广东省阳江市高新区2024-2025学年高二上学期11月期中考试 数学（含答案）

1PAGE第1页2024-2025学年度第一学期高二期中测试数学试题本试卷共4页，22小题，满分150分.考试用时120分钟.注意事项：1．答题前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上.用2B铅笔将试卷类型填涂在答题卡相应位置上.将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”.2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上.3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.4．考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若复数z满足，则（）A. B. C. D.2.已知平面上的两个非零向量，满足，则（）A B. C. D.3.函数在区间单调递减，则实数取值范围是（）A. B. C. D.4.（）A. B. C. D.5.已知四棱锥的底面是正方形，顶点在底面的射影是底面的中心，高为.若圆柱的一个底面的圆周经过四棱锥四条侧棱的中点，另一个底面的圆心为四棱锥底面的中心，且该圆柱的体积为，则四棱锥的底面的边长为（）A. B.6 C. D.96.已知向量，，且，则（）A. B.4 C. D.87.已知，且，则的最大值为（）A.9 B.12 C.36 D.488.已知圆D：与x轴相交于A、B两点，且圆C：，点．若圆C与圆D相外切，则最大值为（）A. B. C. D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.在正方体中，为中点，是正方形内部及边界上一点，则下列说法正确的是（）A.平面平面B.当时，点的轨迹长度为C.平面内存在一条直线与直线成角D.将以边所在的直线为轴旋转一周，则在旋转过程中，到平面的距离的取值范围是10.如图，四边形为正方形，平面平面，且为正三角形，为的中点，则下列命题中正确的是（）A.平面B.C.直线与所成角余弦值为D.点到平面的距离为11.点A，B为圆上的两点，点为直线上的一个动点，则下列说法正确的是（）A.当，且AB为圆的直径时，面积的最大值为3B.从点P向圆M引两条切线，切点分别为A，B，的最小值为C.A，B为圆M上的任意两点，在直线l上存在一点P，使得D.当时，的最大值为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.在中，角，，所对边分别为，，，满足则角_____.13.已知正四面体的边长为2，点M，N为棱BC，AD的中点，点E，F分别为线段AM，CN上的动点，且满足，则线段EF长度的最小值为__________.14.已知曲线与直线有且仅有一个公共点，那么实数的取值范围是______.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.的内角的对边分别为，已知．（1）求角；（2）若，的面积为，求．16.如图，四棱锥的底面是正方形，侧棱底面，，E是的中点.（1）证明：平面；（2）求二面角的平面角的余弦值.17.文明城市是反映城市整体文明水平的综合性荣誉称号，作为普通市民，既是文明城市的最大受益者，更是文明城市的主要创造者，某市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：40,50，，得到如图所示的频率分布直方图．（1）求频率分布直方图中的值；（2）求样本成绩的第75百分位数；18.如图，在四棱锥中，底面为菱形，是边长为的正三角形，，平面平面.（1）求证：；（2）求直线与平面所成角的正弦值.19.已知直线的方程为：.（1）求证：不论为何值，直线必过定点；（2）过（1）中的点引直线交坐标轴正半轴于，两点，求面积的最小值.2024-2025学年度第一学期高二期中测试数学试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.【答案】B2.【答案】B3.【答案】D4.【答案】D5.【答案】A6.【答案】A7.【答案】C8.【答案】B二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.【答案】ABD10.【答案】BD11.【答案】ABD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12【答案】##13.【答案】14.【答案】四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.【解析】【分析】（1）由正弦定理边化角，即可求得答案；（2）由三角形面积求出c，再利用余弦定理即可求得答案.【小问1详解】由题意知，即，由于，故，即，结合，则；【小问2详解】，，的面积为，则，则，故，故.16.【解析】【分析】（1）连接，交于点，根据中位线定理和线面平行的判定定理进行证明.（2）利用线面垂直的判定定理和性质定理及平面几何的知识，证明得到是二面角的平面角，从而计算得到结果.【小问1详解】连接，交于点，由底面是正方形，可知为的中点，又是的中点，是的中位线，，又平面，平面，平面.【小问2详解】设，，底面，底面，，即是直角三角形，，又E是的中点，，同理可得，且，，平面，平面，，在直角中，，，，又，二面角的平面角为，.二面角的平面角的余弦值为.17.【解析】【分析】（1）利用频率分布直方图各小矩形面积和为1求出即得.（2）利用第75百分位数的定义，结合频率分布直方图列式计算即得.【小问1详解】由频率分布直方图中各小矩形的面积之和为1，得，所以.【小问2详解】成绩落在内的频率为，落在内的频率为，则样本成绩的第75百分位数为，由，得，所以样本成绩的第75百分位数为84.18.【解析】【分析】（1）取的中点，连接，根据条件得到，，由线面垂直的判定理得平面，再由线面垂直的性质定理，即可证明结果；（2）根据条件，建立空间直角坐标系，求出平面的法向量和，利用线面角的向量法，即可求解.【小问1详解】如图，取的中点，连接，因为是边长为的正三角形，所以，在菱形中，，则为等边三角形，所以，又平面，所以平面，又平面，所以.【小问2详解】由（1）得，因为平面平面，平面平面平面，所以平面，如图，以点为原点，分别以为轴正方向建立空间直角坐标系.因，则.设平面的法向量为n=x,y,z，则有，令，则，所以，因为，记直线与平面所成角为，则所以直线与平面所成角的正弦值为.19.【解析】【分析】（1）把直线方程写成，