北师大版数学初二下册全部资料

一元一次不等式〔组〕〔一〕一、全章教学内容与要求1、理解不等式的概念和基本性质2、会解一元一次不等式,并能在数轴上表示不等式的解集3、会解一元一次不等式组,并能在数轴上表示不等式组的解集.二、技能要求1、会在数轴上表示不等式的解集.2、会运用不等式的基本性质〔或不等式的同解原理〕解一元一次不等式.3、掌握一元一次不等式组的解法,会运用数轴确定不等式组的解集.1、通过一元一次不等式解法的学习,领会转化的数学思想.2、通过在数轴上表示一元一次不等式的解集与运用数轴确定一元一次不等式组的解集,进一步领会数形结合的思想.1、通过运用不等式基本性质对不等式进行变形训练,培养逻辑思维能力.2、通过一元一次不等式解法的归纳与一元一次方程解法的类比,培养思维能力.3、在一元一次不等式,一元一次不等式组解法的技能训练基础上,通过观察、分析、灵活运用不等式的基本性质,寻求合理、简捷的解法,培养运算能力.把两个〔或两类〕不同的数学对象进行比较,如果发现它们在某些方面有相同或类似之处,那么就推断它们在其他方面也可能有相同或类似之处.这种数学思想通常称为"类比",它体现了"不同事物之间存在内部联系"的唯物辩证观点,是发现数学真理和解题方法的重要手段之一,在数学中有着广泛的运用.在本章中,类比思想的突出运用有：1、不等式与等式的性质类比.对于等式〔例如a=b〕的性质,我们比较熟悉.不等式〔例如a>b或a<b〕与等式虽然是不同的式子,表达的也是不同的数量关系,但它们在形式上显然有某些相同或类似的地方,于是可推断在性质上两者也可能有某些相同或类似之处.这就是"类比"思想的运用之一,它也是我们探索不等式性质的基本途径.1、等式两边都加上〔或减去〕同一个数或同一个整式,等号不变.〔即两边仍然相等〕.2、等式两边都乘以〔或除以〕同一个不等于0的数,等号不变〔即两边仍然相等〕.按"类比"思想考虑问题,自然会问：不等式是否也具有这样相类似的性质,通过实例的反复检验得到的回答是对的,即有.不等式的性质；1、不等式两边都加上〔或减去〕同一个数或同一个整式,不等号的方向不变〔即原来大的一边仍然大,原来较小的一边仍然较小〕.2、不等式两边都乘以〔或除以〕同一个正数,不等号方向不变.3、不等式两边都乘以〔或除以〕同一个负数,不等号的方向改变〔即原来较大的一边反而较小,原来较小的一边反而较大〕.例如：-x>20,两边都乘以-5,得,x<-100,〔变形根据是不等式基本性质3〕.等式的基本性质是等式变形的根据,与此类似,不等式的基本性质是不等式变形的根据.2、不等式的解与方程的解的类比从形式上看,含有未知数的不等式与方程是类似的.按"类比"思想来考虑问题,同样可以仿效方程解的意义来理解不等式的解的意义.例如：当x=3时,方程x+4=7两边的值相等.x=3是方程x+4=7的解.而当x=2时,方程x+4=7两边值不相等,x=2不是方程x+4=7的解.类似地当x=5不等式x+4>7成立,那么x=5是不等式x+4>7的一个解.若x=2不等式x+4>7不成立,那么x=2不是不等式x+4>7的解.注意：1、不等式与方程的解的意义虽然非常类似,但它们的解的情况却有重大的区别.一般地说,一元方程只有一个或几个解；而含有未知数的不等式,一般都有无数多个解.例如：x+6=5只有一个解x=-1,在数轴上表示出来只是一个点,如图,而不等式x+6>5则有无数多个解-----大于-1的任何一个数都是它的解.它的解集是x>-1,在数轴上表示出来是一个区间,如图2、符号"≥"读作"大于或等于"或也可以理解为"不小于"；符号"≤"读作"小于或等于"或可以理解为"不大于".例如；在数轴上表示出下列各式：〔1〕x≥2〔2〕x<-2〔3〕x>1〔4〕x≤-1x≥2x<-2x>1x≤-13、不等式解法与方程的解法类比.从形式上看,一元一次不等式与一元一次方程是类似的.在学习一元一次方程时利用等式的两个基本性质求得一元一次方程解,按"类比"思想考虑问题自然会推断出若用不等式的三条基本性质,采用与解一元一次方程相类似的步骤去解一元一次不等式,可求得一元一次不等式的解集.解：3<2+x>=2<2x-1>+61、去分母：解：3<2+x>≥2<2x-1>+66+3x=4x-2+62、去括号：6+3x≥4x-2+63x-4x=-2+6-63、移项：3x-4x≥-2+6-6-x=-24、合并同类项：-x≥-2注意：解一元一次不等式与解一元一次方程的步骤虽然完全相同,但是要注意步骤1和5,如果乘数或除数是负数时,解不等式时要改变不等号的方向.六、带有附加条件的不等式：例1,求不等式<3x+4>-3≤7的最大整数解.分析：此题是带有附加条件的不等式,这时应先求不等式的解集,再在解集中,找出满足附加条件的解.解：<3x+4>-3≤7去分母：3x+4-6≤14移项：3x≤14-4+6合并同类项：3x≤16解：依题意需求不等式3-≥的解集.去分母：24-2<x-1>≥3<x+2>去括号：24-2x+2≥3x+6移项：-2x-3x≥6-24-2合并同类项：-5x≥-20例3,当k取何值时,方程x-2k=3<x-k>+1的解为负数.分析：应先解关于x的字母系数方程,即找到x的表达式,再解带有附加条件的不等式.解：解关于x的方程：x-2k=3<x-k>+1去分母：x-4k=6<x-k>+2去括号：x-4k=6x-6k+2移项：x-6x=-6k+2+4k合并同类项：-5x=2-2kx-2k=3<x-k>+1的解是负数.例4,若|3x-6|+<2x-y-m>2=0,求m为何值时y为正数.分析：目前我们学习过的两个非负数问题,一个是绝对值为非负数,另一个是完全平方数是非负数.由非负数的概念可知,两个非负数的和等于0,则这两个非负数只能为零.由这个性质此题可转化为方程组来解.由此求出y的表达式再解关于m的不等式.解方程组得注意：要明确"大于"、"小于"、"不大于"、"不小于"、"不超过"、"至多"、"至少"、"非负数"、"正数"、"负数"、"负整数"……这些描述不等关系的语言所对应的不等号各是什么.求带有附加条件的不等式时需要先求这个不等式的所有的解,即这个不等式的解集,然后再从中筛选出符合要求的解.七、字母系数的不等式：例：解关于x的不等式3<分析：由于x是未知数,所以应把a看作已知数,又由于a可以是任意有理数,所以在应用同解原理时,要区别情况,进行分类讨论.解：移项,得3<a+1>x-2ax≥3-3a合并同类项：<a+3>x≥3-3a<2>当a+3=0,即a=-3时,0x≥12,不等式无解.注意：在处理字母系数的不等式时,首先要弄清哪一个字母是未知数,而把其他字母看作已知数,在运用同解原理把未知数的系数化为1时,应作合理的分类,逐一讨论,例题中只有分为a+3>0,a+3=0,a+3<0,三种情况进行研究,才有完整地解出不等式,这种处理问题的方法叫做"分类讨论".八、有关大小比较的问题例1．根据给定条件,分别求出a的取值范围.2－a>0,即a<a－1>>0,解得a>1或a<0.答：a的取值范围是a<0或a>1.解得a>1或－1<a<0.答：a的取值范围是－1<a<0或a>1.例2．〔1〕比较下列各组数的大小,找规律,提出你的猜想：;______;_______;______;_______;_____.