山东省德州市2024−2025学年高二上学期11月期中考试数学试题含答案

山东省德州市2024−2025学年高二上学期11月期中考试数学试题一、单选题（本大题共8小题）1．已知直线l的方程为，则l的倾斜角为（

）A．30° B．60° C．120° D．150°2．已知直线与直线平行，则的值为（

）A． B． C． D．或3．已知双曲线，若点到的渐近线距离为，则双曲线的离心率为（

）A． B． C． D．4．在四面体中，点D为的中点，点E在上，且，用向量，，表示，则（

）A． B．C． D．5．已知圆不经过坐标原点，且与圆相切，则的最大值为（

）A．1 B． C． D．6．已知菱形的边长为2，，现将沿折起，当时，二面角平面角的大小为（

）A． B． C． D．7．已知椭圆上存在两点、关于直线对称.若椭圆离心率为，则的中点坐标为（

）A． B． C． D．8．已知四棱锥的各侧棱与底面所成的角都相等，其各个顶点都在球O的球面上，满足，，，则球O的表面积为（

）A． B． C． D．二、多选题（本大题共3小题）9．已知空间中四点，，，，则（

）A． B．C．在上的投影数量为 D．为锐角10．已知直线，圆，为圆上任意一点，则（

）A．直线过定点B．若圆关于直线l对称，则C．的最大值为D．的最大值为311．在直三棱柱中，，，，，点M为线段的中点，N为线段上的动点，则（

）A．B．存在点N使得垂直于平面C．若平面，则D．直线与平面所成角的最大值为三、填空题（本大题共3小题）12．已知的三个顶点，，，则边上的高为.13．在三棱锥中，已知，，点P到，的距离均为，那么点P到平面的距离为.14．已知直线与抛物线交于、两点，且（为坐标原点），则；的面积为.四、解答题（本大题共5小题）15．在平面直角坐标系中，已知圆C过点，，且圆关于x轴对称.(1)求圆C的标准方程；(2)已知直线l经过点，与圆C交于A，B两点，若，求直线l的方程.16．已知点为抛物线的焦点，点在抛物线上，且.(1)求抛物线的方程及；(2)斜率为的直线与抛物线的交点为、（在第一象限内），与轴的交点为（、不重合），若，求的周长.17．如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，，，.(1)求证：；(2)求平面与平面所成角的余弦值.18．已知双曲线C:x2a2−(1)求双曲线的标准方程；(2)若点为双曲线右支上一点，，求的最小值；(3)过点的直线与双曲线的右支交于，两点，求证：为定值.19．已知椭圆的中心为坐标原点，左、右焦点分别为，，椭圆上一点到焦点的最小距离为，直线与椭圆交于A、B两点（其中点A在x轴上方，点B在x轴下方），当过时，的周长为.

(1)求椭圆的标准方程；(2)将平面沿x轴折叠，使y轴正半轴和x轴所确定的半平面（平面）与y轴负半轴和x轴所确定的半平面（平面）垂直.①当B为椭圆的下顶点时，求折叠后直线与平面所成角的正弦值；②求三棱锥体积的最大值.

参考答案1．【答案】A【详解】由题意得，直线斜率为，即，又，则.故直线的倾斜角为.故选：A.2．【答案】A【详解】由两直线平行得：，解得或.当时，，，两直线重合，不合题意.当时，，即，，两直线平行，符合题意.故的值为.故选：A.3．【答案】B【详解】双曲线的渐近线方程为，即，因为点到的渐近线距离为，即，解得，因此，该双曲线的离心率为.故选：B.4．【答案】D【详解】如图，由题意得，.故选：D.5．【答案】C【详解】因为与相切，所以或，所以或，因为不经过原点，所以，所以，又因为，所以，当且仅当时取等号，所以的最大值为，故选：C.6．【答案】B【详解】设，菱形满足，，则和都为等边三角形，所以，，又，则，所以就是二面角的平面角，由于，所以，所以是等边三角形，所以，即二面角平面角的大小为.故选：B.7．【答案】C【详解】设点Mx1,y1、Nx2由题意，椭圆的离心率为，可得，因为、关于直线对称，且直线的斜率为，则，将点、的坐标代入椭圆方程可得，上述两个等式作差可得，可得，即，即，即，①又因为点在直线上，则，②联立①②可得，故线段的中点为.故选：C.8．【答案】B【详解】因为四棱锥的各侧棱与底面所成的角都相等，所以顶点在底面的射影是底面四边形外接圆的圆心.因为，所以△为等腰三角形.因为，所以，故△为等边三角形，则.设底面四边形外接圆半径为，则根据正弦定理得，即，解得.设线段的中点,则，那么由勾股定理可知，所以，故是等边三角形的中心，则.设球的半径为，根据题意可知球心在射线上，当球心在线段上时，如图1所示，则，即，解得，此时，不符合题意舍去.当球心在射线上且在平面的下方时，如图2所示，，即，解得，此时符合题意，故球的半径，所以根据球体的表面积公式知该四棱锥外接球的表面积为.故选：B.

