非线性光纤光学-第二章-脉冲在光纤中的传输

第二章脉冲在光纤中的传输准备知识光纤模式基本非线性传输方程数值求解非线性传输方程麦克斯韦方程物质方程边界条件根据经典理论，电磁场的基本规律可以用麦克斯韦方程表述，为：磁感应强度

电位移矢量

电场强度

磁场强度

电流密度

自由电荷密度

1.准备知识

光纤是无自由电荷的介质，因此有

要能从给定的电流和电荷分布唯一地确定各个场矢量，还必须对麦克斯韦方程组补充一些描述物质在电磁场作用下的特性的经验关系式，它们称为物质方程。介质相对磁导率真空磁导率介质电导率对于各向同性介质来说，相关的物质方程为真空介电常数介质磁导率

极化强度对于各向异性介质，是二阶张量。

成立条件：（1）介质是线性介质；（2）介电常数、磁导率与电磁场的变化频率无关

对于光纤这样的非磁性介质，物质方程满足由麦克斯韦方程组可以导出在两个介质分界面上满足的边界条件，它们是：电位移法向分量的关系界面法线方向的单位矢量

界面处的面电荷密度

若界面处没有面电荷，则（电位移法向分量连续！）4.磁场强度切向分量的关系表面电流面密度

若界面没有面电流，则

3.电场强度切向分量的关系2.

磁感应强度法向分量的关系真空介电常数极化强度线性极化率非线性极化率对于光纤此项为零

电磁场的波方程考虑场中没有自由电荷及电流，且介质为非磁性介质的情况。P和E满足关系：如果我们只考虑与有关的三阶非线性效应，则感应电极化强度由两部分组成线性极化非线性极化讨论传输模式时考虑非线性效应很弱，利用微扰理论，可以令，则推导出的傅立叶变换，定义为是其中线性波动方程与频率有关的介电常数定义为一般式复数，其实部和虚部分别与折射率及吸收系数有关。定义于是得到α很小，其平方项可以忽略，因此从而得到代表实部代表虚部解线性波动方程前作两个近似：a.光纤的损耗很小，的虚部相对于实部可以忽略，因而有，以微扰的方式将光纤损耗包括进去；b.在阶跃光纤的纤芯和包层中折射率与方位无关，通过简化，得到如下形式的波动方程：2.光纤模式模式的概念从数学方面理解，模式是满足亥姆霍兹方程及其在波导中心有界、在边界趋于无穷远处为零等边界条件的一系列特解，这些模式还可以根据相应的规则进行排序。从场的方面来看，一个模式实际上是光波导的光场沿横截面分布的一种场图。光波中总的场分布就是许多个模式的线性组合。从光纤理论的分析，可以得到以下几个有关的结论：

(1)并不是任何形式的光波都能在光纤中传输的，每种光纤都只允许某些特定形式的光波通过，而其他形式的光波在光纤中无法存在。每一种允许在光纤中传输的特定形式的光波称为光纤的一个模式。

(2)在同一光纤中传输的不同模式的光，其传播方向、传输速度和传输路径不同。

(3)进入光纤中的光线，在光纤的纤芯一包层界面上的入射角大于临界角时，在交界面内发生全反射，而入射角小于临界角的光就有一部分进入到包层，然后被很快衰减掉。前者的传输损耗小，可以远距离传输，称为传导模，后者称为泄露模。

(4)能满足全反射条件的光线中，也只有部分以特定角度入射到光纤端面的光线才能在光纤中传输，因此，不同模式的光的传输方向不是连续改变的。本征方程的推导：在柱坐标系下，有：波动方程可以方便地表示为是电场强度E的傅立叶变换，即对磁场强度也有类似的关系式成立。六个分量中只有两个是独立的，习惯上选择作为独立分量，其他四个分量和这两个分量之间的关系为关于的波动方程可通过作分离变量方法来求解：几个归一化参数归一化工作频率：归一化横向传播常数： 归一化横向衰减常数： 有效折射率： 归一化传输常数：场解的选取依据：导模场分布特点：在空间各点均为有限值；在芯区为振荡形式，而在包层则为衰减形式；导模场在无限远处趋于零。贝塞尔函数形式：Jm呈振荡形式，Km则为衰减形式。本征解选取：

