2024高考数学二轮复习重难点专题《导数压轴小题十四大题型》题型突破及解析

重难点专题14导数压轴小题十四大题型汇总

题型1恒成立问题之直接求导型........................................1

题型2恒成立问题之分离参数型........................................2

题型3恒成立问题之隐零点型..........................................3

题型4恒成立问题之洛必达法则........................................4

题型5恒成立问题之两个函数问题......................................5

♦类型1同变量型.................................................5

♦类型2不同变量型...............................................6

♦类型3函数相等型...............................................7

题型6恒成立问题之构造函数..........................................8

题型7零点问题.......................................................8

题型8同构问题......................................................10

题型9整数解问题....................................................11

题型10函数凹凸性问题...............................................12

题型11倍函数问题...................................................13

题型12二次型函数问题...............................................14

题型13嵌套函数问题.................................................15

题型14切线放缩法...................................................16

题型1恒成立问题之直接求导型

无论大题小题，分类讨论求参是导数基础，也是复习训练重点之一：

1.移项含参讨论是所有导数讨论题的基础，也是学生日常训练的重点.

2.讨论点的寻找是关键.

3.一些题型，可以适当的借助端点值来〃压缩〃参数的讨论范围

【例题1】（2023春・四川绵阳-高三绵阳南山中学实验学校校考阶段练习）己

第力J，-3x+2dxW1

知3GR,设函数人同7,若关于•邛勺不等式打力学£在XWF

上恒成立，则日的取值范围为（）

A.[OJJB.\L2\C.lAelD.IZel

【变式1-111.（2023春•浙江杭州-高三浙江省杭州第二中学校考阶段练习）

对正实数a有Hx）=1二-Mnx-ln5妾'在定义域内恒成立，则a的取值范围

为（）

A.（AllB.14c71C.（OgD.（〃+8]

【变式1-1]2.（2022秋・安徽六安-高三六安市裕安区新安中学校考阶段练

习）若不等式（对Hr£力恒成立，其中切H4,贝r的最大值为

（）

1Z、八1°IEJI

A.■-B.-Injfec.Ina-

【变式1-113.（2023春・四川南充・高三闽中中学校考阶段练习）一般地，

对于函数/二f"）和X6（,丫）复合而成的函数，二f（爪外），它的导数与函数

V二/二仪外的导数间的关系为力‘=匕‘•若关于）的不等式

对于任意xGF恒成立，则;的最大值为（）

A.1B.1C.\D.c

【变式1-1]4.（2023•安徽合肥•合肥市第七中学校考三模）已知函数

乂力二周”£为，若2-1对任意的x恒成立，则m的最

大值是（）

A.e--B.C.e-JD.-

【变式IT】5.（2022春・安徽滁州-高三校考阶段练习）已知函数

*力二（x-e-力d",若存在占£N,对于任意X£口才，都有团力|则实

数a的取值范围是.

题型2恒成立问题之分离参数型

分离参数是属于“暴力计算”型方法，分离参数：将参数提取到单独的一彳肌然

后通过求解函数的最值来求解参数的取值范围.

1.分离参数思维简单，不需过多思考；

2.参变分离原则是容易分离且构造的新函数不能太过复杂

3.缺点是，首先得能分参，其次求导计算可能十分麻烦，甚至需要二阶，三阶..

等等求导.

【例题2】（2023春•江苏•高三江苏省前黄高级中学校联考阶段练习）若关干）

的不等式1（雄・力〈办"对任意的X/8）恒成立，则整数4的最大值为

（）

A.-JB.0C.1D.3

【变式2-111.（2022秋•四川内江•高三威远中学校校考阶段练习）已知不

等式此E-%2、"寄”对・河恒成立，则万取值范围为

（）

A.加WB阻》一：c.mW-ED.

【变式2T】2.（2023•全国•高三专题练习）已知f（x）,g（x）分别为定义域

为R的偶函数和奇函数，且⑨二e，若关于x的不等式

2f一方㈤是依。立2）上恒成立，则实数a的取值范围是（）

A.9塔B.停，8）C.（-8,胃D.V,。）

【变式2-1]3.（2022秋・山西运城・高三校考阶段练习）已知毛，无是函数

I

=/-Aix，刃m的两个极值点，且，＜七，当&时，不等式Hx；）2磔二

恒成立，则实数如勺取值范围（）

A.卜：In2aB.（-吃/

C.HFZ0D.卜；1四/8）

（■一加-lax-1一

【变式2-1]4.（2023•全国-高三专题练习）若关于x的不等式—方—W〉

在9♦8】上恒成立，则实数m的取值范围为（）

A.（-8,0B.（-8,-e]

C.（.8J]D.58/71

题型3恒成立问题之隐零点型

解题框架（主要的）：

（1）导函数（主要是一阶导函数）等零这一步，有根xd旦不可解.但得到参数和

”的等量代换关系.备用

（2）知原函数最值处就是一阶导函数的零点处，可代入虚根丸

（3）利用丸与参数互化得关系式，先消掉参数，得出七不等式，求得打范围.

