2024-2025学年天津市河西区九年级（上）期中数学试卷（含解析）

2024-2025学年天津市河西区九年级（上）期中数学试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．（3分）在平面直角坐标系中，点（7，﹣2）关于原点对称的点的坐标为（）A．（﹣2，﹣7） B．（﹣7，2） C．（﹣7，﹣2） D．（7，﹣2）2．（3分）下列数学经典图形中，是中心对称图形的是（）A． B． C． D．3．（3分）解方程4x2＝16的结果为（）A．x1＝x2＝4 B．x1＝x2＝﹣4 C．x1＝2，x＝﹣2 D．该方程无实数根4．（3分）抛物线y＝x2﹣4x的对称轴是（）A．直线x＝2 B．直线x＝﹣4 C．直线x＝﹣2 D．直线x＝45．（3分）若二次函数y＝ax2+bx+c的图象过点（1，1），点（4，1）和点（2，0），则（）A．a＞0，b＞0，c＜0 B．a＜0，b＞0，c＜0 C．a＜0，b＜0，c＝0 D．a＞0，b＜0，c＞06．（3分）如图，过平行四边形ABCD的对角线AC的中点O的一条直线，交边AD，BC于点E，F（E，F不与四边形ABCD的顶点重合），下列叙述不正确的是（）A．OE与OF一定相等 B．EF与AC一定相等 C．四边形ABFO与四边形CDEO一定全等 D．平行四边形ABCD被直线EF分成了两个全等的梯形7．（3分）下列两个两位数相乘的运算中，请你利用二次函数的性质判断“积”最大的是（）A．72×78 B．74×76 C．75×75 D．77×738．（3分）已知函数y＝﹣x2+2x﹣1，下列结论正确的是（）A．当x＜1时，y随x的增大而增大 B．当x＞2时，y随x的增大而增大 C．当﹣2＜x＜2时，y随x的增大而减小 D．当x＞﹣1时，y随x的增大而减小9．（3分）某种商品的价格是200元，准备进行两次降价，若每次降价的百分率都是x，两次降价后的价格y（元）随每次降价的百分率的变化而变化，则y与x之间的关系式为（）A．y＝（1﹣x）2 B．y＝200（1﹣x）2 C．y＝﹣200x+200 D．y＝200（1+x）210．（3分）抛物线y＝（x﹣2）2可以看作是将抛物线y＝x2（）A．向左平移2个单位得到的 B．向右平移2个单位得到的 C．向上平移2个单位得到的 D．向下平移2个单位得到的11．（3分）如图，将△ABC绕点A逆时针旋转，旋转角为α（0°＜α＜180°），得到△ADE，这时点B，C，D恰好在同一直线上，下列结论一定正确的是（）A．AB＝ED B．EA⊥BC C．∠B＝90°﹣ D．∠EAC＝90°+12．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝10cm，BC＝20cm动点P从点A开始以1cm/s的速度沿AB边向点B运动；动点Q从点B开始以2cm/s的速度沿BC边向点C运动．如果P，Q两点分别从A，B两点同时出发，设运动时间为t秒．①当t＝3时，△BPQ的面积为21cm2；②t有两个不同的值，都使△BPQ的面积为16cm2；③△BPQ面积的最大值为50cm2．其中，正确结论的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．3二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）13．（3分）抛物线y＝x2﹣x﹣2与y轴的交点的坐标为．14．（3分）把图中的等边三角形绕着它的两条中线的交点O旋转，要使旋转后的三角形能与自身重合，则旋转角的度数至少为．15．（3分）一个矩形的面积为50cm2，且长是宽的2倍，则这个矩形的周长为cm．16．（3分）若抛物线y＝x2+3x+a与x轴只有一个交点，求实数a的值是．