四川省资阳市雁江区第一中学2024-2025学年高二上学期第一次月考数学试卷含答案

新教材2024-2025学年四川省资阳市雁江中学高二（上）第一次月考数学试卷一、单选题1．（5分）已知集合，则A∩B＝（）A．{x|x≥0} B．{x|x＞0} C．{x|x≥2} D．{x|x＞2}2．（5分）已知集合，则A∩B＝（）A．[1，+∞） B．[1，2] C．（﹣∞，2] D．（1，2）3．（5分）记Sn为等差数列{an}的前n项和，若S6＝24，S9＝21S3，则S12＝（）A．144 B．120 C．108 D．964．（5分）北京天坛的圆丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层．上层地面的中心有一块圆形石板（称为天心石），环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块．下一层的第一环比上一层的最后环多9块，向外每环依次也增加9块．已知每层环数相同，且上、中下三层共有扇面形石板（不含天心石）3402块，则中层共有扇面形石板（）A．1125块 B．1134块 C．1143块 D．112块5．（5分）基本再生数R0与世代间隔T是流行病学基本参数，基本再生数是指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指两代间传染所需的平均时间，在α型病毒疫情初始阶段，可以用指数函数模型I（t）＝ert描述累计感染病例数I（t）随时间t（单位：天）的变化规律，指数增长率r与R0、T近似满足R0＝1+rT，有学者基于已有数据估计出R0＝3.22，T＝10．据此，在α型病毒疫情初始阶段，累计感染病例数增加至I（0）的4倍，至少需要（参考数据ln2≈0.69）（）A．6天 B．7天 C．8天 D．9天6．（5分）定义在R上的奇函数f（x），当x≥0时，，则关于x的函数F（x）＝f（x）﹣a（0＜a＜1）的所有零点之和为（）A．2a﹣1 B．1﹣2﹣a C．﹣log2（1+a） D．log2（1﹣a）7．（5分）y＝f（x）是定义在R上的函数，对于任意的x∈R，都有f（x）＝f（2﹣x），f（1﹣x）＝﹣f（x+3）且x∈[0，1]时，有，则函数y＝11f（x）﹣x+2的所有零点之和为（）A．10 B．13 C．22 D．26二、多选题（多选）8．（3分）已知向量＝（﹣2，1），＝（1，t），则下列说法正确的是（）A．若∥，则t的值为﹣2 B．|+|的最小值为1 C．若|+|＝|﹣|，则t的值为2 D．若与的夹角为钝角，则t的取值范围是t＜2（多选）9．（3分）已知a＞0，b＞0，且a+b＝1，则（）A．ab的最大值为 B．a2+b2的最大值为 C．的最小值为9 D．2a+2b的最小值为（多选）10．（3分）设正实数a、b满足a+b＝1，则（）A．有最小值 B．有最小值3 C．a2+b2有最小值 D．有最大值（多选）11．（3分）已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，过F的直线l交C于A，B两点（A在第一象限），O为坐标原点，则（）A． B．当|AF|＝3|BF|时，直线l的倾斜角为 C．以AF为直径的圆与y轴相切 D．（多选）12．（3分）抛物线的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角形叫做阿基米德三角形．已知抛物线C：x2＝8y，阿基米德三角形PAB，弦AB过C的焦点F，其中点A在第一象限，则下列说法正确的是（）A．点P的纵坐标为﹣2 B．C的准线方程为x＝﹣2 C．若|AF|＝8，则AB的斜率为 D．△PAB面积的最小值为16三、填空题13．（3分）已知球O内切于圆台（即球与该圆台的上、下底面以及侧面均相切），且圆台的上、下底面半径r1：r2＝2：3，则圆台的体积与球的体积之比为．14．（3分）已知椭圆C：的左、右焦点分别为F1，F2，焦距为6，点M（1，1），直线MF2与C交于A，B两点，且M为AB中点，则△AF1B的周长为．15．（3分）已知直线l与椭圆在第二象限交于A，B两点，l与x轴，y轴分别交于M，N两点，且|MB|＝|NA|，，则直线l在y轴上的截距为．