（4）再代入参数和处互化式中求得参数范围.

二二

【例题3]（2023•河南郑州・统考模拟预测）己知函数H*）三*〒忆

式力二（1，加）/（初£R）,若Hx）WKx）恒成立，则实数ni的取值范围为.

【变式3-1]1.（2022秋-黑龙江哈尔滨・高三哈尔滨市第六中学校校考阶段

练习）若关于，的不等式对一切正实数x恒成立，则实数d的取值范

围是（）

A.（-8，=）B.（-8,4C.（-叱2

【变式3T】2.（2023•全国•高三专题练习）已知函数力外二.一=一4对任

意x〉0,都有+力恒成立，则实数a的取值范围是.

【变式3-1]3.（2023•广东深圳•深圳中学校联考模拟预测）若关于x的不

等式1磔-力+J对任意的不+8）恒成立，则整数卜的最大值

为.

【变式3-1]4.（2022•安徽・巢湖市第一中学校联考模拟预测）已知不等式

0-亍*81恒成立，则实数a的最小值为（）

A.：B.jC.jD.1

题型4恒成立问题之洛必达法则

如果最值恰好在“断点处”，则可以通过洛必达法则求出“最值”.

【例题4】（多选）已知函数f㈤二合”sin;,则下列结论正确的是（）

A.//是周期为2月的奇函数B.在‘-5，子）上为增函数

C./.在有21个极值点D./包内在位：」上恒成立的充

要条件是31

【变式4-111.（2020春・黑龙江哈尔滨・高三黑龙江实验中学校考开学考试）

已知函数二/Inj-g1—力匕C旧若置，云[在xe（0,1]时恒成立,

则实数a的取值范围是

A.[<+8)B.J+8)C.[2,+8)D.[1,+OO)

【变式4-112.（2020•江西九江・统考三模）若对任意xW几），不等式

恒成立，则实数的勺取值范围是（）

A.K22B.（-8,e]c.（.8,WD.（.8,刀

【变式4-113.（2020春•河北唐山•期中）若打对

恒成立，则实数石的取值范围是

A.『一巴2」B.（-巴2；c.（-吃乙D.巴3）

【变式47】4.（多选）（2023春•河南许昌・）已知函数;e'siru,则

下列结论正确的是（）

A.打力是周期为2及的奇函数B.在上为增函数

C.fG在J"",人也内有21个极值点D.f.力在也上恒成立的充

要条件是31

题型5恒成立问题之两个函数问题

此类函数，多采用两函数“取最值法”.一般地，已知函数y二f（»，x£【]句，

片8（力〃G【6d

（1）若以二£司，L必w匕d,总有Hx；）<g（1力成立，故犬力3（式孙）.；

（2）若以：£伍同，3X3£|cd有真心）<g（孙）成立，故。（hL,；

（3）若云:e[aA],"£匕4有真为<烈孙）成立，故*"Ga：

（4）若为；£E句，"e[c,d,有真X。二8（益1则式»的值域是dx）值域

的子集.

♦类型1同变量型

【例题5-11（2023秋・广东阳江・高三统考开学考试）已知函数Ax）-In儿

式力Wb,Xe（a+8）,a”2式力恒成立，贝心+b的最大值为（）

A.eB,/C.-JD.-e

【变式5-1]1.（2022秋•江苏镇江-高三江苏省镇江中学校考阶段练习）已

知函数力力二一必咛"2d>〃4力二乙若不等式

glxJPZ/Yi）力对一切x£R恒成立，则正整数斤的最大值为（）

A.5B.6C./D.<5

【变式5-112.（2023•江苏•统考模拟预测）已知*x）=mx，力，g（x）-1m,

对于w9+8）,*力是虱动恒成立，则而♦2力的最小值为（）

A.TnZB.—1C.Tn4D.—2

【变式5-1]3.（2022•全国-高三专题练习）已知函数Hx）-x-ln（x*J）,

烈x）二铲-jr-1，若烈x）对IF£[0,+8）恒成立，求实数4的取值范

围.

