江苏省无锡市滨湖区2024-2025学年九年级上学期期中考试数学试卷

2024-2025学年江苏省无锡市滨湖区九年级（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的，请用2B铅笔把答题卡上相应的选项标号涂黑）1．（3分）下列方程中是一元二次方程的是（）A．x2+2x+3＝x2 B．y2+x+1＝0 C．x2﹣2＝0 D．2．（3分）用配方法解一元二次方程x2﹣4x+2＝0，配方后得到的方程，正确的是（）A．（x+4）2＝4 B．（x﹣4）2＝4 C．（x+2）2＝2 D．（x﹣2）2＝23．（3分）下列四组线段中，是成比例线段的是（）A．5cm，15cm，2cm，6cm B．4cm，6cm，3cm，5cm C．1cm，2cm，3cm，4cm D．3cm，4cm，2cm，5cm4．（3分）已知⊙O的直径为10cm，若线段OA的长为6cm，则点A与⊙O的位置关系是（）A．点在圆上 B．点在圆外 C．点在圆内 D．无法确定5．（3分）如图，若AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，∠CDB＝68°，则∠ABC度数为（）A．22° B．30° C．32° D．68°6．（3分）下列说法正确的是（）A．直径所对的角是直角 B．同弧所对的圆心角是圆周角的2倍 C．三点确定一个圆 D．相等的圆心角所对的弧相等7．（3分）如图，在直角坐标系中，点A的坐标为（2，3），点B的坐标为（3，0）．以点O为位似中心，在第一象限内把△AOB按相似比2：1放大，得到△A′OB′，则A′，B′的坐标是（）A．， B．（4，5），（5，0） C．（4，6），（6，0） D．（6，9），（9，0）8．（3分）如图，等边△ABC沿DE折叠，点A的对应点A′恰好落在BC上（端点除外）．下列结论，一定成立的是（）A．AD＝BD B．△BDA′∽△A′ED C． D．9．（3分）如图，AB，CD相交于点E，点A，B，C，D都在格点上，则的值为（）A． B． C． D．10．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝1，点D为BC的中点，连接AD，过点C作CE⊥AD，垂足为点E，线段CE的延长线交AB于点F，连接BE，DF．如下结论：①DB2＝DE•DA；②BE平分∠DEF；③；④S△BDF：S△AEF＝2：3．其中正确结论为（）A．①③ B．②③ C．①②④ D．①②③二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，只需把答案直接填写在答题卡上相应的位置）11．（3分）在比例尺为1：36000的无锡旅游地图上，某条道路的长为10cm，则这条道路的实际长度为km．12．（3分）如果α、β是关于x的一元二次方程x2﹣4x+n＝0的两个实数根，那么α+β＝．13．（3分）某药品经过两次降价，每瓶零售价由100元降为81元．已知两次降价的百分率相同，则这个百分率为．14．（3分）学校报告厅舞台的宽AB为10m，小明作为新选任的主持人，想利用学过的黄金分割知识选持合适的位置站立，则他选择的位置离A点m．（写出所有可能，精确到0.1m）15．（3分）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠AOC＝150°，则∠B＝．16．（3分）在△ABC中，∠C＝90°，AB＝6，点O为△ABC的重心，连接OC，则OC＝．17．（3分）如图，△ABC中，AB＝7，AC＝4，BC上的高AD＝3．则△ABC外接圆的半径长为．18．（3分）如图，在四边形ABCD中，AB＝3，AD＝4，连接AC，BD，若∠CBD＝2∠CDB＝60°，则AC长度的最大值为．