17．（3分）如图，在矩形ABCD中，点P在BC边上，连接PA，将PA绕点P顺时针旋转90°得到PA′，连接CA′，若AD＝9，AB＝5，CA′＝2，则BP＝．18．（3分）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点A与点O分别为格线上一点．（Ⅰ）当O为所在小正方形一边的中点，A为三等分点（距下方格点近）时，AO的长度为；（Ⅱ）在如图所示的网格中，请用无刻度的直尺，先将点A向上平移2个单位长度得到点B，再以点O为中心，画出线段AB关于点O的中心对称图形A'B'（A的对应点为A'，B的对应点为B'），并简要说明点A'和点B'的位置是如何找到的（不要求证明）．三、解答题（本大题共7小题，共66分.解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程）19．（8分）（Ⅰ）解方程（x﹣7）2＝4；（Ⅱ）解方程x2+5x+7＝3x+11．20．（8分）小强用配方法求解一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的过程如下：解：二次项系数化1，得x2+＝0……第一步移项，得x2+……第二步配方，得x2+•⋯⋯第三步即……第四步直接开平方，得x+……第五步即x1＝，x2＝……第六步请问：小强的求解过程有错误吗？如果有错，请你指出在第步开始出错了，并加以改正．21．（10分）如图，△ABD和△ACE都是等边三角形，∠BAC＝100°，连接BE，DC．（Ⅰ）求证：△ADC≌△ABE；（Ⅱ）△ADC可以看作是△ABE经过得到的（填：平移，轴对称或旋转）；说明得到△ADC的具体过程；（Ⅲ）若AB＝6，BC＝8，∠ABC＝30°，则BE的长为．22．（10分）如图，在足够大的空地上有一段长为a米的旧墙，某人利用旧墙和木栏围成一个矩形菜园ABCD，其中AD≤a，已知矩形菜园的一边靠墙，另三边一共用了20米木栏．（Ⅰ）若a＝5米，所围成的矩形菜园的面积为32平方米，求利用旧墙AD的长；（Ⅱ）若a＝12米，求矩形菜园ABCD面积的最大值．23．（10分）某种树木的主干长出若干支干，假设每个支干又长出同样数目的小分支，若此时主干、支干和小分支的总数是111．求每个支干长出多少小分支？设主干长出了x个支干．请根据相关信息，解答下列问题：（Ⅰ）填表：x（主干长出支干的个数）234主干、支干和小分支的总数（Ⅱ）填空（用含x的代数式表示）：①在小分支没有长出之前，主干和支干的总数是；②在每个支干又长出了数目相同的小分支后，小分支的个数为；③在每个支干又长出了数目相同的小分支后，主干、支干和小分支的总数可以表示为；（Ⅲ）请继续完成本题的解答．24．（10分）在同一平面内，将两个全等的等腰直角三角形ABC和AFG摆放在一起，A为公共顶点，∠BAC＝∠AGF＝90°，若△ABC固定不动，△AFG绕点A旋转，AF，AG与边BC的交点分别为D，E（点D不与点B重合，点E不与点C重合）．（Ⅰ）直接写出∠BAD+∠CAE的度数；（Ⅱ）在旋转过程中，试证明BD2+CE2＝DE2始终成立．（提示：由于BD2+CE2＝DE2符合勾股定理的形式，若通过将△ABD或△AEC进行旋转或轴对称变化，变换边、角的位置，最终使BD，CE，DE转化为一个直角三角形的三边就可以使得问题解决了．）25．（10分）抛物线y＝﹣x2+bx+c（b，c为常数）与x轴交于点（x，0）和（x2，0），与y轴交于点A，点E为抛物线顶点．（Ⅰ）当x1＝﹣1，x2＝3时，求点E和点A的坐标；（Ⅱ）①若顶点E在直线y＝x上时，用含有b的代数式表示c；②在①的前提下，当点A的位置最高时，求抛物线的解析式；（Ⅲ）若x1＝﹣1，b＞0，当P（1，0）时，是否存在PA+PE的最小值，若不存在，说明理由，若存在，求b的值．

