重庆市渝东九校联盟2022-2023学年高一下学期期中数学试卷(解析)

高中数学精编资源渝东九校联盟高2025届（高一下）期中诊断性测试数学试题一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.请将答案填在后面选择题答题框内.1.复平面上表示复数的点所在的象限是（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】C【解析】【分析】由复数的几何意义即可求解.【详解】复平面上复数对应的点的坐标是，在第三象限.故选：C2.已知向量，，且，则（）A. B. C.-12 D.12【答案】B【解析】【分析】根据平面向量共线的坐标公式计算即可.【详解】因向量，，且，所以，解得.故选：B.3.在中，若，，，则角（）A. B. C. D.或【答案】A【解析】【分析】根据已知条件利用正弦定理求解即可.【详解】因为在中，若，，，所以由正弦定理得，即，解得，因为，所以，所以，故选：A4.如图，已知水平放置的按斜二测画法得到的直观图为，若，，则的面积为（）.A.3 B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据斜二测画法的规则，还原图象，可得三角形的高和底，可得答案.【详解】由题意，，，，.故选：C.5.在平行四边形ABCD中，设M为线段BC的中点，N为线段AD上靠近D的三等分点，，，则向量（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据向量的加减法运算结合平面向量基本定理求解即可.【详解】因为平行四边形ABCD中，设M为线段BC的中点，N为线段AD上靠近D的三等分点，所以，因为，，所以故选：B6.已知非零向量，满足，，若，则实数的值为（）A.4 B.-4 C. D.【答案】D【解析】【分析】根据数量积的运算规则计算.【详解】，即；故选：D.7.设直三棱柱的所有顶点都在一个球面上，且球的表面积为，，则此直三棱柱的高是（）A.1 B.2 C. D.4【答案】D【解析】【分析】设外接圆得圆心为，半径为，直三棱柱得高为，直三棱柱外接球得球心为，半径为，先分别求出，再利用勾股定理即可得解.【详解】设外接圆得圆心为，半径为，直三棱柱得高为，直三棱柱外接球得球心为，半径为，则，且平面，由正弦定理得，所以，因为，所以，所以，所以，即直三棱柱得高为.故选：D.8.在中，a，b，c分别为角A、B、C的对边，O为的外心，且有，，若，，则（）A.1 B.-2 C.0 D.【答案】A【解析】【分析】根据已知，利用正弦定理、余弦定理、圆的性质以及向量的运算进行计算求解.【详解】由题可知，，由正弦定理有：所以，即，因为，所以，由正弦定理有：，又，所以，所以，因为，所以，因为，所以，因为O为的外心，取中点，所以，根据圆的性质可知，直线过点,如图，在中可知，，又正弦定理有：，即，所以，所以与相互平分，所以四边形是平行四边形，所以，所以，所以，故B，C，D错误.故选：A.二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分.9.如图所示，观察下列四个几何体，其中判断正确的是（）A.①是棱台 B.②是圆台C.③是四面体 D.④是棱柱【答案】CD【解析】【分析】由棱台、圆台、四面体、棱柱的定义进行判断即可.【详解】图①不是由棱锥截来的，所以①不是棱台；图②上、下两个面不平行，所以②不是圆台；图③是四面体；图④上下两个面平行，其他面是平行四边形，且每相邻两个四边形的公共边平行，所以④是棱柱.故选：CD.10.已知为直线，为两个不同平面，则下列命题中不正确的是（）A.如果，，那么 B.如果，，那么C.如果，，那么 D.如果，，，那么【答案】BCD【解析】【分析】根据线面，面面位置关系的判定定理和性质定理，逐项判定，即可求解.【详解】对于A中，如果，，根据平行线的性质，可得，所以A正确；对于B中，如果，，则或相交或异面，所以B错误；对于C中，如果，，只有当时，可得，所以C不正确；对于D中，如果，，，则或异面，所以D不正确.故选：BCD11.已知，下列说法错误的是（）A.若，则B.若，则C.若，则D.若，，则的最大值为6【答案】BD【解析】【分析】根据复数的乘方即可判断A；举出反例即可判断B；根据复数的模的定义即可判断C；设，求出对应点的轨迹方程，从而可判断D.【详解】对于A，因为，所以，故A正确；对于B，当时，，此时，故B错误；对于C，若，则，所以，故C正确；对于D，设，则，所以，所以复数在复平面内对应的点的轨迹为以为圆心，为半径的圆，表示圆上的点到原点的距离，，所以最大值为，故D错误.故选：BD.12.的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，则下列结论正确的是（）A.B.若是所在平面内一点，且，则点为的内心C.若，则是等腰三角形D.若，，则的外接圆半径【答案】ABD【解析】【分析】根据余弦定理、正弦定理、三角形的面积公式、向量运算、内心等知识对选项进行分析，从而确定正确答案.【详解】A选项，由余弦定理得，由正弦定理得，则，所以A选项正确.B选项，表示方向的单位向量，表示方向的单位向量，根据向量加法和减法的运算法则可知，与相互垂直，由于，所以与垂直，所以与共线，而表示以为邻边的菱形的对角线，所以在的角平分线上，同理可得在的角平分线上，所以是三角形的内心，所以B选项正确.C选项，由得，整理得，由余弦定理得，整理得，所以三角形是直角三角形，故C选项错误.D选项，由，得，由，得,即，，，，设三角形外接圆的半径为，由正弦定理得，则，解得，所以D选项正确.