考点2 函数与导数-五年（2020-2024）高考数学真题专项分类汇编

五年（2020-2024）高考真题专项分类汇编PAGEPAGE4考点2函数与导数——五年（2020—2024）高考数学真题专项分类汇编一、选择题1．[2023年新课标Ⅰ卷]设函数在区间单调递减，则a的取值范围是()A. B. C. D.2．[2021年新高考Ⅱ卷]已知，，，则下列判断正确的是()A. B. C. D.3．[2024年新课标Ⅱ卷]设函数，若，则的最小值为()A. B. C. D.14．[2020年新高考Ⅰ卷]基本再生数与世代间隔是新冠肺炎的流行病学基本参数.基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间.在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：描述累计感染病例数随时间(单位:天)的变化规律，指数增长率与，近似满足，有学者基于已有数据估计出，.据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间约为()A.1.2天 B.1.8天 C.2.5天 D.3.5天5．[2024年新课标Ⅰ卷]已知函数在R上单调递增，则a的取值范围是()A. B. C. D.6．[2023年新课标Ⅱ卷]已知函数在区间单调递增，则a的最小值为()A. B.e C. D.7．[2024年新课标Ⅰ卷]已知函数的定义域为R，，且当时，，则下列结论中一定正确的是()A. B. C. D.8．[2021年新高考Ⅰ卷]若过点可以作曲线的两条切线，则()A. B. C. D.9．[2021年新高考Ⅱ卷]设函数的定义域为R，且为偶函数，为奇函数，则()A. B. C. D.10．[2024年新课标Ⅱ卷]设函数，，当时，曲线与恰有一个交点，则()A.-1 B. C.1 D.2二、多项选择题11．[2023年新课标Ⅰ卷]已知函数的定义域为R，，则()A. B.C.是偶函数 D.为的极小值点12．[2023年新课标Ⅰ卷]噪声污染问题越来越受到重视.用声压级来度量声音的强弱，定义声压级，其中常数是听觉下限阈值，p是实际声压.下表为不同声源的声压级：声源与声源的距离声压级燃油汽车10混合动力汽车10电动汽车1040已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车处测得实际声压分别为，，，则()A. B. C. D.13．[2024年新课标Ⅰ卷]设函数，则()A.是的极小值点 B.当时，C.当时， D.当时，14．[2024年新课标Ⅱ卷]设函数，则()A.当时，有三个零点B.当时，是的极大值点C.存在a，b，使得为曲线的对称轴D.存在a，使得点为曲线的对称中心三、填空题15．[2021年新高考Ⅰ卷]已知函数是偶函数，则____________.16．[2021年新高考Ⅰ卷]函数的最小值为________.

17．[2024年新课标Ⅰ卷]若曲线在点处的切线也是曲线的切线，则___________.18．[2021年新高考Ⅱ卷]已知函数，，，函数的图象在点和点处的两条切线互相垂直，且分别交y轴于M，N两点，则的取值范围是___________.四、解答题19．[2024年

新课标Ⅱ卷]已知函数.（1）当时，求曲线在点处的切线方程；（2）若有极小值，且极小值小于0，求a的取值范围.20．[2023年新课标Ⅰ卷]已知函数.(1)讨论的单调性；(2)证明：当时，.21．[2022年新高考Ⅱ卷]已知函数.（1）当时，讨论的单调性；（2）当时，，求a的取值范围；（3）设，证明：.22．[2024年新课标Ⅰ卷]已知函数.（1）若，且，求a的最小值；（2）证明：曲线是中心对称图形；（3）若当且仅当，求b的取值范围.23.[2022年新高考Ⅰ卷]已知函数和有相同的最小值.（1）求a；（2）证明：存在直线，其与两条曲线和共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标成等差数列.

