湘教 八下 数学 第1章《角平分线的性质》课件

1.4角平分线的性质第一章直角三角形逐点导讲练课堂小结作业提升学习目标课时讲解1课时流程2角平分线的性质定理角平分线的性质定理的逆定理三角形的角平分线的性质定理(拓展点)知1－讲感悟新知知识点角平分线的性质定理1性质定理：角的平分线上的点到角的两边的距离相等.角平分线的性质定理的两个必要条件：(1)点在角的平分线上；(2)这个点到角的两边的距离即点到角的两边的垂线段的长度，两者缺一不可.感悟新知知1－讲特别提醒利用角平分线的性质证明线段相等时，证明的线段是“垂直于角的两边的线段”而不是“垂直于角平分线的线段”.感悟新知数学语言：如图1.4－1，∵OC

平分∠AOB，点P是OC

上一点，PD⊥OA

于点D，PE⊥OB

于点E，∴PD=PE.知1－讲知1－练感悟新知[期中·长沙]如图1.4－2，在△ABC

中，AB=AC，AD平分∠

BAC，DE⊥AB

于点E，DF⊥AC于点F，求证：BE=CF.例1知1－练感悟新知解题秘方：在图中找出符合角平分线性质的模型，可得DE=DF，∠DEB=∠DFC=90°，进而证明Rt△BDE

≌Rt△CDF，从而得到BE=CF.知1－练感悟新知

知1－练感悟新知方法1.在证明两条线段相等时，若两条线段分别在两个三角形中，可考虑使用全等三角形或角平分线的性质，若条件中有垂直和角平分线，则优先考虑使用角平分线的性质.2.运用角平分线的性质证明线段相等时，不需要证三角形全等.知1－练感悟新知[中考·长沙]如图1.4－3，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC

交BC

于点D，DE⊥AB，垂足为E，若BC=4，DE=1.6，则BD的长为______.例2

知1－练感悟新知解：∵AD

平分∠BAC，∠C=90°，DE⊥AB，DE=1.6，∴CD=DE=1.6.∵BC=4，∴BD=BC－CD=4－1.6=2.4.解题秘方：先根据角平分线的性质得到线段相等，再根据线段的和差求得结果．答案：2.4知1－练感悟新知解法指导角平分线的性质定理是由角之间的数量关系得到线段之间的数量关系，因此角平分线的性质定理常用于证明线段相等.知1－练感悟新知如图1.4－4，在△ABC

中，BD平分∠ABC，DE⊥AB于点E，S

△ABC=90cm2，AB=18cm，BC=12cm，求DE的长.例3解题秘方：紧扣总体面积等于各部分面积的和求解.知1－练感悟新知

知1－练感悟新知方法运用角平分线的性质解决问题时，条件中必须有角平分线性质定理的两个必要条件，若缺少某个必要条件，则可以通过作辅助线补充完整.感悟新知知2－讲知识点角平分线的性质定理的逆定理21.角平分线的性质定理的逆定理：角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上.数学语言：如图1.4－5，∵点P

为∠AOB

内一点，PD

⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E，且PD=PE，∴点P

在∠AOB的平分线OC

上.感悟新知知2－讲2.角平分线的性质定理及其逆定理的关系：(1)如图1.4－5，都与垂直有关，即条件PD⊥OA，PE⊥OB

都具备；(2)点在角的平分线上

(角的内部的)点到角两边的距离相等.知2－讲感悟新知特别提醒1.使用该定理的前提是这个点必须在角的内部.2.角平分线的性质定理的逆定理是证明两角相等的重要依据，它比利用全等三角形的性质证两角相等更方便快捷.感悟新知知2－练如图1.4－6，BE=CF，BF⊥AC于点F，CE⊥AB于点E，BF

和CE交于点D.求证：AD平分∠BAC.例4知2－练感悟新知解题秘方：利用角平分线的性质定理的逆定理证明角平分线时，紧扣点在角的内部且点到角两边的距离相等进行证明.知2－练感悟新知方法证明角平分线的方法思路:(1)从数量上证明被要证的射线分成的两个角相等.(2)从形上证明角的内部的点到角的两边的距离相等.即只需从要证的射线上的某一点向角的两边作垂线段，再证明垂线段相等即可.这样把证“某线是角的平分线”的问题转化为证“垂线段相等”的问题，体现了转化思想.知2－练感悟新知

感悟新知知3－讲知识点三角形的角平分线的性质定理（拓展点）3三角形的角平分线的性质定理：三角形的三条角平分线交于一点，并且这一点到三条边的距离相等.这一点叫三角形的内心.感悟新知知3－讲数学语言：如图1.4－7，在△ABC

中，AD，BM，CN分别是∠BAC，∠ABC，∠ACB的平分线，则AD，BM，CN交于点O，且点O

到三边BC，AB，AC

的距离相等，即OE=OG=OF.知3－讲感悟新知要点解读三角形的三条角平分线相交于三角形内一点，且该点到三角形三边的距离相等.反之，三角形内部到三边距离相等的点是三角形三条角平分线的交点.知3－练感悟新知如图1.4－8，直线a，b，c表示三条相互交叉而建的公路，现在要建立一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，问：可供选择的地址有多少个？例5解题秘方：紧扣角平分线的性质定理解题.知3－练感悟新知解：如图1.4－9，∵△ABC的内角平分线的交点到三角形的三边的距离相等，∴△ABC的内角平分线的交点满足条件.点P

是△ABC的两条外角平分线的交点，过点P

作PE

⊥a，PD⊥b，PF⊥c，垂足分别为E，D，F，∴PE=PF，PF=PD，∴PE=PF=PD，知3－练感悟新知∴点P到△ABC

的三边的距离相等，即△ABC

的两条外角平分线的交点到其三边的距离也相等，满足条件的点有3个.综上，到三条公路的距离相等的点有4个，∴可供选择的地址有