【变式5T】4.（2020•全国・高三专题练习）设三次函数

=（%b,c为实数且a的导数为，仞，记

4/二f'G]若对任意xWJ,不等式f£（.恒成立，则云:的最大值为

♦类型2不同变量型

【例题5-2]（2022秋•河南•高三校联考阶段练习）设函数

fix）-（x-/）（ex-e）,g（x）-lnx-ai,其中若对任意的正实数x.，Xj,

不等式汽工）2g（孙强成立，则a的最小值为（）

A.0B.1C.：D.e

【例题5-2】1.（多选）（2023秋・广东-高三校联考阶段练习）已知Hx）=nJ,

烈x）二不liu.若存在孙孙£（。，8）,使得"与）二爪孙）二7成立，则下列

结论中正确的是（）

A.当，乂时，"七二fB.当时，eln?x：x；

C.不存在？，使得，（三）=成立D.恒成立，则mW：

【变式5-2]2.（2022秋・四川绵阳・高三四川省绵阳江油中学阶段练习）己

知函数H*）==,=一。/♦打9是自然对数的底数），对任意的r，£R,存

在打有大方）Wg（r），则£的取值范围为.

【变式5-213.（2022秋•四川・高三棠湖中学阶段练习）函数fGram,

g（x）二，+1,当aWl时，对任意相、x,E|Zd,都有fGJPgGJ成立，则

日的取信范围是

【变式5-214.（2021秋•湖北襄阳-高三开学考试）已知函数

/(j)

a”)=(9-而

P={ml任意“x2€（0,2）,f（xO>g（x2））,

Q二伍|任意X16（0,2）,存在M€（0,2）,f（M）>8（#[4l]PAQ=.

♦类型3函数相等型

（例题5-3]（2021秋•江西•高三阶段练习）已知函数

f(xJ-'9-

loe/j*J）.x式力二d/，2x+a-]，若对任意的几G/,总存在

实数外三（。，叼，使得Hx；）二g（%）成立，则实数日的取值范围为（）

A.I。mB.I。7）C.卜叱务.号,8）

【变式5-3]1.（2022•天津和平・耀华中学校考模拟预测）已知函数

.（asinx^^x

心二？7―（-|//

若对任意，WIL+8）,总存在

r£R,使犬与）二g（“1则实数a的取值范围是（）

A.（-8，%.（-8,”修彳

c.卜8,"〃,力D.awsw

【变式5-3]2.（2023•新疆乌鲁木齐・乌市一中校考三模）已知函数

;e力-2xi1,g（x）=2x-2山,若存在九，七E亿，8）,使得/（i；）二g（xR,

则（）

A.UCGJB.A%<lnx；

C.ln（2x；）<lnx7<xD.X,<lnx?<2xt

【变式5-3】3.（2021•河南•统考一模）定义：AnGG））T=尢，g（/.

设函数//二'+2*3,gG）二81nG+〃若孙e（Q⑶,>,工■了力使

得0与）=g3）,=g3）,则实数却J取值范围是

A.（16ir\2^15f0>B.15,8[n2~3）

C.（Q8ln2-3,D.（0,15-161n2>

【变式5-3]4.（2021春•江苏南通・高三统考阶段练习）已知函数

1，式X）若对Tx，E（a+8）,m孙G"显

使Hz）二g（七）成立，则c的取值范围是（）

A.3<CGB.C.CW：D.;