从上面的各式发现：一个正分数的分子和分母,所得分数的值比原分数的值要._________猜想：设a>b>0,m>0,则_______.分析：1.易知：前面的各个空都填"<".一个正分数的分子和分母都加上同一个正数,所得分数的值比原分数的值要大.证明：∵a>b>0,b－a<0,-∵-上面这个不等式有很多有意义的应用.例如,建筑学规定,民用住宅的窗户面积必须小于地板面积,但按采光标准,窗户面积与地板面积的比值应不小于10%,并且这个比值越大,住宅的采光条件越好.若同时增加相等的窗户面积和地板面积,住宅的采光条件变好了.<设窗户面积为a,地板面积为b,若同时增加相等的窗户面积和地板面积m,由<可知,住宅的采光条件变好了.一元一次不等式和一元一次不等式组不等式和它的基本性质1．了解不等式的意义.2．掌握不等式的三条基本性质,并会运用这些基本性质将不等式变形.1．不等式的概念：用不等号把两个代数式连接起来,表示不等关系的式子,叫做不等式.2．不等式的基本性质〔1〕不等式的两边都加上〔或减去〕同一个数或同一个整式,不等号的方向不变.用式子表示：如果〔2〕不等式两边都乘以〔或除以〕同一个正数,不等号的方向不变.用式子表示：如果a>b,且c>0,那>〔3〕不等式两边都乘以〔或除以〕同一个负数,不等号的方向改变.用式子表示：如果a>b,且c<0,那<3．不等式的基本性质是对不等式变形的重要依据.不等式的性质与等式的性质类似,但等式的结论是"仍是等式",而不等式的结论则是"不等号方向不变或改变".在运用性质〔2〕和性质〔3〕时,要特别注意不等式的两边乘以或除以同一个数,首先认清这个数的性质符号,从而确定不等号的方向是否改变.1．〔##市〕若a>b,则下列不等式一定成立的是〔〕考点：不等式的性质评析：不等式的性质是：不等式两边同时加上或减去同一个数〔或整式〕不等号不变；不等式两边同时乘以或除以正数不等号不变；不等式两边同时乘以或除以一个负数,不等号的方向改变.因此a＞b,所以a、b均可为负数也可为正数,所以A、B选项都不对,C选项不等号的方向没改变,所以也不对,因a＞b,〔a、b代表的是任意数〕所以根据不等式的性质运用排除法,可知正确选项为D.2．〔广东省〕已知实数a、b满足ab＞0,a+b＜0,则满足条件的实数a、b可分别为<写出满足条件的两个数即可>.3．〔西城区〕如果a＞b,那么下列结论中错误的是〔〕>>4．〔海淀区〕若a–b＜0,则下列各式中一定正确的是〔〕5．〔##市〕若a＞b,且c为实数则下列各式正确的是〔〕A、ac＞bcB、ac＜bcC、ac2＞bc2D、ac2≥bc26．〔荆门市〕已知a、b、c是有理数,且a＞b＞c,那么下列式子正确的是〔〕5、D〔提示：按c＞0、c=0、c＜0三种情况讨论〕不等式的解集1．了解不等式的解和解集的概念.2．会在数轴上表示不等式的解集.1．不等式的解：能使不等式成立的未知数的值,叫做这个不等式的解.一般地,一个一元一次不等式有无数多个解.2．不等式的解集：一个含有未知数的不等式的所有的解,组成这个不等式的解的集合,简称这个不等式的解集."不等式的解"与"不等式的解集"是两个不同的概念,前者是指能使不等式成立的每一个未知数的值,后者是指能使不等式成立的所有未知数的值的集合.但二者之间也有着密切联系,即所有解组成了解集,解集中包括了每一个解.求不等式的解集的过程,叫做解不等式.3．不等式解集的表示方法.〔1〕用不等式表示：如5x>10的解集是x>2,它的解集仍是一个不等式,这种表示法简单明了,容易知道哪些数不是原不等式的解.〔2〕用数轴表示：它的优点是数形结合、直观形象,尤其是在解较复杂的不等式或解不等式组时,易于找到正确的答案.在数轴上表示不等式的解集时,要注意：当解集包括端点时,在端点处画实心圆圈,否则,画空心圆圈.〔龙岩市、宁德市〕不等式2x+10＞3的解集是.考点：不等式的解集评析：不等式的解集是使不等式成立的所有未知数的值组成的集合.该题可用不等式的性质两边同时减10,然后两边再除以2,求得解集为x>.A、x＞B、x＜C、x＞D、x<4、C〔提示：3x+4的值不大于0,即得不等式3x+4≤0〕课外拓展解不等式的通法与技巧同学们在熟练掌握一元一次不等式解法的五个步骤后,可结合一元一次不等式的特点,采取一些灵活、简捷的方法与技巧,能使解题事半功倍. 分析：根据不等式性质,两边同乘以适当的数,将小数转化为整系数.解：两边同乘以-4,得x+30<-2-x.二、化分母为整数例2．解不等式.分析：根据分数基本性质,将两边分母化成整数.解：原不等式变形,得8x-3-<25x-4>>15-10x.三、裂项法例3．解不等式.分析：本题若采用去分母法,步骤较多,由除法意义,裂项相合并,过程简洁.解：原不等式变形,得.移项、合并,得.四、整体处理法例4．解不等式.解：视"3x-2"为一个整体,移项合并,将,在线测试1．若a>b则下列不等式一定成立的是〔〕A、ac>bcB、>C、a|c|>b|c|D、a+c>b+c2．实数a、b、c在数轴上的对应点的位置如下图所示,下列式子中正确的是〔〕3．下列各题的解法中,正确的是〔〕A、-x<-5,两边都乘以-1,得x>5B、-x≥-5,两边都乘以-1,得x≥5C、-x≤-5,两边都乘以-1,得x≤5D、-x>-5,两边都乘以-1,得x>54．在数轴上表示不等式x≥-2的解集正确的是〔〕A、B、C、D、5．若代数式3x+4的值不大于0,则x的取值范围是〔〕6．如果不等式<a-1>x>a-1的解集是x<1,那么a的取值范围是〔〕A、a≤1B、a>1C、a<1D、a<07．设a、b是已知数,不等式ax+b<0<a<0>的解集是〔〕A、x<B、x<-C、x>D、x>-___A、解集是x>2___B、解集是x<-1____C、解集是-1<x<2D、无解A、1个B、2个____C、3个____D、4个10．不等式组的解集表示在数轴上应为图中的〔〕答案与解析答案：1.D2.D3.A4.C5.B6.C71.评析：根据不等式性质可以排除A、B、C,在D中无论C为任何实数,总有a+c>b+c成立.答案：D.2.评析：由图可知：a>b>0>c,|c|>|b|,很明显,A、B都是错的,对于C也是错的,因为c<0,不等式两边乘以同一个负数,不等号的方向要改变,D正确,因为b>c,a>0,∴ab>ac.答案：D.3.评析：主要考察不等式的性质3,在不等号的两边同时乘上一个负数,不等号的方向要改变.答案：A.4.评析：x≥-2,方向应向右,且包含x=-2,故选C.答案：C.5.答案：B评析：注意"不小于零"与"大于零"的区别,由语言叙述写成不等式并解不等式即可.6.评析：通过观原不等式与解集发现,不等号方向发生了改变,说明未知数前的系数是负数,即a-1<0.解答：由题意可知a-1<0,∴a<1,故选C.注意：从不等号方向的改变这一重要线索入手,推断出未知数系数的符号是解含有未知字母系数的不等式的一个重要方法.7.评析：移项得ax<-b,然后把系数化为1.因为a<0,∴x>-答案：D8.评析：直接求即可.答案：D〔1〕解每一个不等式时,如果要利用不等式性质3,注意不等号改变方向问题；9.