《经济数学基础》课件第7章

第7章Matlab应用

7.1Matlab简介7.2用Matlab进行函数运算7.3用Matlab求极限7.4用Matlab进行求导运算7.5用Matlab做导数应用题7.6用Matlab求积分7.7用Matlab计算行列式7.8用Matlab解决矩阵运算7.9用Matlab解线性方程组

7.1Matlab简介

7.1.1Matlab及其发展

Matlab是一种功能强大的科学计算软件.经过二十多年的补充与完善以及多个版本的升级换代，Matlab已成为一个包含众多工程计算和仿真功能与工具的庞大系统，是目前世界上最流行的仿真计算软件之一.

Matlab的产生与数学计算紧密联系.1980年，美国新墨西哥州大学计算机系主任CleveMoler为了解决矩阵数值计算而编写了名为Matlab的程序，即Matrixlaboratory中各单词前三个字母的组合，意为“矩阵实验室”.这个程序受到学生的广泛欢迎，后来经过不断地研究与完善，现在的Matlab已经不仅仅是最初的“矩阵实验室”了，它已经集数值分析、矩阵运算、信息处理、图形显示和编程于一体，成为应用代数、自动控制理论、数理统计、数字信号处理、时间序列分析和动态系统仿真等课程的基本学习工具.7.1.2Matlab的特点

Matlab作为一种功能强大的数学软件，使用户在数学学习过程中更方便、简易.用户只需要给出数学表达式，结果就以数值或图像的形式显示出来.此外，相比其他计算机语言，Matlab具有以下特点：

(1)功能强大.Matlab不仅在数值计算上继续保持着相对其他同类软件的绝对优势，而且还开发了自己的符号运算功能，使用户可以方便地处理如矩阵变换及运算、多项式运算、微积分运算、线性与非线性方程求解、常微分方程求解、偏微分方程求解、插值与拟合、统计与优化等问题.

(2)语言简单.Matlab允许用户以数学形式的语言编写程序，比Basic、Fortran和C语言更接近于书写计算公式的思维方式.它的操作和功能函数指令就是以平时计算机和数学书上的一些简单英文单词表达的.而Matlab的帮助系统也近乎完美，用户可以方便地查询到所需的各种信息.另外，Matlab还为初学者提供了功能演示窗口，用户可以从中得到感兴趣的例题和演示.

(3)绘图功能强大.从最早版本的Matlab起，图形功能就是其最基本功能之一，随着Matlab版本的逐步升级，其图形工具箱从简单的点、线、面处理发展到集二维图形、三维图形，甚至四维图形和对图形进行着色、消隐、光照处理、渲染和多视角处理等多功能于一体的强大功能包.

(4)编程简易、效率高.从形式上看，Matlab程序文件是一个纯文本文件，扩展名为m.用任何字处理软件都可以对它进行编写和修改，因此程序易调试，人机交互性强.7.1.3Matlab的桌面平台

1.Matlab的启动和退出

使用Matlab安装盘，根据需要选择并按照提示进行安装后，最常用的方法就是双击系统桌面上的Matlab图标，也可以在开始菜单的程序选项中选择Matlab快捷方式，还可以在Matlab的安装路径的bin子菜单目录中双击可执行文件Matlab.exe.

初次启动Matlab后，进入Matlab默认设置的桌面平台，如图7-1所示.图7-1退出Matlab系统的方式有两种：

(1)在文件菜单(File)中选择“Exit”或“Quit”.

(2)用鼠标单击窗口右上角的关闭图标“×”.

2.Matlab的桌面平台

打开Matlab，出现系统默认的操作桌面，如图7-1所示.它包括四个窗口，分别是：工作间窗口(WorkspaceBrowser)、命令窗口(CommandWindow)、命令历史窗口(CommandHistory)和当前目录窗口(CurrentDirectory).

(1)工作间窗口是Matlab的重要组成部分，这里将显示目前内存中所有变量的变量名、数字结构、字节数以及类型，不同的变量类型分别对应不同的变量名图标.此外，窗口的上方还有一行快捷键按钮，分别表示建立新变量、打开已保存的数据文件、保存工作空间的所有数据、打印、删除数据等功能.

