福建省泉州市三校(铭选中学、泉州九中、侨光中学)2022-2023学年高一下学期期中联考数学试卷(解析)

高中数学精编资源铭选中学、泉州九中、侨光中学2023年春季高一年期中联考数学试卷（考试时间：120分钟满分：150分）一、单选题(5×8=40）1.已知复数z满足，则z在复平面内对应点位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】D【解析】【分析】化简复数z，由复数几何意义即可得出答案.【详解】因为，以z在复平面内对应的点为（7，-1），位于第四象限．故选：D.2.已知两个向量，，若，则x的值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据向量平行的坐标表示分析运算.【详解】若，则，解得.故选：A.3.在下列区间中，函数在其中单调递减的区间是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由正弦函数的单调减区间判断.【详解】由得，，的减区间是，，只有选项B的区间，故选：B．4.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.已知A=45°，a=6，b=3，则B的大小为（）A.30° B.60°C.30°或150° D.60°或120°【答案】A【解析】【分析】先由正弦定理求出sinB=，可得B=30°或B=150°，再由a>b，得A>B，从而可求出B=30°.【详解】由正弦定理得，即，解得sinB=，又B为三角形内角，所以B=30°或B=150°，又因为a>b，所以A>B，即B=30°.故选：A.5.已知，是同一平面内互相垂直的两单位向量，且，则与夹角的余弦值为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据向量的夹角公式求解即可【详解】由题意，，，故与夹角的余弦值故选：D6.已知，且，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据关系求得，再由角的范围有并确定函数值，进而求目标式的值.【详解】因为，所以，所以，则.因为，则，故，所以.故选：A7.在中，，点D为边BC上靠近B的三等分点，则的值为（）A. B. C. D.4【答案】B【解析】【分析】利用、表示向量、，利用平面向量数量积的运算性质可求得的值.【详解】如下图所示：，由平面向量数量积的定义可得，因此，故选：B.8.函数，已知为图象的一个对称中心，直线为图象的一条对称轴，且在上单调递减．记满足条件的所有的值的和为，则的值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由一条对称轴和一个对称中心可以得到或，由在上单调递减可以得到，算出的大致范围，验证即可.【详解】由题意知：或∴或∴或∵在上单调递减，∴∴①当时，取知此时，当时，满足在上单调递减，∴符合取时，，此时，当时，满足在上单调递减，∴符合当时，，舍去，当时，也舍去②当时，取知此时，当时，，此时在上单调递增，舍去当时，，舍去，当时，也舍去综上：或2，.故选：A.【点睛】本题考查三角函数的图象与性质，难度较大，易错点在于已知一条对称轴和一个对称中心要分两种情况分析.二、多选题(5×4=20)9.若，，则（）A. B.C.与的夹角为 D.在方向上的投影向量为【答案】AD【解析】【分析】根据数量积的坐标表示及向量模的坐标表示判断A、B、C，再根据投影向量的定义计算判断D；【详解】解：因为，，所以，，，所以，，则，，故A正确，B错误；设与的夹角为，则，因为，所以，故C错误；在方向上的投影向量为，故D正确；故选：AD10.把函数的图象向左平移个单位长度，再把横坐标变为原来的倍（纵坐标不变）得到函数的图象，下列关于函数的说法正确的是（）A.最小正周期为 B.图象的一条对称轴为直线C.图象的一个对称中心为 D.在区间上的最小值为【答案】AB【解析】【分析】根据三角函数图象平移规律、伸缩变化可得，再逐项判断可得答案.【详解】把函数的图象向左平移个单位长度，得，再把横坐标变为原来的倍（纵坐标不变）得，则函数的最小正周期，故A正确；因为，所以图象的一条对称轴为直线，故B正确因为，所以不是函数图象的一个对称中心，故C错误；当时，，，所以，故D错误；故选：AB.11.如图，的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，且，D是外一点，，，则下列说法正确的是（）A.是等边三角形B.若，则A，B，C，D四点共圆C.四边形ABCD面积最小值为D.四边形ABCD面积最大值为【答案】AD【解析】【分析】利用三角函数恒等变换化简已知等式可求，再利用，可知是等边三角形，从而判断A；利用四点共圆，四边形对角互补，从而判断B；由余弦定理可得，利用三角形面积公式，三角函数恒等变换可求四边形ABCD的面积，由正弦函数的性质求出最值，判断CD.【详解】解：已知，由正弦定理得，，即，因为，所以，又，且，所以．所以是等边三角形，A选项正确；在中，由余弦定理得，，则，即，所以A，B，C，D四点不共圆，B选项错误；设，，由余弦定理得：，所以四边形ABCD面积，即，因为，所以，所以当，即时，S取得最大值，无最小值，C选项不正确，D选项正确；故选：AD.12.设，函数，则下列命题正确的是（）A.若，则B.若的值域为，则C.