《立体几何初步》单元测试（二）

高中数学精编资源11/11《立体几何初步》单元测试(二)一、选择题1.(2020·浙江卷)已知空间中不过同一点的三条直线,,则“在同一平面内”是“两两相交”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件 2.(2020·北京卷)某三棱柱的底面为正三角形,其三视图如图所示,该三棱柱的表面积为()A.B.C.D.3.(2020·全国卷II)日晷是中国古代用来测定时间的仪器,利用与晷面垂直的晷针投射到晷面的影子来测定时间.把地球看成一个球(球心记为),地球上一点的纬度是指与地球赤道所在平面所成角,点处的水平面是指过点且与垂直的平面.在点处放置一个日晷,若晷面与赤道所在平面平行,点处的纬度为北纬,则晷针与点处的水平面所成角为()A.B.C.D.4.已知为异面直线,平面平面,直线满足,则()A.,且B.,且C.与相交,且交线垂直于D.与相交,且交线平行于5.在正方体中,点是棱上的动点,则过三点的截面图形是()A.等边三角形B.矩形C.等腰梯形D.以上都有可能 6.设表示不同的直线,表示不同的平面,给出下列四个命题:①若,且,则;②若,且,则;③若,则;④若,且,则.其中正确命题的个数是()A.1B.2C.3D.47.已知几何体为正方体,以下结论:①平面;②;③平面.其中正确结论的个数是()A.0B.1C.2D.38.如图,边长为的等边三角形的中线与中位线交于点,已知是绕直线旋转过程中的一个图形(不与,重合),则下列命题中真命题为()①动点在平面上的射影在线段上;②平面;③三棱锥的体积有最大值.A.①B.①②C.①②③D.②③9.在正方体中,点在线段上运动,则异面直线与所成的角的取值范围是()A.B.C.D.10.已知棱长为的正方体内有一圆柱,此圆柱恰好以直线为轴,则该圆柱侧面积的最大值为()A.B.C.D.二、填空题11.(2021·浙江宁波北仑中学高一期中)一个正四棱柱的顶点都在一个球面上,且侧棱长是底面边长的2倍,则这个球与四棱柱的表面积的比值为________.12.将一个真命题中的“平面”换成“直线”,“直线”换成“平面”后仍是真命题,则该命题称为“可换命题”.有下列四个命题:①垂直于同一平面的两直线平行;②垂直于同一平面的两平面平行;③平行于同一直线的两直线平行;④平行于同一平面的两直线平行.其中是“可换命题”的是________.(填命题的序号)13.已知球的两个平行截面面积分别为,它们位于球心的同侧,且相距为1,那么这个球的半径是________.三、解答题14.由四棱柱截去三棱锥后得到的几何体如图所示.四边形为正方形,为与的交点,为的中点,平面.(1)证明:平面;(2)设是的中点,证明:平面平面.15.(2020·浙江卷)如图,三棱台中,平面平面.(1)证明:;(2)求与平面所成角的正弦值.