三、解答题（本大题共10小题，共96分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19．（8分）解方程：（1）x2﹣3x﹣2＝0；（2）（x+3）2＝x+3．20．（8分）已知关于x的一元二次方程x2﹣（k+2）x+2k﹣1＝0（k为常数）．（1）求证：不论k为何值，该方程总有两个不相等的实数根；（2）若方程的一个根为3，求k的值和方程的另一个根．21．（10分）如图，D是△ABC的边AC上的一点，连接BD，已知∠ABD＝∠C．（1）求证：△ABD∽△ACB；（2）若AB＝5，CD＝4，求AD的长．22．（10分）如图，已知．（1）在上求作点C，使与的长度比为1：3；（用直尺和圆规作图，保留作图痕迹，不写作法）（2）连接AB，若AB＝8，上的点到AB的大距离为2，求所在圆的半径长．（如果需要图形，请使用备用图）23．（10分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，以点C为圆心，CA为半径的圆交AB于点D，交BC于点E．（1）若∠B＝28°，求的度数；（2）若BE＝EC＝4，求AD的长．24．（10分）某服装大卖场以每件60元的价格购进一种服装，由试销知，每天的销量m（件）与每件的销售价x（元）之间的函数关系为m＝300﹣3x．（1）当每天的销售量为45件时，求销售这种服装的毛利润；（2）如果商场想销售这种服装每天获得900元的毛利润，同时又考虑薄利多销，那么每件服装的销售价应定为多少元？25．（10分）如图，平直的公路旁有一灯杆AB，在灯光下，小明在D处测得自己的影长DH＝2m，在F处测得自己的影长FG＝3m．小明身高1.5m．（1）若测出BD＝am，求灯杆AB的长；（用含a的代数式表示）（2）若测出FH＝1m，求灯杆AB的长．26．（10分）先阅读下列例题，再按要求解答问题：例题：求代数式x2+4x+5的最小值．解：x2+4x+5＝（x2+4x+4）+1＝（x+2）2+1．∵（x+2）2≥0，∴（x+2）2+1≥1．∴x2+4x+5的最小值是1．（1）求代数式﹣2x2+12x+15的最大值；（2）某商场将进价为2000元的某品牌电视机以2500元售出，平均每天能售出8台．为了促销，商场决定采取适当的降价措施，调查表明：这种冰箱的售价每降低50元，平均每天就能多售出2台．试问商场每天最多盈利多少元？27．（10分）【探究活动】如图，BE是△ABC的中线，点D在BC上，BE交AD于点F．（1）当时，求的值；（2）当时，则＝；（用含n的代数式表示）【解决问题】请利用探究活动的经验或结论解决问题：Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BE是△ABC的中线，点D在直线BC上，射线BE交AD于点F．若CD＝2，BD＝6，AC＝4时，求BF的值．28．（10分）如图，在矩形ABCD中，AD＝4cm，AB＝3cm，动点P以1cm/s的速度沿着折线AB，BC运动到点C时停止．已知△PA′D与△PAD关于直线PD对称，连接AA′．设运动时间为ts．（1）当点A′落在对角线BD上时，t＝；（2）当点P在BC上运动时，点A，P，A′能否在同一条直线上？如果能，请求出t的值；如果不能，请说明理由，并求出△APA′的面积的最小值；（3）连接BA′，若△ABA′是直角三角形，请直接写出t的值．