(2)命令窗口位于图7-1的桌面右侧位置，是各窗口中最大的.其中“”为运算提示符，表示Matlab正处于准备状态.当在提示符后输入一段运算式并按回车键后，Matlab将给出计算结果，然后再次进入准备状态.如果不希望结果被显示，只要在语句后加一个分号(；)即可，此时尽管结果没有显示，但它依然被赋值，并且Matlab在工作空间中为之分配了内存.

(3)命令历史窗口在默认设置下，会保留自安装起所有命令的历史记录，并标明使用时间，这大大方便了用户的查询及调用.只须双击某一行命令，即在命令窗口中执行此行命令.

(4)当前目录窗口中可以显示或改变当前目录，还可以显示当前目录下的文件并提供搜索功能.7.1.4Matlab的帮助系统

Matlab与其他科学计算软件相比，具有一个突出的优点，即具有一个非常完备的帮助系统.它的帮助系统可分为三大类：联机帮助系统、命令窗口查询帮助系统和联机演示系统.

如果用户想了解某个函数的用法及输入格式，就可以在命令窗口查询帮助系统获取帮助.

此外，还可以在联机演示系统中看到演示帮助和执行的程序.7.1.5Matlab的常用命令和操作技巧

1.常用命令

在使用Matlab时，常用的命令如表7-1所示.

2.操作技巧

掌握一些常用的输入技巧，可以在输入命令的过程中起到事半功倍的效果.表7-2列出了可能用到的技巧.

3.标点

在Matlab语言中，一些标点符号也被赋予了特殊意义或代表一定的运算，如表7-3所示.

7.2用Matlab进行函数运算

7.2.1变量

变量是任何程序设计语言的基本元素之一，Matlab语言也不例外，但不同的是，Matlab不要求对所使用的变量进行事先声明，也不需要指定变量类型，它会自动根据所赋予变量的值或对变量所进行的操作来确定变量的类型；在赋值过程中，如果变量已存在，Matlab语言将使用新值代替旧值，并以新的变量类型代替旧的变量类型.

在Matlab语言中，变量的命名遵循如下规则：

(1)变量名区分大小写；

(2)变量名长度不超过31位，第31个字符之后的字符将被忽略；

(3)变量名以字母开头，变量名中可包含字母、数字、下划线，但不能使用标点.7.2.2常量

Matlab中有一些预定义的变量，这些特殊的变量称为常量.表7-4给出了常用的一些常量及说明.7.2.3数字变量的运算

对于简单的数字运算，可以直接在命令窗口中以平常惯用的形式输入，如计算125和36的乘积时，可以直接输入：

125*36

ans=4500

程序中的“”是不需要读者输入的，而是命令窗口自带的符号.这个符号的作用是区分输入部分和输出部分的内容，凡是带有这个符号的都是输入部分，没有这个符号的都是输出结果.这里ans指当前计算结果.若计算时用户没有对表达式设定变量，Matlab就自动将当前计算结果赋给ans变量.若用户设定变量，比如：

x=125*36

x=4500

此时，Matlab就把计算结果赋给指定的变量x了.

对于简单的表达式的计算，直接输入不失为一个好办法，但当表达式比较复杂或多次重复时，最好是先定义变量，再由变量表达式计算得到结果.

在Matlab中，一般代数表达式的输入与平时书写一样，如四则运算符就直接用+、-、*、/即可.例1

计算122+203和122×203.

解在命令窗口中输入：

122+203

ans=325

122*203

ans=24766

Matlab中的乘方和开方可能和其他语言有所不同，分别由“^”符号和函数“sqrt”实现，如下例.例2

计算1233和.

解在命令窗口中输入：

123^3

ans=1860867

sqrt(ans)

ans=1.3641e+003

注有单纯数字的运算在用Matlab解决计算问题时很少用到，而且很多功能函数已融入矩阵运算和数组运算当中，后面会详细介绍.需要提醒的是计算顺序和优先级问题，一般说来，“^”和“sqrt”的优先级最高，“*”、“/”次之，“+”、“-”的优先级最低.7.2.4Matlab中基本数组函数

表7-5中列出了Matlab中的一些常用函数.7.2.5复合函数运算

若函数z=z(y)的自变量x又是x的函数y=y(x)，则求z对x的函数的过程为复合函数运算.

