2024-2025学年山东省菏泽市高二上学期期中数学试题及答案

2024—2025学年度第一学期期中考试高二数学试题（A）注意事项：1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时问120分钟.2.答题前，考生务必将姓名、班级等个人信息填写在答题卡指定位置.3..2B铅笔把答题卡上对应0.5毫米黑色墨水签宇笔在答题卡上各题的答题区域内作答.超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.1.下列选项中，与直线l:5x+7y=1平行的直线是（）10x+14y=25x-7y=07x-5y=015x+21y=1D.A.B.C.x2y2为的一个焦点的（5）+=1，“m=34”是“点2.已知椭圆C：C”9mA.充分不必要条件C.充要条件B.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件14x2+y2=16，从曲线上任意一点P向y轴作垂线，垂足为PN=PP'N的轨3.已知曲线迹方程为（）22x2y2x2y2xy+=1+=1+y2=1D.x2+=1A.B.C.16991616aca+c=b，则直线l:ax-by+c=0被圆x2+y2=5所截得的线4.已知不全为零的实数、b、满足段长的最小值为（A.）3B.23C.23D.223x2y25.已知椭圆C：+=1的一个焦点为7,0，且C过点A24，则+=（mn）mnA.10B.49C.50D.1201）的右焦点为，点P6,5在C上，则C的离心率F6,0x22y2-=1（a>0，b>06.已知双曲线C：ab2为（）3236556A.B.C.D.27.直线l：A.0x-ay-6=0与圆x+y-12x-4y-36=0的公共点个数为（）22B.1C.2D.1或2x2y28.已知椭圆C：+=1（m0，n0）的左、右焦点分别为>>F1，F，点2P是C上一点，直线）mn12PF-2VPF12是面积为4的直角三角形.则C，的斜率分别为2，，且的方程为（12y2x2x2y2x2y2x+=1+y2=1+=1+=1AB.C.D.1699493618分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.用一个平面去截一个圆柱的侧面，可以得到以下哪些图形（）A两条平行直线10.设抛物线C：B.两条相交直线C.圆D.椭圆14y=x2x+y-8x+15=0的一条切的准线为l，点P为C上的动点，过点P作圆A：22线，切点为Q，过点P作l的垂线，垂足为B.则（A.l与圆A相交）PQ=15B.当点P，A，B共线时，PB=2VPAPB=C.时，的面积为2或6D.满足的点P恰有2个x22y2F,2分别为双曲线C:1-=a>b>02的左右焦点，过的直线与圆l､F11.已知2abO:x2+y2=a2相切于点M，l与第二象限内的渐近线交于点Q，则（）A.双曲线C的离心率e>23:=:，则CB.若的渐近线方程为yy=±2x的渐近线方程为=±x223MF1=6OM，则C2=42，则CC.若D.若y=±2x的渐近线方程为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.2x+2y+3x-4y-l=0与x轴相切，则l=__________.2212.已知圆y=ax2的焦点F恰为圆x2+y2-2y-24=0P是C与圆的一个交点，则13.已知抛物线C：点P到直线__________F到直线OP__________.的距离为，点的距离为x2y2y2+=1被双曲线x2-=1（x>014.已知曲线C是椭圆P是C上3一点，A-2,0，B2,0，则-的最大值与最小值的比值是__________.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.