题型6恒成立问题之构造函数

一些复杂结构，需要先两造合理的函数形式再求导研究，以达到〃化繁为简〃的目

的

【例题6]（2023•全国-高三专题练习）己矢」£乂，XJ且

eJ^siny-e7sinj,则下列关系式恒成立的为（）

A.cosxWcosjB.cosxcosjc.sinxWsiruD.sinx^situ

【变式6-1]1.（2023•全国•模拟预测）己知函数真丫）二（/口）已若对任

意。〈孙工二:'<乂内.。勺恒成立，则实数▲的取值范围为（）

A.（-8/B.[7，+8）

C.「8,加R,,8）

【变式6-1]2.（2022秋•重庆•高三校联考阶段练习）已知函数

Ax）-aln（x^2）^r,在区间（3列内任取两个实数n，石且小声心若不等式

-77Z—〃恒成立，则实数2的取值范围为（）

A.I-X+8）B.I-Z+8】c.I£*0°）D.\7f+8）

【变式6-1]3.（2022秋•河南郑州•高三郑州外国语学校校考阶段练习）己

知函数fGJreF内，对任意的实数八0W，-8-84且公Hz,不等式

…，恒成立,则实数a的取值范围是（）

A.尼/8»5/8）c.（：/8）D吕.8）

【变式6-1]4.（2022秋・湖南长沙-高三长沙市明德中学校考开学考试）已

知202Hnb=b*jr,其中若ab（▲恒成立，则实数式的

取值范围为（）

A.（120210，+8、B.（202产"8）c.\2021，+研）.[（202到"8）

题型7零点问题

1.确定零点的个数问题：可利用数形结合的办法判断交点个数，如果函数较为复

杂，可用导数知识确定极值点和单调区间从而确定其大致图象；

2.方程的有解问题就是判断是否存在零点的问题，可参变分离，转化为求函数的

值域问题处理，可以通过构造函数的方法、把问题转化为研究构造的函数的零点

问题；

3.利用导数研究函数零点或方程根，通常有三种思路：①利用最值或极值研究；

②利用数形结合思想研究；③构造辅助函数研究.

【例题7]（2022秋•江西抚州•高三临川一中校考期中）若函数

/（x）二铲/g-力乜在区间原力上有零点，则/在方的最小值为（）

4,J

A.-B.e-C.■D.e

【变式7-1]1.（2023•安徽黄山・屯溪一中校考模拟预测）已知函数

elxW7

《3,若函数烈i）二力"）一用】，2|有三个零点，则实

数%的取值范围是（）

A.（右）。（讨

c.呜九噜局

【变式7-1]2.（2021秋・广东深圳・高三红岭中学校考期末）已知函数

hx）二丁-♦口”]庸且只有一个零点，则电勺取值范围为（）

A.（£*B,9*C.（左'8）D.伯仲）

【变式7-113.（2023•浙江温州・乐清市知临中学校考模拟预测）设22。

bGF,己知函数*%）=”,x有且只有一个零点，则，+3

的最小值为（）

e・e,e・e・

A.-B.-C.1D.-

【变式7-114.（2023•四川广元-校考模拟预测）若函数Hx）二0nx-3ax在

卜区可上存在两个零点，则a的取值范围是

题型8同构问题

同构法的三种基本模式：

①乘积型，如配'可以同构成比’W（ln6Je1Bl,进而构造函数/7力二我\

②比商型，如=（白可以同构成三（白，进而构造函数,⑴二号

③和差型，如1±aM±In"同构后可以构造函数打⑴二小士1或

f（x）-xilru.

【例题8]（2023秋•江苏镇江・高三统考开学考试）对于实数XW（。+8）,

不等式炉7mM♦a■用X2£恒成立，则实数m的取值范围为（）

A.0<MWiB.勿忘/C.。（用WeD,”We

【变式8-111.（2021秋•江苏扬州•高三扬州中学校考阶段练习）设A"4

若存在正实数凡使得不等式log,"-A・尹'》（成立,则灰的最大值为

（）

1IBJeIBJ

A.«lnJB.~C.TEJD.~

【变式8-l】2.（2023秋・广东中山♦高三校考阶段练习）对任意》£（。，*8）,

雁吟7）-（〃3D0恒成立，则实数4的可能取值为（）

A.-JB.1C.：D.：

【变式8-1]3.（2023秋•江西南昌-高三南昌市外国语学校校考阶段练习）

已如函数W9=若任意实数7〉，不等式*r）恒

成立，则实数日的取值范围为（）

A.4B.（°3C.G，#8）D.B+8）

【变式8-114.（2022秋-福建莆田-高三莆田二中校考阶段练习）对任意

X乂，若不等式a/”恒成立，则d的取值范围为（）

A.（。,,jB.（Qejc.（。,力D.

【变式8-115.（2023春•四川内江•高三威远中学校校考阶段练习）定义：设

函数y二7'（x）在（4⑸上的导函数为,（司若/（/在（4力上也存在导函数，则称函

数产=之»在S6）上存在二阶导函数，简记为了二fOr）.若在区间（w6）上

f{x]>0,则称函数在区间Sb）上为“凹函数”.已知

/U）=:在区间（。+8化为“凹函数”，则实数a的取

值范围为.