在Matlab中求复合函数可由功能函数compose来实现.

·compose(f，g):得到的是当f=f(x)和g=g(y)复合而成的函数f(g(y))，这里x为系统定义的f的符号变量，y为系统定义的g的符号变量.

·compose(f，g，z):得到的是f和g复合而成的以z为自变量的函数.例3

求f=1/(1+x2)和g=siny的复合函数f[g(y)].

解在命令窗口中输入：

>>symsxyt；

>>f=1/(1+x^2)；

>>g=sin(y)；

>>compose(f，g)%默认自变量

>>ans=1/(sin(y)^2+1)7.2.6反函数运算

反函数的运算也是符号函数运算的重要组成部分之一，在Matlab中由函数finverse来实现.

·g=finverse(f):得到的是函数f的反函数.其中:f的反函数默认自变量为x;g也是函数，且使得g(f(x))=x.

·g=finverse(f，t):表示设置自变量为t，得到的g的表达式要使g(f(t))=t.例如，在命令窗口中输入：

>>symsxy;

>>f=x^2+y；

>>finverse(f，y)

ans=-x^2+y

7.3用Matlab求极限

极限是微积分的基础.在Matlab中极限的求解可由limit函数来实现.该命令在使用前，要先用syms做相关符号变量的说明.其调用格式如下：

·limit(f，x，a)：表示求

·limit(f，a)：表示计算默认的自变量趋于a时函数f的极限值.

·limit(f)：表示计算默认的自变量趋于0时函数f的极限值.

·limit(f，x，a，′left′)：表示求左极限.

·limit(f，x，a，′right′)：表示求右极限.例1求下列表达式的极限:解

(1)在命令窗口中输入：

>>symsx；

>>b=limit((sqrt(1+x^2)-1)/(1-cos(x)))

>>b=1

(2)在命令窗口中输入：

>>symsxa；

>>b=limit((1+a/x)^x，x，inf)

b=exp(a)

(3)在命令窗口中输入：

>>symsn；

>>y=(1+2/n)^n；

>>limit(y，n，inf)

ans=exp(2)(4)在命令窗口中输入：

>>symsax;

>>y=tan(a*x^2)/(2*x^2+3*(sin(x))^3)；

>>

b=limit(y)

b=1/2*a

(5)在命令窗口中输入：

>>

symsx;

>>y=1/(x*(log(x)^2))-1/(x-1)^2；

>>

limit(y，x，1，′right′)

ans=1/12

(6)在命令窗口中输入：

>>

symsx;

>>limit(sin(x)/x)

ans=1

(7)在命令窗口中输入：

>>

symsxt;

>>

limit((1+(2*t)/x)^(3*x)，x，inf)

ans=exp(6*t)

在极限运算中还有x→∞的情况，这时用命令“inf”，其含义就是无穷大.在具体使用时，如果出现x→+∞或x→－∞，只需在命令“inf”前加上符号即可.

(8)在命令窗口中输入：

>>symsx；

>>f=sqrt(x-5)-sqrt(x)；

>>limit(f，x，+inf)

ans=0

7.4用Matlab进行求导运算

在Matlab符号函数工具箱中，符号导数由函数diff来实现，其调用格式如下：

·diff(S)：没有指定变量和导数阶数，则系统将对默认的变量对表达式S求一阶导数.

·diff(S，′N′)：以N为自变量，对表达式S求一阶导数.

·diff(S，n)：系统将对默认的变量对表达式S求n阶导数，其中n为正整数.

·diff(S，′N′，n)：以N为自变量，对表达式S求n阶导数.例1

计算函数y=sin(x2)的二阶导数y″.

解在命令窗口中输入：

>>symsx；

>>diff(sin(x^2))

ans=2*cos(x^2)*x

例2

计算d5t5/dt5.

解在命令窗口中输入：

>>symst；

>>diff(t^5，5)

ans=120例3

求函数y=4x3+3x的二阶导数.

解在命令窗口中输入：

>>symsx；

>>y=4*x^3+3*x；

>>diff(y，2)；

>>diff(y，2)

ans=24*x

例4

求由参数方程所确定的函数的一阶导数.