著名古希腊数学家阿基米德首次用“逼近法”的思想得到了椭圆的面积公式Sabπ=a，b分别为椭圆x2y2+=1.的长半轴长和短半轴长）为后续微积分的开拓奠定了基础，已知椭圆C：（1）求C的面积；1216y=x+2AB（2）若直线l：16.已知椭圆C：面积是V2交C于A，B两点，求.x2y=x+m,BV1AB+y2=1FF2与C交于12m面积的3倍，求的值.x2y2构成三角形.=1，直线l过原点，且与C相交于A，B两点，并与点D0,4+17.已知椭圆C：925（1）求△ABD的周长的取值范围：（2）求△ABD的面积S的最大值.æö3x22y22318.已知椭圆E:+=a>b>0)的离心率为，点Aç÷在椭圆E上．ç÷2ab2èø（1）求椭圆E的方程；277（2）已知椭圆E的右顶点为B，过B作直线l与椭圆E交于另一点C，且|BC=|AB|，求直线l的方程．19.若平面内的曲线C与某正方形A四条边的所在直线均相切，则称曲线C为正方形A的一条“切曲线”，正方形A为曲线C的一个“切立方”.x2+y=1的一个“切立方”A的其中一条边所在直线的斜率是1，求这个“切立方”A四条边所在直2（1）圆线的方程：x22y22x+y=2-=1的一个“切立方”，求该双曲线（2）已知正方形A的方程为的离心率e的取值范围；，且正方形A为双曲线ab（3）设函数y=x3-12x的图象为曲线，试问曲线是否存在切立方，并说明理由.CC2024—2025学年度第一学期期中考试高二数学试题（A）注意事项：1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时问120分钟.2.答题前，考生务必将姓名、班级等个人信息填写在答题卡指定位置.3..2B铅笔把答题卡上对应0.5毫米黑色墨水签宇笔在答题卡上各题的答题区域内作答.超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.1.下列选项中，与直线l:5x+7y=1平行的直线是（）10x+14y=25x-7y=07x-5y=015x+21y=1D.A.B.C.【答案】D【解析】AB-AB=0【分析】先将直线方程化为一般式方程，然后判断是否成立，注意分析重合情况.1221【详解】l:5x+7y=1Ûl:5x+7y-1=0，对于A：10x+14y=2Û5x+7y-1=0，可知两直线重合，不符合；对于B：5´-7-7´5¹0，所以不平行，不符合；对于C：5´-5-7´7¹0，所以不平行，不符合；11，对于D：5´21-7´15=015x21y15x7y+=Û+-=0，且-¹1，所以两直线平行，符合；33故选：D.x2y2为的一个焦点的（5）+=1，“m=342.已知椭圆C：”是“点C”9mA.充分不必要条件C.充要条件【答案】CB.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件【解析】【分析】利用椭圆几何性质，根据焦点坐标与m之间的关系式可得结论.x2y2=1得一个焦点坐标为5，即充分性成立；m=34+【详解】若可得934若“点为C的一个焦点”，则可得m95，即，可知必要性成立，0,5m=34-=2m=34”“5是点因此，“为C的一个焦点”的充要条件.故选：C14x2+y2=16，从曲线上任意一点P向y轴作垂线，垂足为PN=PP'N的轨3.已知曲线迹方程为（）22x2y2x2y2xy+=1+=1+y2=1D.x2+=1A.B.C.16991616【答案】B【解析】NP得到点N的轨迹方程.x2+y=16，213PN=PP'P,N,P'P'N=PP'【详解】∵，∴三点共线，且44PP'^y又∵轴，æ4è3öø∴设，则，，Nx,yP'yPx,yç÷x2+y2=16上，∵点P在2æ4xöè3øx2y2+y2=16，即+=1.∴ç÷9故选：B.4.已知不全为零的实数、b、满足段长的最小值为（A.