答案解析一、选择题1.答案:B解析:解决本题需要将两个条件相互推导,根据能否推导的结果判断充分必要条件.依题意是空间不过同一点的三条直线,当在同一平面内时,可能,故不能得出两两相交.当两两相交时,设,根据基本事实2可知确定一个平面,而,根据基本事实1可知,直线即,所以在同一平面内.综上所述,“在同一平面内”是“两两相交”的必要不充分条件.2.答案:D解析:本题是一道三视图还原直观图的表面积计算问题,解决本题首先要确定几何体的结构特征,然后求解其表面积即可.由题意可得,三棱柱的上下底面为边长为2的等边三角形,侧面为三个边长为2的正方形,则其表面积.3.答案:B解析:本题以数学文化知识为背景考查了空间中线面所成角的问题,解决本题需要画出过球心和晷针所确定的平面截地球和晷面的截面图,根据面面平行的性质定理和线面垂直的定义判定有光截线的关系,根据点A处的纬度,计算出晷针与点A处的水平面所成角.画出截面图如下图所示,其中是赤道所在平面的截线;是点处的水平面的截线,依题意可知是晷针所在直线,是晷面的截线,依题意,晷面和赤道平面平行,晷针与晷面垂直,根据平面平行的性质定理可得,根据线面垂直的定义可得.由于,所以,由于,所以,也即晷针与点处的水平面所成角为.4.答案:D解析:由于为异面直线,平面平面,则平面与平面必相交但未必垂直,且交线垂直于直线,又直线满足,则交线平行于.5.答案:D解析:本题考查了立体几何的截面问题.当点与重合时,截面图形为等边三角形,如图(1);当点与点重合时,截面图形为矩形,如图(2);当点不与点重合时,截面图形为等腰梯形,如图(3).6.答案:B解析:本题主要考查了空间中线面平行、垂直位置关系的性质与判定,解决此类问题要熟知空间中线面平行、垂直的概念、性质定理、判定定理,以及相互转化.①正确.②中,有可能,不成立;③中,还有可能相交于一点,不成立;④正确,所以正确的命题有2个.7.答案:D解析:由正方体的性质,得,结合线面平行的判定定理,得平面,所以①正确.连接,由正方体的性质得,因为是在底面内的射影,所以,所以②正确.由正方体的性质得,由②可得,所以,同理可得,结合线面垂直的判定定理得平面,所以③正确.8.答案:C解析:折叠前,折叠后其位置关系没有改变.①由已知可得平面平面点在平面上的射影在线段上.②∵平面平面平面.③当平面平面时,三棱锥的体积达到最大.9.答案:D解析:本题考查了两条异面直线所成角的计算,在解决此类问题时注意利用平移的方法,把两条异面直线平移成平面角进行计算.连接.因为,所以与所成的角就是与所成的角,即.当点从向运动时,从0增大到,但当点与重合时,,与“与为异面直线”矛盾,所以异面直线与所成的角的取值范围是.10.答案:D解析:本题考查几何体的侧面积,解答本题时要注意先根据条件求得圆柱的底面最大半径,由此计算得到圆柱的侧面积最大值.由题知,只需考虑圆柱的底面与正方体的表面相切的情况,由图形的对称性可知,侧面积最大时,圆柱的上底面必与过点的三个面相切,且切点分别在线段,上,如图所示,设线段上的切点为与平面的交点为,圆柱上底面的圆心为,半径即为,记为,设与平面的交点为.正方体的棱长为.由题意知,,由知,,∴,则圆柱的高为,当时,圆柱的侧面积取得最大值,最大值为.二、填空题11.答案:解析:底面为正方形,正四棱柱的外接球半径为体对角线的一半,设边长为1,那么侧棱长为2,正四棱柱的体对角线为外接球半径为,可得球表面积为;正四棱柱的表面积为10.球与四棱柱的表面积的比值为.12.答案:①③解析:本题是一道新定义类型的试题,考查了线面、面面平行与垂直的性质与判定.对于①,原命题为真命题,换后的命题为“垂直于同一直线的两平面平行”,也是真命题,故①是“可换命题”;对于②,命题本身就是假命题,故②不是“可换命题”;对于③,原命题为真命题,换后的命题为“平行于同一平面的两平面平行”,也是真命题,故③是“可换命题”;对于④,命题本身就是假命题,故④不是“可换命题”.综上,是“可换命题”的为①③.13.答案:3解析:本题考查了球的结构特征,在求解本题时,只需画出球的沿直径的轴截面,然后根据题目中的数量关系和几何关系利用勾股定理求解.设球的半径为,两截面圆的半径分别为.由题意,得,∴,又,设,则有,∴,解得.三、解答题14.答案:见解析解析:证明:(1)取的中点,连接.由于原多面体是四棱柱,所以,因此四边形为平行四边形,所以.又平面平面,所以平面.(2)因为分别为和的中点,所以.又平面平面,所以.因为,所以.又平面,所以平面.又平面,所以平面平面.思路:本题考查了线面平行的判定,线面垂直的判定与性质,线线平行的性质,面面垂直的判定.要证线面平行,先证线线平行,要证面面垂直,先证线面垂直.15.答案:见解析解析:本题主要考查空间点、线、面位置关系