评析：求〔1〕〔2〕中公共部分,且x要为整数,由<1>得答案：C∴不等式组解集是-1<x≤3.故选择B.注意：在数轴上表示时空心圈和实心点应该注意加以区别：避免出现全部画成实心圆点,或空心圆圈.说明：在不等式作为一种命题点时,其考察形式在各地中考试题中各具一格.但是此类题目一般可采用直接法求解,即直接求出正确答案与各选择支对照,也可采用排除法,即分别用两个不等式的解集一一排除不合理的选择项重点：理解一元一次不等式组的概念与解集的概念.难点：一元一次不等式组的解集含义的理解与一元一次不等式组的几个基本类型解集的确定.1、几个一元一次不等式合在一起,就组成了一个一元一次不等式组.但这"几个一元一次不等式"必须含有同一个未知数,否则就不是一元一次不等式组了.2、前面学习过的二元一次方程组是由二个一次方程联立而成,在解方程组时,两个方程不是独立存在的〔代入法和加减法本身就说明了这点〕；而一元一次不等式组中几个不等式却是独立的,而且组成不等式组的不等式的个数可以是三个或多个.〔我们主要学习由两个一元一次不等式组成的不等式组〕.3、在不等式组中,几个一元一次不等式的解集的公共部分,叫做由它们组成的一元一次不等式组的解集.〔注意借助于数轴找公共解〕4、一元一次不等式组的基本类型〔以两个不等式组成的不等式组为例〕类型〔设a>b〕不等式组的解集数轴表示1.〔同大型,同大取大〕x>a2.〔同小型,同小取小〕x<b3.〔一大一小型,小大之间〕b<x<a〔比大的大,比小的小空集〕无解三、一元一次不等式组的解法例1.解不等式组,并将解集标在数轴上分析：解不等式组的基本思路是求组成这个不等式组的各个不等式的解集的公共部分,在解的过程中各个不等式彼此之间无关系,是独立的,在每一个不等式的解集都求出之后,才从"组"的角度去求"组"的解集,在此可借助于数轴用数形结合的思想去分析和解决问题.解：解不等式<1>得x>解不等式<2>得x≤4∴等式组的解集为<x≤4例2.解不等式组解：解不等式<1>得x>-1,解不等式<2>得x≤1,解不等式<3>得x<2,每一个不等式〔3〕写出不等式组解集〔4〕将解集标在数轴上∴原不等式组解集为-1<x≤1注意：借助数轴找公共解时,应选图中阴影部分,解集应用小于号连接,由小到大排列,解集不包括-1而包括1在内,找公共解的图为图〔1〕,若标出解集应按图〔2〕来画.例3.解不等式组解：解不等式<1>得x>-1,将<3><4>解在数轴上表示出来如图,∴原不等式组解集为-1<x≤5.∴四、一元一次不等式组的应用.例4.求不等式组的正整数解.解：解不等式3x-2>4x-5得：x<3,不等式组解集为x≤2,∴这个不等式组的正整数解为x=1或1、先求出不等式组的解集.正整数解.例5,m为何整数时,方程组分析：本题综合性较强,注意审题,理解方程组解为非负数概念,即.先解方程组用m的代数式表示x,y,再运用"转化思想",依据方程组的解集为非负数的条件列出不等式组寻求m的取值范围,最后切勿忘记确定m的整数值.得解：解方程组得即解不等式组∴此不等式组解集为又∵m为整数,∴m=3或m=4.例6,解不等式<0.分析：由""这部分可看成二个数的"商"此题转化为求商为负数的问题.两个数的商为负数这两个数异号,进行分类讨论,可有两种情况.<1>或<2>因此,本题可转化为解两个不等式组.例7.解不等式-3≤3x-1<5.解法〔1〕:原不等式相当于不等式组解不等式组得-≤x<2,∴原不等式解集为-≤x<2.解法〔2〕:将原不等式的两边和中间都加上1,得-2≤3x<6,将这个不等式的两边和中间都除以3得,例8.x取哪些整数时,代数式与代数式的差不小于6而小于8.分析：<1>"不小于6"即≥6,<2>由题意转化成不等式问题解决,解：由题意可得,6≤将不等式转化为不等式组,∴解不等式<2>得x>-,∴∴原不等式组解集为-<x≤6,∴当x取±3,±2,±1,0,4,5,6时两个代数式差不小于6而小于8.例9.有一个两位数,它十位上的数比个位上的数小2,如果这个两位数大于20并且小于40,求这个两位数.分析：这题是一个数字应用题,题目中既含有相等关系,又含有不等关系,需运用不等式的知识来解决.题目中有两个主要未知数------十位上的数字与个位上的数；一个相等关系：个位上的数＝十位上的数+2,一个不等关系：20<原两位数<40.解法〔1〕:设十位上的数为x,则个位上的数为<x+2>,原两位数为10x+<x+2>,由题意可得：20<10x+<x+2><40,解这个不等式得,1<x<3,答：这个两位数为24或35.解法〔2〕:设十位上的数为x,个位上的数为y,则两位数为10x+y,由题意可得〔这是由个方程和个不等式构成的整体,既不是方程组也不是不等式组,通常叫做"混合组"〕.将<1>代入<2>得,20<11x+2<40,解不等式得：1<x<3,答：这个两位数为24或35.解法〔3〕:可通过"心算"直接求解.方法如下：既然这个两位数大于20且小于40,所以它十位上的数只能是2和3.当十位数为2时,个位数为4,当十位数为3时,个位数为5,所以原两位数分别为24或35.<0；<3><3x-6><2x-1>>0.〔1〕分析：这个不等式不是一元一次不等式,因此,不能用解一元一次不等式的方法来解.但由绝对值的知识|x|<a,<a>0>可知-a<x<a,将其转化为；若|x|>a,<a>0>则x>a或x<-a.即解不等式<1>,去分母：3x-1≥-8,移项：3x≥-8+1,合并同类项：3x≥-7解不等式<2>去分母：3x-1≤8,移项：3x≤8+1,合并同类项：3x≤9,〔2〕分析：不等式的左边为是两个次式的比的形式〔也是以后要讲的分式形式〕,右边是零.它可以理解成"当x取什么值时,两个一次式的商是负数？"由除法的符号法则可知,只要被除式与除式异号,商就为负值.因此这个不等式的求解问题,可以转化为解一元一次不等式组的问题.即：I∴原不等式的解集为-<x<2.〔3〕分析：不等式的左边是<3x-6><2x+1>为两个一次式的积的形式,右边是零.它可以理解为"当x取何值时,两个一次式的积是正数？"由乘法的符号法则可知只要两个因式同号,积就为正值.因此这个不等式的求解问题,也可以转化为解一元一次不等式组的问题.解：∵<3x-6><2x+1>>0,∴<3x-6>与<2x+∴原不等式的解集为x>2或x<-.说明：ab>0<或>0>与ab<0〔或<0〕这两类不等式都可以转化为不等式组的形式,进行分类讨论.这类再分别解不等式组I和不等式组II.例11.已知整数x满足不等式3x-4≤6x-2和不等式-1<,并且满足方程3<x+a>=5a-2试求代分析：同时满足两个不等式的解的x值实际是将这两个不等式组成不等式组,这个不等式组的解集中的整数为x值.再将x值代入方程3<x+a>=5a-2,转化成a的方程求出a值,再将a代入代数式5a3-解不等式<1>,得x≥-,解不等式<2>得,x<1,又∵x=0满足方程3<x+a>=5a-2,一元一次不等式和它的解法考点扫描:1．了解一元一次不等式的概念.2．会用不等式的基本性质解一元一次不等式.名师精讲:一元一次方程：只含有一个未知数,并且未知数的次数是1,系数不等于0的不等式,叫一元一次不等式.