分析根据由参数方程所确定的函数求导公式

调用程序时，连续使用两次diff(S)命令即可.解在命令窗口中输入：

>>symst；

>>y=exp(t)；

>>x=t^2；

>>dy=diff(y，′t′)；

>>dx=diff(x，′t′)；

>>dy/dx

ans=1/2*exp(t)/t

例5

求隐函数x3+y3+3xy=0的导数dy/dx.分析无论是一元隐函数还是多元隐函数，在微分计算时可采用计算公式，调用两次diff(S)命令即可，针对多元隐函数求偏导数时，指定好导数变量即可.

解在命令窗口中输入：

>>clear;

>>symsxy;

>>s=x^3+y^3+3*x*y；

>>dsx=diff(s，′x′)；

>>dsy=diff(s，′y′)；

>>-dsx/dsy

ans=(-3*x^2-3*y)/(3*y^2+3*x)

7.5用Matlab做导数应用题

Matlab不但具有很强的计算功能，还提供了强大的绘图功能，尤其在实际问题的处理方面给用户提供了很大的帮助.下面结合例题，体验一下Matlab在导数应用中发挥的巨大作用.

Matlab中，提供了fzero函数，来实现求函数的零点，其调用格式如下：

·fzero(f，n)：表示求函数f在x=n附近的零点.例1

求函数f(x)=x3－2x-5在x=2附近的零点，并画出函数图像.

解在命令窗口中输入：

>>f=@(x)x.^3-2*x-5；

>>z=fzero(f，2)；

>>x=0：0.1：4；

>>f=@(x)x.^3-2*x-5；

>>plot(x，f(x)，′b′，z，f(z)，′rp′)%

用蓝色线画出函数图像，并用红色五边形标记零点

>>z=2.0946

函数图像如图7-2所示.图7-2由Matlab运行结果可知，f(x)=x3－2x-5在x=2附近的零点为2.0946.

Matlab提供了fminbnd函数来帮助求解函数的极小值，其调用格式如下：

·fminbnd(f，a，b)：表示在[a，b]内求函数f的最小值.

注如果要求函数f的极大值，可以通过求－f的极小值来实现.

例2

求函数f(x)=x3－6x2+9x在[2，5]内的极小值点.

解在命令窗口中输入：

>>clear;%清空之前定义的变量

>>symsx；

>>f=@(x)x.^3-6*x^2+9*x；

>>z=fminbnd(f，2，5)；

>>x=2：0.1：5；

>>f=@(x)x.^3-6*x^2+9*x；

>>z=3.0000由Matlab运行结果可知，x=3是函数f(x)=x3－6x2+9x在[2，5]内的极小值点.

Matlab提供了fminsearch函数，用于求解函数的最小值.同理，若要求最大值，可通过求－f的最小值来实现.

例3

到了苹果成熟的季节，何时采摘树上的苹果，会直接影响到果农的收入.如果本周采摘，每棵树可采摘约10千克苹果，此时批发商的收购价格为3元/千克.如果每推迟一周，则每棵树的产量会增加1千克，但批发商的收购价格会减少0.2元/千克.八周后，苹果会因熟透而开始腐烂.问果农应在第几周采摘苹果收入最高？

解假设第x周采摘时，每棵树的收入为y元，则有

y=(10+x)(3－0.2x)=30+x－0.2x2

在命令窗口中输入：

>>clear;%清除之前的变量名及赋值

>>y=@(x)-30-x+0.2*x^2；

>>[fval，x]=fminsearch(y，1)；%选择以x=1为初始点，在周围寻找最小值

>>fval=2.5000

>>x=-31.2500

因为y(2)=31.2元，y(3)=31.2元，所以在第2周或是第3周采摘果农获得的收入最高，每棵树的收入为31.2元.

在以上几个例题中，我们不但求解了函数的极值等问题，还相应地画出了函数的曲线，下面简要介绍二维曲线的绘制.绘制二维曲线通常使用plot命令，其调用格式如下：

·plot(x，y)：若x、y均为实数向量，且为同维向量，则此命令先描出(x(i)，y(i))，然后用直线依次相连.

·plot(y)：若y为实数向量，y的维数为m，则此命令等价于plot(x，y)，其中x=1:m.