【答案】Baca+c=b，则直线l:ax-by+c=0被圆x2+y2=5所截得的线）3B.23C.23D.223【解析】l所过定点A的坐标，分析可知，当OA^l截圆所得弦长最小，结合勾股定理即可得解.llaca+c=b【详解】因为不全为零的实数、b、满足，则直线l:ax-by+c=0的方程可化为axacyc0-++=，即ax-y+c1-y=0，ìx-y=01-y=0îíx=y=1，即直线过定点lA1，由可得因为12+12<5，即点A在圆内，x2+y2=5的圆心为原点O，半径为r=5，圆当OA^l时，圆心到的距离取最大值，且最大值为l=12+1=22，-OA2=25-2=23.所以，直线l被圆截得的弦长的最小值为2r故选：B.2x2y25.已知椭圆C：+=1的一个焦点为7,0，且C过点A24，则+=（mn）mnA.10B.49C.50D.1201【答案】D【解析】x=b=24a,b,c，根据的关系，可求【分析】由条件知椭圆的焦点在轴上，半焦距长c7，短半轴长,n.x2y2【详解】椭圆C：+=1的一个焦点为7,0，过点A24，mnìm-n=49ìm=625n=576îíí，∴m+n=1201.∴，∴n=242î故选：D.x2y22）的右焦点为，点P6,5在C上，则C的离心率F6,0-=1（a>0，b>06.已知双曲线C：a2b为（）3265A.B.C.D.2356【答案】A【解析】a,b【分析】由已知列方程组求得，再由离心率公式计算．F0，a>b>0在P6,5C上，右焦点为【详解】点，ì3625ìa=4ïb=25îï-=1ía2b2í，解得则，ïîa2+b=362c632e===所以离心率为，a4故选：A．x-ay-6=0与圆x2+y2-12x-4y-36=07.直线l：的公共点个数为（）A.0B.1C.2D.1或2【答案】C【解析】【分析】利用直线恒过定点，且定点在圆的内部，即可得到结论.【详解】由x+y-12x-4y-36=0圆心坐标为2，半径为r=219，x-ay-6=0恒过点0，2-12x-4y-36=0整理得：x6-2+-y22=76，2x2+y2可知圆再由直线l：由圆心2到点，可知0的距离为2<2219，所以点6,0在圆的内部，即直线l与圆一定有两个交点.故选：C.x2y28.已知椭圆C：+=1（m0，n0）的左、右焦点分别为>>F1，F，点2P是C上一点，直线）mn12PF-2VPF12是面积为4的直角三角形.则C，的斜率分别为2，，且的方程为（12y2x2x2y2x2y2x+=1+y2=1+=1+=1A.B.C.D.169949【答案】C【解析】12tanÐPFF==2，12【分析】由直线斜率的关系得到两直线垂直，且知道直角三角形中，得到12,n的值，得到椭圆方程.PF1,由面积求出的值，由椭圆定义和椭圆的性质求出2πk´k=1，∴F=【详解】∵，1122212k===2n,=n，∴设，11∵12PF1121S=PF=n×2n=n=4，2则VPF12122∴n=2，2m=PF+PF=6m=9，∴，∴122c=FF=PF21+2=25，2∵12∵c=m-n=5，∴n4，=x2y2+=1.∴椭圆方程为：94故选：C3618分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.用一个平面去截一个圆柱的侧面，可以得到以下哪些图形（）A.两条平行直线【答案】CD【解析】B.两条相交直线C.圆D.椭圆【分析】分平面与底面平行和平面与底面的夹角为锐角两种情况，得到图形为圆和椭圆.【详解】一个平面去截一个圆柱的侧面，若平面与底面平行，则得到的图形为圆，若平面与底面的夹角为锐角时，可以得到的图形为椭圆.故选：CD1y=x2x+y-8x+15=0的一条切10.设抛物线C：的准线为l，点P为C上的动点，过点P作圆A：224线，切点为Q，过点P作l的垂线，垂足为B.则（A.l与圆A相交）PQ=15B.