18完整版本.1.探索-勾股定理(公开课参赛)

读一读我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的直角边称为股，斜边称为弦.图1-1称为“弦图”，最早是由三国时期的数学家赵爽在为《周髀算经》作法时给出的.图1-2是在北京召开的2002年国际数学家大会（TCM－2002）的会标，其图案正是“弦图”，它标志着中国古代的数学成就.

图1-1图1-2勾股hdzh18.1勾股定理

在中国古代大约是战国时期西汉的数学著作《周髀算经》中记录着商高同周公的一段对话。商高说：“…故折矩，勾广三，股修四，经隅五。”即：当直角三角形的两条直角边分别为3（短边）和4（长边）时，径隅（弦）则为5。以后人们就简单地把这个事实说成“勾三股四弦五”。故称之为“勾股定理”或“商高定理”史话勾股定理勾股定理勾股弦

在西方，希腊数学家欧几里德（Euclid，公元前三百年左右）在编著《几何原本》时，认为这个定理是毕达哥达斯最早发现的，所以他就把这个定理称为“毕达哥拉斯定理”，以后就流传开了。

毕达哥拉斯（Pythagoras）是古希腊数学家，他是公元前五世纪的人，比商高晚出生五百多年。

相传，毕达哥拉斯学派找到了勾股定理的证明后，欣喜若狂，杀了一百头牛祭神，由此，又有“百牛定理”之称。毕达哥拉斯(公元前572----前492年),古希腊著名的哲学家、数学家、天文学家。

相传在2500年前，毕达哥拉斯有一次在朋友家做客时，发现朋友家用砖铺成的地面中反映了直角三角形三边的某种数量关系，我们一起来观察图中的地面，看看能发现什么。A、B、C的面积有什么关系？直角三角形三边有什么关系？ABCABC图1—1（1）观察图1—1：正方形A中含有个小方格，即A的面积是个单位面积；正方形B中含有个小方格，即B的面积是个单位面积；正方形C中含有个小方格，即C的面积是个单位面积；99991818A的面积+B的面积=C的面积图1—2ABC（2）观察图1—2：正方形A中含有个小方格，即A的面积是个单位面积；正方形B中含有个小方格，即B的面积是个单位面积；正方形C中含有个小方格，即C的面积是个单位面积；444488A的面积+B的面积=C的面积因此可知等腰直角三角形有这样的性质：对于任意直角三角形都有这样的性质吗？两直边的平方和等于斜边的平方看下图ABCA的面积(单位长度)B的面积(单位长度)C的面积(单位长度)图1图2A、B、C面积关系直角三角形三边关系图1图2491392534sA+sB=sC两直角边的平方和等于斜边的平方ABCACBacb上例中我们发现:BC2+AC2＝AB2

即a2+b2＝c2对于任意

直角三角形这个结论都成立与两千多年来，人们对勾股定理的证明颇感兴趣。因为这个定理太贴近人们的生活实际，以致于古往今来，下至平民百姓，上至帝王总统都愿意探讨它的证明，因此不断涌现新的证法。下面我们一起学习几种证明勾股定理的方法。勾股定理:

直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方

a2+b2=c2b2c2a2已知Rt△ABC中，∠C=Ｒｔ∠，ＢＣ＝ａ，ＡＣ＝ｂ，ＡＢ＝ｃ，求证：ａ２＋ｂ２＝ｃ２(4)(3)(2)(1)(1)(2)(3)(4)cccc(a-b)2(a-b)2C2－4×ab=a2+b2=c2可得：a2+b2－2ab=c2－2abbCa想一想：这四个直角三角形还能怎样拼？证法一babababacccc想一想:大正方形的面积该怎样表示?(a+b)2=a2+b2+2ab=c2+2ab可得:a2+b2

=c2证法二

在1876年一个周末的傍晚,美国华盛顿的郊外,有一位中年人正在散步,欣赏黄昏的美景,他就是当时美国俄亥俄州共和党议员伽菲尔德.他走着走着,突然发现附近的一个小石凳上,有两个小孩正在聚精会神地谈论着什么,时而大声争论,时而小声探讨.由于好奇心驱使，伽菲尔德循声向两个小孩走去,想搞清楚两个小孩到底在干什么,只见一个小男孩正俯着身子，用树枝在地上画一个直角三角形，于是伽菲尔德便问，你们在干什么？只见那个小男孩头也不抬地说：“请问先生，如果直角三角形的两条直角边分别是３和4，那么斜边长为多少呢？”伽菲尔德答到：“是５呀。”小男孩又问道：“如果两条直角边分别为５和７，那么这个直角三角形的斜边长又是多少呢？”伽菲尔德不假思索地回答到：“那斜边的平方，一定等于5的平方加上7的平方．”小男孩又说道：“先生，你能说出其中的道理吗？……”伽菲尔德一时语塞，无法解释了，心理很不是滋味。于是伽菲尔德不再散步，立即回家，潜心探讨小男孩给他留下的难题。证法3