其标准形式是：ax+b>0或ax+b<0〔a≠0〕.1．一元一次不等式经过去分母、去括号、移项、合并同类项等变形后,能化为ax>b或ax<b,其中x是未知数,a、b是已知数且a≠0.后,再把系数化为1.应特别注意的是,当不等式的两边都乘以或除以同一个负数时,不等号的方向必须改变.中考典例:考点：一元一次不等式的解法评析：一元一次不等式的解法与一元一次方程的解法相类似,只要注意不等式性质3的运用.该题可先去分母〔不要漏乘〕,再去括号,然后化成ax＞b或ax<b的形式,最后得出解集,解题过程如下：即：-x＜22．〔##省〕在一次"人与自然"知识竞赛中,竞赛试题共有25道题,每道题都给出4个答案,其中只有一个答案正确,要求学生把正确答案选出来,每道题选对得4分,不选或选错倒扣2分.如果一个学生在本次竞赛中的得分不低于60分,那么,他至少选对了道题.考点：一元一次不等式的应用解不等式得x≥18,取解集中的最小整数为19.说明：列不等式解的应用题,一般所求问题有至少、或最多、或不低于等词的要求,要正确理解这几个词的含义.3．〔东城区〕商场出售的A型冰箱每台售价2190元,每日耗电量为1度,而B型节能冰箱每台售价考点：一元一次不等式的应用评析：列一元一次不等式解应用题首先要弄清题意,设出适当的未知数.消费者要买A型冰箱,10年的花费用比B型少才行,设打x折,那么A型10年的费用为2190×+365×10×1×0.40,B型10年的费用为2190×〔1+10%〕+365×10×0.55×0.40,根据题意得不等式2190×+365×10×1×0.40≤2190×<1+10%>+365×10×0.55×0.40,解得x≤8,所以至少打八折,解题过程如下：解：设商场将A型冰箱打x折出售,消费者购买才合算依题意,有2190×+365×10×1×0.4≤2190×<1+10%>+365×10×0.55×0.4即219x+1460≤2409＋803解这个不等式,得x≤8答：商场应将A型冰箱至少打八折出售,消费者购买才合算.真题专练:3．〔##省〕恩格尔系数表示家庭日常饮食开支占家庭经济总收入的比例,它反映了居民家庭的实际生活水平,各种类型家庭的恩格尔系数如下表所示：最富裕国家家庭最富裕国家家庭家庭类型思格尔系数<n>发达国家家庭20%—39%小康家庭40%—49%贫困家庭75%以上温饱家庭50%—75%则用含n的不等式表示小康家庭的恩格尔系数为.7．〔陕西省〕乘某城市的一种出租汽车起价是10元〔即行驶路程在5km以内都需付10元车费〕,达到或超过5km后,每增加1km加价1．2元〔不足1km部分按1km计〕.现在某人乘这种出租汽车从甲地答案：1、1,2；3、40%≤n≤49%4、A；解得x≤27x≥3,.所以原不等式的解集为x≥.7、解：设从甲地到乙地的路程大约是xkm,根据题意,得解此不等式组,得10<x≤11.答：从甲地到乙地的路程大于10km,小于或等于11km.一元一次不等式组和它的解法考点扫描:1．了解一元一次不等式组与其解集的概念.2．掌握一元一次不等式组的解法,会用数轴确定一元一次不等式组的解集.名师精讲:几个含有同一个未知数的一元一次不等式合在一起,就组成了一个一元一次不等式组.几个一元一次不等式的解集的公共部分,叫做由它们所组成的一元一次不等式组的解集.2．求不等式组的解集的过程,叫做解不等式组3．解一元一次不等式组的步骤：〔1〕分别求出不等式组中各个不等式的解集；〔2〕利用数轴求出这些不等式的解集的公共部分,即这个不等式组的解集.中考典例:1．〔##市〕不等式组的解集是.考点：一元一次不等式组的解法.评析：分别求出不等式组中的每一个不等式的解集,解不等式<1>得x<4,解不等式<2>得x<5,公共部分是x<4,即为不等式组的解集,所以结果为x＜4.考点：不等式组解集的应用评析：此题类型是；已知不等式组的解集,求其中字母系数,进而求关于字母系数的代数式的值.这类问题解法是：先解不等式组,求得其解集,再与给出的解集相联系,求出字母系数的值,进而代入所给代数式,求出代数式的值,具体解法如下：解：由2x-a＜1得x由x-2b＞3得x＞3+2b,因为方程组有解,所以,＞3+2b,方程组的解是3＋2b<x＜,又已知方程组的解是：-1<x＜1,∴∴a=1,b=-2.∴<a+1><b-1>=-6.考点：不等式组的整数解评析：解不等式<2>得x≤4,所以不等式组的解集为＜x≤4,在此不等式中最小整数为0,所以选B.说明：解此类问题是先求出不等式组的解集,然后在解集中,求整数值.真题专练:4．〔河南省〕不等式组的解集是.6．〔仙桃市〕若不等式组有三个整数解则a的取值范围是.A、x>1B、x<6C、1<x<6D、x<1或x>68．〔杭州市〕不等式组的解在数轴上可表示为〔〕A、x≥1B、x＜2C、1＜x＜2D、1≤x＜2的整数解的个数是<>A、1个B、2个C、3个D、4个.12．〔湖南长沙〕一元一次不等式组A、16．〔##市〕有解集为2<x<3的不等式组是〔〕21．〔##南京〕解不等式组并写出不等式组的整数解.22．〔广东省〕解不等式组并把解集在数轴上表示出来.23．〔四川省〕解不等式组并把解集在数轴上表示出来.25．〔黄石市〕解不等式组,并在数轴上表示解集.6、0<a≤1〔提示由已知得x＞a,x≤3,则其解集为a<x≤3,故a的范围为0<a≤1；17、解：解不等式<1>,得x<3在数轴上表示不等式<1>,<2>的解集.∴不等式组的解集为-2<x＜3.∴不等式组的解集为<x≤4.∴不等式组的解集为＜x＜220、解：解不等式①得x<2.21、解：解不等式2x+5≤3<x+2>,得x≥22、解：由不等式x－4〔x－5〕＞8.得x＜4.∴不等式组的解集是这个不等式组的解集在数轴上表示如下：23、提示：原不等式变为24、提示：解不等式①得x＜,解不等式②得x≥0,所以不等式组解集为0≤x＜.25、提示：解不等式①得x＞1,解不等式②得x＜4,所以不等式组的解集为1＜x＜4.在数轴上表示如图所示26、解：由①得x>-∴原不等式组的解集为：-,由②得x≤1<x≤1∵x为整数,∴x=-1,0,1.即不等式组的整数解为-1,0,1.专题辅导A、ab>bcB、ac<bcC、ac2>bc2D、ac2≥bc2解析：尽管a>b,但c的正负性不确定,因此ac与bc的大小不可比较,而c2≥0,又a>b,所以ac2≥bc2,选D.A、a-3>b-3B、3a>3bD、-a>-b解析：据不等式性质,两边都乘以一个负数,不等号方向要改变,因此,错误的是D.二、用数轴表示不等式的解集问题例3<湘潭>下列四个不等式组中,其解集用数轴表示为下图的是例4．〔长沙〕元次不等式组的解集在数轴上表示正确的是：解析以上两例较为简单,例3选<C>,例4解得-3<x≤2,选C.三、直接求解不等式<组>解析：以上两例主要考查解不等式的基本功.例7．<##>不等式：3<x+1>≥5x-3的正整数解是.解析解这个不等式得x≤3,所以x＝1、2、3.解析解这个不等式组得,因为x是整数,所以x＝-1、0、1,选<C>.五、根据不等式的解集的情况,确定字母的取值范围例9．<威海>若不等式组的解集为x>3,则m的取值范围是：A、m≥3B、m=3C、m<3D、m≤3解析首先将不等式组化为依据"同大取大"的确定方法,可知m≤3,选<D>.