四、解答题16．已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn﹣nan＝n（n﹣1）．（1）证明：数列{an}为等差数列；（2）若a5，a9，a11成等比数列，求Sn的最大值．17．已知数列{an}满足，an+1+an＝4n﹣3（n∈N*）（1）若数列{an}是等差数列，求a1的值（2）当a1＝2时，求数列{an}的前n项和Sn．18．已知数列{an}满足a2＝，a1+2a2+22a3+…+2n﹣1an＝n+2n﹣2nan．（1）求证：数列{2nan}是等差数列．（2）求的值．19．已知数列{an}满足a1＝1，点（an，an+1）在直线y＝3x+1上．（1）设，证明{bn}为等比数列：（2）求数列{an}的前n项和Sn；（3）设的前n项和为Tn，证明：．

新教材2024-2025学年四川省资阳市雁江中学高二（上）第一次月考数学试卷参考答案与试题解析一、单选题1．（5分）已知集合，则A∩B＝（）A．{x|x≥0} B．{x|x＞0} C．{x|x≥2} D．{x|x＞2}【分析】根据函数的定义域及对数函数的值域，利用集合交集运算可得结果．【解答】解：因为，则A∩B＝{x|x＞2}∩{y|y≥0}＝{x|x＞2}．故选：D．【点评】本题主要考查交集及其运算，属于基础题．2．（5分）已知集合，则A∩B＝（）A．[1，+∞） B．[1，2] C．（﹣∞，2] D．（1，2）【分析】可求出集合A，B，然后进行交集的运算即可．【解答】解：∵A＝{x|x≥1}，B＝{y|y≤2}，∴A∩B＝[1，2]．故选：B．【点评】本题考查了集合的描述法和区间的定义，元素与集合的关系，交集的定义及运算，考查了计算能力，属于基础题．3．（5分）记Sn为等差数列{an}的前n项和，若S6＝24，S9＝21S3，则S12＝（）A．144 B．120 C．108 D．96【分析】根据等差数列的前n项和性质解题即可．【解答】解：记Sn为等差数列{an}的前n项和，则S3，S6﹣S3，S9﹣S6，S12﹣S9也是等差数列．由于S6＝24，S9＝21S3，则S3，24﹣S3，21S3﹣24，S12﹣21S3成等差数列．则S3+21S3﹣24＝2（24﹣S3），解得S3＝3．则3，21，39，S12﹣63成等差数列．故S12﹣63＝57，则S12＝120．故选：B．【点评】本题考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．4．（5分）北京天坛的圆丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层．上层地面的中心有一块圆形石板（称为天心石），环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块．下一层的第一环比上一层的最后环多9块，向外每环依次也增加9块．已知每层环数相同，且上、中下三层共有扇面形石板（不含天心石）3402块，则中层共有扇面形石板（）A．1125块 B．1134块 C．1143块 D．112块【分析】由等差数列前n项和的性质求解即可．【解答】解：记从中间向外每环扇面形石板数为an，则{an}是以9为首项，9为公差的等差数列，设每层有k环，则n＝3k，Sn＝3402，由等差数列的性质可得Sk，S2k﹣Sk，S3k﹣S2k也成等差数列，所以2（S2k﹣Sk）＝Sk+（S3k﹣S2k），所以Sn＝3（S2k﹣Sk）＝3402，S2k﹣Sk＝1134，所以中层共有扇面形石板1134块．故选：B．【点评】本题考查了等差数列在实际生活中的应用，考查了分析问题解决问题的能力，属于中档题．5．（5分）基本再生数R0与世代间隔T是流行病学基本参数，基本再生数是指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指两代间传染所需的平均时间，在α型病毒疫情初始阶段，可以用指数函数模型I（t）＝ert描述累计感染病例数I（t）随时间t（单位：天）的变化规律，指数增长率r与R0、T近似满足R0＝1+rT，有学者基于已有数据估计出R0＝3.22，T＝10．据此，在α型病毒疫情初始阶段，累计感染病例数增加至I（0）的4倍，至少需要（参考数据ln2≈0.69）（）A．