2024-2025学年天津市河西区九年级（上）期中数学试卷参考答案一、选择题：本大题共12小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．【解答】解：点（7，﹣2）关于原点对称的点的坐标为（﹣7，2）．故选：B．2．【解答】解：A、图形是中心对称图形，符合题意；B、图形不是中心对称图形，不符合题意；C、图形不是中心对称图形，不符合题意；D、图形不是中心对称图形，不符合题意．故选：A．3．【解答】解：4x2＝16，x2＝4，∴x＝±2，∴x1＝2，x＝﹣2．故选：C．4．【解答】解：∵二次函数可化为y＝（x﹣2）2﹣4，∴对称轴是直线x＝2，故选：A．5．【解答】解：∵二次函数y＝ax2+bx+c的图象过点（1，1），点（4，1）和点（2，0），∴对称轴为直线x＝＝，∴当x＞时，y随x的增大而增大，当x＜时，y随x的增大而减小，∴a＞0，c＞0，∵﹣＝，∴b＝﹣5a＜0，故选：D．6．【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形，∴AB＝CD，AD＝BC，AD∥BC，∴∠DAC＝∠BCA，在△AOE和△COF中，，∴△AOE≌△COF（ASA），∴AE＝CF，OE＝OF，∴DE＝BF，∴OE与OF一定相等、四边形ABFO与四边形CDEO一定全等、平行四边形ABCD被直线EF分成了两个全等的梯形，故A、C、D叙述正确，不符合题意，EF与AC不一定相等，故B选项叙述不正确，符合题意，故选：B．7．【解答】解：设两个乘数的积为y，其中一个乘数的个位上的数为x，则另一个乘数个位上的数为（10﹣x），根据题意得：y＝（70+x）[70+（10﹣x）]＝﹣x2+10x+5600＝﹣（x﹣5）2+5625，∴当x＝5时，y取得最大值，∴75×75的积最大．故选：C．8．【解答】解：∵函数y＝﹣x2+2x﹣1＝﹣（x﹣1）2，∴对称轴为直线x＝1，开口向下，∴当x＜1时，y随x的增大而增大，当x＞1时，y随x的增大而减小．故选：A．9．【解答】解：根据题意得：y＝200（1﹣x）2．故选：B．10．【解答】解：∵y＝（x﹣2）2的顶点坐标为（2，0），y＝x2的顶点坐标为（0，0），∴将抛物线y＝x2向右平移2个单位，可得到抛物线y＝（x﹣2）2．故选：B．11．【解答】解：∵将△ABC绕点A逆时针旋转，旋转角为α，∴AB＝AD，∠BAD＝α，∴∠B＝＝90°﹣，故选：C．12．【解答】解：由题意得：AP＝tcm，BQ＝2tcm，∴BP＝AB﹣AP＝（10﹣t）cm，∴S△PBQ＝BP•BQ＝×（10﹣t）•2t＝（﹣t2+10t）（cm2），∵S△PBQ＝﹣t2+10t＝﹣（t﹣5）2+25，∵﹣2＜0，∴当t＝5时，△PBQ的面积有最大值为25，故③错误；当t＝3时，△PBQ的面积为：﹣（3﹣5）2+25＝21，故①正确；令S△PBQ＝16，则﹣t2+10t＝16，即t2﹣10t+16＝0，解得t＝2或8，∵t＝8时，BQ＜BC，故t＝8符合题意，故②正确；故选：C．二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）13．【解答】解：当x＝0时，y＝02﹣1×0﹣2＝﹣2，∴抛物线y＝x2﹣x﹣2与y轴的交点的坐标为（0，﹣2）．故答案为：（0，﹣2）．14．【解答】解：∵360°÷3＝120°，∴该图形绕中心至少旋转120度后能和原来的图案互相重合．故答案为：120°．15．【解答】解：设宽为xcm，长为2xcm，则2x×x＝50，解得x＝5或x＝﹣5（舍去），则宽为5cm，长为10cm，则矩形的周长为2×（5+10）＝30（cm）．