δx D．2[解析]由题意，可得平均改变率eq\f(fx0＋Δx－fx0,Δx)＝eq\f(2x0＋Δx－2x0,Δx)＝2，故选D．3．已知函数y＝f(x)＝2x2的图象上的点P(1,2)及邻近点Q(1＋Δx,2＋Δy)，则eq\f(Δy,Δx)的值为(D)A．4 B．4xC．4＋2(Δx)2 D．4＋2Δx[解析]eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(21＋Δx2－2×12,Δx)＝4＋2Δx.4．汽车行驶的路程s和时间t之间的函数图象如图，在时间段[t0，t1]，[t1，t2]，[t2，t3]上的平均速度分别为eq\x\to(v1)，eq\x\to(v2)，eq\x\to(v3)，则三者的大小关系为(B)A．eq\x\to(v1)>eq\x\to(v2)>eq\x\to(v3) B．eq\x\to(v3)>eq\x\to(v2)>eq\x\to(v1)C．eq\x\to(v2)>eq\x\to(v1)>eq\x\to(v3) D．eq\x\to(v2)>eq\x\to(v3)>eq\x\to(v1)[解析]eq\x\to(v1)＝eq\f(st1－st0,t1－t0)＝kOA，eq\x\to(v2)＝eq\f(st2－st1,t2－t1)＝kAB，eq\x\to(v3)＝eq\f(st3－st2,t3－t2)＝kBC，由图象知kOA<kAB<kBC，选B．二、填空题5．函数f(x)＝x2－1在区间[1，m]上的平均改变率为3，则实数m的值为__2__.[解析]函数f(x)＝x2－1在区间[1，m]上的平均改变率为eq\f(fm－f1,m－1)＝eq\f(m2－1,m－1)＝m＋1＝3，∴m＝2.6．(2024·阿拉善左旗校级期末)若函数y＝x2－1的图象上的点A(1,0)，则当Δx＝0.1时的平均改变率是__2.1__.[解析]Δy＝(1＋Δx)2－1－(12－1)＝2Δx＋Δx2，∴eq\f(Δy,Δx)＝2＋Δx，当Δx＝0.1时，平均改变率为2.1.三、解答题7．已知某质点的运动路程s(单位：m)与时间t(单位：s)存在函数关系s＝2t2＋2t，求：(1)该质点在前3s内的平均速度；(2)该质点在2s到3s内的平均速度．[解析](1)∵Δs＝s(3)－s(0)＝24，Δt＝3，∴eq\f(Δs,Δt)＝eq\f(24,3)＝8(m/s)．(2)∵Δs＝s(3)－s(2)＝12，Δt＝1，∴eq\f(Δs,Δt)＝eq\f(12,1)＝12(m/s)．B级素养提升一、选择题1．在x＝1旁边，取Δx＝0.3，在四个函数①y＝x、②y＝x2、③y＝x3、④y＝eq\f(1,x)中，平均改变率不是最大的是(ACD)A．④ B．③C．② D．①[解析]Δx＝0.3时，①y＝x在x＝1旁边的平均改变率k1＝1；②y＝x2在x＝1旁边的平均改变率k2＝2＋Δx＝2.3；③y＝x3在x＝1旁边的平均改变率k3＝3＋3Δx＋(Δx)2＝3.99；④y＝eq\f(1,x)在x＝1旁边的平均改变率k4＝－eq\f(1,1＋Δx)＝－eq\f(10,13).∴k3＞k2＞k1＞k4，故应选ACD．2．已知函数f(x)＝2x2－1的图象上一点(1,1)及邻近一点(1＋Δx，f(1＋Δx))，则对eq\f(Δy,Δx)下述表达式错误的是(ACD)A．4 B．4＋2ΔxC．4＋2(Δx)2 D．4x[解析]Δy＝f(1＋Δx)－f(1)＝2(1＋Δx)2－1－2＋1＝2·(Δx)2＋4·Δx，所以eq\f(Δy,Δx)＝2Δx＋4.二、填空题3．在北京奥运会上，牙买加飞人博尔特刷新了百米世界纪录9.69秒，通过计时器发觉前50米用时5.50秒．那么在后50米他的平均速度是__11.93__米/秒．(最终结果精确到0.01)[解析]Δs＝100－50＝50，Δt＝9.69－5.50＝4.19，eq\x\to(v)＝eq\f(Δs,Δt)≈11.93米/秒．4．甲、乙两人的运动路程与时间的函数关系分别为s＝s1(t)，s＝s2(t)，图象如图，则在时间段[0，t0]内甲的平均速度__小于__乙的平均速度．(填“大于”“小于”或“等于”)[解析]由图象知s1(t0)＝s2(t0)，s1(0)>s2(0)，所以eq\f(s1t0－s10,t0)<eq\f(s2t0－s20,t0)，即eq\x\to(v)甲<eq\x\to(v)乙．三、解答题5．求出函数f(x)＝x2在x＝1,2,3旁边的平均改变率，若Δx都为eq\f(1,3)，则在哪一点旁边平均改变率最大？[解析]在x＝1旁边的平均改变率k1＝eq\f(f1＋Δx－f1,Δx)＝eq\f(1＋Δx2－1,Δx)＝2＋Δx；在x＝2旁边的平均改变率k2＝eq\f(f2＋Δx－f2,Δx)＝eq\f(2＋Δx2－22,Δx)＝4＋Δx；在x＝3旁边的平均改变率k3＝eq\f(f3＋Δx－f3,Δx)＝eq\f(3＋Δx2－32,Δx)＝6＋Δx.若Δx＝eq\f(1,3)，则k1＝2＋eq\f(1,3)＝eq\f(7,3)，k2＝4＋eq\f(1,3)＝eq\f(13,3)，k3＝6＋eq\f(1,3)＝eq\f(19,3).∵k1＜k2＜k3，∴在x＝3旁边的平均改变率最大．6．巍巍泰山为我国的五岳之首，有“天下第一山”之美誉，登泰山在当地有“紧十八，慢十八，不紧不慢又十八”的俗语来形容爬十八盘的感受，下面是一段登山路途图．同样是登山，但是从A处到B处会感觉比较轻松，而从B处到C处会感觉比较吃力．想想看，为什么？你能用数学语言来量化BC段曲线的陡峭程度吗？[解析]山路从A到B高度