例10<重庆>若不等式组的解集为-1<x<1,那么<a+1><b-1>的值等于.解析由原不等式组得而该不等式组的解集为-1<x<1.因此有2b+3＝-1,<a+1>＝1,即a=1,b＝-2,所以,<a+1><b-1>=<1+1><21>＝-6.六、综合应用类解析：不等式中的未知数k隐含在方程组中,因此应从解方程组入手；同时,考虑要确定x-y的取值范围,故不能简单地求出k值,而需采用整体的方法来解.两方程相减,得2x-2y=k-2,即k=2<x-y+1>,由2<k<4,得2<2<x-y+1><4,即0<x-y<1,所以选<B>.例12．<##>恩格尔系数表示家庭日常饮食开支占有家庭经济总收入的比例,它反映了居民家庭的实际生活水平,各种类型家庭的恩格尔系数如下表所示：最富裕国家家庭最富裕国家家庭家庭类型思格尔系数<n>发达国家家庭20%—39%小康家庭40%—49%贫困家庭75%以上温饱家庭50%—75%则用含n的不等式表示小康家庭的思格尔系数为.解析思格尔系数对考生来说应该是新名词,但只要观察表中"小康家庭"一栏,即可表示出：40%≤n≤49％.例13．<陕西>乘某城市的一种出租车起价是10元<即行驶路程在5km以内都需付费10元>,达到或超过5km后,每增加1km加价1.2元<不足1km部分按1km计>,现在某人乘这种出租车从甲地到乙地,支付车费17.2元,从甲地到乙地的路程大约是多少?解析本题属于列不等式解应用题.设甲地到乙地的路程大约是xkm,据题意,得16<10+1.2<x-5>≤17.2,解之,得10<x≤11,即从甲地到乙地路程大于10km,小于或等于11km.课外拓展一次不等式〔组〕中参数取值范围求解技巧已知一次不等式〔组〕的解集〔特解〕,求其中参数的取值范围,以与解含方程与不等式的混合组中参变量〔参数〕取值范围,近年在各地中考卷中都有出现.求解这类问题综合性强,灵活性大,蕴含着不少的技能技巧.下面举例介绍常用的五种技巧方法.解：化简不等式,得x≤5k,比较已知解集,得,∴.例2．〔20####威海市中考题〕若不等式组的解集是x>3,则m的取值范围是〔〕.A、m≥3B、m=3C、m<3D、m≤3解：化简不等式组,得,比较已知解集x>3,得3≥m,∴选D.例3．〔20##重庆市中考题〕若不等式组的解集是-1<x<1,那么<a+1><b-1>的值等于.解：化简不等式组,得∵它的解集是-1<x<1,也为其解集,比较得∴<a+1><b-1>=-6.评述：当一次不等式〔组〕化简后未知数系数不含参数〔字母数〕时,比较已知解集列不等式〔组〕或列方程组来确定参数范围是一种常用的基本技巧.二、结合性质、对照求解A、a>0B、a>1C、a<0D、a<1解：对照已知解集,结合不等式性质3得：1-a<0,即a>1,选B.例5．〔20##湖北荆州市中考题〕若不等式组的解集是x>a,则a的取值范围是〔〕.A、a<3B、a=3C、a>3D、a≥3解：根确定不等式组解集法则："大大取较大",对照已知解集x>a,得a≥3,∴选D.解集为.三、利用性质,分类求解例6．已知不等式解：由解集得x-2<0,脱去绝对值号,得.与已知解集与解集等价.与解集等价.∴例7．若不等式组有解,且每一个解x均不在-1≤x≤4范围内,求a的取值范围.解：化简不等式组,得∵它有解,∴5a-6<3aa<3；利用解集性质,题意转化为：其每一解在x<-1或x>4内.评述：<1>未知数系数含参数的一次不等式,当不明确未知数系数正负情况下,须得分正、零、负讨论求解；对解集不在a≤x<b范围内的不等式<组>,也可分x<a或x≥b求解.<2>要细心体验所列不等式中是否能取等号,必要时画数轴表示解集分析等号.例8．〔20####聊城中考题〕已知关于x的不等式组的整数解共5个,则a的取值范围是.________解：化简不等式组,得有解,将其表在数轴上,如图1,其整数解5个必为x=1,0,-1,-2,-3.由图1得：-4<a≤-3.变式:<1>若上不等式组有非负整数解,求a的范围.<2>若上不等式组无整数解,求a的范围.<答：<1>-1<a≤0；<2>a>1>的整数解是-3,-2,-1,0,1.求参数t的范围.解：化简不等式组,得其解集为借助数轴图2得.化简得.必有解<集>,反之不然.图2中确定可动点4、B的位置,是正确列不等式<组>的关键,注意体会.五、运用消元法,求混台组中参数范围例10.下面是三种食品A、B、C含微量元素硒与锌的含量与单价表.某食品公司准备将三种食品混合成100kg,混合后每kg含硒不低于5个单位含量,含锌不低于4.5个单位含量.要想成本最低,问三种食品各取单位〔元/kg〕64A解设A、B、C三种食品各取x,y,zkg,总价S元.依题意列混合组视S为参数,<1>代入<2>整体消去x+y得：4<100-z>+6z≥500z≥50,<2>+<3>由不等式性质得：10<x+z>+6y≥950,由<1>整体消去<x+z>得:10<100-y>+6y≥950y≤12.5,再把<1>与<4>联立消去x得：S=900-4y+z≥900+4×<-12.5>+50,即S≥900.∴当x=37.5kg,y=12.9kg,z=50kg时,S取最小值900元.评述：由以上解法得求混合组中参变量范围的思维模式：由几个方程联立消元,用一个<或多个>未知数表示其余未知数,将此式代入不等式中消元<或整体消元>,求出一个或几个未知数范围,再用它们的范围来放缩<求出>参数的范围.涉与最佳决策型和方案型应用问题,往往需列混合组求解.作为变式练习,请同学们解混合组其中a,n为正整数,x,y为正数.试确定参数n的取值.在线测试1．解下列不等式组,结果正确的是〔A、不等式组的解集是x>3C、不等式组的解集是x<-1〕B、不等式组的解集是-3<x<-2D、不等式组的解集是-4<x<2〕A、x>1B、x<3C、x<1或x>3D、1<x<33．不等式组的解集是〔〕A、x<1____B、x>1____C、x<2____D、无解4．如果不等式组有解,那么m的取值范围是〔〕A、m>8B、m≥8C、m<8D、m≤85．使两个代数式x-1与x-2的值的符号相同的x取值范围是〔〕A、x>2B、x<1C、x<1或x>2D、x>1或x<2答案与解析答案：1、D2、D3、D4、C5、C3.分析：先解不等式,看是否有解,由〔1〕得x<1,由〔2〕得x>2,两者无公共部分,所以选D.或可求得x>2或x<1.注：比较简单,应该全部正确.一元一次不等式和一元一次不等式组总结本章的内容是不等式和它的基本性质,不等式的解集,一元一次不等式和它的解法,一元一次不等式组和它的解法,其中一元一次不等式的解法是本章的主要内容.知识结构总结：类比方法是指在不同对象之间,或者在事物与事物之间,根据它们某些方面〔如特征、属性、关系〕的相似之处进行比较,通过类比可以发现新旧知识的相同点和不同点,有助于利用已有知识去认识新知识和加深理解新知识,如学习不等式的基本性质,应将其与等式的基本性质进行类比,学习一元一次不等式的解法,应将其与一元一次方程的解法进行类比,类比如下表：两边都加上〔或减去〕同一个数或同一个整式,所得结果仍是等式.