故答案为：30．16．【解答】解：∵抛物线y＝x2+3x+a与x轴只有一个交点，∴Δ＝0，即9﹣4a＝0．解得：a＝．故答案为：．17．【解答】解：过A′点作A′H⊥BC于H点，如图，∵四边形ABCD为矩形，∴BC＝AD＝9，∠B＝90°，∵将PA绕点P顺时针旋转90°得到PA′，∴PA＝PA′，∵∠PAB+∠APB＝90°，∠APB+∠A′PH＝90°，∴∠PAB＝∠A′PH，在△ABP和△PHA′中，，∴△ABP≌△PHA′（AAS），∴PB＝A′H，PH＝AB＝5，设PB＝x，则A′H＝x，CH＝9﹣x﹣5＝4﹣x，在Rt△A′CH中，x2+（4﹣x）2＝（2）2，解得x1＝x2＝2，即BP的长为2．故答案为：2．18．【解答】解：（1）AO＝＝．故答案为：．（2）如图，线段A′B′即为所求．方法：取格点M，N连接MN交网格线于点B，B′，连接AO，延长AO交网格线于点A′，线段A′B′即为所求．故答案为：取格点M，N连接MN交网格线于点B，B′，连接AO，延长AO交网格线于点A′，线段A′B′即为所求．三、解答题（本大题共7小题，共66分.解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程）19．【解答】解：（1）（x﹣7）2＝4，∴x﹣7＝±2，∴x1＝9，x2＝5；（2）x2+5x+7＝3x+11，x2+2x＝4，x2+2x+1＝4+1，即（x+1）2＝5，∴x+1＝或x+1＝﹣，∴x1＝﹣1+，x2＝﹣1﹣．20．【解答】解：有错误，在第五步．错误的原因是在开方时对b2﹣4ac的值是否是非负数没有进行讨论．正确步骤为：，①当b2﹣4ac≥0时，x+，即x1＝，x2＝；②当b2﹣4ac＜0时，原方程实数根．故答案为：五．21．【解答】（Ⅰ）证明：∵△ABD和△ACE都是等边三角形，∴AB＝AD，AC＝AE，∠BAD＝∠CAE＝60°，∴∠DAC＝∠BAE，\在△ADC和△BAE中，，∴△ADC≌△ABE（SAS）；（Ⅱ）解：将△ABE绕点A顺时针旋转60°得到△ADC．故答案为：旋转；（Ⅲ）解：∵△ABD是等边三角形，∴BD＝AB＝6，∠ABD＝60°，∵∠ABC＝30°，∴∠DBC＝∠ABD+∠ABC＝90°，∴CD＝＝＝10，∵△ADC≌△ABE，∴CD＝BE＝10．故答案为：10．22．【解答】解：（1）设AB＝x米，则BC＝（20﹣2x）米，由题意得：x（20﹣2x）＝32，解得：x1＝2，x2＝8，当x＝2时，20﹣2x＝16＞5，不合题意舍去；当x＝8时，20﹣2x＝4＜5，答：AD的长为8米；（2）设BC＝x米，则S＝x（20﹣x）＝﹣（x﹣10）2+50，（0＜x≤12）∴x＝10时，S的最大值是50．答：当x＝10时，矩形菜园ABCD面积的最大值为50平方米．23．【解答】解：（Ⅰ）设主干长出了x个支干，则每个支干长出x个小分支，∴主干、支干和小分支的总数为1+x+x2，当x＝2时，1+x+x2＝1+2+22＝7；当x＝3时，1+x+x2＝1+3+32＝13；当x＝2时，1+x+x2＝1+4+42＝21；故答案为：7，13，21；（Ⅱ）设主干长出了x个支干，则每个支干长出x个小分支，①在小分支没有长出之前，主干和支干的总数是1+x，故答案为：1+x；②在每个支干又长出了数目相同的小分支后，小分支的个数为x2，故答案为：x2；③在每个支干又长出了数目相同的小分支后，主干、支干和小分支的总数可以表示为1+x+x2，故答案为：1+x+x2；（Ⅲ）依题意得：1+x+x2＝111，整理得：x2+x﹣110＝0，解得：x1＝10，x2＝﹣11（不符合题意，舍去），答：每个支干长出10个小分支．24．【解答】（Ⅰ）解：45°，理由：∵△ABC和△AFG都是等腰直角三角形，∠BAC＝∠AGF＝