——★参考答案★——1．答案：D解析：由题意得在区间上单调递减，所以，解得.故选D.2．答案：C解析：，即.故选：C.3．答案：C解析：由及，单调递增，可得与同正、同负或同为零，所以当时，，即，所以，则，故选C.4．答案：B解析：，，.若则，，，选B.5．答案：B解析：因为函数在R上单调递增，且当时，，所以在上单调递增，所以，即；当时，，所以函数在上单调递增.若函数在R上单调递增，则，即.综上，实数a的取值范围是.故选B.6．答案：C解析：法一：，由在区间单调递增可知，当时，恒成立.当时，，不符合题意.当时，设，则，则在单调递增，所以只需，解得，故选C.法二：由题意可知在区间上恒成立，即，.设，则在上恒成立，所以在上单调递增，，所以，即，故选C.7．答案：B解析：因为当时，，所以，.对于，令，得；令，得；依次类推，得；；；；；；；；；；；….显然，所以，故选B.8．答案：D解析：设，则.过点可以作曲线的两条切线，设切点，则，所以切线方程为.将代入切线方程，得，即.因为过点可以作两条切线，所以方程有两个不相等的实数根.设，，则函数与的图象有两个交点.因为，当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减，所以，所以.又当时，，当时，，所以要使两函数的图象存在两个交点，则.综上所述，.故选D.9．答案：B解析：因为函数是偶函数，所以，则函数的图象关于直线对称.因为函数是奇函数，所以，则，即，所以，且函数的图象关于点对称.又，则，所以，所以.又函数的图象关于直线对称，所以，故选B.10．答案：D解析：解法一：令，即，可得，令，，原题意等价于当时，曲线与恰有一个交点，注意到，均为偶函数，可知该交点只能在y轴上，可得，即，解得，若，令，可得因为，则，当且仅当时，等号成立，可得，当且仅当时，等号成立，则方程有且仅有一个实根0，即曲线与恰有一个交点，所以符合题意；综上所述：.解法二：令，原题意等价于有且仅有一个零点，因为，则为偶函数，根据偶函数的对称性可知的零点只能为0，即，解得，若，则，，又因为，当且仅当时，等号成立，可得，当且仅当时，等号成立，即有且仅有一个零点0，所以符合题意；故选：D.11．答案：ABC解析：取，则，故A正确；取，则，所以，故B正确；取，则，所以，取，则，所以，所以函数为偶函数，故C正确；由于，且函数为偶函数，所以函数的图象关于y轴对称，所以可能为函数的极小值点，也可能为函数的极大值点，也可能不是函数的极值点，故D不正确.故选ABC.12．答案：ACD解析：因为随着p的增大而增大，且，，所以，所以，故A正确；由，得，因为，所以，故C正确；假设，则，所以，所以，不可能成立，故B不正确；因为，所以，故D正确.13．答案：ACD解析：因为，所以，令，解得或，当或时，，当时，，所以函数的单调递增区间为，，单调递减区间为，故是函数的极大值点，是函数的极小值点，所以A正确.当时，，即，又函数在上单调递增，所以，所以B错误.当时，，函数在上单调递减，所以，所以C正确.当时，，所以，所以D正确.综上，选ACD.14．答案：AD解析：由题可知，.对于A，当时，由得，由得或，则在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，且当时，，，，当时，，故有三个零点，A正确；对于B，当时，由得，由得或，则在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，故是的极小值点，B错误；对于C，当时，，当时，，故曲线必不存在对称轴，C错误；对于D，解法一：，令，则可转化为，由为奇函数，且其图象关于原点对称，可知的图象关于点对称，则的图象关于点对称，故存在，使得点为曲线的对称中心，D正确.故选AD.解法二：任意三次函数的图象均关于点成中心对称，D正确.故选AD.15．答案：1解析：本题考查函数的奇偶性.因为为偶函数，所以，所以，由得.16．答案：1解析：本题考查分段函数的概念与单调性.因为所以当时，单调递减，；当时，，所以在上单调递减，在上单调递增，所以.又因为，所以当时，取得最小值1.17．答案：解析：由题，令，则，所以，所以曲线在点处的切线方程为.令，则，设直线与曲线相切于点，则，得，则，所以，所以.18．答案：解析：当时，，；当时，，.因为函数的图象在点A，B处的两条切线互相垂直，所以，即，所以.因为，，所以函数的图象在点A，B处的切线方程分别为，，分别令，得，，所以，，所以.令，则，所以函数在上单调递增，所以.又当时，，，所以当时，，所以，所以的取值范围是.19．答案：（1）（2）解析：（1）当时，，则，则.，所以切点坐标为，所以切线方程为，即.（2）易知函数的定义域为R，.当时，，函数在R上单调递增，无极值；当时，由，得，由，得，所以函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，所以的极小值为.由题意知，等价于.法一：令，则，所以函数在上单调递减，又，故当时，；当时，.故实数a的取值范围为.法二：由，得.如图为函数与在区间上的大致图象，由图易知当时，，即.所以实数a的取值范围为.20．答案：(1)当时，函数在上单调递减；当时，函数在上单调递减，在上单调递增(2)证明见解析解析：(1)，当时，，所以函数在上单调递减；当时，令，得，令，得，所以函数在上单调递减，在上单调递增.综上可得：当时，函数在上单调递减；当时，函数在上单调递减，在上单调递增.(2)由(1)得当时，函数的最小值为，令，，所以，令，得；令，得.所以函数在上单调递减，在上单调递增，所以函数的最小值为，所以当时，成立.21．答案：（1）当时，单调递减；当时，单调递增（2）（3）证明见解析解析：（1）当时，，所以.当时，，单调递减；当时，，单调递增.（2）令，则对恒成立等价于对恒成立.因为，所以.令，则，则.①若，即，则，所以，使得当时，有，即，所以单调递增，所以，矛盾.②若，即，则，所以在上单调递减，所以，符合题意.综上所述，实数a的取值范围是.（3）证明：令，，则.所以在上单调递增.所以，即.令，则，所以，即，所以.故.22．答案：（1）-2（2）证明见解析（3）解析：（1）的定义域为，若，则，，当时，，，则，故a的最小值为-2.（2），故曲线关于点中心对称.（3）由题知，此时，.记，，易知在上单调递减，在上单调递增，，当时，，，在上单调递增，又，故符合题意.当时，，，令，得，因为，所以，故，，所以当时，，，在上单调递减，故，不符合题意.综上，b的取值范围为.23.（1）答案：解析：的定义域为R，的定义域为.，.①当时，恒成立，所以在R上单调递增，即没有最小值，不符合题意.②当时，在上，在上，所以在上单调递减，在上单调递增，所以在时取得极小值，即为最小值，最小值为.在上，在上，所以在上单调递减，在上单调递增，所以在时取得极小