题型9整数解问题

1.通过函数讨论法，参变分离，数形结合等来切入

2.讨论出单调性，要注意整数解中相邻两个整数点函数的符号问题

【例题9】（2022•全国•高三专题练习）已知关于4的不等式x份一",）,厄雷

且仅有两个正整数解（其中e=2“828-为自然对数的底数），则实数万的取值范

围是（)

,169•B.(19C.心I)D.〔I

A.七工」

【变式9-1]1.（2023•重庆巴南•统考一模）已知偶函数«力满足

04+x）=H4-x）,皿>】,且当曲寸，H*）二三.若关于二的不等式

在[-48期上有凡只有戊个整数解，则实数刁的取值范围是（)

A.（-ZO\B.I。啜C.（Y啜D.1^¥）

【变式97】2.（2023•全国•高三专题练习）函数

f（x）-（x-l）lnx-ax-l（aeA,若不等式fG）<6最多只有一个整数解，则a

的取值范围为（）

A.S’竽B.（孚空

c.S,苧|D.卜8,竽

【变式9-1]3.（2023春•湖北武汉・高三武汉市黄陂区第一中学校考阶段练

习）已知函数f幻二1慢gG）="e—Inj,若关于x的不等式，

在区间（a+8）内有且只有两个整数解，则实数4的取值范围为（）

A.自/B.值二」C.&与

【变式9-114.（2022秋・黑龙江哈尔滨・高三哈尔滨市第六中学校校考期末）

己知真力二&若有且只有两个整数解使H力”成立，则实数药勺取

值范围为（)

A.电9）B.1白,口

c.(91D.(S孑

【变式9-1】5.（2023•全国•高三专题练习）己知函数f.二h行，力-Inj,

若f（x）W（有且只有两个整数解，则k的取值范围是（)

AnSInJ・zla5Id.

A.B.K；

zln2InJ・zla2InJ।

C.~JD.

题型10函数凹凸性问题

凹凸函数常见的图形

【例题101（2023•云南•高三校联考阶段练习）己知函数0X）=ln（"M-u二

满足f（x）V0恒成立的最大整数m的值为—.

【变式10-111.（2021春•湖北鄂州-高二统考期末）已知大于1的正数42

满足R,则正整数二的最大值为（）

A.7B.8C.9D.11

【变式10-112.（2023秋•江苏南京・高三南京市中华中学校考阶段练习）已

知实数儿夕满足1/4"方-6A/I23"勿一，则"夕的值为

A.2B.1C.cD.-j

【变式10-1]3.（2022秋•安徽・高三校联考阶段练习）已知函数

f/=<^（711/-加-1有两个零点，则ff的取值范围为（）

A.B.8,C,+aD.(0,+°9)

题型11倍函数问题

1.保值函数，包括“倍增函数”，“倍缩函数”，“K倍函数”，等等新定义

2.应用函数思想和方程思想.

【例题11］（2023春•北京海淀•高二校考阶段练习）若存在"外旨旧仇且

染使W,）一/x』YUUjm成立,则在区间laM上，称式X）为«力

的“倍函数”.设Hx）=1m,衣力二三，若在区间解d上，烈x）为真力的“倍

函数”，则实数上的取值范围为（）

C.（-巴elD.（-巴e）

【变式11T】1.（2020秋・海南海口・高三海南中学校考阶段练习）对于函数

y=f（x）,若存在区间「a,bl,当xGFa,b］时的值域为Cka,kbl（k>0）,则称y=f（x）

为k倍值函数.若f（x）=ex+3x是k倍值函数，则实数k的取值范围是（）

«・

A.（e+二，+8）B.（e--,+°°）

C.（e+2,+8）D.（e-3,+°°）

【变式11-112.（2022•全国•高三专题练习）如果存在刈，孙且

X，声"使I虱JT?）一飘了川川成立，则在区间hlJM上,称爪X）为式X）

的“倍函数”.设Hx）二】m,“，）-7^7,若在区间l、ed上，用力为Hx）的“倍

函数”，则实数1的取值范围为一.

【变式11-1】3.（2023・全国-高三专题练习）函数H>）的定义域为D,若存

在闭区间labl使得函数Hx城足：①Hx）在⑵,加内是单调函数；②Hx）在

",4上的值域为［然2乩则称区间值A］为好/U）的“倍值区间”.下列函数中

存在“倍值区间”的有

①Hx）=/（%是。；②Hx）二？（xe月；

③«力二三（x叫；④Hx）-|J|（X

【变式11T】4.（2023秋•湖北-高三校联考阶段练习）小王准备在单位附近

的某小区买房，若小王看中的高层住宅总共有n层（20W刀W%,〃GN'）,

设第1层的“环境满意度”为1,且第k层（2WkW匕,★GN*）比第层

的“环境满意度”多*成+7；又已知小王有“恐高症”，设第1层的“高

层恐惧度”为1,且第k层（2WNW几AGN"）比第47层的“高层恐惧度”

高出三倍.在上述条件下，若第k层“环境满意度”与“高层恐惧度”分别为必，

记小干对第k层“购买满意度”为G,且.二高则小干最想买第（）

层住宅.