故选：ABD【点睛】利用正弦定理和余弦定理，主要的思路是边角互化，根据已知条件，选择将边转化为角或将角转化为边；向量运算中表示方向上的单位向量.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知，与的夹角为，是与同向的单位向量，则在方向上的投影向量为________.【答案】【解析】【分析】根据则在方向上的投影向量的定义可得解.【详解】在方向上的投影向量为.故答案为：.14.已知圆锥的轴截面是边长为的等边三角形，则此圆锥的表面积为________.【答案】【解析】【分析】由轴截面可确定圆锥底面半径和母线长，代入圆锥表面积公式即可.【详解】圆锥轴截面是边长为的等边三角形，圆锥底面半径，圆锥母线长，圆锥的表面积.故答案为：.15.如图，为了测量山高BC，分别选择山下平地的A处和另一座山的山顶M处为测量观测点.从A点测得M点的仰角，C点的仰角以及，从M点测得，已知山高米，则________，山高________米.【答案】①.##②.【解析】【分析】在中，由，可求出，从而可求出，在中，由已知条件求出，再在中由正弦定理可求出，然后在中求出.【详解】因为在中，由，，所以，所以，中，，，，则由，得，在中，由正弦定理得，即，，得，在，，，则,故答案为：，16.在中，点D满足，过点D的直线交线段AB于点M、交线段AC的延长线于点N，记，，则的最小值为________.【答案】【解析】【分析】先求出，再根据平面向量共线定理可得，再根据结合基本不等式即可得解.【详解】因为过点D的直线交线段AB于点M、交线段AC的延长线于点N，记，，所以，且，，由，得，又三点共线，所以，故，当且仅当，即时，取等号，所以的最小值为.故答案为：.【点睛】关键点点睛：求出，再根据平面向量共线定理可得，是解决本题的关键.四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或计算步骤.17.已知复数满足.（1）求；（2）若是方程的一个根，求的值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用复数除法运算可求得，由复数模长运算可得结果；（2）根据实系数方程根与系数关系可求得，由此可得的值.【小问1详解】由得：，.【小问2详解】由（1）知：，则，，解得：，.18.已知，，.（1）设，求的值；（2）当与的夹角为锐角时，求的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）将的坐标代入化简后，列方程组可求出的值；（2）由与的夹角为锐角，可得，且与不共线，从而可求出的取值范围.【小问1详解】因为，，，且，所以，所以，解得，所以【小问2详解】因为，，所以，因与的夹角为锐角，所以，且与不共线，由，得，解得，当与不共线时，，解得，综上且，所以的取值范围为19.如图，在中，，，.（1）求的长度；（2）在边上取一点，使，求的面积.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）在中，由余弦定理求解即可；（2）设，，利用余弦定理表示出和，再结合即可解出，进而利用面积公式求解即可.【小问1详解】在中，由余弦定理得，即，所以.【小问2详解】设，则，在中，由余弦定理得，在中，由余弦定理得，由，即，解得，所以，，，所以，所以的面积为.20.在正方体中，M，N分别是线段，BD的中点.（1）求证：平面；（2）若正方体的棱长为2，求三棱锥的体积.【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）根据中位线定理，结合线面平行的判定定理，可得答案；（2）根据面面垂直性质定理，可得三棱锥的高，根据三角形中线的性质，求得三棱锥的底面积，结合三棱锥的体积公式，可得答案.【小问1详解】连接，如下图：是线段的中点，底面是长方形，是线段的中点，又是线段的中点，在中，，平面，平面，平面.【小问2详解】取的中点为，连接，如下图：分别是线段的中点，在中，，，又在正方体中，平面，平面，为的中点，，.21.在锐角中，a，b，c分别为内角A、B、C的对边，且有，在下列条件中选择一个条件完成该题目：①；②；③.（1）求A大小；（2）求的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）选①，利用正弦定理化边为角，再结合二倍角得正弦公式即可得解；选②，利用余弦定理即可得解；选③，利用正弦定理化边为角，再根据商数关系化切为弦及两角和得正弦公式即可得解；（2）先利用正弦定理求出，再根据三角恒等变换结合三角函数即可得解.【小问1详解】选①，因为，由正弦定理得，又，所以，因为，所以；选②，因为，所以，又，所以；选③，因为，由正弦定理得，即，则，则，又，所以，因为，所以；【小问2详解】由（1）得，因为，所以，则，因为为锐角三角形，所以，所以，所以，所以，即的取值范围为.22.已知，是平面内任意两个非零不共线向量，过平面内任一点O作，，以O为原点，分别以射线、为x、y轴的正半轴，建立平面坐标系，如左图.我们把这个由基底，确定的坐标系称为基底坐标系.当向量，不垂直时，坐标系就是平面斜坐标系，简记为.对平面内任一点P，连结OP，由平面向量基本定理可知，存在唯一实数对，使得，则称实数对为点Р在斜坐标系中的坐标.今有斜坐标系（长度单位为米，如右图），且，，设（1）计算的大小；（2）质点甲在上距O点4米的点A处，质点乙在Oy上距O点1米的点B处，现在甲沿的方向，乙沿的方向同时以3米/小时的速度移动.①若过2小时后质点甲到达C点，质点乙到达D点，请用，，表示；②若时刻，质点甲到达M点，质点乙到达N点，求两质点何时相距最短，并求出最短距离.【答案】（1）