6天 B．7天 C．8天 D．9天【分析】把R0＝3.22，T＝10代入R0＝1+rT，求出r，根据I（0）＝1，求出ert＞4时t的取值范围即可．【解答】解：因为R0＝3.22，T＝10，R0＝1+rT，所以r＝＝＝0.222，I（0）＝e0.222×0＝1，由题意知，e0.222t＞4，则t＞≈≈0.62，所以累计感染病例数增加至I（0）的4倍，至少需要7天．故选：B．【点评】本题考查了指数函数与对数函数模型应用问题，是基础题．6．（5分）定义在R上的奇函数f（x），当x≥0时，，则关于x的函数F（x）＝f（x）﹣a（0＜a＜1）的所有零点之和为（）A．2a﹣1 B．1﹣2﹣a C．﹣log2（1+a） D．log2（1﹣a）【分析】化简分段函数的解析式，画出函数的图象，判断函数的零点的关系，求解即可．【解答】解：当x≥0时，又f（x）是奇函数，由图象可知：F（x）＝0⇒f（x）＝a，（0＜a＜1），有5个零点，其中有两个零点关于x＝﹣3对称，还有两个零点关于x＝3对称，所以这四个零点的和为零，第五个零点是直线y＝a与函数，x∈（﹣1，0]交点的横坐标，即方程的解，x＝﹣log2（1+a），故选：C．【点评】本题考查函数零点与图象的对称性及指数方程的解法．考查数形结合以及计算能力．7．（5分）y＝f（x）是定义在R上的函数，对于任意的x∈R，都有f（x）＝f（2﹣x），f（1﹣x）＝﹣f（x+3）且x∈[0，1]时，有，则函数y＝11f（x）﹣x+2的所有零点之和为（）A．10 B．13 C．22 D．26【分析】根据函数的对称性可得函数的周期为4，进而根据函数图象，结合对称性即可求解．【解答】解：因为对于任意的x∈R，都有f（x）＝f（2﹣x），f（1﹣x）＝﹣f（x+3），所以x＝1为y＝f（x）的一条对称轴，（2，0）为y＝f（x）的一个对称中心，故f（x）＝f（2﹣x）＝﹣f（x+2）＝﹣[﹣f（x+4）]＝f（x+4），所以T＝4为y＝f（x）的周期，由11f（x）﹣x+2＝0得，又由x∈[0，1]时，有，可以画出y＝f（x）与的图象，如图：由于也关于（2，0）对称，且当x＝13时，y＝1，由图象可得，函数y＝11f（x）﹣x+2共有11个零点，故所有零点之和为5×4+2＝22．故选：C．【点评】本题主要考查了函数的周期性和对称性，考查了函数的零点与方程根的关系，属于中档题．二、多选题（多选）8．（3分）已知向量＝（﹣2，1），＝（1，t），则下列说法正确的是（）A．若∥，则t的值为﹣2 B．|+|的最小值为1 C．若|+|＝|﹣|，则t的值为2 D．若与的夹角为钝角，则t的取值范围是t＜2【分析】对A：利用向量平行的坐标运算性质即可判断；对B：根据模的运算公式代入计算，利用二次函数性质即可判断；对C：根据模的运算公式，列出关于t的方程，解出即可判断；对D：根据向量夹角是钝角，得到＜0且≠﹣1，即可判断．【解答】解：对A：若∥，则﹣2t﹣1＝0，解得t＝﹣，故A错误；对B：||＝＝，则当t＝﹣1时，||取最小值1，故B正确；对C：若|+|＝|﹣|，所以|+|²＝|﹣|²，即（﹣2+1）²+（1+t）²＝（t﹣1）²+（1+2）²，解得t＝2，故C正确；对D：若与的夹角为钝角，则cos＜，＞＝＝＜0，且cos＜，＞≠﹣1，解得t＜2且t≠﹣，故D错误；故选：BC．【点评】本题考查平面向量数量积的运算性质，涉及向量平行，向量模的运算，向量夹角公式，属于中档题．（多选）9．（3分）已知a＞0，b＞0，且a+b＝1，则（）A．ab的最大值为 B．a2+b2的最大值为 C．的最小值为9 D．2a+2b的最小值为【分析】由已知结合基本不等式及相关结论检验各选项即可判断．【解答】解：因为a＞0，b＞0，且a+b＝1，所以ab≤（）2＝，当且仅当a＝b＝时取等号，A正确；因为＝，当且仅当a＝b＝时取等号，B错误；＝（）（a+b）＝5+＝9，当且仅当b＝2a，即a＝时取等号，C正确；2a+2b＝2＝2，当且仅当a＝b＝时取等号，D正确．故选：ACD．【点评】本题主要考查了基本不等式及相关结论在最值求解中的应用，属于中档题．（多选）10．（3分）设正实数a、b满足a+b＝1，则（）A．有最小值 B．有最小值3 C．a2+b2有最小值 D．