当点P，A，B共线时，PB=2VPA=PB的点P恰有2个C.时，的面积为2或6D.满足【答案】BCD【解析】【分析】对于A，由抛物线与圆的方程，可得准线方程与圆心半径，根据直线与圆的位置关系，可得答案；对于B，由题意作图，求得点的坐标，根据圆的切线性质与勾股定理，可得答案；对于C，根据抛物线的性质求得点的坐标，利用分类讨论，结合图象，可得答案；对于D，根据抛物线的性质，求得固定线段的中垂线，联立方程求交点，可得答案.1【详解】对于A，由抛物线C:y=x2，即x2=4y，则准线l:y=1，4由圆A:x+y2-8x+15=0整理可得x4-2+y2=1，则圆心A0，半径푟=1，2由圆心A到直线푦=−1的距离为1r，则圆A与直线相切，故A错误；=l对于B，由题意作图如下：1A4,0共线，且，当x=4时，，则，-，=4P4B1P,,By=´42由4=4，PQ2=PA-2r=16-1=15，故B正确；14PB=2y=1，1=2，解得x=2，x对于C，由，则令1当时，的高为V，面积为P2,14-2=2´2´PB=2，如下图：212P时，的高为当V4--2=6´´66，如下图：=，面积为故C正确；对于D，由题意可作图如下：.1由抛物线C:y=x22，=整理可得x=4y，则其焦点，易知F40-14-014æè1ö2øk==-ç÷由直线AF的斜率，线段AF中点，1则线段AF的中垂线方程为y-4x2=-y=4x-，整理可得，22ì152y=4x-ïïy，消可得16D=-2-´=>，íx2-16x+30=04301360联立，1ïy=x2ïî4所以线段AF的中垂线与抛物线存在两个交点，故D正确.故选：BCD.x22y2F,2分别为双曲线C:-=a>b>02的左右焦点，过的直线与圆l､F11.已知122abO:x2+y=a2相切于点M，l与第二象限内的渐近线交于点Q，则（）A.双曲线C的离心率e>23:=:，则CB.若的渐近线方程为yy=±2x的渐近线方程为=±x223MF1=6OM，则C2=42，则CC.若D.若y=±2x的渐近线方程为【答案】AC【解析】ababtan2O=k=-le，与渐近线斜率相比较即可构造不等式求得离心率A正可得为双曲线C可构造方程求得B2利用和Ð可构造方程求得CD正误.1【详解】对于AQOM^，2=c，=a\2=c，2-a2=b，2aba\tanÐ2O=\kl=-，又l与第二象限内的渐近线交于点Q，babac\->-\e=>2，A正确；，即a2<b2=c2-a2，\c2>2a2baabak=-，又^\，2k=对于B，由A知：，lb\直线即为双曲线C的一条渐近线，Q:=:\:=c:b22，又OQ-=a2，22\=c，=b，c2+c2-b2c2-bc22\2==，2c2bacc2-b2aQtanÐ2=-\2=-\=-ac2cc2-b2ac=-ac\=-c2-b2=c2-2c2-a2，整理可得：，c2\e-ac-2a=02-e-2=e-2e+=0\=e2，，\c22ba22b=3\Cy=±3x即1+=2，解得：，的渐近线方程为，B错误；aa2+c2-6a2c2-5a2ac2对于CQMF1=6OM=6a，，\Ð==12acbaQtan=-tan=-\1=-，12acc2-5a2ac2ac\=-，整理可得：c2-5a2=2a2，即c2=a2+b2=a2，b\=2\Cy=±2x\b2=2a2，C正确；，，的渐近线方程为aQ=4=b\=b\=a2+b2，对于D，，22c2+a2+b2-b2c2+a2-7b2\2==，2ca2+b22ca2+b2baQtanÐ2=-\2=-，acc2+a2-7b2ac-=+2\=-a2b2a2a2b2，，整理可得：2ca2+b2ba2253b153153\b4=15a2b2\=\=\Cy=±xD错误.，，的渐近线方程为，a故选：AC.【点睛】关键点点睛：本题考查双曲线离心率、渐近线的求解问题，解题关键是能够利用余弦定理和渐近a,b,c线斜率构造关于的方程，进而求得双曲线的离心率和渐近线方程.