（参考公式及数据：H竽…，+/=”：广,1^20,6931,

098tf电„6

【变式11-1]5.（2022•全国-高三专题练习）若存在实数人对任意

xC成立，则称双外是式外在区间[上的倍函数”.已知函数

-『-21-4,x0

f（x）-j

Inx*p和虱x）二x,若烈x）是Kx）在力上的五倍函数，则式的取值

范围是

题型12二次型函数问题

换元为主要切入点.注意借助于双坐标系来转换

【例题12】（2023•江苏南京•南京市第一中学校考模拟预测）已知函数

f+x+2,x<0

I=，x》O,若函数式力二2c/（力■处）。合有6个零点，则实

数与的取值范围为.

【变式12-111.（2023•全国-校联考二模）已知函数五力二（i-x）e」，若关

于x的方程须了）产-44力，/二t有两个不同的实数根时，实数a的取值范围

是•

【变式12-112.（2023•全国-高三专题练习）函数真,）=二若关于丁的

方程尸（x）.如有6个不同的实数解-则实数1的取值范围

为

+3/JTW0

Hx）-<•,、八

【变式12-113.（2023•全国•高三专题练习）已知函数（二，

若关于』的方程出划"日式幻一"。有3个不同的实数根，则占的取值范围

为—.

【变式12-1]4.（2023秋•广东东莞•高三校考期末）已知函数

c1,xl,x>0

{-e-“-X?x<0,若关于x的方程尸（力:2MH力-2有8个不同的实数

解，则整数m的值为.（其中e是自然对数的底数）

【变式12-1]5.（2022秋•山西运城•高三统考期中）已知函数

Hx）二3八一

—^>0,若汽X）二产（X）-必不）打的零点个数为3,则实数4勺取

值范围是.

题型13嵌套函数问题

换元为主要切入点.注意借助于双坐标系来转换

【例题13]（2023•全国•高三专题练习）已知函数=若曲

线/二--♦为上存在点（XQM）使得/（1为））二九则a的取值范围是.

[变式13-1]1.（2020春•浙江•高二校联考期末）已知函数

（xx>a,&⑴=f⑴-瓦h（x）=-I,记函数g（x）

和h（x）的零点个数分别是M,N,则（）

A.若M=L则NW2B.若M=2,则N22

C.若M=3,则N=4D.若N=3,则M=2

Jinx/

【变式13-1]2.（2023•天津・二模）已知函数”",若

网力二HWl）+力+瓦有两个零点X。无，则的取值范围是（）

A.\4-21nZ+叼B.I”花，叼c\4-21nZ/阿D.・吗何

【变式13-113.（2023•浙江•二模）已知函数兵力=则/（五力）二a

至多有个实数解.

[变式13-1]4.（2023•江苏•校联考模拟预测）已知函数

f，jJi—JT,XW0

IIrLT.,若/=有六个零点，则实数f的取值范围

是-

[变式13-115.（2023•四川-校联考模拟预测）已知函数

开.J

“司+若关于X的方程真式X））二3恰有两个不相等的实数根

五，七，且，＜均，则器的取值范围是.

题型14切线放缩法

【例题14]（2022高三专题练习）己知乙方£」,若关于，的不等式

2x-dln"a-b26恒成立，则时的最大值为.

【变式14-1]1.（2022•湖南-校联考模拟预测）若关于x的不等式

恒成立，则减的最大值是.

【变式14-1】2.（2018秋・江苏南京-高三统考期中）存在使

h-2k+b2Iru对任意的x-6恒成立，则%勺最小值为.

【变式14-113.（2020春•湖北荆门・高三荆门市龙泉中学校考阶段练习）若

关于X的不等式手恒成立，则二的最小值是_.