2024-2025学年江苏省无锡市滨湖区九年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的，请用2B铅笔把答题卡上相应的选项标号涂黑）1．（3分）下列方程中是一元二次方程的是（）A．x2+2x+3＝x2 B．y2+x+1＝0 C．x2﹣2＝0 D．【答案】C【分析】根据一元二次方程的定义，逐一分析各选项中的方程即可．【解答】解：A．∵原方程可整理得2x+3＝0，未知数的最高次数是1，∴方程x2+2x+3＝x2不是一元二次方程，选项A不符合题意；B．∵方程y2+x+1＝0含有两个未知数，∴方程y2+x+1＝0不是一元二次方程，选项B不符合题意；C．方程x2﹣2＝0是一元二次方程，选项C符合题意；D．∵方程x﹣＝0不是整式方程，∴方程x﹣＝0不是一元二次方程，选项D不符合题意．故选：C．2．（3分）用配方法解一元二次方程x2﹣4x+2＝0，配方后得到的方程，正确的是（）A．（x+4）2＝4 B．（x﹣4）2＝4 C．（x+2）2＝2 D．（x﹣2）2＝2【答案】D【分析】先将常数项移到等号右边，再在两边同时加上一次项系数一半的平方，最后根据完全平方公式（a±b）2＝a2±2ab+b2即可完成配方．【解答】解：x2﹣4x+2＝0，x2﹣4x＝﹣2，x2﹣4x+4＝2，（x﹣2）2＝2，故选：D．3．（3分）下列四组线段中，是成比例线段的是（）A．5cm，15cm，2cm，6cm B．4cm，6cm，3cm，5cm C．1cm，2cm，3cm，4cm D．3cm，4cm，2cm，5cm【答案】A【分析】根据成比例线段的定义逐项判断即可．【解答】解：A、∵5：15＝2：6，∴这一组线段成比例．B、∵4：6≠3：5，∴这一组线段不成比例．C、∵1：2≠3：4，∴这一组线段不成比例．D、∵3：4≠2：5，∴这一组线段不成比例．故选：A．4．（3分）已知⊙O的直径为10cm，若线段OA的长为6cm，则点A与⊙O的位置关系是（）A．点在圆上 B．点在圆外 C．点在圆内 D．无法确定【答案】B【分析】先求出⊙O的半径，再根据点与圆的位置关系即可求解．【解答】解：∵⊙O的直径为10cm，∴⊙O的半径为5cm，∵OA＝6cm＞5cm，∴点A在⊙O外．故选：B．5．（3分）如图，若AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，∠CDB＝68°，则∠ABC度数为（）A．22° B．30° C．32° D．68°【答案】A【分析】根据圆周角定理得到∠BAC的度数，再由AB是⊙O的直径得到∠ACB的度数，从而计算∠ABC的度数即可．【解答】解：∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∵∠CDB＝68°，∴∠BAC＝68°，∴∠ABC＝90°﹣∠BAC＝22°．故选：A．6．（3分）下列说法正确的是（）A．直径所对的角是直角 B．同弧所对的圆心角是圆周角的2倍 C．三点确定一个圆 D．相等的圆心角所对的弧相等【答案】B【分析】根据圆周角定理、确定圆的条件、圆心角、弧、弦的关系判断即可．【解答】解：A、直径所对的圆周角是直角，故本选项说法错误，不符合题意；B、同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，说法正确，符合题意；C、不在同一直线上的三点确定一个圆，故本选项说法错误，不符合题意；D、在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，故本选项说法错误，不符合题意；故选：B．7．（3分）如图，在直角坐标系中，点A的坐标为（2，3），点B的坐标为（3，0）．以点O为位似中心，在第一象限内把△AOB按相似比2：1放大，得到△A′OB′，则A′，B′的坐标是（）A．， B．（4，5），（5，0） C．（4，6），（6，0） D．（6，9），（9，0）【答案】C【分析】根据关于以原点为位似中心的对称点的坐标特征，把点A、B的横纵坐标都乘以2得到点A′，B′的坐标．【解答】解：∵以点O为位似中心，在第一象限内把△AOB按相似比2：1放大，得到△A′OB′，而点A的坐标为（2，3），点B的坐标为（3，0），∴点A′的坐标为（2×2，2×3），点B′的坐标为（3×2，0×2），即点A′的坐标为（4，6），点B′的坐标为（6，0），故选：C．