两边都乘以〔或除以〕同一个数〔除数不能是0〕,所得结果仍是等式.不等式两边都加上〔或减去〕同一个数或同一个整式,不等号的方向不变.两边都乘以〔或除以〕同一个正数,不等号的方向不变.两边都乘以〔或除以〕同一个负数,不等号的方向改变.解法步骤在上面的步骤〔1〕和步骤〔5〕中,如果乘数或除数是负数,要把不等号改变方向.解的情况一元一次方程只有一个解.一元一次不等式的解集含有无限多个数.解的情况一元一次方程只有一个解.2．数形结合的思想在数轴上表示数是数形结合思想的具体体现,在数轴上表示解集比在数轴上表示数又前进了一步,本章中把不等式的解集在数轴上直观地表示出来,可以形象、直观地看到不等式有无数多个解,并易于确定不等式组的解集.〔1〕对不等式的性质和解一元一次不等式内容的学习,应复习对比等式的性质和解一元一次方程的内容,以比较异同.〔2〕在不等式两边同乘以〔或除以〕一个数时,一定要慎重,特别是该数是负数时,一定不要忘记改变不等号的方向,如果不对该数加以限制,可有三种可能.以不等式3>2为例,在不等式3>2两边都乘以同一个3a>2a<a>0>3a=2a<a=0>3a<2a<a<0>〔3〕不等式的解集x<a与x≤a<x>a与x≥a>用数轴表示时,要注意空心圆圈与实心圆点的区别.〔4〕如果一个一元一次不等式组的各个一元一次不等式的解集没有公共部分,则这个不等式组无解.本章综合检测题1．若-m>5,则m-5.2．若a<b,则a-b0.3．如果a>-1,那么a-b-1-b.4．如果a2x<a2y,那么xy.5．如果ac>bc<c<0>,那么ab.6．如果>0,那么xy0.8．不等式3x-2<-1的解集是.9．不等式组的解集是.10．当x时,代数式的值是非正二、解下列不等式,并在数轴上把解集表示出来.13．3[x-2<x-7>]≤4x14．三、解下列不等式组17．已知|3x+18|+<4x-y-2k>2=0,求k为何值时,y的值是负数.三、15.0<x≤416.无解四、17.k>-12〔提示：解得-2k-24<0解得k>-12>.一元一次不等式与一次函数1．元次不等式与次函数间的关系：对于次函数y=kx+b,它与横轴的交点为<>.2．函数、方程、不等式都是刻画现实世界中量与量之间变化规律的重要模型：i.刻画运动变化的规律要用函数的模型.ii.刻画变化过程中同类量之间的大小要用不等式模型.iii.刻画运动变化过程中的某一瞬间要用方程模型.解决实际问题时,要合理选用三种重要的数学模型.二、例题分析：1．如图,直线y=kx+b经过点A<-3,-2>,B<2,4>,根据图形解答下列问题：分析：用待定系数法求直线的解析式,利用横轴上的点的纵坐标为0的特点求直线与横轴的交点,再用一次函数、一元一次不等式间的关系解其他问题.<1>将A<-3,-2>,B<2,4>分别代入y=kx+b得解得<2>直线y=1.2x+1.6与横轴的交点是〔-,0〕所以不等式1.2x+1.6>0的解集为x>-.<3>从图中可以看出,当x>2时,y>4,所以不等式1.2x+1.6>4的解集为x>2<4>从图中可以看出,当x<-3时,y<-2,即1.2x+1.6<-2从而6x+8<-10,所以不等式6x+8<-10的解为x<-3例2,如图某博物馆每周都吸引大量游客,如果游客多,对馆中的珍贵文物产生不利影响.但同时考虑到文物的修缮和保存费用等问题,还要保证一定的门票收入,因此,博物馆采取了浮动门票价格的方法来控制参观人数：每周参观人数与票价的一次函数关系如图,在这种情况下,如果要确保每周的门票收入不少于4万元,那么每周应限定的参观人数是多少？门票价格应是多少元？分析：从票价-人数图可以看出,当票价为10元时参观人数为7000人当票价为15元时,参人,使用待定系数法可以求出这个一次函数的解析式,再利用确保每周收入4万元来列方程,从而确定参观人数.解：设每周参观人数与票价之间的一次函数关系式为y=kx+b所以y=-500x+12000因为：确保每周收入4万元设票价为x元,参观人数为y人.所以xy=40000即x<-500x+12000>=40000`x2-24x+80=0,(x-4)(x-20)=0把x=20或x=4带入y=-500x+12000得y=2000或=10000因为控制参观人数,所以x=20,y=2000所以,票价定为20元,人数为2000人.1〕已知y-3和x成正比例,且当x=2时,y=7,则y与x之间的函数关系式是.当x时,y>0.2〕等腰三角形的周长为a,腰长为x,底为y,则y与x的函数关系式为,其自变量x的取值范围是.2．已知：直线x-2y=-k+6和直线x+3y=4k+1,若他们的交点在第四象限内,求k的取值范围；3.已知一次函数y=<4m+1>x-<m+1>.1>y=2x+3x>-1.52>y=a-2x0.25a<x<0.5a3.<2>m>-1<3>-1<m<-0.25一元一次不等式和一元一次不等式组复习检测题1.下列各式中是一元一次不等式的是〔〕A-1B-1,1,2C-1,0,1D0,1,23.不等式mx≤n,<m<0>的解集是〔〕A-3<a<1B-3≤a≤1C-3<a≤1D-3≤a≤-13.不等式4x-6≥7x-12的正整数解是4.若a>b,则<1+|c|>a<1+|c|>b5.满足不等式|x|≤4的所有整数解的和为6.不等式组的解集是x<a,则a的取值范围是三、解答题2.解不等式组1.六个单位计划联合修建一所希望小学,三个单位分别捐款41万元,56万元,48万元,如果修建希望小学至少需要250万元,那么另外三个单位平均每个单位至少要捐款多少万元？2.现有含盐15％的盐水120千克,要用80千克浓度较低的盐水与它混合,使混合后盐水的浓度在10%三、1.x<2.x≥1五、<1>x≥35<2>第二章因式分解因式分解――提公因式法多项式因式分解是代数式中的重要内容,它与第一章整式和后一章分式联系极为密切.因式分解是在学习有理数和整式四则运算的基础上进行的,它为今后学习分式运算、解方程和方程组与代数式和三角函数式的恒等变形提供必要的基础.因式分解的概念是把一个多项式化成n个整式的积的形式,它是整式乘法运算的逆过程,而提公因式法是因式分解的最基本的也是最常见的方法.它的理论依据就是乘法的分配律.运用这个方法,首先要对欲分解的多项式进行考察,提出字母系数的公因数以与公有字母或公共因式中的最高公因式.1．了解因式分解的意义和要求2．理解公因式的概念3．掌握提公因式的概念,并且能够运用提公因式法分解因式例1．下列从左到右的变形,属于因式分解的有〔〕1.<x+1><x-2>=x2-x-22.ax-ay-a=a<x-y>-a5.9a3-6a2+3a=3a<3a2-2a>A、0个B、1个C、2个D、3个分析：从左到右,式1是整式乘法；式2右端不是积的形式；式3中左右两边的均是单项式,原来就是乘积形式,我们说的因式分解,指的是将多项式分解成n个整式的乘积形式；式5的右边括号内漏掉了"1"这项；只有式4是正确的.解：B例2．把-3a2b3+6a3b2c+3a2b分解因式分析：如果多项式的第一项的系数是负的,一般要提出"-"号,使括号内的第一项的系数是正的.此题各项系数的最大公约数是3,相同字母的最低次项是a2b.