山东省泰安市高二上学期11月期中考试数学试题（B卷）（含答案解析）

山东省泰安市高二上学期期中数学试题2024.11注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目选项的标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．1.直线在轴上的截距是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用直线的斜截式可直接得解.【详解】对于直线，它在轴上的截距为.故选：A.2.直线的倾斜角为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据直线方程求出斜率即可得出倾斜角.【详解】设直线倾斜角为，由可得，则，由，可知.故选：C3.已知点沿着向量的方向移动到点Q，且，则点Q的坐标为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据题意设,，利用求出，得到的坐标，即可求出点的坐标.【详解】设,，则，由得，解得或（舍），∴，∴，∴，即.故选：C.4.已知圆，则过点的圆C的切线方程为（）A. B.或C. D.或【答案】D【解析】【分析】分切线斜率存在与不存在讨论即可.【详解】，则其圆心坐标为，半径为2，由于，可知点1,2在圆外，当切线斜率不存在时，此时切线方程为，符合题意，当切线斜率存在时，设切线方程为，即，则，解得，此时直线方程为，即.综上所述，切线方程为：或.故选：D.5.已知正方体中，分别为上底面和下底面的中心，则下列与和共面的向量是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据题意建立空间直角坐标系，利用空间向量法求得和共面的平面的法向量，再逐项计算对应向量与法向量的数量积即可判断得解.【详解】根据题意，建立空间直角坐标系，如图，不妨设正方体的棱长为，则，，所以，设和共面的平面的法向量为，则，令，则，对于A，，则，所以与和共面，故A正确；对于B，，则，所以不与和共面，故B错误；对于C，，则，所以不与和共面，故C错误；对于D，，则，所以不与和共面，故D错误；故选：A.6.已知直线与直线关于点对称，则恒过的定点为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】求出直线所过定点的坐标，求出点关于点的对称点的坐标，即为所求.【详解】直线的方程可化为，由得，所以，直线过定点，点关于点的对称点为，因此，直线恒过的定点.故选：C.7.已知正三棱柱底面边长为1，侧棱长为2，D为的中点，则与平面所成的角的正弦值为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】取中点，以为原点建立空间直角坐标系，表示与平面的法向量，利用公式即可求出线面角的正弦值.【详解】取中点，则，以为原点，建立如图所示空间直角坐标系，则，∴，由图可知，平面的法向量为.设与平面所成的角为，则，故与平面所成的角的正弦值为.故选：B.8.已知点在直线上，若以P为圆心，以3为半径的圆与圆有公共点，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据题意，利用两圆有公共点得到，进而利用两点距离公式得到关于的二次不等式，解之即可得解.【详解】因为点在直线上，所以，即，则，因为圆可化为，所以圆A的圆心为，半径为，因为以P为圆心，以3为半径的圆与圆有公共点，所以，即，即，解得，则，即，则.故选：B.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知直线，直线，若或，则a的值可能为（）A.4 B. C. D.1【答案】BC【解析】【分析】利用两直线平行与垂直的性质，分别列式即可得解.【详解】对于直线，直线，若，则，所以，解得，故B正确；若，则，解得，经检验，满足要求，故C正确；由上述解析可知AD错误.故选：BC.10.已知圆，则（）A.点在圆内B.若点在圆上，则的最大值为C.若圆上恰有三个点到直线的距离为1，则实数m的值为D.若点P在直线上，点在圆上，，则的最小值为【答案】BCD【解析】【分析】利用点圆位置关系的判定方法可判断A，将问题转化为直线与圆的位置关系，从而列式可判断B，将问题转化为圆心到直线的距离问题，从而列式可判断C，利用将军钦马问题，结合定点到圆上动点的距离问题可判断D，从而得解.【详解】对于A，因，所以点0,2在圆外，故A错误；对于B，因为圆，可化为，所以圆心，半径为，设，则，又点Px,y在圆上，所以直线与圆有交点，即，解得，所以的最大值为，故B正确；因为圆上恰有三个点到直线的距离为1，而圆的半径为，所以圆心到直线的距离为1，即，解得，故C正确；对于D，设关于直线的对称点为，则，解得，则，则，而的最小值为，所以，当且仅当四点共线，且在线段时，等号成立，则的最小值为.故选：BCD.11.在直三棱柱中，底面为等腰直角三角形，且满足，若点P满足，其中，，则下列说法正确的是（）A.当时，三棱锥的体积为定值B.当时，的面积S的最大值为C.当时，有且仅有一个点P，使得D.当时，有且仅有一个点P，使得平面【答案】AC【解析】【分析】确定点的位置，建立空间直角坐标系.等体积转化可得选项A正确；由线面垂直得，分析的最大值可得选项B错误；利用计算的值只有一个，可得选项C正确；利用可得选项D错误.【详解】由题意得，.∵，平面，平面，，∴平面，∵，∴平面.由得点在四边形内（包含边界）.以为原点，建立如图所示空间直角坐标系，则，，，，，∴，∴，由得，.A.当时，，此时点到距离为，故，为定值，选项A正确.B.当时，，，当时，，由平面，平面，得，∴，最大值为，选项B错误.C.当时，，由得，，故有且仅有一个点P，使得，选项C正确.D.当时，，由题意得，四边形为正方形，故，要使平面，需，∵，∴不成立，选项D错误.故选：AC.