8．（3分）如图，等边△ABC沿DE折叠，点A的对应点A′恰好落在BC上（端点除外）．下列结论，一定成立的是（）A．AD＝BD B．△BDA′∽△A′ED C． D．【答案】D【分析】根据等边三角形的性质得到∠A＝∠B＝∠C＝60°，由折叠的性质得到∠ADE＝∠A′DE，AD＝A′D，得到AD不一定等于BD，故A不符合题意；推出∠BDA′＝∠CA′E，根据相似三角形的判定定理得到△BDA′∽△CA′E，故B不符合题意；根据相似三角形的性质得到＝，故C不符合题意，根据相似三角形的性质得到△BDA′的周长：△CA′E的周长＝DA′：A′E，故D符合题意．【解答】解：∵△ABC是等边三角形，∴∠A＝∠B＝∠C＝60°，由折叠的性质可得：∠ADE＝∠A′DE，AD＝A′D，∵点A的对应点A′恰好落在BC上（端点除外），∴AD不一定等于BD，故A不符合题意；∵∠B＝∠DA′E＝∠C＝60°，∴∠BDA′+∠BA′D＝∠BA′D+∠CA′E＝120°，∴∠BDA′＝∠CA′E，∴△BDA′∽△CA′E，故B不符合题意；∴＝，故C不符合题意，∴△BDA′的周长：△CA′E的周长＝DA′：A′E，故D符合题意；故选：D．9．（3分）如图，AB，CD相交于点E，点A，B，C，D都在格点上，则的值为（）A． B． C． D．【答案】C【分析】延长CD到F点使DF＝CD，DF与格线交于点G，连接AC、BG，利用网格特征得到AC＝3，BG＝2.5，再证明△ACE∽△BGE，然后根据相似三角形的性质求解．【解答】解：延长CD到F点使DF＝CD，DF与格线交于点G，连接AC、BG，则AC＝3，BG＝2.5，∵AC∥BG，∴△ACE∽△BGE，∴＝＝＝．故选：C．10．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝1，点D为BC的中点，连接AD，过点C作CE⊥AD，垂足为点E，线段CE的延长线交AB于点F，连接BE，DF．如下结论：①DB2＝DE•DA；②BE平分∠DEF；③；④S△BDF：S△AEF＝2：3．其中正确结论为（）A．①③ B．②③ C．①②④ D．①②③【答案】D【分析】①证明△DCE和△DAC相似得CD2＝DE•DA，再根据点D为BC的中点即可对结论①进行判断；②证明△DBE和△DAB相似得∠DEB＝∠ABC＝45°，再根据CE⊥AD即可对结论②进行判断；③过点E作EH⊥BC于H，FK⊥BC于K，先求出CD＝BD＝，DA＝，DE＝，AE＝，证明△DEH和△DAC相似得EH＝，DH＝，CH＝，再证明△BFK是等腰直角三角形，设BK＝FK＝a，则CK＝1﹣a，BF＝，然后证明△CEH和△CFK相似得a＝，由此可对结论③进行判断；④根据FK＝a＝得S△BDF＝，再利用三角形的面积公式求出CE＝，根据△CEH和△CFK相似得CF＝，则EF＝CF﹣CE＝，由此得S△AEF＝，进而可对结论结论④进行判断，综上所述即可得出答案．【解答】解：①∵∠ACB＝90°，CE⊥AD，∴∠DEC＝∠ACB＝90°，又∵∠CDE＝∠ADC，∴△DCE∽△DAC，∴CD：DA＝DE：CD，∴CD2＝DE•DA，∵点D为BC的中点，∴CD＝DB，∴DB2＝DE•DA，故结论①正确；②∵DB2＝DE•DA，∴DB：DA＝DE：DB，又∵∠BDE＝∠ADB，∴△DBE∽△DAB，∴∠DEB＝∠ABC，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，∴∠CAB＝∠ABC＝45°，∴∠DEB＝∠ABC＝45°，∵CE⊥AD，∴∠DEF＝90°，∴∠FEB＝∠DEF﹣∠DEB＝90°﹣45°＝45°，∴∠FEB＝∠DEB＝45°，∴BE平分∠DEF，故结论②正确；③过点E作EH⊥BC于H，FK⊥BC于K，如图所示：则EH∥FK，∵AC＝BC＝1，点D为BC的中点，∴CD＝BD＝，在Rt△ACD中，由勾股定理得：DA＝，∴CD2＝DE•DA，∴，∴DE＝，∴AE＝DA﹣DE＝，∵EH⊥BC，∠ACB＝90°，∴EH∥AC，∴△DEH∽△DAC，∴EH：AC＝DH：CD＝DE：DA，∴，∴EH＝，DH＝，∴CH＝CD﹣DH＝＝，∵∠ABC＝45°，FK⊥BC，∴△BFK是等腰直角三角形，∴设BK＝FK＝a，则CK＝BC﹣BK＝1﹣a，由勾股定理得：BF＝，∵EH∥FK，∴△CEH∽△CFK，∴EH：FK＝CH：CK，∴，∴a＝，∴BF＝＝，故结论③正确；④∵FK＝a＝，∴S△BDF＝BD•FK＝，∵S△ACD＝DA•CE＝AC•CD，∴，∴CE＝，∵△CEH∽△CFK，∴CE：CF＝EH：FK，∴√，∴CF＝，∴EF＝CF﹣CE＝，∴S△AEF＝AE•EF＝，∴S△BDF：S△AEF＝＝5：8，故结论④不正确．综上所述：正确的结论是①②③．故选：D．二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，只需把答案直接填写在答题卡上相应的位置）11．（3分）在比例尺为1：36000的无锡旅游地图上，某条道路的长为10cm，则这条道路的实际长度为3.6km．【答案】3.6．【分析】根据实际距离＝图上距离÷比例尺．代值计算即可得出答案．【解答】解：根据题意得：10÷＝360000（cm），360000cm＝3.6km．故答案为：3.6．12．（3分）如果α、β是关于x的一元二次方程x2﹣4x+n＝0的两个实数根，那么α+β＝4．【答案】4．【分析】直接利用根与系数的关系求解．【解答】解：根据根与系数的关系得α+β＝4．故答案为：4．13．（3分）某药品经过两次降价，每瓶零售价由100元降为81元．已知两次降价的百分率相同，则这个百分率为10%．【答案】见试题解答内容【分析】此题可设降价的百分率为x，则第一次降价后的单价是原来的（1﹣x），第二次降价后的单价是原来的（1﹣x）2，根据题意列方程解答即可．【解答】解：降价的百分率为x，根据题意列方程得100×（1﹣x）2＝81解得x1＝0.1，x2＝1.9（不符合题意，舍去）．所以降价的百分率为0.1，即10%．故答案为：10%．14．（3分）学校报告厅舞台的宽AB为10m，小明作为新选任的主持人，想利用学过的黄金分割知识选持合适的位置站立，则他选择的位置离A点6.2或3.8m．（写出所有可能，精确到0.1m）【答案】6.2或3.8．【分析】设他选择的位置离A点xm，则离B点（10﹣x）m，然后根据黄金分割的定义可得：≈0.618或≈0.618，从而进行计算即可解答．【解答】解：设他选择的位置离A点xm，则离B点（10﹣x）m，由题意得：≈0.618或≈0.618，解得：x＝6.18≈6.2或x＝3.82≈3.8，∴他选择的位置离A点6.2或3.8m，故答案为：6.2或3.8．15．（3分）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠AOC＝150°，则∠B＝105°．【答案】105°．【分析】根据圆周角定理求出∠D，再根据圆内接四边形的性质求出∠B．【解答】解：由圆周角定理得：∠D＝∠AOC＝×150°＝75°，∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∴∠D+∠B＝180°，∴∠B＝180°﹣75°＝105°，故答案为：105°．16．（3分）在△ABC中，∠C＝90°，AB＝6，点O为△ABC的重心，连接OC，则OC＝2．【答案】2．【分析】延长CO交AB于D，由三角形重心的性质得到CD是△ACB的中线，OC＝CD，由直角三角形斜边中线的性质得到CD＝AB＝3，即可求出OC的长．