在纤芯中选取一类贝赛尔函数Jm，在包层中选取第二类修正的贝塞尔函数Km。本征解的确定横向分量由纵向分量确定。本征值方程的导出边界条件：在r=a,Ez,Hz,Eφ,Hφ

连续EIz|a=EIIz|a: AJm(U)-BKm(W)=0HIz|a

=HIIz|a: CJm(U)-DKm(W)=0EIφ|a=EIIφ

|a:HIφ

|a=HIIφ

|a: 确定待定系数ABCD有非全零解：ABCD系数行列式为零，即可导出本征值方程。本征值方程本征值方程又称特征方程，或色散方程。其中U与W通过其定义式与β相联系，因此它实际是关于β的一个超越方程。当n1、n2、a和λ0给定时,对于不同的m值,可求得相应的β值。由于贝塞尔函数及其导数具有周期振荡性质,所以本征值方程可以有多个不同的解βmn(m=0,1,2,3...n=1,2,3...),每一个βmn都对应于一个导模。弱导条件下(n1≈n2)：各模式能否在光纤中传播而成为导模，是由光纤的实际归一化频率（V）与模式的归一化截止频率（Vc）的相对大小决定的。如果光纤的归一化频率大于某一模式的归一化截止频率，则这个模式能在光纤中传播，成为导模；如果光纤的归一化频率小于某一模式的归一化截止频率，则这个模式被截止，不能在光纤中传播。即导模条件

截止条件

临界条件

现将较低的几个模式的归一化截止频率按照由高到低的顺序排列如下：Vc=0HE11模Vc=2.40483TE01、TM01、HE21模Vc=3.83171EH11、HE12、HE31模Vc=5.13562EH21、HE41模Vc=5.52008TE02、TM02、HE22模Vc=6.38016EH31、HE51模色散曲线图中每一条曲线都相应于一个导模。平行于纵轴的竖线与色散曲线的交点数就是光纤中允许存在的导模数。由交点纵坐标可求出相应导模的传播常数β。Vc越大导模数越多；当Vc＜2.405时，在光纤中只存在HE11模，其它导模均截止，为单模传输。单模工作条件单模条件:单模光纤尺寸:单模光纤截止波长:单模光纤截止频率:仅当波长大于截止波长时方可在光纤中实现单模传输。这时，在光纤中传输的是HE11模，称为基模或主模。紧邻HE11模的高阶模是TE01、TM01模和HE21模，其截止值均为2.405。基模特性分析基模的条件V<2.405基模的线偏振特性:在弱导条件下，光线与纤轴的夹角小；芯区对光场的限制较弱；消逝场在包层中延伸较远。此时场的横向分量线偏振，且远大于纵向分量；通常用符号LPmn来表示本征方程的近似解的线偏振模。基模场的表示假如入射光是沿光纤的一个主轴方向偏振的，光纤基模HE11的场强近似为归一化常数光纤内模场分布为：径向距离为简单起见，通常光纤的基模近似采用高斯形分布通过曲线拟合或变分过程决定当1.2<V<2.4时，w与a的关系可以近似表示为对V=2有w≈a，它表明对V≈2的通信光纤，纤芯半径和w基本一致，但也应注意到对V<1.8，w就远大于a

。由于高斯近似相对较为简单，若w值合适，高斯近似的采用是相当实际的。3.基本非线性传输方程考虑到非线性因素后，波动方程变为线性极化强度非线性极化强度非线性脉冲传输非线性项的表达和处理在解波动方程时，需作几个假设来简化之：

a.由于折射率的非线性变化小于10-6，可以把PNL处理成PL的微扰；

b.假定光场沿光纤长度方向其偏振态不变，因而其标量近似有效；

c.假定光场是准单色的，即对中心频率为ω0的频谱，其谱宽为Δω，且Δω/ω0<<1。因为ω0约为1015s-1，因此该项假定对脉宽0.1ps的脉冲是成立的。在慢变包络近似下，把电场的快变化部分分开，写成单位偏振矢量时间的慢变化函数把极化强度分量PL、PNL的快变化部分分开，其中线性极化分量PL：其中为E(r,t)的傅立叶变换。非线性极化强度可表示为假定非线性响应是瞬时作用的（忽略了喇曼效应），上式简化为计算可得