解：-3a2b3+6a3b2c+3a2b=-<3a2b3-6a3b2c-3a2b>=-3a2b<b2-2abc-1>评注：当公因式和原多项式中某项相同时提公因式后,该项应为1或-1,而不是零.1作为项的系数通常可以省略,但如果单独成一项时,它在因式分解时不能漏掉,为防止错误,可利用因式分解是乘法运算的逆过程的原理来检查.例如,观察-3a2b<b2-2abc-1>是否等于-3a2b3+6a3b2c+3a2b,从而检查分解是否正确以与丢项漏项.例3．分解因式3a2b<2x-y>-6ab2<y-2x>分析：因为y-2x=-<2x-y>,就是说y-2x与2x-y实质上是相同因式,因此本题的公因式是3ab<2x-y>.解：3a2b<2x-y>-6ab2<y-2x>=3a2b<2x-y>+6ab2<2x-y>=3ab<2x-y><a+2b>评注：本题的公因式是多项式,此类型题只要把<2x-y>看作一个整体即可.另外,注意因式分解的结果,单项式写在多项式的前面.例4．分解因式：2a<a-b>3-a2<a-b>2+ab<b-a>2分析：要找出这三个项的公因式.因为<b-a>2=[-<a-b>]2=<a-b>2,因此<a-b>2就是公因式,分解结果有相同的因式要写成幂的形式.解：2a<a-b>3-a2<a-b>2+ab<b-a>2=2a<a-b>3-a2<a-b>2+ab<a-b>2=a<a-b>2<a-b>=a<a-b>3.评注：多项式中的公因式,有些比较简单,有些则比较复杂,需要进行些运算才能发现公因式,但不能生搬硬套.记住下面结论是有益的.当n为偶数时,<x-y>n=<y-x>n.例5．不解方程组求7y<x-3y>2-2<3y-x>3的值.分析：先把7y<x-3y>2-2<3y-x>3进行因式分解,再将2x+y=6和x-3y=1整体代入.解：7y<x-3y>2-2<3y-x>3=7y<x-3y>2+2<x-3y>3=<x-3y>2<2x+y>评注：先化简再求值以与整体代入的思想在求值问题中经常运用.例6．求证：32000-4×31999+10×31998能被7整除.分析：先把32000-4×31999+10×31998因式分解证明：∵32000-4×31999+10×31998=7×31998∴32000-4×31999+10×31998能被7整除.〔1〕在下列四个式子中,从等号左边到右边的变形是因式分解的是〔〕A、-5x2y3=-5xy<xy2>B、x2-4-3x=<x+2><x-2>-3xC、ab2-2ab=ab<b-2>D、<x-3><x+3>=x2-9〔2〕49a3bc3+14a2b2c2-21ab2c2在分解因式时,应提取的公因式是〔〕A、7abc2B、7ab2c2C、7a2b2c2D、7a3bc3〔3〕把多项式3m<x-y>-2<y-A、<x-y><3m-2x-2y>B、<x-y><3m-2x+2y>C、<x-y><3m+2x-2y>D、<y-x><2x-2y+3m>⑥<a+b><a-b>=<-a+b><-a-b>正确的等式有〔〕A、1个B、2个C、3个D、4个〔5〕在分解-5x3<3a-2b>2+<2b-3a>2时,提出公因式-<3a-2b>2后,另一个因式是〔〕A、5x3B、5x3+1C、5x3-1D、-5x3〔6〕下列各组代数式中没有公因式的是〔〕A、5m<a-b>与b-aB、<a+b>2与-a-bC、mx+y与x+yD、-a2+ab与a2b-ab2〔7〕下列各题因式分解正确的是〔〕A、3x2-5xy+x=x<3x-5y>B、4x3y2-6xy3z=-2xy2<2x2-yz+3>C、3ab<a-b>-6a<a-b>=3<a-b><ab-2a>D、-56x3yz+14x2y2z-21xy2z2=-7xyz<8x2-2xy+3yz>A、21999B、-2C、-21999D、-1A、3<an+2+5an-1-15an>B、3an<a2+5a-1-15>C、3an-1<a3+5-15a-1>D、3an-1<a3+5-15a>1．单项式-4a2b2c3,12ab2c,8ab3的公因式是.2．多项式9x3y-36xy3+3xy提取公因式后,另一个因式是.3．多项式8x2n-4xn提取公因式后,括号内的代数式是 .4．分解因式：x<m-n><a-b>-y<n-m><b-a>= .5．分解因式：x<x+y><x-y>-x<y+x>2= .6．2y<x-2>-x+2分解因式 .4.<m-n><a-b><x-y>5.-2xy<x+y>6.<x-2><2y-1>1．把下列各多项式分解因式<1>a5b-a2b3+a2b<2>-7x2y-14xy2+49x2y2<3><x+y><a2+a+1>-<x-y><a2+a+1><4>18x2<x-2y>2-24xy<2y-x>2-12x<2y-x>3<5>x<x+y-z>+y<x+y-z>+z<z-x-y><6>y<2x-y>2-2x<y-2x>22．计算下列各式<1>7.6×200.1+4.3×200.1-1.9×200.1<2>1011-5×1093．先化简,再求值.<1>已知2x-y=,xy=2,求2x4y3-x3y4的值.<2>已知4x2+7x+2=4,求-12x2-21x的值.4．求证下列各题<1>证明72000-71999-71998能被41整除<2>求证：奇数的平方减去1能被8整除<3>求证：连续两个整数的积,再加上较大的整数其和等于较大整数的平方.1．<1>a2b<a3-b2+1><2>-7xy<x+2y-7xy><3>2y<a2+a+1><4>6x<2y-x>2<5x-8y><5><x+y-z>2<6>原式=y<2x-y>2-2x<2x-y>2=<2x-y>2<y-2x>=-<2x-y>32．<1>原式=200.1×<7.6+4.3-1.9>=200.1×10=2001=9.5×1010.3．<1>解：∵2x-y=,xy=2,.<2>解：∵4x2+7x+2=42+7x=2∴-12x2-21x=-3<4x2+7x>=-3×2=-6.4．<1>证明：∵72000-71999-71998=71998<72-7-1>=41×71998∴72000-71999-71998能被41整除.<2>证明：设奇数为2n+1,则<2n+1>2-1=<2n+1-1><2n+1+1>=4n<n+1>又∵相邻两个整数的积一定是偶数故原命题成立.<3>证明：设n为整数,则n,n+1是两个连续整数,提公因式法1．正确理解因式分解的概念与它与整式乘法的区别与联系.2．能够用提公因式法把多项式进行因式分解.考点讲解1．把一个多项式化成几个整式的积的形式,叫做因式分解.式分解.②因式分解的结果必须是几个整式的积的形式.都是正确的,但像就不是因式分解了.因为〔1〕中不是整式；〔2〕中<x+2><x-2>+3x不是积的形式.2．本节另一个重点是掌握提公因式方法,关键是确定公因式,难点是寻找隐含的公因式.利用提公因式法进行因式分解时,可按如下法则进行：①提出的公因式必须是各项系数的最大公约数与各项都含有的字母的最低次幂的积.②把确定的公因式提出写在括号外面作为一个因式,而括号里面的每一个因式是多项式除以公因式的商.3．