【解答】解：如图，延长CO交AB于D，∵点O为△ABC的重心，∴CD是△ACB的中线，OC＝CD，∵∠ACB＝90°，∴CD＝AB＝×6＝3，∴OC＝CD＝2．故答案为：2．17．（3分）如图，△ABC中，AB＝7，AC＝4，BC上的高AD＝3．则△ABC外接圆的半径长为．【答案】．【分析】作△ABC的外接圆，设圆心为O，过点A作直径AD交⊙O于D，连接CD，则∠B＝∠D，∠ACD＝90°，在Rt△ABD中，sinB＝，则sinD＝sinB＝，在Rt△ACD中，sinD＝＝，由此得AD＝，进而可得△ABC外接圆的半径．【解答】解：作△ABC的外接圆，设圆心为O，过点A作直径AD交⊙O于D，连接CD，如图所示：则∠B＝∠D，∠ACD＝90°，∵AD是△ABC的高，∴在Rt△ABD中，AD＝3，AB＝7，∴sinB＝，∴sinD＝sinB＝，在Rt△ACD中，AC＝4，sinD＝＝∴，∴AD＝，∴OA＝OD＝AD＝．即△ABC外接圆的半径长为．故答案为：．18．（3分）如图，在四边形ABCD中，AB＝3，AD＝4，连接AC，BD，若∠CBD＝2∠CDB＝60°，则AC长度的最大值为+2．【答案】+2．【分析】以B为顶点，在BA下方作∠ABH＝60°，过A作AH⊥BH于H，证明△BCH∽△BDA，可得＝＝，求出CH＝2，从而可得AC≤+2，AC长度的最大值为+2．【解答】解：以B为顶点，在BA下方作∠ABH＝60°，过A作AH⊥BH于H，如图：∴∠BAH＝30°，∴BH＝AB＝，AH＝BH＝，∵∠CBD＝2∠CDB＝60°，∴∠CDB＝30°，∠BCD＝90°，∴BC＝BD，∠CBH＝60°﹣∠DBH＝∠ABD，∴＝＝，∴△BCH∽△BDA，∴＝＝，∵AD＝4，∴CH＝2，∵AC≤AH+CH，∴AC≤+2，∴AC长度的最大值为+2，故答案为：+2．三、解答题（本大题共10小题，共96分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19．（8分）解方程：（1）x2﹣3x﹣2＝0；（2）（x+3）2＝x+3．【答案】（1）x1＝，x2＝．（2）x1＝﹣3，x2＝﹣2．【分析】（1）利用公式法求解即可；（2）利用因式分解法求解即可．【解答】解：（1）x2﹣3x﹣2＝0，∵a＝1，b＝﹣3，c＝﹣2，∴Δ＝（﹣3）2﹣4×1×（﹣2）＝9+8＝17＞0，∴x＝＝，∴x1＝，x2＝．（2）（x+3）2＝x+3，（x+3）2﹣（x+3）＝0，（x+3）（x+3﹣1）＝0，∴x+3＝0或x+2＝0，∴x1＝﹣3，x2＝﹣2．20．（8分）已知关于x的一元二次方程x2﹣（k+2）x+2k﹣1＝0（k为常数）．（1）求证：不论k为何值，该方程总有两个不相等的实数根；（2）若方程的一个根为3，求k的值和方程的另一个根．【答案】见试题解答内容【分析】（1）证明Δ＞0，可得结论；（2）根据方程解的定义求出k的值，再求出方程的根可得结论．【解答】（1）证明：∵Δ＝[﹣（k+2）]2﹣4（2k﹣1）\＝k2+4k+4﹣8k+4＝k2﹣4k+4+4＝（k﹣2）2+4，∵（k﹣2）2≥0，∴Δ＞0，∴该方程总有两个不相等的实数根；（2）解：∵方程的一个根为3，∴9﹣3（k+2）+2k﹣1＝0，∴k＝2，∴方程为x2﹣4x+3＝0，∴x1＝3，x1＝1，∴另一个根为1，k＝2．21．（10分）如图，D是△ABC的边AC上的一点，连接BD，已知∠ABD＝∠C．（1）求证：△ABD∽△ACB；（2）若AB＝5，CD＝4，求AD的长．【答案】（1）证明见解答过程；（2），【分析】（1）根据∠ABD＝∠C，∠BAD＝∠CAB即可得出结论；（2）设AD＝x，AC＝AD+CD＝x+4，根据△ABD和△ACB相似得AB：AC＝AD：AB，将AB＝5，AD＝x，AC＝x+4代入比例式整理得x2+4x﹣25＝0，由此解出x即可得AD的长．