1.（2023-全国-模拟预测）已知当X'】时，关于邛勺不等式三■亘成立，

则实数日的值不可能是（）

A.0B.1C.2D.3

2.（2023・江西-校联考二模）已知函数«幻二e———,当尸金（〃*°°）

时，X力2/恒成立，则实数a的取值范围是（）

A.「8,1B.「8,/・兀（-8j|D.「8,团

3.（2022•山东•校联考模拟预测）已知函数若

f份J对任意X〉。恒成立，则实数a的最小值为（）

2；

A.一工B."；C.-WD.yR

4.（2023•山东•山东省实验中学校考二模）己知不等式引nx.尸对

任意x七（Z+8）恒成立，则实数日的最小值是.

5.（2022•江西・校联考模拟预测）若不等式为-函产Me'.工对任意xGE

恒成立，则实数石的值为一.

6.（2023•江西上饶•校联考模拟预测）已知不等式肥”.三：24对

Lxe（/,+8）恒成立，则实数石的最小值为.

7.（2023•河南-校联考模拟预测）若忆丫£[2♦8）,不等式9nx一户WC

恒成立，则实数a的取值范围是.

8.（2023•青海西宁・统考二模）设实数若对任意的不eG，回,不

等式。口■当云二恒成立，则实数力的取值范围为.

9.（2023•福建泉州・统考模拟预测）方程三二三满足*Wj的正整数解的组数

为（）

A.0B.1C.2D.无数组

10.（2021•天津蓟州・天津市蓟州区第一中学校考模拟预测）偶函数H力满足

+=/14-x）,当目时，尤X）=不等式声⑶。巴外〉0在

1-2%,20。上有且只有2戊个整数解，则实数z的取值范围是（）

A.H1n£1/B.卜】n2・轲6）

c.（FZD.（一%61M

11.（2020•河北衡水•校考一模）设函数fW二折而7不，若曲线

产二.5inx+9上存在点仕力y总使得七〃二乂成立，则实数＜3的取值范围为

（）

A.J-e+1iB.【6,c.R,口-L力D.1,J

参考答案与试题解析

重难点专题14导数压轴小题十四大题型汇总

题型1恒成立问题之直接求导型.......................................18

题型2恒成立问题之分离参数型.......................................24

题型3恒成立问题之隐零点型.........................................29

题型4恒成立问题之洛必达法则.......................................34

题型5恒成立问题之两个函数问题.....................................40

♦类型1同变量型................................................40

♦类型2不同变量型.............................................46

♦类型3函数相等型.............................................50

题型6恒成立问题之构造函数.........................................55

题型7零点问题......................................................60

题型8同构问题......................................................66

题型9整数解问题....................................................72

题型10函数凹凸性问题...............................................79

题型11倍函数问题...................................................84

题型12二次型函数问题...............................................91

题型13嵌套函数问题................................................101

题型14切线放缩法..................................................109

题型1恒成立问题之直接求导型

无论大题小题，分类讨论求参是导数基础，也是第习训练重点之一：

1.移项含参讨论是所有导数讨论题的基础，也是学生日常训练的重点.

2.讨论点的寻找是关键.

3.一些题型，可以适当的借助端点值来〃压缩〃参数的讨论范围

【例题1]（2023春・四川绵阳-高三绵阳南山中学实验学校校考阶段练习）已

知3*R,设函数IX-alnxx>1，若关于邛勺不等式fGJ呈£在XGE

上恒成立，则与的取值范围为（）

A.[0fljB.IL2\c.lAe]D.[2,e|

【答案】D

【分析】由函数解析式，在xWj时应用二次函数性质及恒成立有

f⑴a=2S-I）》《得a》，再利用导数研究fGJ在的最小值，结合不

等式恒成立只需保证力3Ln",即可求出参数范围.

【详解】当xWl时，f/的开口向上且对称轴尸:”,此时

八八二f⑴二2d）,

要使则a云J；

当时f"J二号，显然3二1时，6^20恒成立，即fGJ在亿，8）上递增，

所以f&A:n;？匕＞二满足题设；

若a＞】,则亿人上，/＜。即递减，匕上，⑴乂，即f㈤递增;

所以f6&B=f®=a-爪M,要使f份）24则a-alna学，即InaWi,

所以aWe；

综上，日的取值范围为1工日

故选：D

【点睛】关键点点睛：根据分段函数解析式，结合二次函数性质、导数研究不同

定义域下最小值，由不等式恒成立，保证最小值都非负即可.

【变式1-1]1.（2023春•浙江杭州-高三浙江省杭州第二中学校考阶段练习）

对正实数a有"X）-e^-alnx-ln5在定义域内恒成立，则a的取值范围

为（）

A.（。〃1B.izgC.（0，TD.（。・8）

【答案】C

【分析】利用导数研究fej单调性，得极小值"^="弓:'与.且诃'刃，将

问题转化为孙在位，.8）上恒成立，再应用导数研究左侧的最小

值，即可求解.