9．【答案】BCD【详解】A：因为，所以，故错误；B：因为，所以，所以，故正确；C：因为，所以，，所以在上的投影数量为，故正确；D：因为，所以，由坐标可知不共线，所以为锐角，故正确；故选：BCD.10．【答案】BC【详解】化为标准方程为，圆心为2,0，半径为；A：因为，令，可得，所以过定点，故错误；B：若圆关于对称，则过圆心2,0，所以，解得，故正确；C：表示连线的斜率，设，即，如下图，

当与相切时，此时取最值，所以，解得，所以的最大值为，即的最大值为，故正确；D：表示，因为，所以，故错误；故选：BC.11．【答案】ACD【详解】如图，以为原点，以所在直线为轴建立空间直角坐标系，则，对于A，因为，所以，则，即，故A正确；对于B，由A知，，设，则，即，所以，又平面，则，无解，所以不存在点N使得垂直于平面，故B错误；对于C，由B知，设，可得，又，设平面的一个法向量为m=x则，令，得，因为平面，所以，则，解得，此时，故C正确；对于D，由B知，设，可得，所以，易知平面的一个法向量为，设直线与平面所成角为，则，所以当时，取得最大值，即直线与平面所成角的最大值为，故D正确.故选：ACD.

12．【答案】【详解】，则直线的方程为，即，则点到直线的距离为，则边上的高为.故答案为：.13．【答案】【详解】过P作AC，AB垂线，垂足为E，F，由题，则.又，则，又，，则.则，又由勾股定理，可得.取BC中点为D，连接PD，AD.由以上分析可知.因平面PAD，则平面PAD.过P作AD垂线，垂足为G，则，又平面PAD，则.因平面ABC，则平面ABC，即PG为P到平面的距离.在中，因，，则.又在中，，则；又，则为以D为直角顶点的直角三角形，则即D和G重合，则.故答案为：14．【答案】【详解】设点Ax1,y1、B，由韦达定理可得，，所以，，解得，所以，，，则，直线交轴于点，所以，.故答案为：；.15．【答案】(1)(2)或【详解】（1）由圆关于x轴对称可知圆心在x轴上，设圆心，半径为；即可得，解得，半径，所以圆C的标准方程为（2）当直线l的斜率不存在时，直线方程为，显然不合题意；当直线l的斜率存在时，设方程为；易知圆心到直线的距离又可解得或，即直线l的方程为或.16．【答案】(1)抛物线方程为，(2)【详解】（1）抛物线的焦点为，准线方程为，由抛物线的定义可得，可得，所以，抛物线的方程为，将点的坐标代入抛物线方程可得，解得.（2）设点，则，因为直线的斜率为，则直线的方程为，设点Ax1,y1由，可得，则，可得，联立，可得，，可得，由韦达定理可得，，所以，，可得，，所以，，可得，所以，，，所以，的周长为.17．【答案】(1)证明见详解；(2)【详解】（1）在中，由余弦定理得，解得，所以，故，又平面，所以平面，又平面，所以；（2）以为坐标原点，分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，所以，设平面的一个法向量为，则，令，则，所以，设平面的一个法向量为，则，令，则，所以，故，所以平面与平面所成角的余弦值为.18．【答案】(1)(2)答案见解析(3)证明见解析【详解】（1）由题意知双曲线C:x2a2−则，解得，故双曲线的标准方程为；（2）点为双曲线右支上一点，设，，则，当，即时，最小值为，当，即时，最小值为；（3）当过点的直线斜率不存在时，方程为，此时不妨取,则；当当过点的直线斜率存在时，设直线方程为，不妨令，

联立，得，由于直线过双曲线的右焦点，必有，直线与双曲线的右支交于，两点，需满足或，则，则，综合以上可知为定值.19．【答案】(1)(2)①；②【详解】（1）由题