若函数在区间内有唯一零点，则D.若对任意的，且都有恒成立，则【答案】BCD【解析】【分析】根据正弦函数的周期性判断A，对和分别计算函数的取值情况，即可得到不等式组，从而判断B、C，依题意对任意的，且都有恒成立，即在上单调递增，从而各段均单调递增，且断点处函数值需满足右侧的不小于左侧的，即可得到不等式组，解得即可判断D；【详解】解：因为，对于A：，所以或，，解得或，，故A错误；对于B：若的值域为，当时，当时且，所以，解得，故B正确；对于C：若函数在区间内有唯一零点，①又，即时，当时，此时，所以函数在上单调递增，且，当时且，即函数在上单调递减，此时函数必有且仅有一个零点，符合题意；②，即，则当时且即函数在上单调递增，即在上不存在零点，要使函数只有一个零点，在上有且仅有一个零点，故，解得，综上可得，故C正确；对于D：对任意的，且都有恒成立，即对任意的，且都有恒成立，即在上单调递增，所以，解得，故D正确；故选：BCD三、填空题(共20分)13.若复数是纯虚数，则实数m=____.【答案】2【解析】【分析】根据纯虚数实部为0虚部不为0计算即可【详解】由题意，，解得故答案为：2.14.已知，与的夹角为，则______.【答案】【解析】【分析】根据向量数量积运算求得正确答案.【详解】因为，与夹角为，所以.故答案为：15.海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象，被喻为“地球留给人类保留宇宙秘密的最后遗产”，我国拥有世界上最深的海洋蓝洞，若要测量如图所示的蓝洞的口径A，B两点间的距离，现在珊瑚群岛_上取两点C，D，测得，，，，则A、B两点的距离为______m．【答案】【解析】【分析】根据已知的边和角，在中，由正弦定理解得，在中，由余弦定理得.【详解】因为，，所以，，所以，又因为，所以，，在中，由正弦定理得，即，解得，在中，由余弦定理得，所以，解得．故答案为：.16.记锐角的内角，，的对边分别为，，，且，若，是的两条高，则的取值范围是______.【答案】【解析】【分析】根据正弦定理进行边角互化，可得角，再根据高线的性质可得，再利用边角互化，结合三角函数值域可得范围.【详解】由，得，再由正弦定理得，故，所以，故，又为锐角三角形，故，即，，故，故答案为：.四、解答题(共10+12+12+12+12+12=70分)17.已知平面向量，，.（1）若，求；（2）若与的夹角为锐角，求的取值范围.【答案】（1）或（2）【解析】【分析】（1）根据垂直关系可构造方程求得，由向量模长的坐标运算可求得结果；（2）根据向量共线的坐标表示可求得的值，根据夹角为锐角可构造不等式组求得结果.【小问1详解】，，解得：或，当时，，；当时，，；综上所述：或10【小问2详解】若共线，则，解得：或，当时，，，此时同向；当时，，，此时反向；若与的夹角为锐角，则，解得：且，的取值范围为.18.已知函数．（1）当时，求函数的最大值；（2）若，求的值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用二倍角公式和辅助角公式化简，然后求最值即可；（2）根据得到，然后利用诱导公式和二倍角公式求即可.【小问1详解】依题意，，当时，，则当，即时，，所以当时，.小问2详解】因为，则由（1）知，，即，所以.19.在平面四边形ABCD中，，，.（1）若△ABC的面积为，求AC；（2）若，，求.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）应用三角形面积公式有，可求，由余弦定理即可求；（2）设，在中，在△中应用正弦定理有，即可求，得解.【小问1详解】在△中，，，∴，可得，在△中，由余弦定理得，.【小问2详解】设，则，在中，，易知：，在△中，由正弦定理得，即，，可得，即..20.如图，在中，点在线段上，且满足，过点的直线分别交直线于不同的两点，若.（1），求的值；（2）求证：，并求的最小值.【答案】（1）（2）证明见解析；【解析】【分析】（1）确定，得到答案.（2）确定，得到，确定，展开利用均值不等式计算得到答案.【小问1详解】，故，【小问2详解】，三点共线，故，即，，当且仅当，即时等号成立，故的最小值为.21.锐角的三个内角是、、，满足．（1）求角的大小及角的取值范围；（2）若的外接圆圆心为，且，求的取值范围．【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）利用正弦定理、余弦定理化简已知条件，求得.根据锐角三角形的知识列不等式，由此求得的取值范围.（2）根据正弦定理求得外接圆的半径，设，将表示为的形式，结合三角函数值域的知识求得的取值范围.【小问1详解】设的三个内角、、的对边分别为、、，因为，由正弦定理可得，所以，故，所以为锐角，所以，因为为锐角三角形，则，解得，所以，角的取值范围是.【小问2详解】设的外接圆半径为，所以，，设，则，则，所以，因为，所以，所以所以，所以，所以的取值范围为.22.为响应国家“乡村振兴”号召，农民王大伯拟将自家一块直角三角形地按如图规划成3个功能区：△BNC区域为荔枝林和放养走地鸡，△CMA区域规划为“民宿”供游客住宿及餐饮，△MNC区域规划为小型鱼塘养鱼供休闲垂钓.为安全起见，在鱼塘△MNC周围筑起护栏.已知，，，.（1）若时，求护栏的长度（△MNC的周长）；（2）当为何值时，鱼塘△MNC的面积最小，最小面积是多少？【答案】（1）；（2），最小值为.【解析】【分析】（1