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.2x2+2y+3x-4y-l=0与x轴相切，则l=__________.212.已知圆98-【答案】【解析】【分析】整理圆的方程为标准式，明确圆心与半径，由切线建立方程，可得答案.3ö24øl2516æ3öè4øl25æè++-y12=+-,1r=+【详解】由圆的方程整理可得圆çx，则圆心ç÷，半径，÷2216l251698x由圆与轴相切，则+=1，解得-.29-故答案为：.8y=ax2的焦点F恰为圆x2+y-2y-24=0P是C与圆的一个交点，则213.已知抛物线C：点P到直线__________F到直线OP的距离为__________.的距离为，点2【答案】【解析】①.4②.2a【分析】由圆标准方程得到圆心，从而知道焦点F坐标和的值，写出抛物线方程后联立方程组，解得P点坐标，根据点到直线的距离公式求得结果.【详解】∵圆的标准方程：x+y-=52，22∴圆心为(0,1)，半径r=5，114x2∴=1，即a=，即抛物线C：y=，퐹(0,1)4a4ì2xïy=í4联立方程组，ïîx2+y-2y-24=02x2y=4y=-6（∵y=³0舍去）解得或4x=4∴∴或P4,4P-4y∵直线与轴重合，∴点P到直线的距离为4，由对称性可知，无论取哪个点P，点F到直线的距离相等，∴取P4，直线:x-y=0，0-12d==∴点F到直线的距离，+122122故答案为：①4②2x2y2y2+=1被双曲线x2-=1（x>0P是C上14.已知曲线C是椭圆3一点，A-2,0，B2,0，则的最大值与最小值的比值是__________.-【答案】2【解析】【分析】由椭圆的定义，可得焦半径的和，整理所求差值为函数，利用分类讨论并结合图象，可得答案.x2y2+=1，则a=b=23，c=a【详解】由椭圆2-b=2，2,B易知为椭圆的左右焦点，由P为椭圆上的点，则+=2a=8，可得PB=8-PA，ì22xy+=1=1ïì22=4ïxy1612-=2-8íí所以，联立，解得，2=9ïyî2x-ïî3当时，取得最小值22-5，则取得最小值2P2,3PA+2+-2=30如下图：；当时，取得最大值-2=6-，则取得最大值4，如下图：P4,0PA4.-所以的最大值与最小值的比值为2.故答案为：2.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.著名古希腊数学家阿基米德首次用“逼近法”的思想得到了椭圆的面积公式Sabπ=a，b分别为椭圆x2y2+=1.的长半轴长和短半轴长）为后续微积分的开拓奠定了基础，已知椭圆C：（1）求C的面积；1216y=x+2AB.（2）若直线l：交C于A，B两点，求【答案】（1）8487（2）【解析】a,b1）由椭圆C的方程可知的值，代入椭圆的面积公式即可；（2）联立直线与椭圆的方程，利用韦达定理及弦长公式求解.【小问1详解】a=4，b=23由椭圆C的方程可知，所以，椭圆C的面积Sabπ83π；==【小问2详解】ì22xyï+=1联立1216í，得7x2+12x-=0，ïîy=x+212367(x,y,(x,y)x+x=-xx=-，12设，则，11221272æ12öæ36ö242=+xx2-412=--4´ç-=∴12-，12ç÷÷è7øè7ø724248所以，AB=1+k212-=2´=.77x2=x+m+y2=1F1Fy,BV1AB16.已知椭圆C：2与C交于2面积是V2面积的3倍，求的值.m12-【答案】【解析】【分析】根据V1AB与V2同底不等高的特点将面积比表示为高之比，结合直线与椭圆联立后所得方Dm程的判别式求解出的值.