安徽省合肥市一六八中学2024-2025学年高二上学期期中学情检测数学试题含答案

2024-2025学年度高二年级（上）·期中学情检测数学考生注意：1.试卷分值：150分，考试时间：120分钟.2.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答案区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷､草稿纸上作答无效.3.所有答案均要答在答题卡上，否则无效.考试结束后只交答题卡.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.在空间直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用关于轴对称的点的横坐标不变，其它坐标变号即可.在空间直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标为.故选：C.2.直线的一个方向向量为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由直线斜率为可得到直线的一个方向向量为，分析题目条件即可得到结果.由，得，直线斜率为-2，所以直线的一个方向向量为.故选：B.3.若椭圆的左焦点的坐标为，则的值为（）A.1 B.1或5 C.5 D.3或5【答案】C【解析】分析】根据焦点位置确定，利用关系即可求出结果.根据左焦点的坐标为，可得，且焦点在轴上，结合椭圆标准方程可得，故.故选：C.4.已知点，若过点的直线与线段相交，则该直线斜率的取值范围是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】首先求出直线的斜率，然后结合图象即可写出答案．记为点，则直线的斜率，直线的斜率，因为直线过点，且与线段相交，结合图象，可得直线的斜率的取值范围是.故选：D.5.圆与圆的公切线条数是（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】C【解析】【分析】分析圆心距和两圆半径的关系，可知两圆外切，即可得到两圆公切线条数.圆的圆心，半径，圆的圆心，半径.因为，所以两圆外切，所以圆与圆的公切线有3条.故选：C.6.已知椭圆的左､右焦点分别为，点在椭圆上，当的面积为2时，等于（）A.0 B.1 C.2 D.【答案】A【解析】【分析】根据三角形面积得到点的纵坐标，代入椭圆方程可得点的横坐标，利用数量积的坐标表示即可求出结果.由题意可得：，则.设，由题意可得：，解得，代入方程可得，解得，∵，∴.故选：A.7.在四棱锥中，，，，则此四棱锥的高为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用空间向量法求出点到平面的距离，即为所求.设平面的法向量，则，令，得，所以此四棱锥的高.故选：B.8.已知，是圆上两点，且，若直线上存在点使得，则实数的取值范围为（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】先根据，确定点轨迹，再由点轨迹与直线有公共点求参数取值范围.由题意可知:圆的圆心为，半径，设中点为，则，且，可得，又因为，可知为等腰直角三角形，则，可得，故点的轨迹是以原点为圆心，为半径的圆，因为直线上存在点使得，即直线与圆有交点，即圆心到直线的距离，解得或.故选：A二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知向量分别为两个不同的平面的法向量，为直线的方向向量，且，则（）A. B.C. D.【答案】AB【解析】【分析】根据判断选项A，D；根据判断选项B；根据判断选项C.因为，所以，所以，A正确，D错误；因为，且，所以，B正确；因为，所以或者错误.故选：AB10.已知直线，圆，则下列说法正确的是（）A.直线过定点B.直线与圆恒相交C.直线被圆截得的弦长为4时，D.直线被圆截得的弦长最短时，直线的方程为【答案】ABD【解析】【分析】直线变形为可得选项A正确；由定点在圆内可知选项B正确；利用勾股定理和垂径定理可计算圆心到直线的距离，利用点到直线的距离公式可得到的值，选项C错误；当直线与圆心和定点确定的直线垂直时，弦长最短，利用垂直求直线斜率，即可得到选项D正确.直线，即，直线恒过定点，故A正确.因为，所以定点在圆内部，所以直线与圆恒相交，故B正确.如图，设直线与圆交于两点，连接，则，过点作于点，则，所以，即点到直线的距离.由得，故C错误.设定点为点，则直线与垂直时，直线被圆截得的弦长最短，此时，，直线的方程为，整理得，故D正确.故选：ABD.11.已知椭圆的左､右焦点分别为，左､右顶点分别为是椭圆上异于的一个动点，则下列说法正确的有（）A.椭圆的离心率为B.若，则C.直线的斜率与直线的斜率之积为定值D.符合条件的点有且仅有2个【答案】AC【解析】【分析】由椭圆的定义、方程和性质，结合直线的斜率公式和向量数量积的性质，对选项分析即可得到结论．由题知，因为，即，解得，所以离心率，故A正确；若，连接，在中，由勾股定理得，又因为点在椭圆上，所以，所以，又，解得，所以，故B错误；设，则，又因为点在椭圆上，所以，因为，所以，从而，所以为定值，故C正确；因为，所以点在以为直径的圆上，半径为，又因为，所以该圆与椭圆无交点，所以同时在圆上和在椭圆上的点不存在，即不存在符合条件的点，故D错误.