【解答】（1）证明：∵∠ABD＝∠C，∠BAD＝∠CAB，∴△ABD∽△ACB；（2）设AD＝x，∵AB＝5，CD＝4，∴AC＝AD+CD＝x+4，∵△ABD∽△ACB，∴AB：AC＝AD：AB，∴AB2＝AD•AC，∴52＝x（x+4），整理得：x2+4x﹣25＝0，解得：x＝，x＝（不合题意，舍去），∴AD＝x＝．22．（10分）如图，已知．（1）在上求作点C，使与的长度比为1：3；（用直尺和圆规作图，保留作图痕迹，不写作法）（2）连接AB，若AB＝8，上的点到AB的大距离为2，求所在圆的半径长．（如果需要图形，请使用备用图）【答案】（1）见解析；（2）5．【分析】（1）连接AB作线段AB的垂直平分线交于点D，连接AD，作线段AD的垂直平分线交于点C，点C即为所求；（2）如图2中，设圆心为O，半径OC⊥AB于点D，设OA＝OC＝r，利用勾股定理构建方程求解．【解答】解：（1）如图1中，点C即为所求；（2）如图2中，设圆心为O，半径OC⊥AB于点D，设OA＝OC＝r，∵OC⊥AB，∴AD＝DB＝4，在Rt△ADO中，r2＝42+（r﹣2）2，解得r＝5．∴所在圆的半径为5．23．（10分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，以点C为圆心，CA为半径的圆交AB于点D，交BC于点E．（1）若∠B＝28°，求的度数；（2）若BE＝EC＝4，求AD的长．【答案】（1）34°；（2）．【分析】（1）连接CD，求出∠A的度数，根据等腰三角形的性质求出∠ADC的度数，再由三角形外角的性质计算∠BCD的度数即可；（2）延长BC交圆C于点F，在Rt△ABC中利用勾股定理求出AB；设AD＝x，用x将BD表示出来，根据切割线定理列方程并求解即可．【解答】解：（1）如图，连接CD．∵∠C＝90°，∠B＝28°，∴∠A＝90°﹣∠B＝62°，∵CA＝CD，∴∠ADC＝∠A＝62°，∴∠BCD＝∠ADC﹣∠B＝62°﹣28°＝34°，∴的度数是34°．（2）延长BC交圆C于点F．∵BE＝EC＝4，∴BC＝BE+EC＝8，CF＝AC＝EC＝4，∴BF＝BC+CF＝12，在Rt△ABC中利用勾股定理，得AB＝＝＝4，设AD＝x，则BD＝AB﹣AD＝4﹣x，根据切割线定理，得BD•AB＝BE•BF，∴4（4﹣x）＝4×12，∴x＝，∴AD的长为．24．（10分）某服装大卖场以每件60元的价格购进一种服装，由试销知，每天的销量m（件）与每件的销售价x（元）之间的函数关系为m＝300﹣3x．（1）当每天的销售量为45件时，求销售这种服装的毛利润；（2）如果商场想销售这种服装每天获得900元的毛利润，同时又考虑薄利多销，那么每件服装的销售价应定为多少元？【答案】（1）1125元；（2）每件服装的销售价应定为70元．【分析】（1）根据m＝300﹣3x求出x的值，即可解决问题；（2）设每件服装的销售价应定为x元，根据商场想销售这种服装每天获得900元的毛利润，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可．【解答】解：（1）当m＝45时，45＝300﹣3x，解得：x＝85，∴45×（85﹣60）＝1125（元），答：当每天的销售量为45件时，销售这种服装的毛利润为1125元；（2）设每件服装的销售价应定为x元，由题意得：（x﹣60）（300﹣3x）＝900，整理得：x2﹣160x+6300＝0，解得：x1＝70，x2＝90，（不符合题意，舍去），答：每件服装的销售价应定为70元．25．（10分）如图，平直的公路旁有一灯杆AB，在灯光下，小明在D处测得自己的影长DH＝2m，在F处测得自己的影长FG＝3m．小明身高1.5m．