(a+b)(b+a)

=

a2+

a2+b2 = c2aabbcc伽菲尔德经过反复的思考与演算，终于弄清楚了其中的道理，并给出了简洁的证明方法．1876年4月1日，伽菲尔德在《新英格兰教育日志》上发表了他对勾股定理的这一证法。1881年，伽菲尔德就任美国第二十任总统后，人们为了纪念他对勾股定理直观、简捷、易懂、明了的证明，就称这一证法称为“总统”证法。∟∟∟c2+2()+ab

+b2

=

c2abab

a2+b2=c2a2b2a2c2毕达哥拉斯证法证法4：abcc2=a2+b2

如果直角三角形两直角边分别为a，b，斜边为c，那么a2+b2=c2勾股定理结论变形815A49B2５1.求下列图中字母所代表的正方形的面积：y=0学以致用，做一做结论:S1+S2+S3+S4=S5+S6=S7y=0学海无涯

如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形E的边长为7cm，求正方形A，B，C，D的面积的和思考S1S2解：∵SE=49S1=SA+SBS2=SC+SD∴SA+SB+SC+SD

=S1+S2=SE=4911美丽的勾股树学以致用y=02.求出下列直角三角形中未知边的长度68x5x13学以致用，做一做解：（1）在Rt△ABC中,由勾股定理得：AB2=AC2+BC2X2=36+64x2=100x2=62+82∴x=10∵x>0

x2+52=132

x2=132-52x2=144∴x=12（2）在Rt△ABC中,由勾股定理:AB2+AC2=BC2∵x>0ACBACB生活中的数学问题一个门框的尺寸如图所示，一块长３m，宽２.２m的薄木板能否从门框内通过？为什么？ＤＣＡＢ2m1my=0探究1ＤＣＡＢ2m1my=0分析

连结AC，在Rt△ABC中，根据勾股定理：因此，

因为AC大于木板的宽，

所以木板能从门框内通过。1.在△ABC中,∠C=90°，a=6,b=8,

则c=＿＿＿＿2.在△ABC中,a=6,b=8,试求第三边c的值10y=0练一练课堂练习：一判断题.1.

ABC的两边AB=5,AC=12,则BC=13()2.

ABC的a=6,b=8,则c=10()二填空题1.在

ABC中,∠C=90°,AC=6,CB=8,则

ABC面积为_____,斜边为上的高为______.

244.8ABCD学以致用cab1、已知：a＝3，

b＝4，求c2、已知：c＝10，a＝6，求b3、已知：c＝13，a＝5，求阴影总分面积ac

小明妈妈买了一部29英寸（74厘米）的电视机.小明量了电视机的屏幕后，发现屏幕只有58厘米长和46厘米宽，他觉得一定是售货员搞错了.你同意他的想法吗？你能解释这是为什么吗？动脑筋58厘米46厘米74厘米

活动

∴售货员没搞错∵荧屏对角线大约为74厘米例1飞机在空中水平飞行，某一时刻刚好飞到一个男孩头顶上方4000米处，过了20秒，飞机距离这个男孩头顶5000米。飞机每时飞行多少千米？A学以致用4000米5000米20秒后BC

3000米练一练1、已知：∠C＝90°，a：b＝3：4，c＝10，求a和b2、已知：△ABC，AB＝AC＝17，BC＝16，则高AD＝＿＿＿，S△ABC＝＿＿＿cab3.在一个直角三角形中,两边长分别为6、

8,则第三边的长为________10

或4、放学以后，小红和小颖从学校分手，分别沿着东方向和南方向回家，若小红和小颖行走的速度都是40米/分，小红用15分钟到家，小颖用20分钟到家，小红和小颖家的距离为（）

A、600米B、800米

C、1000米D、不能确定5、直角三角形两直角边分别为5厘米、12厘米，那么斜边上的高是（）A、6厘米B、8厘米C、80/13厘米；D、60/13厘米；

DABC3、蚂蚁沿图中的折线从A点爬到D点，一共爬了多少厘米？（小方格的边长为1厘米）GFE提示构造直角三角形例2：在等腰△ABC中，AB＝AC＝13cm，BC=10cm,求腰上的高。ABCD131310H提示：利用面积相等的关系探究3数轴上的点有的表示有理数，有的表示无理数，你能在数轴上画出表示的点吗？01234解：LAB点C即为表示的点扩展利用勾股定理作出长为的线段.11课堂小结⒈勾股定理是几何中最重要的定理之一，它揭示了直角三角形三边之间的数量关系.⒉勾股定理：

直角三角形两直角边a、b平方和，等于斜边c平方。a2+b2=c2⒊勾股定理的主要作用是在直角三角形中,已知任意两边求第三边的长。动动手babbccccbaaacccc