故选：AC.三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.若方程表示椭圆，则m的取值范围是_____________.【答案】【解析】【分析】由，且可得．方程表示椭圆⇔，解得且.所以m的取值范围是故答案为：.13.若直线与直线平行，则直线与之间的距离为__________.【答案】【解析】【分析】利用两直线平行求参数，根据两平行线间的距离公式可得结果.由与平行，得，解得，故两直线方程分别为，所以直线与之间的距离为.故答案为：.14.已知空间直角坐标系中，过点且一个法向量为的平面的方程为.利用此结论，解决下面问题：已知平面的方程为，直线是两平面与的交线，则直线与平面所成角的正弦值为__________.【答案】##【解析】【分析】由题意可得平面、平面及平面的一个法向量，则可得直线的一个方向向量，结合空间向量夹角公式计算即可得解.由题可得平面的法向量可为，平面的法向量可为，又平面的法向量，设直线的一个方向向量，则，即，取，则，所以直线与平面所成角的正弦值为.故答案为：.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15已知向量，，.（1）当时，若向量与垂直，求实数的值；（2）若向量与向量，共面，求实数的值.【答案】（1）3（2）【解析】【分析】（1）根据向量的模长的坐标表示和两个向量垂直的坐标表示求解即可.（2）根据共面定理列方程组求解即可.小问1】因为，所以解得，即，由，且得，解得，即的值为.【小问2】因为向量与向量，共面，所以设，R，因此，即解得，所以的值为.16.已知两直线和的交点为．（1）若直线过点且与直线平行，求直线的一般式方程；（2）若圆过点且与相切于点，求圆的标准方程．【答案】（1）（2）．【解析】【分析】（1）通过解二元一次方程组求解的坐标，再结合互相平行两直线方程的特征运用代入法进行求解即可；（2）根据圆的切线的性质，结合待定系数法进行求解即可.【小问1】联立方程组，解得，所以直线和的交点．因为直线与直线平行，故可设直线．又直线过点，则，解得，即直线的方程为．【小问2】设所求圆的标准方程为，直线的斜率为，故直线CP的斜率为，由题意可得，解得，故所求圆的标准方程为．17.已知动点到定点F1,0的距离和它到直线的距离的比是常数，点的轨迹称为曲线.（1）求曲线的方程；（2）若倾斜角为的直线与曲线交于两点，且，求直线的方程.【答案】（1）（2）或.【解析】【分析】（1）设，根据等量关系建立方程，化简即可得到结果.（2）设直线方程，与椭圆方程联立，利用弦长公式表示即可求出结果.【小问1】设，则，整理得，所以曲线的方程为.【小问2】由题意设直线，将代入方程，整理得：，设，由，得，所以，则，整理得：，满足，所以，即直线方程为或.18.在中，，，，分别是上的点，满足且经过的重心，将沿折起到的位置，使，是的中点，如图所示.（1）求证：平面；（2）求与平面所成角大小；（3）在线段上是否存在点，使平面与平面成角余弦值为？若存在，求出的长度；若不存在，请说明理由.【答案】（1）证明见解析（2）（3）存在，或【解析】【分析】（1）应用线面垂直的判定定理证明线面垂直关系，再由性质定理得到线线垂直关系，进而再利用判定定理证明所求证的线面垂直关系；（2）以为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系.用向量法求与平面所成角的大小；（3）假设存在点，使平面与平面成角余弦值为，设，分别求解两平面的法向量，用表示余弦值解方程可得.【小问1】因为在中，，，且，所以，，则折叠后，，又平面，所以平面，平面，所以，又已知，且都在面内，所以平面；【小问2】由（1），以为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系.因为，故，由几何关系可知，，，，故，，，，，，，，，设平面的法向量为，则，即，不妨令，则，，.设与平面所成角的大小为，则有，设为与平面所成角，故，即与平面所成角的大小为；【小问3】假设在线段上存在点，使平面与平面成角余弦值为.在空间直角坐标系中，，，，设，则，，设平面的法向量为，则有，即，不妨令，则，，所以，设平面的法向量为，则有，即，不妨令，则，，所以，若平面与平面成角余弦值为.则满足，化简得，解得或，即或，故在线段上存在这样的点，使平面与平面成角余弦值为.此时的长度为或.19.定义：若椭圆C:x2a2+y2b2=1a>b>0上的两个点Ax1,y1,Bx（1）求椭圆的方程；（2）求“共轭点对”中点所在直线的方程；（3）设为坐标原点，点在椭圆上，，（2）中的直线与椭圆交于两点，且点的纵坐标大于，设四点在椭圆上逆时针排列.证明：四边形的面积小于.【答案】（1）（2）.（3）证明见解析【解析】【分析】（1）根据条件列出的方程组，由此求解出的值，则椭圆方程可知；（2）代入坐标于，得到点坐标的关系式，由此可知点所在直线的方程；（3）根据条件先分析出与的位置关系，然后将四边形的面积通过点到直线的距离以及弦长表示出来，根据点的临界位置分析出面积的临界值，从而完成证明.【小问1】依题意，，解得所以椭圆的方程为.【小问2】因为，所以，所以，所以点所在的直线的方程为.【小问3】由（2）知，直线，联立，解得或，则，设点，则，两式相减得，又，于是，所以，所以，所以线段的中点在上，故线段被直线平分，设点到直线的距离为，