利用提公因式法分解因式时,要防止出现以下错误：如12a2-6a2-18a=3a<4a2-2a-6>的错误原因是只注意到字母的指数,而没有提系数的最大公约数.②出现"丢项"：如3x2y2-9x2y-3x2=3x2<y2-3y>的错误原因是丢项〔-3x2〕,当某一项恰是这个多项式各项的公因式时,它被提出后不是没有了,而是还有"1"；又如-a2+ab-ac=-a<a+b-c>的错误原因是提"-a"后括号内各项没有变号.考题例析.__________考点：提公因式法；平方差公式法；分解因式.评析思路,先提公因式,然后再用平方差公式进行分解.说明:分解因式要彻底.答案：x2<x-4y>2．分解因式：4q<1-p>3+2<p-1>2考点：提公因式法分析：注意到<p-1>2=<1-p>2,把<1-p>看作一个整体,且最低次幂是<1-p>2,系数的最大公约数是2,故解：4q<1-p>3+2<p-1>2=2<1-p>2<2q-2pq+1>.1．选择：若二次三项式x2+ax-1可分解为<x-2><x+b>,则a+b的值为〔〕.A、-1B、1C、-2D、2分析：解此类题关键在于理解因式分解的概念,根据题意x2+ax-1=<x-2><x+b>,把右边展开后,再由恒等式的性质即可求解,故选〔A〕.2．选择：把ab+a-b-1分解因式的结果为〔〕A、<a+1><b+1>B、<a-1><b-1>C、<a+1><b-1>D、<a-1><b+1>解：ab+a-b-1=<ab+a>-<b+1>=a<b+1>-<b+1>=<b+1><a-1>答案：D3．填空：分解因式2a<b+c>-3<b+c>=.解：应填<b+c><2a-3>.4．分解因式：x2y-xy2.解：x2y-xy2=xy<x-y>.答案：a<1+b><1-b>6．因式分解：x2－xy=.答案：x<x-y>专题辅导初二学生数学学法指津初一匆匆过去,初二迎面而来,如果说一个人成才的基础工程在初中,而这个工程的核心则在初二.所以高度重视认真探索学习方法、研究学习方法具有重要意义.下面我们一起来就初二学习的内容,学习内外部环境,学习方法指导等方面探求、分析.一、初二学习内、外部环境的变化.1、学科上的变化：和初一比较,初二开始添设几何和物理,这两个学科都是思维训练要求较强的学科,直接为进入高一级学科或就业服务的学科.2、学科思维训练的变化：初二各学科在概念的演化、推理的要求、思维的全面性、深刻性、严密性、创造性方面都提出了比初一更高的要求.3、思维发展内部的变化：思维发展从思维发展心理学的角度看已进入新的阶段,即已经炽烈地、急剧地进入第五个飞跃期的高峰.这个"飞跃"期是否会缩短,"飞跃"的质量是否理想要靠两个条件：1〕教师精心的指导；2〕自己不懈地努力.4、外部干扰因素的变化：初二正是你性格定型加快节奏,幻想重重的年龄期,常常表现出心理状态和情绪的不稳定,例如逆反情绪发展.这给外部的诱惑和干扰创造了乘虚而入的条件.不要因为这些妨碍自己正常地接受教师和家长的指导,破坏了专一学习的正常心理状态.要学会"冷静"、"自抑",把充沛的青春活力投入到学习活动中去.二、初二学法指导要点.1、积极培养自己对新添学科的学习兴趣.平面几何是逻辑推理、形象思维、抽象思维的训练,平几学习的好坏,直接影响你的思维发展,影响你顺利地完成第五个思维发展飞跃.理化学科是你将来从事理工科的基础,语文的快速阅读和写作训练也在为你今后的发展奠定基础.切记勿偏科,初中阶段的所有学科都是你和谐完美发展的第一块基石.2、用好"读、听、议、练、评"五字学习法,掌握学习主动权.读：读书预习；听：听课；议：讲议讨论；练：复读练习,形成技能；评：自我评价掌握学习内容的水平.3、在评价中学习,在评价中达标："在评价中学习"是指给自己提出明确的学习目标,在目标的指导和鞭策下学习."在评价中达标"是指只有进入"自我评价状态的学习",才能有效地达到学习目标,强烈的自我追逐学习目标,才能高质量、高水平的达到目标.4、听课要诀：〔1〕在自学预习的基础上听；〔2〕手脑并用,勤于实践议练,勤于笔记,养成笔记的习惯；〔3〕勇于发言,发问,暴露自己的疑点、弱点；〔4〕把握重点和难点.对"重点"要"练而不厌",对"难点"要锲而不舍；〔5〕形散神不散.课堂上,教师的读、讲、议、练、评活动安排从形式上可能有些"散",你要积极参与配合,做到45分钟形散神不散；〔6〕重视每节课的归纳小结,把感性认识上升为理性认识.就数学而言要学会归纳知识结构、题型、数学思想和方法.5、重视知识、题型积累,更重视思维训练和能力发展.你要适应21世纪初人才需求的标准,必须是既有知识,又有能力,会思考、会运筹的人.怎样培养自己的能力呢？〔1〕在听懂双基知识点的同时,着力弄清思路和方法；〔2〕学会多方面地思考问题,就是在研究问题的证与解的同时,着力思考多解和多变,自己编一些变条件,变解答过程、变结论的问题；〔3〕有目的地提高自己的动手能力.常言道："动脑不动手,沙地起高楼",不可行.新的见解,常出于实践训练之中；〔4〕有目的地提高自己的特异思维能力,不要只满足于教师讲的,书上写的解法和证法.一题多解,胜练十题,特异思维的一次成功,就是思维发展的一次飞跃.暂时介绍这些初二学法要点,祝同学们学习顺利,成功！在线测试A组在下列各式的括号里填上适当的式子,使等式成立.<1>ab-ac=<><b-c><2>2x2-10xy=<><x-5y><3>-5ab2+10a2b-15ab3=<><b-2a+3b2><4>5a<p-q>+6<q-p>=<p-q><><5>2m<m-n>3-5n<n-m>3=<m-n>3<>计算<1>4.3×199.8+7.6×199.8-1.9×199.8<2>-4.2×3.14-3.5×3.14+17.7×3.14A组、<1>a<2>2x<3>-5ab<4>5a-6<5>2m+5nB组、<1>1998<2>31.4平方差公式：<a+b><a-b>=a2-b2完全平方公式：<a±b>2=a2±2ab+b2将上述乘法公式反过来得到的关于因式分解的公式来分解因式的方法,主要有以下三个公式：平方差公式：a2-b2=<a+b><a-b>完全平方公式：a2±2ab+b2=<a±b>23.①应用公式来分解因式的关键是要弄清各个公式的形式和特点,也就是要从它们的项数系数,符号等方面掌握它们的特征.②明确公式中字母可以表示任何数,单项式或多项式.③同时对相似的公式要避免发生混淆,只有牢记公式,才能灵活运用公式.④运用公式法进行因式分解有一定的局限性,只有符合其公式特点的多项式才能用公式法来分解.二、因式分解公式的结构特征.1.平方差公式：a2-b2=<a+b><a-b>的结构特征1>公式的左边是一个两项式的多项式,且为两个数的平方差.2>公式的右边是两个二项式的积,在这两个二项式中有一项a是完全相同的,即为左边式子中被减数a2的底数,另一项b和-b是互为相反数,即b是左边式子中减数b2的底数.2、完全平方公式：a2±2ab+b2=<a±b>2的结构特征.1>公式的左边是一个三项式,首末两项总是平方和的形式,中间项的符号有正有负,当为正号<负号>时右边的两项式中间符号为正<为负>,2ab中的"2"是一个固定的常数.2>公式的右边是两数和或差的平方形式.3>要确定能不能应用