（1）若测出BD＝am，求灯杆AB的长；（用含a的代数式表示）（2）若测出FH＝1m，求灯杆AB的长．【答案】（1）（a+）m；（2）6m．【分析】（1）判定△ABH∽△CDH，推出＝，得到＝，求出AB＝（a+）m；（2）判定△GEF∽△GAB，推出＝，判定△HCD∽△HAB，推出＝，而CD＝EF，得到＝，求出BH＝8，得到＝，求出AB＝6m．【解答】解：（1）∵AB∥CD，∴△ABH∽△CDH，∴＝，∵CD＝1.5m，DH＝2m，BD＝am，∴＝，∴AB＝（a+）m；（2）∵EF∥AB，∴△GEF∽△GAB，∴＝，∵CD∥AB，∴△HCD∽△HAB，∴＝，∵CD＝EF，∴＝，∴＝，∴BH＝8，∴＝，∴AB＝6m．26．（10分）先阅读下列例题，再按要求解答问题：例题：求代数式x2+4x+5的最小值．解：x2+4x+5＝（x2+4x+4）+1＝（x+2）2+1．∵（x+2）2≥0，∴（x+2）2+1≥1．∴x2+4x+5的最小值是1．（1）求代数式﹣2x2+12x+15的最大值；（2）某商场将进价为2000元的某品牌电视机以2500元售出，平均每天能售出8台．为了促销，商场决定采取适当的降价措施，调查表明：这种冰箱的售价每降低50元，平均每天就能多售出2台．试问商场每天最多盈利多少元？【答案】（1）代数式﹣2x2+12x+15的最大值为33；（2）商场每天最多盈利4900元．【分析】（1）由﹣2x2+12x+15＝﹣2（x﹣3）2+33≤33，即可求解；（2）设降低x元时，盈利w最大，由题意得：w＝（2500﹣200﹣x）（8+x）＝﹣（x﹣150）2+4900≤4900，即可求解．【解答】解：（1）﹣2x2+12x+15＝﹣2（x﹣3）2+33≤33，即代数式﹣2x2+12x+15的最大值为33；（2）设降低x元时，盈利w最大，由题意得：w＝（2500﹣200﹣x）（8+x）＝﹣（x﹣150）2+4900≤4900（元），故商场每天最多盈利4900元．27．（10分）【探究活动】如图，BE是△ABC的中线，点D在BC上，BE交AD于点F．（1）当时，求的值；（2）当时，则＝；（用含n的代数式表示）【解决问题】请利用探究活动的经验或结论解决问题：Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BE是△ABC的中线，点D在直线BC上，射线BE交AD于点F．若CD＝2，BD＝6，AC＝4时，求BF的值．【答案】（1）；（2）；（3）BF的值为或．【分析】（1）过点D作DG∥AC交BE于点G，利用△AFE∽△DFG，△BDG∽△BCD，得到＝＝，即可得解；（2）同（1）思路一样；【解决问题】由射线BE交AD于点F可知，点D有可能在线段BC上，有可能在线段BC延长线上，所以分两种情况讨论，再利用前述结论得出，然后构造直角三角形，利用相似求出直角边长，再结合勾股定理求出BF的长即可．【解答】解：（1）如图，过点D作DG∥AC交BE于点G，则∠ADG＝∠DAC，∠BGD＝∠BEC，∵∠AFE＝∠DFG，∴△AFE∽△DFG，∴，∵∠DBG＝∠CBE，∴△BDG∽△BCD，∴，∵＝，∴，∴＝，∵BE是中线，∴AE＝CE，∴，∴＝，（2）如图，过点D作DG∥AC交BE于点G，同（1）中方法可知＝＝，∵，∴，∴＝，故答案为：；【解决问题】分两种情况，①当点D在线段BC上时，如图所示，∵BD＝6，CD＝2，∴＝，由前述结论可知＝，∴，过F作FH⊥BC于点H，则∠BHF＝90°，∵∠ACB＝90°，∴∠ACB＝∠BHF，∵∠FDH＝∠ADC，∴△FDH∽△ADC，∴＝＝＝，∴DH＝，FH＝，∴BH＝BD+DH＝，在Rt△BFH中，BF＝＝；②当点D在线段BC延长线上时，如图所示，同（1）中方法，可求得＝，∴＝，过F作FH⊥BC于点H，则∠BHF＝90°，∵∠ACB＝90°，∴∠ACD＝∠BHF，∵∠FDH＝∠ADC，∴△F