有最大值【分析】对A，根据基本不等式即可求解的最大值，判断出A的真假；对B，先求出3a+3b＝3，再根据1的代换结合基本不等式即可求解；对C，根据重要不等式即可求解；对D，先将平方，再根据基本不等式即可求解．【解答】解：因为正实数a、b满足a+b＝1，A中，由基本不等式可得，当且仅当时，等号成立，即的最大值为，故A错；B中，因为a+b＝1，所以3a+3b＝（a+2b）+（b+2a）＝3，可得（a+3b）＝1，所以+＝（+）•（a+2b）+（b+2a）＝（2++）≥（2+2）＝，当且仅当时，即时，等号成立，故B错；对C，因为1＝（a+b）2＝a2+b2+2ab≤2（a2+b2），所以，当且仅当时，等号成立，故C正确；对D，因为，所以，当且仅当时，等号成立，故D正确．故选：CD．【点评】本题考查基本不等式的性质的应用，属于基础题．（多选）11．（3分）已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，过F的直线l交C于A，B两点（A在第一象限），O为坐标原点，则（）A． B．当|AF|＝3|BF|时，直线l的倾斜角为 C．以AF为直径的圆与y轴相切 D．【分析】先由直线和抛物线联立得出根与系数的关系求出数量积判断A，应用焦点弦关系得出倾斜角判断B，应用抛物线性质判断直线和圆的位置关系判断C，根据向量夹角判断D．【解答】解：由题意得，抛物线的焦点为F（1，0），准线方程为x＝﹣1，设A（x1，y1），B（x2，y2），直线与抛物线交于两点，所以直线的斜率不能为0，设直线AB的方程为x＝my+1，联立，整理得y2﹣4my﹣4＝0，Δ＞0，则y1+y2＝4m，y1y2＝﹣4，所以，则，故A正确；设直线l的倾斜角为θ，由|AF|＝3|BF|得，，解得，所以，故B错误；设AF中点为P，过A，P分别向y轴引垂线，垂足分别为E，Q，则，所以以AF为直径的圆与y轴相切，故C正确；因为＝＝≥＝﹣＞﹣，所以，所以，故D正确．故选：ACD．【点评】本题考查抛物线的方程和性质，以及直线和抛物线的位置关系，考查方程思想和运算能力，属于中档题．（多选）12．（3分）抛物线的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角形叫做阿基米德三角形．已知抛物线C：x2＝8y，阿基米德三角形PAB，弦AB过C的焦点F，其中点A在第一象限，则下列说法正确的是（）A．点P的纵坐标为﹣2 B．C的准线方程为x＝﹣2 C．若|AF|＝8，则AB的斜率为 D．△PAB面积的最小值为16【分析】设A（x1，y1），B（x2，y2），直线AB：y＝kx+2，联立方程组，求得x1+x2＝8k，x1x2＝﹣16，求得A，B两点处的切线方程，可求得点P（4k，﹣2）判断A；求得准线方程判断B；由|AF|＝y1+2＝8，可求得，进而可求得kAB＝kAF，判断C；|AB|＝8k2+8，，进而可得，可求△ABP的最小值，判断D．【解答】解：对于A项，抛物线C：x2＝8y的焦点F（0，2），设A（x1，y1），B（x2，y2），直线AB：y＝kx+2，联立C：x2＝8y，消去y，得x2﹣8kx﹣16＝0，Δ＝64k2+64＞0，所以x1+x2＝8k，x1x2＝﹣16，由C：x2＝8y，得，则点A处的切线：①，同理点B处的切线：②，联立①②，得，y＝﹣2，所以，点P（4k，﹣2），故A正确；对于B项，准线方程为y＝﹣2，故B错误；对于C项，|AF|＝y1+2＝8，得y1＝6，所以，，故C错误；对于D项，，点P到直线AB的距离为：，所以，当k＝0时，△ABP的面积有最小值16．故D正确．故选：AD．【点评】本题考查抛物线的方程和性质，以及直线和抛物线的位置关系，考查方程思想和运算能力，属于中档题．三、填空题13．（3分）已知球O内切于圆台（即球与该圆台的上、下底面以及侧面均相切），且圆台的上、下底面半径r1：r2＝2：3，则圆台的体积与球的体积之比为．【分析】根据圆台的体积公式及球的体积公式，即可求解．【解答】解：根据题意可设圆台的上、下底面半径分别为2，3，则圆台的母线长为2+3＝5，∴圆台的高为＝，∴该圆台的内切球的半径r＝，∴该圆台的体积与球的体积之比为＝．故答案为：．【点评】本题考查圆台的体积公式及球的体积公式的应用，属基础题．