【点睛】思路点睛：本题考查空间向量综合问题，具体思路如下：（1）当时，分析条件可知点到距离为，利用等体积转化可得，计算结果为定值.（2）当时，由平面得，，分析的最大值即可得到结果.（3）当时，计算的坐标，利用只能得到一个得，，故有且仅有一个点P，使得.（4）分析条件可得，要使平面，需，而，故不存在点P，使得平面.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.若向量，，则______．【答案】6【解析】【分析】根据空间向量的坐标运算即可得到结果.【详解】∵，，∴，∴.故答案为：6.13.已知在长方体中，，，则到平面的距离为______．【答案】1【解析】【分析】以为坐标原点建立空间直角坐标系，利用空间距离的向量求法计算可得结果.【详解】以为坐标原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，如下图所示：则，可得，设平面的一个法向量为，可得，令，则，即，又，所以到平面距离为.故答案为：114.已知，，点C，D满足，，则D点的轨迹方程为______________.【答案】【解析】【分析】根据题意设的坐标，利用平面向量线性运算与模的坐标表示，结合求轨迹的相关点法即可得解.【详解】依题意，设，又，，则，，，因为，所以，则，故，因为，所以，所以，则，所以D点的轨迹方程为.故答案为：.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知直线与轴交于点，与轴交于点，与交于点．（1）求过点且与直线平行的直线的方程；（2）求的面积．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）联立直线、的方程，求出点的坐标，根据两直线平行求出所求直线的斜率，再利用点斜式可得出所求直线的方程；（2）求出点、，可求出AB的值，以及点到直线的距离，利用三角形的面积公式可求得结果.【小问1详解】由得，即点.因为所求直线与直线平行，所以，所求直线斜率为，故所求直线方程为，即.【小问2详解】直线与轴交点的坐标为，直线与轴交点的坐标为0,3，则，点到的距离，所以，的面积.16.已知点，，点A关于直线的对称点为C.（1）求的外接圆的标准方程；（2）若过点的直线被圆E截得的弦长为2，求直线l的方程.【答案】（1）（2）或.【解析】【分析】（1）先利用点关于直线对称求得点的坐标，再利用待定系数法求得圆的一般方程，从而配方得解；（2）利用圆的弦长公式求得圆心到直线的距离，再分类讨论直线斜率存在与否，利用点线距离公式列式即可得解.【小问1详解】依题意，设点，因为点与点关于直线对称，所以，解得，故，设的外接圆的一般方程为，则，解得，则圆的一般方程为，所以圆的标准方程为.【小问2详解】由（1）知，圆的圆心为，半径为，因为直线被圆截得的弦长为2，所以圆心到直线的距离为，当直线斜率不存在时，直线方程为，易知满足题意；当直线斜率存在时，设直线的方程为，即，则，解得，此时的方程为，即综上，所求直线的方程为或.17.如图，在三棱锥中，，，M在线段上，且，N为的中点.（1）证明：；（2）求异面直线，所成角的余弦值.【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）易知平面，进而可求证；（2）取取的靠近点的三等分点，得到异面直线，所成的角为或其补角，再由余弦定理即可求解.【小问1详解】证明：连接，如图，，N为的中点.，，又平面，，平面，由平面，所以；【小问2详解】取的靠近点的三等分点，连接，如图，则，异面直线，所成的角为或其补角，由题意，，，，所以，又，,所以，则在中，，即异面直线，所成角的余弦值为.18.已知圆过点，圆心在直线上，且圆与直线相切．（1）求圆的标准方程；（2）若点为直线上的动点，过作圆的两条切线，切点分别为、，求四边形面积的最小值，并求出此时点的坐标．【答案】（1）（2）四边形面积的最小值为，点的坐标为【解析】【分析】（1）设圆心，根据题意列关于的方程，解方程，可求出圆的半径，进而可得出圆的标准方程；（2）推导出，可得出四边形面积，分析可知，当时，取最小值，求出方程，联立、的方程，求点的坐标，并求出的值，由此可得出四边形面积的最小值.【小问1详解】因为圆的圆心在直线上，设圆心为，根据题意可得，即，解得，故圆心为，该圆的半径为，因此，圆的标准方程为.【小问2详解】因为、都与圆相切，由切线长定理可得，又因，，则，且，，所以，四边形面积，当时，取最小值，则四边形面积最小，因为直线的斜率为，则直线的斜率为，所以，直线的方程为y=−x−1，即，由得，即点的坐标为，此时，则四边形面积的最小值为.19.如图，在四面体中，平面，M，P分别是线段，的中点，点Q在线段上，且.（1）求证：平面；（2）当，时，求平面与平面夹角的余弦值；（3）在（2）的条件下，若为内的动点，平面，且与平面所成的角最大，试确定点G的位置.【答案】（1）证明见解析（2）（3）点位于中位线靠近的八等分点的第3个点处【解析】【分析】（1）利用中位线定与与平行线的传递性，结合线面平行的判定定理即可得证；（2）利用勾股定理与线面垂直的性质定理建立空间直角坐标系，再分别求得平面与平面的法向量，利用空间向量法求面面角的方法即可得解；（3）先利用线面平行的性质定理分析得在上，假设，再利用线面角的空间向量法分析得与平面所成的角时的值，从而得解.【小问1详解】取BD中点，连接PO，是BM的中点，，且，在线段CD上取点，使，连接OF，QF，，，且，，四边形POFQ为平行四边形，，又平面平面，平面.【小问2详解】，则，，取BD中点，则，又平面，平面BCD，以为原点，OB，OC，OP所在直线分别为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，故，则，，，，所以，故，易知平面的一个法向量为，设平面的一个法向量为，则，即，取，则，，设平面与平面夹角为，则，所以平面与平面夹角的余弦值为.【小问3详解】由（2）知为BD中点，为AD中点，连接OM，，点为内动点且平面QGM，