·plot(x1，y1，x2，y2，…)：其中xi，yi成对出现，则此命令将分别按顺序取两数据xi与yi进行画图.

·plot(x1，y1，LineSpec1，x2，y2，LineSpec2，…)：表示按顺序画出三个参数定义的线条，其中，参数LineSpeci指明线条的类型，标记符号和画线用的颜色，而且在plot命令中可以混合使用两个参数或三个参数的形式.其中点线颜色形状参数如表7-6所示.

7.6用Matlab求积分

Matlab中提供了int命令来实现积分运算，此命令在使用前要先用syms命令做相关符号变量的说明.如不声明，也可将函数和变量用引号括起来.其调用格式如下：

·int(f，v)：表示对函数表达式f中指定的符号变量v计算不定积分.注意：其返回值只是函数f的一个原函数，后面没有带任意常数C.

·int(f)：表示对函数表达式f中默认的符号变量计算不定积分.

·int(f，v，a，b)：表示对函数表达式f中指定的符号变量v计算从a到b的定积分.其中：a和b可以是两个具体的数，也可以是无穷“inf”，还可以是符号表达式.当函数f关于变量v在[a，b]上可积时，得到一个定积分结果，是一个数值；当a、b中有一个是inf时，函数返回一个广义积分；当a、b中有一个符号表达式时，函数返回一个符号函数.

·int(f，a，b)：表示对函数表达式f中默认的符号变量计算从a到b的定积分.例1

计算不定积分∫(1/x2)dx.

解在命令窗口中输入：

>>symsx；

>>f=1/x^2；

>>int(f)

ans=-1/x

例2

计算不定积分∫xlnxdx.

解在命令窗口中输入：

>>symsx；

>>f=x*log(x)；

>>int(f，x)

ans=1/2*x^2*log(x)-1/4*x^2例3

求定积分.

解在命令窗口中输入：

>>symsx；

>>f=cos(x)*cos(2*x)；

>>int(f，-pi/2，pi/2)

ans=2/3

例4

求定积分∫1－1(x2+3)1/2dx.

解在命令窗口中输入：

>>symsx；

>>f=sqrt(x^2+3)；

>>int(f，x，-1，1)

ans=2+3/2*log(3)例5

计算广义积分∫∞1(1/x3)dx.

解在命令窗口中输入：

>>symsx；

>>f=1/(x^3)；

>>int(f，x，1，inf)

ans=1/2

7.7用Matlab计算行列式

7.7.1矩阵的生成

从键盘上直接输入矩阵是最方便、最常用的创建数值矩阵的方法，尤其适合较小的简单矩阵.具体方法是：对于任何矩阵，都可以直接按行方式输入每个元素，同一行中的元素用逗号或用空格符来分隔，且空格个数不限；不同的行之间用分号分隔.所有元素处于一个方括号内.此外，矩阵中的元素除了确定的数值外，还可以是运算表达式.当矩阵的方括号内不输入任何元素时，将形成一个空矩阵，这也是合法的.例1

创建矩阵，如：

>>A=[123；321；121]

A=

123

321

121

>>B=[1+33*2；pi4/2]

B=

4.00006.0000

3.14162.0000

>>C=[]%产生空矩阵

C=

[]7.7.2计算矩阵行列式的值

矩阵的行列式是一个数值，它可以判断矩阵是否奇异(即矩阵行列式等于零).Matlab中求解矩阵行列式的命令是det.

例2

用Matlab计算下列行列式的值:

(1)

(2)

解在命令窗口中输入：

>>A=[1201；1350；0156；1234]；

>>B=[21-58；1-309；02-1-5；14-70]；

>>D1=det(A)

D1=

-21

>>D2=det(B)

D2=

27例3

借助Matlab，用克莱姆法则求解线性方程组

解在命令窗口中输入：

>>A=[1-102；32-1-2；43-1-1；20-10]；

>>A1=[-5-102；62-1-2；03-1-1；00-10]；

>>A2=[1-502；36-1-2；40-1-1；20-10]；

>>A3=[1-1-52；326-2；430-1；2000]；

>>A4=[1-10-5；32-16；43-10；20-10]；

>>D=det(A)

D=

5

>>D1=det(A1)

D1=

10

>>D2=det(A2)

D2=

-15

>>D3=det(A3)

D3=

20

>>D4=det(A4)D4=

-25

>>x1=D1/D

x1=

2

>>x2=D2/D

x2=

-3

>>x3=D3/D

x3=

4

>>x4=D4/D

x4=

-5

7.8用Matlab解决矩阵运算

之前已经介绍了如何在Matlab中生成较简单的矩阵，本节将继续介绍如何在Matlab中实现矩阵的四则运算、矩阵的逆、矩阵的秩等运算.