ìy=x+mïy=x+mí2【详解】解：将直线与椭圆联立x，+y=12ïî2y消去可得3x2+42m+2-2=0，,B因为直线与椭圆相交于点，Δ=16m2-4´32m2-2>0则设，解得3m<3，-<F1d1F2d到的距离为-1+m，，到的距离为，易知퐹(−1,0)，퐹(1,0)，2121+md=1d=2则，221+mSV11+m212===3，解得m=-或-2(舍去)，所以1+m1+mSV221故m=-.2x2y2构成三角形.=1，直线l过原点，且与C相交于A，B两点，并与点D0,4+17.已知椭圆C：925（1）求△ABD的周长的取值范围：（2）求△ABD的面积S的最大值.【答案】（1）20（2）12【解析】【分析1）由椭圆定义得到△ABD的周长为π3πAB+10，设A3cosq,5sinq，qÎ2π且q¹,22=+2qÎ6,10，求出周长的取值范围；，求出2916sinS=2xA-xB0<x-x£6，结合，得到面积的最大值.AB（2）表达出V【小问1详解】a=5，b=3由题可得，=16，故c=4，则c2=a2-b2所以-，D4为椭圆的其中一个焦点，则另一个焦点坐标为E4AE,BEDB=AE，连接，由对称性可知，故AD+=AD+AE=2a=10，则△ABD的周长为AB+10，设A3cosq,5sinq，qÎ2π，π3π,B,D不共线，所以q¹,，,B,D因为三点构成三角形，故22π3π故qÎ2π且q¹,，22AB=2AO=29cos2q+25sin2q=29+16sinq，2则qÎ0,1因为sin2，故2916sin=+2qÎ6,10，所以△ABD的周长【小问2详解】AB10Î20；+11SV=SVAOD+SV,B,D=×x-x=´4×x-x=2x-x，ABABAB220<x-x£6不共线，故，AB所以0,12，S的最大值为12.S=-Î2xAxBVABDæöx22y223318.已知椭圆E:+=a>b>0)的离心率为，点Aç÷在椭圆上．Eç÷2ab2èø（1）求椭圆E的方程；277（2）已知椭圆E的右顶点为B，过B作直线l与椭圆E交于另一点C，且|BC=|AB|，求直线l的方程．x2+y=12【答案】（1）4（2）5x2y250--=【解析】a,b1）利用给的条件列方程求得的值，进而得到椭圆的标准方程；（2）联立圆与椭圆的方程，先求得点C的坐标，进而得到表达式，再化简即可求得．【小问1详解】12c3=a,=由题可知，其中c2=a2-b2，所以ba2æö31313Aç÷在椭圆上，所以E+=1，即+=1==，解得a2b21，又点ç÷2a2b2a2a2èøx2+y=1．2所以椭圆E的方程为【小问2详解】4x2+y2=1，得B(2,0)由椭圆E的方程，，42æö37所以AB=-2)2+ç-0÷=ç÷22èø277设，其中xÎ[-2),yÎ[-，因为|BC=Cx,y|AB=1，0000-2+y20=1，所以x20x2x204又点在椭圆0=1上，所以Cx,yE:+y2+y20=1，04-+y20=1x02ï联立方程组x2，得3x20-+160160=，íï04+02=1î43x=0x0=4解得或æöæö54345435x=0Cç,÷Cç,-÷．=±当时，0，即或ç÷ç÷3333èøèøæö54所以当C的坐标为çç,÷时，直线的方程为l5x+2y-25=0；÷33èøæö543ç,-÷当C的坐标为l5x-2y-25=0时，直线的方程为．ç÷3èø综上，直线l的方程为5x2y250或5x-2y-25=0.+-=19.若平面内的曲线C与某正方形A四条边的所在直线均相切，则称曲线C为正方形A的一条“切曲线”，正方形A为曲线C的一个“切立方”.x2+y=1的一个“切立方”A的其中一条边所在直线的斜率是1，求这个“切立方”A四条边所在直2（1）圆线的方程：x22y22x+y=2-=1的一个“切立方”，求该双曲线（2）已知正方形A的方程为的离心率e的取值范围；，且正方形A为双曲线ab（3）设函数y=x3-12x的图象为曲线，试问曲线是否存在切立方，并说明理由.CC【答案】（1）y=x±2，y=-±x2（2）2（3）曲线C存在切立方，理