即PNL(r,t)有一项在ω0处振荡，另一项在三次谐波3ω0处振荡，后一项由于需要相位匹配，在光纤中通常被忽略。于是得到于是可以得到非线性极化强度的慢变幅度为非线性介电常数为了方便地在频域中推导慢变振幅E(r,t)的波动方程，把εNL处理成常量，这种方法从慢变包络近似以及PNL的扰动特性来看可认为是合理的。满足亥姆霍兹方程介电常数定义介电常数折射率吸收系数习惯上定义非线性折射率系数双光子吸收系数光纤非线性的量度，不能与包层折射率混淆！对于石英光纤，此项常被忽略慢变包络的求解过程波动方程可利用变量分离法求解。假定解的形式为波数z的慢变函数，其二阶导数可以忽略求解过程：将上面的假定解代入亥姆霍兹方程，分离成两个关于F(x,y)和Ã(z,ω)的方程：介电常数ε(ω)近似为表示微扰上面关于F(x,y)的方程可用一阶微扰理论求解。根据一阶微扰理论，Δn不会影响模分布F(x,y)，然而本征值变为把电场E(r,t)写为慢变振幅A(z,t)的傅里叶变换满足下面的方程：物理意义：脉冲沿光纤传输时，其包络内的每一谱成分都得到一个与频率和强度有关的相移。进行逆傅里叶变换则得到关于A(z,t)的传输方程。为此，在载频ω0附近把β(ω)展成泰勒级数与此类似，将Δβ(ω)展开为

若谱宽Δω<<ω0，则展开式中的三次项及更高次项通常被忽略，这些项的忽略与在方程推导过程中用到的准单色假定是一致的。对某些特定的ω0值，若β2≈0(即在光纤的零色散波长附近)，需考虑三次项。利用做逆傅里叶变换。在逆傅里叶变换中，用微分算符代替于是可得到关于的方程为包括了光纤的损耗及非线性效应利用β(ω)≈n(ω)ω/c并假设F(x,y)在整个脉冲带宽内变化不大，上面的方程可写成非线性参量参量Aeff称为有效模场截面，定义为若光纤基模用高斯近似，则描述了皮秒光脉冲在单模光纤中的传输，它和非线性薛定谔方程有关联，并在一定条件下可以简化成非线性薛定谔方程。该方程通过α包括了光纤的损耗效应，通过β1和β2包括了光纤的色散效应，通过γ包括了光纤的非线性效应。

方程高阶非线性效应需要考虑高阶非线性项的几种情况：a.若入射脉冲的峰值功率超过SRS、SBS的阈值，则入射脉冲能量会转移到与之同向或反向共同传输的斯托克斯脉冲中，通过喇曼或是布里渊增益及XPM，两脉冲会相互作用。b.当两个或多个不同波长的脉冲（其频率间隔大于单个脉冲谱宽）入射到光纤中，需要考虑XPM作用项，要有一组方程来描述。c.当入射脉冲的谱宽可与其载频相当时，会出现自频移现象。对非线性极化强度PNL的一般化处理将三阶极化率具有如下形式：非线性响应函数非线性极化强度的标量形式为修正后的传输方程经计算后可以得到下面描述单模光纤中脉冲演化的方程对包含多个光学周期的足够宽的脉冲（脉宽>100fs），可以利用泰劳级数展开方程中的项，使方程简化。若脉冲包络沿光纤是缓变的，这种近似是合理的。定义非线性响应函数的一阶矩为注意到，方程可以近似为损耗GVDTOD自变陡喇曼响应若脉宽T0>5ps，参量