【详解】由题设‘⑴二广'7且2＞。]乂，令g（x）=fG）,则

g'⑴二门+3）0,

所以g3二f㈤在佃，+8J上递增，显然，趋向0时f31趋向-8,

/㈤=

故三的e（Q,+8%吏f（Xn）=o,即F'''公则In孙=lna-（孙+力，

所以，在上f色1递减；在作“+8)上ff3l递增；

故/Yx)2f(xj二1，"-aLnj0-ln^~a(Y^x:-21na/2)

要fG)“在9+8)上恒成立，则:一厂且n"2N,即上*心云且IMV恒

成立，

令X：〃且Xe(Q+8),则/，后，故xES,乙时"1,Xe仇+8厨

y>0,

所以尸eS,L上y递减,不£亿+8)上y递增，则7呈川心"

且当X*?时，°二1所2-"艮，

综上，且nd-2W外打=2,可得

故选：c

【变式1-1]2.(2022秋・安徽六安-高三六安市裕安区新安中学校考阶段练

习)若不等式eE-m-2h-3，对Hr£力恒成立，其中期±4则;的最大值为

()

lcJ«IEJI

A.一"7B.-In%C.In先D.~

【答案】A

【分析】先求导，研究函数的单调性，根据参数大同的取值，分类讨论，求得函

数的最小值，再利用分离参数，构造新函数，求最值，可得答案.

【详解】令Wx)二『7-加-幻-J,求导得，(为二/；一“，

当时，易知函数★x)单调递增，函数值域为R,则不合题意；

当而>。时，令f(x)=Q解得X=1的+1,可列下表：

(-8/的+/)

Inifff7(lrw*/y+8)

f(力一C二

Hx)/极小值)

则真力-/(lnw/2)二jr-jiGnjw+l)一幻一3》4,

可得=WTu-

令烈力＞9面咤，求导得g（x）A—二三

令g'（刑可得加=4可得下表

(0』ia+8)

g'(力C—

烈X）/极大值/

则H向3=8（3=2”■与则:云■如&,

故选：A.

【变式1-113.（2023春・四川南充・高三闿中中学校考阶段练习）一般地,

对于函数/二f（，）和，=g（»复合而成的函数y二f（从⑼，它的导数与函数

V二f（f）,/二外外的导数间的关系为%‘=匕’•若关于）的不等式

对于任意xGE恒成立，贝后的最大值为（）

A.1B.1C.1D.e

【答案】C

【分析［构造函数a力二利用导数研究Hx）的最小值，由此列不等式,

再利用构造函数法，结合导数来求得1的最大值.

【详解】依题意恒成立，即（恒成立，

设#了）=e"-j-4/（x）

设式力二况”-1，则晨（幻二热所以f（用在R上单调递增，

当dW4时，,（幻二ae"-］《。★£在R上递减，没有最小值，不符合题意.

Im

当a，。时，由，（力二二C解得^二一二，

所以犬力在区间（-8,-1"⑶＜。式团递减；

在区间F（x）M疝域增.

所以真0的最小值是小省学-2,

依题意可知—‘52’，

即61丁，即:£丁，

设富力二号

//⑶二f；5二七羿

所以人力在区间仅代-1方⑶M,水力递增；

在区间（门+8）,万G）C）递减，

.j，4n卜■号.

所以"力的最大值为'）二J三，

所以为勺最大值为:

故选：C

【点睛】利用导数求解不等式问题，首先将不等式转化为一边为C的形式，然后

利用构造函数法，结合导数来研究所构造函数的单调性、极值、最值等性质，从

而对问题进行求解.

【变式1-114.（2023•安徽合肥•合肥市第七中学校考三模）已知函数

五»二底*-F一刀-"朝刀£用，若升力2一」对任意的x£/恒成立，则亚的最

大值是（）

A.B.c.e-JD.-u-

【答案】B

【分析】讨论思乂,利用导数得出戚liw〃）2/T,构造函数

A（而二由导数得出融质』，进而得出的的最大值.

【详解】"力二心“一l一“一4f⑶二耻"7,

当mW1时，/（J）＜6恒成立，则H力单调递减，二面一刀一」，显然«力》一」

不恒成立；

当加20时，¥£（-8,-1由时，/（J）（of函数Hx）单调递减；

不£（一打叫+8）时，八力乂，函数Hx）单调递增