14．（3分）已知椭圆C：的左、右焦点分别为F1，F2，焦距为6，点M（1，1），直线MF2与C交于A，B两点，且M为AB中点，则△AF1B的周长为12．【分析】设A，B两点坐标分别为（x1，y1）（x2，y2），代入椭圆方程作差并利用中点坐标公式可得x1+x2＝y1+y2＝2，代入整理得，再根据斜率相等和焦距求得，利用椭圆的定义即可求解．【解答】解：已知椭圆C：的左、右焦点分别为F1，F2，焦距为6，点M（1，1），直线MF2与C交于A，B两点，且M为AB中点，设A，B两点坐标分别为（x1，y1）（x2，y2），则，两式相减得，由题意M为AB中点，则x1+x2＝y1+y2＝2，代入整理得，由题意知，因此，所以a2＝2b2，c2＝b2，由焦距为6，解得，由椭圆定义知△AF1B的周长为．故答案为：12．【点评】本题考查了椭圆的性质，属于中档题．15．（3分）已知直线l与椭圆在第二象限交于A，B两点，l与x轴，y轴分别交于M，N两点，且|MB|＝|NA|，，则直线l在y轴上的截距为．【分析】设出点的坐标及直线l的方程，联立直线l和椭圆方程，韦达定理，根据中点坐标及求得k，m的关系式，即可求解．【解答】解：设AB的中点为E，由题意知，点E既是AB的中点又是MN的中点，设A（x1，y1），B（x2，y2），设直线AB：y＝kx+m，k＞0，m＞0，由x＝0，可得y＝m，由y＝0，可得x＝﹣，则，因为，所以，联立方程组，消去y并化简得（1+2k2）x2+4kmx+2m2﹣4＝0，其中Δ＝16m2k2﹣4（2m2﹣4）（1+2k2）＞0，则，所以，因为k＞0，m＞0，所以，即，又，即，所以，解得，则直线l在y轴上的截距为．故答案为：．【点评】本题主要考查椭圆的性质，考查运算求解能力，属于中档题．四、解答题16．已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn﹣nan＝n（n﹣1）．（1）证明：数列{an}为等差数列；（2）若a5，a9，a11成等比数列，求Sn的最大值．【分析】（1）根据题意，由Sn﹣nan＝n（n﹣1）可得Sn﹣1﹣（n﹣1）an﹣1＝（n﹣1）（n﹣2），两式相减，变形分析可得an﹣an﹣1＝﹣1，结合等差数列的定义分析可得结论；（2）求出等差数列{an}的通项公式，进而分析可得答案．【解答】解：（1）证明：数列{an}满足Sn﹣nan＝n（n﹣1）①，当n≥2时，有Sn﹣1﹣（n﹣1）an﹣1＝（n﹣1）（n﹣2）②，①﹣②可得：Sn﹣Sn﹣1﹣nan+（n﹣1）an﹣1＝n（n﹣1）﹣（n﹣1）（n﹣2），即（1﹣n）an+（n﹣1）an﹣1＝n（n﹣1）﹣（n﹣1）（n﹣2），变形可得：an﹣an﹣1＝﹣1；故数列{an}为等差数列；（2）根据题意，由（1）的结论，数列{an}为公差为﹣1的等差数列若a5，a9，a11成等比数列，则有＝a5×a11，即（a1﹣8）2＝（a1﹣4）（a1﹣10），解可得a1＝12，故an＝a1+（n﹣1）d＝13﹣n，当n＜13时，an＞0，当n＝13时，an＝0，当n＞13时，an＜0，故当n＝12或13时，Sn取得最大值，其最大值为S12＝S13＝12a1+×（﹣1）＝78．【点评】本题考查数列的递推公式，涉及等差数列的性质，属于基础题．17．已知数列{an}满足，an+1+an＝4n﹣3（n∈N*）（1）若数列{an}是等差数列，求a1的值（2）当a1＝2时，求数列{an}的前n项和Sn．【分析】（1）若数列{an}是等差数列，则an＝a1+（n﹣1）d，an+1＝a1+nd，代入an+1+an＝4n﹣3，整理后利用系数相等求解；（2）由an+1+an＝4n﹣3（n∈N*），得an+2+an+1＝4n+1（n∈N*），两式作差可得：an+2﹣an＝4，然后对n分类求得通项，再分类分组求和得答案．【解答】解：（1）若数列{an}是等差数列，则an＝a1+（n﹣1）d，an+1＝a1+nd，由an+1+an＝4n﹣3，得a1+nd+a1+（n﹣1）d＝4n﹣3，即2d＝4，2a1﹣d＝﹣3，解得，d＝2；（2）由an+1+an＝4n﹣3（n∈N*），得an+2+an+1＝4n+1（n∈N*），两式作差可得：an+2﹣an＝4．由a2+a1＝1，a