1.矩阵的四则运算

矩阵的加、减、乘、除运算分别用运算符"+"、"-"、"*"和"\"或"/"直接表示即可.特别说明的是除法分左除"\"和右除"/"两种运算.一般地，方程AX=B的解是X=A＼B(即A的逆矩阵左乘矩阵B)，而方程XA=B的解是X=B/A(即A的逆矩阵右乘矩阵B).

例1

已知，，求A+B、A-B和2A.

解在命令窗口中输入：

>>A=[302；5-79]；

>>B=[-215；35-6]；

>>A+B

ans=

117

8-23

>>A-B

ans=

5-1-3

2-1215

>>2*A

ans=

604

10-1418

例2

已知，求AB.

解在命令窗口中输入：

>>A=[35；-10；72]；

>>B=[46；-210]；

>>A*B

ans=

268

-4-6

2462

例3

若已知矩阵

求方程AX=B的解.

分析此时X=A＼B.

解在命令窗口中输入：

>>A=[123；426；749]；

>>B=[4；1；2]；

>>X=A＼B

X=

-1.5000

2.0000

0.5000

2.矩阵的转置

矩阵的转置用运算符“′”即可实现.

例4

已知，求A的转置矩阵.

解在命令窗口中输入：

>>A=[123；426；749]；

>>A′

ans=

147

224

369

3.矩阵的逆运算

在学习逆矩阵时，给大家介绍了多种求逆矩阵的方法，而在Matlab中，只须一个简单的命令inv，就可以轻松求出逆矩阵.

例5

已知，求A的逆Z及AZ.解在命令窗口中输入：

>>A=[112；122；123]；

>>Z=inv(A)

Z=

21-2

-110

0-11

>>A*Z

ans=

100

010

001

结合之前的除法运算，可以看到A＼B=inv(A)*B，B/A=B*inv(A).

4.矩阵的秩

求解矩阵的秩，可由命令rank实现.

例6

试求矩阵的秩.

解在命令窗口中输入：

>>A=[12211；22-3-14；3113；25528]；

>>rank(A)

ans=

3

7.9用Matlab解线性方程组

7.9.1向量组的线性相关性

求列向量A的一个极大无关组时，可用命令rref(A)将A化成行最简阶梯形矩阵，其中首元对应的列向量即为极大无关组所含向量，其他列向量的坐标即为对应向量用极大无关组线性表示的系数.

例1

求下列矩阵列向量组的一个极大无关组:解在命令窗口中输入：

>>A=[1-2-102；-2426-6；2-1023；33334]；

>>b=rref(A)

b=

101/3016/9

012/30-1/9

0001-1/3

00000

若记矩阵A的五个列向量分别为α1，α2，α3，α4，α5，则α1，α2，α3，α4是列向量组的一个极大无关组，且有7.9.2求解线性方程组

线性方程组的求解分为两类：一类是方程组求唯一解或特解;另一类是方程组求无穷多解，即通解.可以通过系数矩阵的秩来判断：

(1)若系数矩阵的秩r=n，则方程组有唯一解；

(2)若系数矩阵的秩r<n，则方程组有无穷多解.

1.齐次线性方程组的求解

若AX=0的系数行列式不为零，即r(A)=n，则方程组只有零解.若r(A)<n，则方程组有非零解.可以用rref命令求出系数矩阵的行最简阶梯形矩阵，进一步写出对应的同解方程组，从而求得方程组的一般解.

例2

求解线性方程组

解在命令窗口中输入：

>>A=[1-1-1-1；2-2-11；3-3-4-6]；

>>rank(A)

ans=

2

>>%因为r(A)=2<4，故齐次线性方程组有非零解

>>rref(A)

ans=

1-102